Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-Integration

Friedrich, Jürgen

Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-Integration

Zusammenfassung

Einleitung:
Für banachraumwertige Funktionen, welche auf einem Mengenring mit Prämaß definiert sind, wird eine gründliche einführende Darstellung der Bochner Integration und der Birkhoff-Integration vorgestellt. Es wird gezeigt, dass es für weite Teile der Theorie nicht erforderlich ist von einer α-Algebra im Definitionsbereich auszugehen. Die Bochner-Integration ist eine direkte Verallgemeinerung der Lebesgue-Integration für banachraumwertige Funktionen, wohingegen die Birkhoff-Integration als eine konsequent maßtheoretisch fundierte Verallgemeinerung der Einführung der Riemann-Integration über Riemann-Summen für banachraumwertige Funktionen betrachtet werden kann. Die Birkhoff-Integration wird in den drei Varianten endliche-, absolute- und unbedingte Integration beschrieben. Die verschiedenen Integrationsarten werden untereinander und mit der normalen Riemann-Integration verglichen. Der Haupttext wird ergänzt durch sehr umfangreich gehaltene Anlagenkapitel, in denen die themenspezifischen Grundlagen ausführlich zusammengestellt sind. Alle Sätze sind inklusive Beweise notiert, und es wurde Wert darauf gelegt, keine zu großen gedanklichen ‚Sprünge‘ innerhalb der Argumentationsketten der Beweisniederschriften zu machen.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Friedrich, Jürgen: Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-

Integration, Hamburg, Diplomica Verlag GmbH 2014

PDF-eBook-ISBN: 978-3-8428-4043-0

Herstellung: Diplomica Verlag GmbH, Hamburg, 2014

Zugl. FernUniversität in Hagen, Hagen, Deutschland, Masterarbeit, September 2013

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Printed in Germany

Zusammenfassung

F¨

ur banachraumwertige Funktionen, welche auf einem Mengenring mit Pr¨amaß definiert sind,

wird eine gr¨

undliche einf¨

uhrende Darstellung der Bochner-Integration und der Birkhoff-Integration

vorgestellt. Es wird gezeigt, dass es f¨

ur weite Teile der Theorie nicht erforderlich ist von einer

-Algebra im Definitionsbereich auszugehen. Die Bochner-Integration ist eine direkte Verallge-

meinerung der Lebesgue-Integration f¨

ur banachraumwertige Funktionen, wohingegen die Birkhoff-

Integration als eine konsequent maßtheoretisch fundierte Verallgemeinerung der Einf¨

uhrung der

Riemann-Integration ¨

uber Riemann-Summen f¨

ur banachraumwertige Funktionen betrachtet wer-

den kann. Die Birkhoff-Integration wird in den drei Varianten endliche-, absolute- und unbedingte

Integration beschrieben. Die verschiedenen Integrationsarten werden untereinander und mit der

normalen Riemann-Integration verglichen. Der Haupttext wird erg¨anzt durch sehr umfangreich

gehaltene Anlagenkapitel, in denen die themenspezifischen Grundlagen ausf¨

uhrlich zusammenge-

stellt sind. Alle S¨atze sind inklusive Beweise notiert, und es wurde Wert darauf gelegt, keine zu

großen gedanklichen

Spr¨

unge" innerhalb der Argumentationsketten der Beweisniederschriften zu

machen.

Danksagung

Mein Dank gilt in erster Linie meiner lieben Frau Bianca. Sie hat mir das Masterstudium erm¨oglicht

und war immer verst¨andnisvoll und aufmunternd an meiner Seite. Meinem Betreuer Prof. Dr. M. Felten

danke ich daf¨ur, dass ich zum Thema

Integration von banachraumwertigen Funktionen" eine Master-

arbeit schreiben durfte und so meine innere Motivation voll aussch¨opfen konnte. Prof. Dr. M. Kersken

sei gedankt f¨ur den Blick ¨uber den

mathematischen Tellerrand", den ich im vorherigen Studiengang

das eine oder andere Mal erhaschen konnte, wie z.B. bei der Einf¨uhrung summierbarer Familien.

Erkl¨

arung des Verfassers

Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit ohne fremde Hilfe selbstst¨andig verfasst und nur die

angegebenen Quellen benutzt habe. Alle Zitate wurden als solche kenntlich gemacht.

( J¨urgen Friedrich )

Inhaltsverzeichnis

1 Generelle Vereinbarungen und Bemerkungen

2 Einleitung

3 Bochner-Integration

3.1 Das abstrakte Bochner-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Der Raum der Bochner-integrablen Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Birkhoff-Integration

4.1 Konvergente Mengenfolgen in Banachr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Unbedingte-, absolute- und endliche Birkhoff-Integrabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Grenzwerts¨

atze und Integration auf Teilmengen

5.1 Grenzwerts¨atze der Bochner-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Bochner-Integration auf Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Birkhoff-Integration auf einer Menge eines Mengenrings . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Ein Grenzwertsatz der Birkhoff-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Vergleich verschiedener Integrationsarten

6.1 Riemann-integrable Funktionen sind endlich Birkhoff-integrabel . . . . . . . . . . . . .

6.1.1

Beispiel f¨ur endlich Birkhoff-integrabel aber nicht Riemann-integrabel . . . . . .

6.1.2

Beispiel f¨ur Riemann-integrabel aber nicht Bochner-integrabel . . . . . . . . . .

6.2 Zusammenhang von Bochner- und Birkhoff-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Das Birkhoff-Integral f¨

ur Funktionen ¨

uber einem Wahrscheinlichkeitsraum

8 Zusammenfassung und Ausblick

9 Anlagen

9.1 Einleitung zu den Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2 Vervollst¨andigung von halbmetrischen- und halbnormierten R¨aumen . . . . . . . . . . .

9.3 Konvergente Reihen und summierbare Familien in abelschen Gruppen . . . . . . . . . .

9.4 Grundlagen aus der abstrakten Maßtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.5 Rechnen mit Mengen in (normierten) K-Vektorr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.6 Der Mengenring der Figuren im R

und das Lebesguesche-Pr¨amaß . . . . . . . . . . . . 117

9.7 Treppenfunktionen und Messbarkeitsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Literaturverzeichnis

130

Symbolverzeichnis

132

Index

134

Generelle Vereinbarungen und Bemerkungen

· In dieser Arbeit hat jede Definition und jeder mathematische Satz eine eindeutige sprachliche

Bezeichnung. Im Index sind diese Bezeichnungen aufgelistet. Innerhalb des Dokuments wird ein

behandelter Satz dadurch referenziert, dass man dessen Bezeichnung und dessen Seitenzahl in

Klammern, in dieser Schriftform(Seitenzahl), angibt.

· Alle f¨ur diese Arbeit notwendigen themenspezifischen Grundlagen sind ausf¨uhrlich in den An-

lagen zusammengefasst. Die einzelnen Unterkapitel der Anlagen, insbesondere deren Relevanz im

Bezug zum Haupttext der Masterarbeit, werden in der

Einleitung zu den Anlagen" kurz vor-

gestellt. Um die Lesbarkeit der Arbeit zu verbessern, sind wichtige Definitionen des Anhangs im

Haupttext an entsprechenden Stellen wiederholt.

· Im Symbolverzeichnis sind viele der in dieser Arbeit verwendeten Symbole aufgelistet und erkl¨art.

· Wenn R eine zweistellige Relation ist, dann sei a,bR H ein Abk¨urzung f¨ur aR HbR H. Ein Beispiel

ist:

= A,B X bedeutet = A X = B X.

· Folgendes Beispiel sei exemplarisch f¨ur ¨ahnliche F¨alle erkl¨art:

Sei I eine Indexmenge:

g G > 0endliches I

I endlichen I

J I g -

Mit

endlichen I

J I ist folgendes gemeint:

Da I bereit außerhalb des Ausdrucks eine Bedeutung als Indexmenge besitzt und I

durch den

vorherigen Existenzquantor gebunden ist, bezieht sich das Wort endlichen auf das einzige hier im

Kontext neue Symbol J. Auf diese Weise l¨asst sich die Darstellung oft wesentlich vereinfachen.

· Seien X,Y Mengen und f : X Y eine Funktion und M X und N Y und y Y , dann soll

gelten:

· f (M) := {f (x) | x M}.

· f

-1

(N) :=

{x X | f (x) N}.

· f

-1

(y) := f

-1

(

{y})

· Sei X eine Menge und G eine Gruppe und f : X G eine Funktion und M X, dann gilt:

· T

f (X)\{0

}

-1

(g) heißt der Tr¨ager von f.

· f

: X

G; x

f (x) ,

falls x

heißt die Reduzierung von f auf M.

· Sei X eine Menge und V ein K-Vektorraum, dann sei:

Abb X, V :=

f : X

V f ist eine Abbildung der K-Vektorraum der Abbildungen

von X in V bzgl. der punktweise definierten Addition und der punktweise definierten

Multiplikation mit einem Skalar.

· Es sollen hier folgende Rechenregeln f¨ur gelten:

· + + (+) = +, - + (-) = -, x R(x + (+) = + x + (-) = -).

· x R(x > 0 x · (±) = (±) x < 0 x · (±) = ()).

· 0 · (±) = 0,

= 0,

= +

· x R(- < x < +).

· sup := -.

· Sei = X eine Menge und x

n nN

eine Folge aus X. Je nach Kontext wird x

n nN

als eine

Abbildung N

X; n x

oder/und als eine Teilmenge x

n nN

X interpretiert.

Einleitung

Die Integrationstheorie ist ein zentraler Eckpfeiler der Analysis und aller auf dieser aufbauenden ma-

thematischen Teildisziplinen. Nach Einf¨uhrung des Riemann-Integrals im 19. Jahrhundert durch B.

Riemann erfuhr die Analysis eine rasante Weiterentwicklung. Gerade der Ausbau der Funktionentheo-

rie ist ohne einen klar definierten Integral-Begriff nicht ohne weiteres denkbar. Viele Beweise w¨urden

ohne Integrale unn¨otig lang und kompliziert. Einer Bemerkung im Kurs Funktionentheorie I der Fern-

Universit¨at Hagen zur Folge existiert bis heute kein g¨anzlich integralfreier Beweis f¨ur den Entwicklungs-

satz von Laurent. Trotz dieser Erfolge stellte sich das Riemann-Integral als nicht ausreichend f¨ur die

moderne Fortentwicklung der Mathematik heraus. In der Riemannschen Integrationstheorie sind die

Anforderungen an eine Funktionenfolge, deren Grenzfunktion integrabel sein soll, relativ hoch. H. Le-

besgue konnte Anfang des 20. Jahrhunderts mit der Entwicklung des Lebesgue-Integrals viele Nachteile

des Riemann-Integrals beseitigen. Mit dem Satz von der monotonen Konvergenz(49) und dem Satz

von der majorisierten Konvergenz(51)

stehen nun

m¨achtige" Werkzeuge zur Verf¨ugung, um die

Integrierbarkeit der Grenzfunktion einer Funktionenfolge zu untersuchen. Des Weiteren ist der Raum

aller Lebesgue-integrablen Funktionen bzgl. einer bestimmten Integralnorm ein vollst¨andiger halbnor-

mierter Raum. Dieser ist ein wichtiger

Basisraum" in der Funktionalanalysis. Ein zus¨atzlicher zentraler

Pluspunkt des Lebesgue-Integrals ist dessen verallgemeinerte Anwendbarkeit auf beliebige Maßr¨aume

im Definitionsbereich einer Funktion.

Im Zuge der Beschreibung von realen Problemen durch mathematische Modelle sind im 20. Jahrhundert

immer mehr neue mathematische Teildisziplinen entstanden bzw. wurden axiomatisch begr¨undet, wie

z.B. die Zeitreihenanalyse und deren wahrscheinlichkeitstheoretischen Fundierung durch Stochastische

Prozesse. Dabei stellte sich die Lebesguesche Integrationstheorie als ¨außerst n¨utzlich heraus. F¨ur man-

che Fragestellungen war das Lebesgue-Integral jedoch immer noch nicht allgemein genug, denn manche

Funktionen besaßen einen Banachraum als Wertebereich. In der ersten H¨alfte des 20. Jahrhunderts wur-

den viele verschiedene M¨oglichkeiten aufgezeigt, wie man f¨ur vektorraumwertige Funktionen Integrale

definieren kann. In dieser Arbeit sollen die Bochner-Integration und die Birkhoff-Integration f¨ur

banachraumwertige Funktionen vorgestellt werden.

Die Bochner-Integration ist eine direkte Verallgemeinerung der Lebesgue-Integration und erbt damit

fast alle Eigenschaften der Lebesgue-Integration, die sich nicht direkt auf die Ordnungsstruktur der

Reellen Zahlen beziehen.

Die Birkhoff-Integration ist ein Weg die Grundidee der Riemann-Integration, n¨amlich das Bilden von

Riemann-Summen" ¨uber Partitionen, auf banachraumwertige Funktionen, die auf einem beliebigen

-endlichen Maßraum definiert sind, zu ¨ubertragen. Die Birkhoff-Integrabilit¨at tritt in den drei

unterschiedlichen Auspr¨agungen endliche-, absolute- und unbedingte Integrabilit¨

at auf. Der Un-

terschied liegt darin, ob man endliche oder abz¨

ahlbare Partitionen des Definitionsbereichs einer

Funktion betrachtet und wenn man abz¨ahlbare Partitionen betrachtet, ob dabei die unbedingte- oder

die absolute Konvergenz der

Riemann-Summen" verlangt wird.

Außerdem erl¨autern wir den Zusammenhang zwischen einem verallgemeinerten Riemann-Integral,

dem Bochner-Integral und dem Birkhoff-Integral. Wie so oft, wenn man die Sph¨are der Endlichdimen-

sionalit¨at verl¨asst, treten dabei neue

Ph¨anomene" auf. Zuvor ¨aquivalente Eigenschaften m¨ussen im

Allgemeinen nicht mehr ¨aquivalent sein, und Schlussfolgerungen k¨onnen ihre G¨ultigkeit verlieren. So

ist eine reellwertige Riemann-integrable Funktion immer auch Lebesgue-integrabel, aber eine verallge-

meinert Riemann-integrable Funktion muss nicht Bochner-integrabel sein. Jedoch wird gezeigt, dass

eine verallgemeinert- Riemann-integrable Funktion stets endlich Birkhoff-integrabel ist. Allgemein gilt,

wenn f¨ur zwei der hier betrachtet Integrationsarten f¨ur eine Funktion beide Integrale existieren, so sind

die beiden Integralwerte identisch. Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Integrierbarkeiten ist

folgende:

verallg. Riemann-int.

endlich Birkhoff-int. absolut Birkhoff-int. unbedingt Birkhoff-int.

Bochner-int.

F¨ur -endliche -Algebren ergibt sich dadurch eine g¨anzlich neue Perspektive bei der Betrachtung des

Integrals von Bochner-integrablen Funktionen.

Die Bochner-Integration ist eine der am h¨aufigsten verwendeten vektorwertigen Integrationsarten. Dies

ist sicherlich auch den besonders sch¨onen Eigenschaften des Bochner-Integrals geschuldet. Das Birkhoff-

Integral wurde, fast zur selben Zeit wie das Bochner-Integral, in den dreißiger Jahren des 20. Jahrhun-

derts entwickelt. Es f¨uhrte aber lange Zeit nur ein Nischendasein in der Wahrnehmung der mathema-

tischen ¨

Offentlichkeit. Seit ca. 20 Jahren wird das Birkhoff-Integral wieder verst¨arkt untersucht. Doch

eine systematische und ausf¨uhrliche Darstellung der Birkhoff-Integration ist mir nicht bekannt. Die Pa-

per, die dieses Integral behandeln, bieten keine systematische Einf¨uhrung. Lediglich das Original-Paper

[2] von Birkhoff beschreibt einen systematischen Zugang. Allerdings sind die dort gef¨uhrten Beweise

mehr oder weniger skizzenhaft.

Bei den meisten Abhandlungen ¨uber diese beiden Integrationsarten stellt man fest, dass von einer -

Algebra mit Maß im Definitionsbereich der Funktionen ausgegangen wird. Dies erweckt den Eindruck,

als w¨are das eine notwendige Voraussetzung. In dieser Arbeit soll unter Anderem gezeigt werden, dass

dem nicht so ist und oft eine Mengenringstruktur mit Pr¨

amaß ausreichend ist. Die Vorteile f¨ur

diese Art des Zugangs sind:

· Man erh¨alt einen anschaulicheren Zugang zur Integration, siehe z.B. Mengenring der Figuren im R

· Wenn -Algebren nur dort eingesetzt werden, wo sie wirklich ben¨otigt werden, lernen wir gerade die

Vorteile einer -Algebra gegen¨uber einem Mengenring kennen.

Zielsetzungen dieser Masterarbeit

· Gr¨undliche einf¨uhrende Darstellung der Bochner- und Birkhoff-Integration mit ausf¨uhrlichen und

ubersichtlichen Beweisen, die sich themenspezifisch nur auf die in den Anlagen bereitgestellten De-

finitionen und S¨atze beziehen.

· Die Integrationstheorien sollen mit m¨oglichst wenig Maßtheorie zug¨anglich sein, so dass wenn m¨oglich

als

Basistruktur" im Definitionsbereich einer Funktion lediglich ein Mengenring mit Pr¨amaß vor-

ausgesetzt wird.

· Auch an den Banachraum, in den die Funktionen abbilden, sollen keine weiteren Anforderungen

gestellt werden.

· Es soll keinerlei andere Integrationsart vorausgesetzt werden. Also insbesondere soll die Bochner-

Integration nicht auf die Lebesgue-Integration zur¨uckgef¨uhrt werden, sondern die Letztere nur als

ein Spezialfall der Ersteren angesehen werden.

· Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Integrationsarten untereinander sollen aufgezeigt wer-

den.

Es folgt nun eine anschauliche Gegen¨uberstellung der beiden Integrationsarten. Sei dazu f : [0, a]

eine stetige Funktion.

Das Bochner-Integral

Der Fl¨acheninhalt zwischen der blauen Funktion f und der x-Achse entspricht der anschaulichen Inter-

pretation des Integrals dieser Funktion f . Die roten Funktionen bezeichnet man als Treppenfunktionen.

Die Integrale der Treppenfunktionen sind relativ einfach zu bestimmen, n¨amlich als die Summe der Teil-

rechteckfl¨achen unter den Treppenfunktionen. Wie man an der Grafik erkennen kann, n¨ahert sich die

Treppenfunktionsfl¨ache und damit das Treppenfunktionsintegral dem Fl¨acheninhalt unter der Funktion

f und damit dem Integral von f an.

Man kann sich nun ganz allgemein fragen, wie muss eine Funktion f beschaffen sein, damit man ein

Integral von f als konvergente Folge von Treppenfunktionsintegralen sinnvoll definieren kann?

Es wird sich zeigen, dass daf¨ur zwei Anforderungen hinreichend sind:

· Die Funktion f ist punktweiser Grenzwert von einer Folge von Treppenfunktionen. Dabei darf es

sogar eine Ausnahmenmenge geben auf der die Treppenfunktionsfolge nicht gegen f konvergieren

muss, eine sogenannte Nullmenge.

· Damit es aber auch eine Treppenfunktionsfolge gibt, deren zugeh¨orige Treppenfunktionsintegralfolge

konvergiert, bedarf es einer weiteren Anforderung.

Die Menge aller Treppenfunktionen bildet bzgl. der punktweise definierten Addition und Multiplika-

tion mit einem Skalar ein Vektorraum. Des Weiteren kann man f¨ur jede Treppenfunktion die abbil-

dungstheoretische Verkn¨upfung dieser Treppenfunktion mit der Norm des Banachraums betrachten.

Diese Verkn¨upfungen sind Treppenfunktionen nach R

. Die Integrale dieser

normierten Treppen-

funktionen" definieren gerade eine Halbnorm auf dem urspr¨unglichen Treppenfunktionsraum. Wenn

nun f¨ur eine Treppenfunktionsfolge zus¨atzlich zu dem ersten Punkt noch weiter gilt, dass diese bzgl.

der Halbnorm eine Cauchy-Folge darstellt, so konvergiert auch die zugeh¨orige Treppenfunktionsin-

tegralfolge. Weiter gilt, dass f¨ur alle Treppenfunktionsfolgen, die fast ¨uberall punktweise gegen f

konvergieren und zudem Cauchy-Folgen darstellen, der Grenzwert der zugeh¨origen Treppenfunkti-

onsintegralfolgen immer derselbe ist. Dieser Grenzwert ist dann das Bochner-Integral von f .

Das Birkhoff-Integral

Man kann das Integral von f aber auch ganz anders approximieren. F¨ur eine Partition des Defini-

tionsbereichs von f , bestehend aus Intervallen, bildet man f¨ur jede Menge M

folgende Menge

µ (M) f (M) :=

µ (M)

· f (x) x M , wobei µ (M) gerade die L¨ange des Intervalls M ist. Im

Anschluss bildet man noch folgende Menge:

µ (M) f (M) :=

M w

µ (M)f (M)

Diese Menge besteht so zu sagen aus allen

Riemann-Summen" der Funktion f ¨uber der Partition .

Die Grafik suggeriert, dass der Integralwert von f ein Element von

µ (M) f (M) sein muss. Diese

Menge bildet also eine Menge von

Integralwertkandidaten" f¨ur die Funktion f . Weiter ist zu erkennen,

dass die Mengen der Integralwertkandidaten sich von links nach rechts zunehmend verengt. Außerdem ist

eine Menge von Integralwertkandidaten eine Teilmenge einer beliebigen weiter links stehenden Menge

von Integralwertkandidaten. Der Integralwert von f wird also f¨ur eine entsprechende Partitionsfolge

n nN

das einzige Element der nachstehenden Menge sein:

N M

µ (M) f (M) .

Aus der obigen Grafik geht auch hervor, dass wenn man f¨ur jedes n

N zum konvexen- und dann

zum topologischen Abschluss von

µ (M) f (M) ¨ubergeht, der Integralwert von f immer noch

das einzige Element in folgender Menge ist:

konv

µ (M) f (M) .

F¨ur nicht notwendig stetige Funktionen, die in einen allgemeinen Banachraum abbilden, erzeugen wir

grunds¨atzlich den konvexen- und dann den topologischen Abschluss von

µ (M) f (M), um auf die

Existenz eines Integralwerts im Durschnitt schließen zu k¨onnen, siehe Durchschnittss¨atze der Birkhoff-

Integration.

Kapitel¨

ubersicht

3 Bochner-Integration:

Einf¨uhrung in die Bochner-Integration inklusive den grundlegenden Eigenschaften des Integrals.

3.1 Das abstrakte Bochner-Integral:

Das Bochner-Integral wird f¨ur Treppenfunktionen definiert, und es werden die wichtigsten Eigen-

schaften dieses Integrals bewiesen. Anschließend erkl¨aren wir auf dem Raum aller Treppenfunktio-

nen eine Integral-Halbnorm. Dieser halbnormierte K-Vektorraum wird unter Benutzung der Ver-

vollst¨

andigung eines halbnormierten Raums(81)

zum abstrakten Bochnerraum vervollst¨an-

digt. F¨ur die Elemente des abstrakten Bochnerraums definiert wir dann ein abstraktes Bochner-In-

tegral und zeigen außerdem die f¨ur sp¨ater relevanten Eigenschaften dieses Integrals.

3.2 Der Raum der Bochner-integrablen Funktionen:

Hier wird das eigentliche Bochner-Integral f¨ur banachraumwertige Funktionen definiert. Wir werden

im Fundamentalmonomorphismus der Bochner-Integration(23) die lineare und injektive Abbil-

dung Leb zwischen einem Quotientenraum des abstrakten Bochnerraums und einem Quotientenraum

des Vektorraums aller Abbildungen konstruieren und mit deren Hilfe das Bochner-Integral auf Abbil-

dungen ¨ubertragen. Durch die Anwendung der Abbildung Leb leiten wir in den nachfolgenden beiden

S¨atzen die grundlegenden Eigenschaften des Bochner-Integrals her.

4 Birkhoff-Integration:

Einf¨uhrung in die Bikhoff-Integration inklusive den grundlegenden Eigenschaften des Integrals.

4.1 Konvergente Mengenfolgen in Banachr¨

aumen:

Unter Verwendung der Anlagenkapitel

Konvergente Reihen und summierbare Familien" und

Rechnen mit Mengen in K-Vektorr¨

aumen" definieren wir konvergente Mengenfolgen in Ba-

nachr¨aumen und f¨uhren in das Rechnen mit konvergenten Mengenfolgen ein. Dieses Kapitel ist eine

technische Vorbereitung f¨ur die unbedingte- und die absolute Birkhoff-Integration. Das Verfeine-

rungstheorem f¨

ur unbedingt konvergente Mengenfolgen(34)

wird durch seine Anwendung im

Inklusionssatz f¨

ur Integralbereiche I(39)

f¨ur die Definition des unbedingten bzw. absoluten

Birkhoff-Integrals ben¨otigt.

4.2 Unbedingte-, absolute- und endliche Birkhoff-Integrabilit¨

at:

In diesem Kapitel wird das Birkhoff-Integral in seinen drei Auspr¨agungen -unbedingt, absolut und

endlich- beschrieben. Dabei werden die Theorien der unbedingten Birkhoff-Integrabilit¨at und der

endlichen Birkhoff-Integrabilit¨at parallel entwickelt. In Bemerkungen erl¨autern wir, wie die ent-

sprechenden Aussagen f¨ur die absolute Birkhoff-Integrabilit¨at aus denen der unbedingten Birkhoff-

Integrabilit¨at zu gewinnen sind.

F¨ur die unbedingte bzw. absolute Birkhoff-Integrabilit¨at ben¨otigen wir bestimmte abz¨

ahlbare Par-

titionen des Definitionsbereichs, wohingegen man in der endlichen Birkhoff-Integrabilit¨at ausschließ-

lich bestimmte endliche Partitionen heranzieht. Wenn f¨ur eine abz¨ahlbare Partition jede formal

m¨ogliche

Riemann-Summe" einer Funktion f auch existiert, d.h. unbedingt bzw. absolut kon-

vergent ist, dann nennt man f unbedingt bzw. absolut konvergent bzgl. dieser Partition.

F¨ur endliche Partitionen ist eine entsprechende Begriffsbildung nicht notwendig, da endliche Sum-

men immer existieren. Bildet man den topologischen Abschluss vom konvexen Abschluss von der

Menge aller

Riemann-Summen" einer Funktion f f¨ur eine entsprechende Partition, dann nennt man

diese neu entstandene Menge den Integralbereich von f unter dieser Partition. Gibt es eine Fol-

ge von Partitionen, so dass die zugeh¨orige Folge der Durchmesser der Integralbereiche gegen 0

konvergiert, dann existiert ein eindeutig bestimmtes Element im Durchschnitt all dieser Integral-

bereiche, siehe Durchschnittssatz f¨

ur unbedingt Birkhoff-integrable Funktionen(40)

und

Durchschnittssatz f¨

ur endlich Birkhoff-integrable Funktionen(41)

. Dieses eindeutige Ele-

ment wird das unbedingte- bzw. absolute- bzw. endliche Birkhoff-Integral genannt.

In den darauf folgenden S¨atzen f¨uhren wir die grundlegenden Eigenschaften der Birkhoff-Integrale vor

und stellen zudem die Beziehungen zwischen den drei verschiedenen Birkhoff-Integrabilit¨aten dar.

5 Grenzwerts¨

atze und Integration auf Teilmengen:

Dieses Kapitel beinhaltet wichtige Aussagen ¨uber das Verhalten von Funktionenfolgen bzgl. der

Bochner-Integration bzw. der Birkhoff-Integration. Des Weiteren diskutieren wird auch die Integration

uber Teilmengen.

5.1 Grenzwerts¨

atze der Bochner-Integration:

Wir behandeln hier unter Anderem den zentralen Grenzwertsatz der Bochner-Integration, n¨amlich

den Satz von der majorisierten Konvergenz(51). Dar¨uber hinaus machen wir in diesem Kapitel

das erste mal Gebrauch von einer -Algebra und zwar in der Charakterisierung der Bochner-

Intergrabilit¨

at auf einer

-Algebra(52) und in dem Satz Bochner-integrable Funktionen

als Grenzwert abz¨

ahl. Treppenfunktionen(54)

, welcher sp¨ater beim Vergleich von Bochner-In-

tegration und Birkhoff-Integration im Satz Bochner-integrable Funktionen sind absolut Birk-

hoff-integrabel I(68)

verwendet wird.

5.2 Bochner-Integration auf Teilmengen:

Wir erkl¨aren das Bochner-Integral f¨ur Teilmengen und beweisen einen Satz ¨uber die -Additivit¨at

des Bochner-Integrals(56)

. Dieser Satz wird sp¨ater beim Vergleich von Bochner-Integration und

Birkhoff-Integration im Beweis des Satzes Bochner-integrable Funktionen sind absolut Birk-

hoff-integrabel II(70)

angewendet.

5.3 Birkhoff-Integration auf einer Menge eines Mengenrings:

Hier definieren wir die verschiedenen Birkhoff-Integrale f¨ur bestimmte Teilmengen und thematisie-

ren einen kleinen Fehler im Paper [2], welcher Auswirkungen auf den Beweis des Satzes Bochner-

integrable Funktionen sind absolut Birkhoff-integrabel II(70)

hat.

5.4 Ein Grenzwertsatz der Birkhoff-Integration:

In diesem Kapitel wird eine leichte Verallgemeinerung eines Grenzwertsatzes aus [23] f¨ur die unbe-

dingte Birkhoff-Integration bewiesen. Auf den entsprechende Satz f¨ur die endliche Birkhoff-Integration

gehen wir ebenfalls ein und behandeln damit einen Satz, welcher in den verwendeten Papern gar nicht

angesprochen wird.

6 Vergleich verschiedener Integrationsarten:

Dieses Kapitel dient dem Vergleich zwischen der Bochner-Integration, der Birkhoff-Integration und einer

mittels Riemann-Summen definierten Riemann-Integration.

6.1 Riemann-integrable Funktionen sind endlich Birkhoff-integrabel:

Wir geben hier eine Definition f¨ur die Riemann-Integrabilit¨at mittels Riemann-Summen und zeigen,

dass Riemann-integrable Funktionen stets endlich Birkhoff-integrabel sind. Die beiden folgenden Bei-

spiele illustrieren, dass die Klasse der endlich Birkhoff-integrablen Funktionen im Allgemeinen echt

gr¨oßer als die der Riemann-integrablen ist, und es Riemann-integrable Funktionen gibt, also insbe-

sondere auch Birkhoff-integrable Funktionen, die nicht Bochner-integrabel sind, siehe

6.1.1 Beispiel f¨

ur endlich Birkhoff-integrabel aber nicht Riemann-integrabel,

6.1.2 Beispiel f¨

ur Riemann-integrabel aber nicht Bochner-integrabel.

6.2 Zusammenhang von Bochner- und Birkhoff-Integration:

Ein zentrales Ergebnis dieser Arbeit, der Satz Bochner-integrable Funktionen sind absolut

Birkhoff-integrabel II(70)

, wird in diesem Kapitel bewiesen. Dieser Beweis ist letzten Endes

in den aufgelisteten Papern nicht enthalten. Man beachte, dass auch hier wieder eine -Algebra

vorausgesetzt wird.

7 Das Birkhoff-Integral f¨

ur Funktionen ¨

uber einem Wahrscheinlichkeitsraum:

F¨ur banachraumwertige Funktionen, die ¨uber einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind, f¨uhren wir

die Begriffe Erwartungswert und Varianz mit Hilfe des unbedingten Birkhoff-Integrals ein und zeigen

auch einen grundlegenden Zusammenhang zwischen diesen beiden Begriffen.

8 Zusammenfassung und Ausblick:

Neben den wichtigsten Ergebnissen dieser Masterarbeit sowie einem kurzen zusammenfassenden Ver-

gleich der behandelten Integrationen wird ein kleiner Ausblick auf weitere Integrationsarten gegeben.

Wir stellen das Pettis-Integral kurz vor und setzen es in Relation zu den anderen Integralen, dabei

wird auch das McShane-Integral erw¨ahnt.

9 Anlagen:

In den Anlagen werden die im Haupttext verwendeten themenspezifischen Grundlagen ausf¨uhrlich und

einheitlich eingef¨uhrt. Eine ¨

Ubersicht ¨uber die Kapitel der Anlagen geben wir in der

Einleitung zu

den Anlagen" auf der Seite 75.

Bochner-Integration

Die Bochner-Integration wurde von S. Bochner 1933 in

Fundamenta Mathematicae" unter dem Titel

Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind" eingef¨uhrt, siehe [4].

Sie stellt eine direkte Verallgemeinerung der Lebesgue-Integration dar und

erbt" die meisten Eigen-

schaften, welche die Lebesgue-Integration gegen¨uber der Riemann-Integration besonders auszeichnet,

wie z.B. die Vollst¨andigkeit des halbnormierten Vektorraums der Bochner-integrablen Funktionen oder

den Satz von der majorisierten Konvergenz(51).

Bochner setzt bei seinem Zugang jedoch die Lebesgue'sche Integrationstheorie voraus, in dem er eine

banachraumwertige Funktion f als Bochner-integrabel bezeichnet, wenn diese µ-messbar ist und die reel-

lewertige Funktion f Lebesgue-integrabel ist. Die Gleichwertigkeit mit dem hier vorgestellten Zugang

ist haupts¨achlich Teil des Satzes Charakterisierung der Bochner-Intergrabilit¨at auf einer -

Algebra(52)

. In [5] wird die Bochner-Integration unabh¨angig von der Lebesgue-Integration eingef¨uhrt.

Die Lebesgue-Integration erscheint nun nur noch als Spezialfall der Bochner-Integration. Zudem wird

im Definitionsraum keine -Algebrastruktur mehr vorausgesetzt, sondern lediglich eine Halbmengen-

ringstruktur. In dieser Masterarbeit soll jedoch durchg¨angig mindestens von einer Mengenringstruktur

im Definitionsbereich der Funktionen ausgegangen werden, da diese von ihren Eigenschaften her ein-

facher zu handhaben ist als eine Halbmengenringstruktur. Wegen des in den Anlagen bereitgestellten

konstruktiven Fortsetzungssatzes f¨

ur Inhalte auf Halbmengenringen(103)

ist dies jedoch kein

nennenswerter Nachteil.

Heutzutage wird bei der Einf¨uhrung der Bochner-Integration meist mit einer -Algebrastruktur im

Definitionsbereich begonnen, ohne dass dies f¨ur weite Teile der Theorie von N¨oten w¨are, siehe z.B. in

[17]. Es gibt zwar auch einen universellen Satz ¨uber die Fortsetzung von Inhalten auf Mengenringen

zu vollst¨andigen Maßen auf einer -Algebra mit Hilfe von ¨außeren Maßen, dieser ist aber alles ande-

re als konstruktiv und im

nicht -endlichen Falle" noch nicht einmal notwendig eindeutig. Bei der

Einf¨uhrung einer Integrationstheorie auf Mengenringen kann immer sofort als anschauliches Beispiel

der in den Anlagen bereitgestellte Mengenring der Figuren im R

verwendet werden. Bei einer auf

-Algebren basierenden Integrationstheorie muss zuvor ein gr¨oßerer maßtheoretischer Aufwand betrie-

ben werden, worunter eben auch die Anschaulichkeit leidet. -Algebren sollen also nur dann verwendet

werden, wenn deren reichere Struktur wirklich ben¨otigt wird, wie z.B. bei der Verwendung des in den

Anlagen behandelten Messbarkeitstheorems(127).

Die Motivation mich mit diesem Zugang der Bochner-Integration zu besch¨aftigen liegt darin begr¨undet,

dass ich bei meinen Studien ¨uber lineare Operatoren im Hilbertraum im Anhang von [30] eine recht

knappe aber inspirierende Einf¨uhrung in die Lebesgue'sche Integrationstheorie auf Mengenringen vor-

fand. Dabei erkannte ich, dass recht selten davon Gebrauch gemacht wird, dass die dort untersuchten

Funktionen R-wertig sind. Also wollte ich eine entsprechende Integrationstheorie f¨ur banachraumwerti-

ge Funktion finden und stieß so auf die Bochner-Integration. Anf¨anglich fand ich nur Darstellungen die

auf -Algebren basierten, so dass ich schließlich anfing, die dargebotenen Beweise

zu Fuß" daraufhin

zu untersuchen, ob -Algebren wirklich notwendig sind.

Diese Einf¨uhrung in die Bochner-Integration orientiert sich an [5], [17], [19], [29] und [30]. Die Basis-

struktur im Definitionsbereich der Funktionen ist jedoch ein Mengenring mit endlichem Pr¨amaß.

3.1

Das abstrakte Bochner-Integral

Die f¨ur dieses Kapitel notwendigen Kenntnisse sind in den Anlagenkapitel

Grundlagen aus der ab-

strakten Maßtheorie" und

Treppenfunktionen und Messbarkeitsbegriffe" und

Vervollst¨

an-

digung von halbmetrischen- und halbnormierten R¨

aumen" ausf¨uhrlich zusammengestellt.

Ein eleganter Zugang zur Bochner-Integration wird in [17] beschrieben, den wir hier in leicht modifi-

zierter Form und damit letztlich noch ein wenig konsequenter pr¨asentieren. Wir benutzen explizit die

abstrakte Vervollst¨

andigung eines halbnormierten Raums mit Hilfe von Cauchy-Folgen, siehe An-

lagen. Dadurch tritt der Prozess der Vervollst¨andigung nicht nur

beil¨aufig" beim Konstruieren der

Bochner-integrablen Funktionen in Erscheinung. Auf dem K-Vektorraum der Treppenfunktionen f¨uhren

wir zun¨achst die Bochner-Integration ein. Mit diesem Integralbegriff wird anschließend eine Halbnorm

auf dem Treppenfunktionsraum definiert. Dieser halbnormierte Vektorraum wird nun unter Zuhilfenah-

me des erw¨ahnten abstrakten Vervollst¨andigungsverfahrens vervollst¨andigt. Danach definieren wir auf

diesem vollst¨andigen halbnormierten Raum das abstrakte Bochner-Integral.

Zuerst wollen wir die grundlegenden Begriffe bereitstellen. Eine Mengenringstruktur R auf einer

Menge X ist ein System von Teilmengen von X mit den folgenden Eigenschaften:

R =

und A,B R A B R A\B R .

Eine Abbildung µ : R

[0,] heißt Pr¨amaß auf dem Mengenring R, wenn µ die nachstehenden

Bedingungen erf¨ullt:

µ (

) = 0 und

j jN

R sind paarweise disjunkt

R µ

µ (M

) .

Gilt zudem noch

M R µ (M) < , so nennt man µ ein endliches Pr¨amaß auf R. Jeder

Mengenring R mit einem darauf definierten Pr¨amaß µ besitzt nach dem Satz Mengenring der endlich

messbaren Mengen(101)

einen

Untermengenring" R

, so dass µ

ein endliches Pr¨amaß darstellt. Ein

Pr¨amaß µ heißt -endlich, wenn gilt:

i iN

R X =

i N µ (M

) <

Ein besonders anschauliches und zugleich auch wichtiges Beispiel ist der -endliche Mengenring der

Figuren im R

, welcher aus allen beliebigen endlichen Vereinigungen von beschr¨ankten Intervallen des

besteht. Das darauf definierte Lebesguesche Pr¨

amaß ist endlich und entspricht gerade dem ele-

mentargeometrischen Inhalt, siehe Anlagenkapitel

Der Mengenring der Figuren im R

und das

Lebesguesche-Pr¨

amaß". Nach Bemerkung 9.14 auf Seite 99 ist das Lebesguesche Pr¨amaß auf dem

Mengenring der Figuren -endlich.

Eine Abbildung f : X

V von einem Mengenring X,R in einen K-Vektorraum V nennt man

R-Treppenfunktion, wenn

f (X) endlich ist und zudem noch gilt

b f (X)\{0

} f

-1

(b)

R .

Die Menge aller R-Treppenfunktionen von X nach V bezeichnet man mit Trep X, R, V . Diese ist nach

dem Satz ¨uber den Treppenfunktionsvektorraum(125) bez¨uglich der punktweise definierten Addition

und der punktweise definierten Multiplikation mit einem Skalar ein Untervektorraum von Abb X, V .

Um mit Treppenfunktionen bequem

rechnen" zu k¨onnen, geben wir nun folgende Definition:

Definition 3.1 (Disjunkte Darstellungen einer Treppenfunktion)

Sei (X, R) ein Mengenring und V ein K-Vektorraum und M

, . . . , M

R und v

, . . . , v

V :

· f :=

heißt disjunkte Darstellung der Treppenfunktion f

, . . . , M

sind paarweise disjunkt.

· f :=

heißt normalisierte disjunkte Darstellung der Treppenfunktion f

, . . . , M

sind paarweise disjunkt

, . . . , v

Bemerkung 3.1 (Folgerungen)

· f Trep X,R,V {O : X V ;x 0

}

f (X)\{0

}

-1

(b)

ist eine norm. disj. Darstel. von f .

ist eine disj. Darstel. von

O : X V ;x 0

i {1,...,m} v

= 0

· 0

ist eine disjunkte Darstellung von

F¨ur V =

} ist O die einzige Treppenfunktion.

F¨ur V =

} gilt v

V v

= 0

. Damit ist v

eine normalisierte disjunkte Darstel. von

Die im n¨achsten Satz hergeleitete Invarianzeigenschaft bildet die Grundlage f¨ur die Wohldefiniertheit

des Bochner-Integrals f¨ur Treppenfunktionen.

Satz 3.1 (Invarianzeigenschaft disjunkter Darstellungen einer Treppenfunktion)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum und

Trep X,R,B :

und

sind disjunkte Darstellungen von f

µ (M

) =

µ (N

) .

Beweis:

Sei

f =

O : X B;x 0

, dann folgt aufgrund von Bemerkung 3.1 auf S. 8 f¨ur eine beliebige

disjunkte Darstellung

von f , dass gilt

µ (M

) = 0

Sei

f =

O : X B;x 0

, dann folgt f¨ur eine beliebige disjunkte Darstellung

von f ,

{1,...,m}

vi=0B

ist eine normalisierte disjunkte Darstel. von f und es gilt:

µ (M

) =

{1,...,m}

vi=0B

µ (M

) .

Seien

und

normalisierte disjunkte Darstellungen von f , dann gilt:

= f =

, . . . , v

, w

, . . . , w

}

, . . . , M

R bzw. N

, . . . , N

R sind paarweise disjunkt.

Damit folgt:

x X x

f (x) = 0

i {1,...,m}j {1,...,n} M

= w

Damit folgt wegen der paarweisen Disjunktheit und da µ ein Pr¨amaß ist:

µ (M

) =

)

µ (M

) =

µ (M

) =

µ (N

) =

µ (N

) =

)

µ (N

) .

Mit diesem Satz in der Hinterhand ist die folgende Definition des Bochner-Integrals f¨ur Treppenfunk-

tionen wohldefiniert.

Definition 3.2 (Bochner-Integral f¨

ur Treppenfunktionen)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum

und f

Trep X,R,B und

eine disjunkte Darstellung von f :

f dµ :=

µ (M

) heißt Bochner-Integral der R-Treppenfunktion f ¨uber X bzgl. µ.

Jetzt k¨onnen wir bereits erste Eigenschaften des Bochner-Integrals f¨ur Treppenfunktionen bereitstellen,

wie die Linearit¨at und bestimmte Monotonieeigenschaften von R-wertige Treppenfunktionen.

Satz 3.2 (Linearit¨

at des Bochner-Integrals f¨

ur Treppenfunktionen)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum und

f, g

Trep X,R,B und , K:

(f + g) dµ = b-

f dµ + b-

g dµ.

Beweis:

Trep X, R, B

nach dem Satz

Treppenfunktionsvektorraum(125)

ein K-Vektorraum ist,

folgt f, f + g

Trep X,R,B .

Seien f =

und g =

jeweils disjunkte Darstellungen von f und g.

Wegen

= f

ist die linke Seite der Gleichung eine disjunkte Darstellung von f . Damit folgt:

f dµ =

µ (M

) =

µ (M

) = b-

( f ) dµ.

Sei

i {1,...,m} M

:= M

und

j {1,...,n} N

:= N

, dann

ist wegen

+ w

)

= f + g

die linke Seite der Gleichung eine disjunkte Darstellung von f + g. Damit folgt wegen der paar-

weisen Disjunktheit und da R ein Mengenring und µ ein Pr¨amaß ist:

f dµ + b-

g dµ =

µ (M

) +

µ (N

) =

µ (M

) + µ (M

)

µ (N

) + µ N

+ w

) µ (M

) +

µ (M

) +

µ N

= b-

(f + g) dµ.

Satz 3.3 (Monotonieeigenschaften reellwertiger Treppenfunktionen)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum:

· f Trep X,R,B

f : X

R; x f (x) Trep X,R,R .

· f Trep X,R,B

f dµ

f dµ .

· f,g Trep X,R,R x X f (x) g (x)

f dµ

g dµ .

Beweis:

R ein Mengenring ist, folgt der erste Punkt direkt aus der Definition einer Treppenfunktion

und der Definition einer Norm.

Sei

Trep X,R,B und f =

eine disjunkte Darstellung. Dann ist

eine disjunkte Darstellung von f . Also folgt:

f dµ =

µ (M

)

µ (M

) = b-

f dµ.

Seien

f, g

Trep X,R,R mit f =

und g =

seien jeweils nor-

malisierte disjunkte Darstellungen und

x X(0 f (x) g (x)) und j {1,...,n}(N

), dann gilt:

i {1,...,m}j {1,...,n} M

0 v

Damit folgt:

f dµ =

µ (M

) =

)

µ (M

) =

µ (M

)

µ (M

) =

µ (M

)

µ N

µ (M

)

µ N

+ µ

)

µ N

+ µ N

µ N

µ (N

) = b-

g dµ.

Seien

f, g

Trep X,R,R mit x X(f (x) g (x)) und

h : X

R; x |

min f (X)

|, falls x T

sonst,

dann ist h

Trep X,R,R und x X 0 (f + h)(x) (g + h)(x) und es folgt mit der

Linearit¨

at des Bochner-Integrals f¨

ur Treppenfunktionen(10)

f dµ + b-

h dµ = b-

(f + h) dµ

(g + h) dµ = b-

g dµ + b-

h dµ.

Also gilt b-

f dµ

g dµ.

Auf dem Treppenfunktionsraum Trep X, R, B werden wir unter Verwendung der letzten beiden S¨atze

eine Halbnorm .

einf¨uhren. Sp¨ater wird dieser halbnormierte K-Vektorraum mit Hilfe der Vervoll-

st¨

andigung eines halbnormierten Raums(81)

zum Abstrakten Bochnerraum vervollst¨andigt,

d.h. zu L

1µ

X, R, B , .

Satz 3.4 (Halbnormierte Treppenfunktionsraum)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum und

: Trep X, R, B

R; f b-

f dµ.

Dann gilt:

· Trep X,R,B , .

ist ein halbnormierter K-Vektorraum.

· f Trep X,R,B

= f

Beweis:

Nach

Satz

Treppenfunktionsvektorraum(125)

ist Trep X, R, B ein K-Vektorraum.

Seien

f, g

Trep X,R,B und K und

eine disjunkte Darstellung von f , dann

folgt:

· 0

µ (M

) = b-

f dµ = f

· Mit Hilfe der

Linearit¨

at des Bochner-Integrals f¨

ur Treppenfunktionen(10)

folgt:

= b-

dµ = b-

(

|| f ) dµ = ||b-

dµ =

|| f

· Weiter gilt f¨ur ein beliebiges x X:

+ g (x) = f (x) + g (x)

f (x) + g (x) = f (x) + g (x) = ( f + g ) (x).

Mit dem Satz ¨uber die

Monotonieeigenschaften reellwertiger Treppenfunktionen(10)

und

dem Satz ¨uber die

Linearit¨

at des Bochner-Integrals f¨

ur Treppenfunktionen(10)

folgt da-

mit:

+ g

= b-

+ g dµ

( f + g ) dµ = b-

dµ + b-

dµ = f

+ g

Also ist .

eine Halbnorm auf Trep X, R, B .

Sei

Trep X,R,B , dann gilt wegen der

Monotonieeigenschaften reellwertiger Treppen-

funktionen(10)

Trep X,R,R und es folgt:

= b-

dµ = b-

dµ = f

Bevor wir zum abstrakten Bochnerraum kommen, f¨uhren wir noch Treppenfunktionen ¨uber Mengen

eines Mengenrings ein. Dies sind Treppenfunktionen, die außerhalb einer Menge des Mengenrings auf

gesetzt werden. Im Unterkapitel

Bochner-Integration auf Teilmengen" und im Beweis des

wichtigen Fundamentaltheorems der Bochner-Integration(17) werden wir auf die nachfolgenden

Ergebnisse zur¨uckgreifen.

Satz 3.5 (Treppenfunktionen ¨

uber Mengen von R)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum und

Trep X,R,B und M R und

· f : X B; x X

(x)

· f (x).

Dann gilt:

· f Trep X,R,B .

Beweis:

Sei

eine disjunkte Darstellung von f , dann gilt:

x X (X

· f)(x) = X

(x)

(x) =

(x)

· X

(x) =

(x) .

Da R ein Mengenring ist, folgt weiter:

j {1,...,m} M M

R .

Also ist

· f =

Trep X,R,B .

Definition 3.3 (Bochner-Integral f¨

ur Treppenfunktionen ¨

uber Mengen von R)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum und

Trep X,R,B und M R:

f dµ := b-

(

· f)dµ heißt Bochner-Integral der R-Treppenfunktion f ¨uber M bzgl. µ.

Satz 3.6 (Eigenschaften des Bochner-Integrals von Treppenfunk. ¨

uber Mengen von R)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum und

Trep X,R,B und A,B R:

· X

· f

· µ (A)min

f (x)

f dµ

µ (A)max

f (x) .

· A B = b-

f dµ = b-

f dµ + b-

f dµ.

Beweis:

Sei

eine disjunkte Darstellung von f , dann ist

eine disjunkte Dar-

stellung von

· f. Mit den

Eigenschaften von Inhalten auf Mengenringen(99)

folgt damit:

· f

= b-

· f dµ =

µ (A

)

µ (M

) = b-

f dµ = f

Seien

: X

R; x

min

f (y) ,

falls x

sonst,

: X

R; x

max

f (y) ,

falls x

sonst.

Dann gilt f

, f

Trep X,R,R und es folgt weiter:

x X 0 f

(x)

· f (x) f

(x) .

Mit den

Monotonieeigenschaften reellwertiger Treppenfunktionen(10)

folgt damit:

dµ

(

· f )dµ b-

dµ.

Damit folgt:

µ (A) min

f (x) = b-

dµ

f dµ

dµ = µ (A) max

f (x) .

Sei

B = .

Es gilt A

B R, also ist

(AB)M

eine disjunkte Darstellung von

· f. Damit

folgt wegen der Disjunktheit und da µ ein Pr¨amaß ist:

f dµ =

µ ((A

B) M

) =

µ ((A

)

(B M

)) =

µ (A

)

+µ (B

)

µ (A

) +

µ (B

) = b-

f dµ + b-

f dµ.

Jetzt kehren wir wieder zu unserem eigentlichen Ziel zur¨uck, der abstrakten Vervollst¨andigung von

Trep X, R, B , .

. Die Vervollst¨andigung verl¨auft im Grunde genauso, wie bei der Vervollst¨andi-

gung von Q zu R, n¨amlich mit Hilfe von Cauchy-Folgen. Siehe Anlagenkapitel

Vervollst¨

andigung

von halbmetrischen- und halbnormierten R¨

aumen".

F¨ur Folgen f

n nN

von Treppenfunktionen sei abk¨urzend auch f

n n

als Bezeichnung zugelassen, siehe

Bemerkung 9.5 auf S. 80.

Definition 3.4 (Abstrakter Bochner-Raum)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum

und

Trep

(X, R, B) , .

µC

die nach dem Satz

Vervollst¨

andigung eines halbnormierten Raums-

(81)

existierende Vervollst¨andigung von Trep X, R, B , .

1µ

X, R, B , .

Trep

(X, R, B) , .

µC

heißt abstrakter Bochner-Raum.

: Trep X, R, B

1µ

X, R, B ; f

heißt die abstrakte Bochner-Einbettung.

Bemerkung 3.2 (Folgerung)

1µ

X, R, B , .

ist nach dem Satz ¨uber die Vervollst¨andigung eines halbnormierten Raums-

(81)

ein vollst¨andiger halbnormierter K-Vektorraum und T ist eine lineare, halbnormerhaltende und

injektive Funktion, deren Bild dicht in L

1µ

X, R, B liegt.

Jedem Element f

n n

des abstrakten Bochnerraums kann, als Resultat des n¨achsten Satzes, ein Integral

als Grenzwert der Integralfolge b-

dµ

zugeordnet werden.

Satz 3.7 (Abstraktes Bochner-Integral auf dem abstrakten Bochner-Raum)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum:

n n

1µ

X, R, B

dµ

ist konvergent in B bzgl. . . .

Beweis:

Sei

n n

1µ

X, R, B , dann gilt:

n n

ist eine Cauchy-Folge in Trep X, R, B bzgl. .

Damit folgt:

> 0n

Nk,l n

- f

l µ

< .

Damit folgt mit der

Linearit¨

at des Bochner-Integrals f¨

ur Treppenfunktionen(10)

und den

Monotonieeigenschaften reellwertiger Treppenfunktionen(10)

> 0n

Nk,l n

dµ

- b-

dµ = b-

- f

) dµ

- f

dµ = f

- f

l µ

< .

Damit ist b-

dµ

eine Cauchy-Folge in B bzgl. . .

Wegen

der Vollst¨andigkeit von (B, . ) konvergiert diese Folge gegen ein I

Definition 3.5 (Abstrakte Bochner-Integral)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum:

n n

1µ

X, R, B

n n

dµ := lim

dµ .

Satz 3.8 (Eigenschaften des abstrakten Bochner-Integrals)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum:

· f

n n

1µ

X, R, B

1µ

X, R, R

n n

dµ

n n 1

= lim

n µ

· f,g L

1µ

X, R, B

, K b-

(f + g) dµ = b-

f dµ + b-

g dµ .

· f

n n

1µ

X, R, B

f L

1µ

X, R, B

f (n ) b-

dµ

f dµ (n

) .

Beweis:

Sei

n n

1µ

X, R, B , dann gilt wegen der Stetigkeit der Norm und den

Monotonie-

eigenschaften reellwertiger Treppenfunktionen(10)

und dem Satz

Halbnormierte Raum der

Cauchy-Folgen(79)

n n

dµ =

lim

dµ = lim

dµ

lim

dµ = lim

n µ

n n 1

Weiter

gilt wegen der 2. Dreiecksungleichung:

n,l Nx X f

- f

(x) =

(x)

- f

(x)

- f

(x) = f

- f

(x) .

Mit den

Monotonieeigenschaften reellwertiger Treppenfunktionen(10)

und dem Satz

Halb-

normierter Treppenfunktionsraum(12)

folgt:

n,l N

- f

= b-

- f

dµ

- f

dµ = f

- f

l µ

Also ist

eine .

-Cauchy-Folge und damit gilt

1µ

X, R, R .

Seien

n n

, g

n n

1µ

X, R, B und ,

K, dann gilt wegen der Stetigkeit der Addition

und der Multiplikation und der

Linearit¨

at des Bochner-Integrals f¨

ur Treppenfunktionen-

(10)

und dem Satz

Halbnormierte Raum der Cauchy-Folgen(79)

n n

dµ + b-

n n

dµ = lim

dµ + lim

dµ

lim

dµ + b-

dµ

= lim

+ g

dµ

+ g

n n

dµ = b-

n n

+ g

n n

dµ.

Sei

n n

1µ

X, R, B und f

1µ

X, R, B mit f

f (n ) bzgl. .

, dann gilt:

dµ

- b-

f dµ = b-

- f dµ f

- f

0 (n ).

3.2

Der Raum der Bochner-integrablen Funktionen

In der Regel m¨ochte man jedoch nicht Cauchy-Folgen von Treppenfunktionen integrieren, sondern ba-

nachraumwertige Funktionen, die auf einem Mengenring definiert sind. In diesem Abschnitt wird nun

das Bochner-Integral f¨ur solche Funktionen eingef¨uhrt.

Um dies zu erreichen, erzeugen wir zuerst den normierten Quotientenraum von L

1µ

X, R, B , d. h.

bzgl. des Nullraums

der Halbnorm .

bildet man den linearen Quotientenraum und definiert an-

schließend die zugeh¨orige Norm auf den ¨

Aquivalenzklassen. Dann erzeugen wir mit dem linearen Unter-

raum

X, B aus dem Satz Lineare Unterraum der Abbildungen die µ-f. ¨

u. glich der Nul-

labbildung sind(123)

den linearen Quotientenraum von Abb X, B . Schließlich konstruiert man eine

lineare und injektive Abbildung Leb : L

1µ

X, R, B /

Abb X,B /N

X, B . Mit Hilfe die-

ser Abbildung wird anschließend eine Norm auf dem Bildraum Leb L

1µ

X, R, B /

Abb X,B /

X, B induziert und auch der Bochner-Integralbegriff wird durch diese Abbildung ¨ubertragen. Die

folgenden Graphik veranschaulicht unser Vorgehen.

Treppenfunktionsraum

Abstrakter Bochnerraum

Normierter Quotientenraum

Aequivalenzklassenbildung bzgl.

Nullraum der Halbnorm

Vervollstaendigung durch

Cauchy-Folgen

Linearer Quotientenraum

Vektorraum aller Abbildungen

Aequivalenzklassenbildung bzgl.

Unterraum der mue-fast Nullabbildungen

Bildraum von LEB

Bochner-integrable Funktionen

Entklassifizierung

Lineare und injektive Abbildung LEB

Ab hier sei nochmal auf die Bemerkung 9.5 auf S. 80 verwiesen.

Definition 3.6 (Normierte Quotientenraum des abstrakten Bochner-Raums)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum und

der Nullraum der Halbnorm .

von L

1µ

X, R, B :

1µ

X, R, B := L

1µ

X, R, B /

sei der lineare Quotientenraum bzgl.

und

: L

1µ

X, R, B

R; x x

die entsprechende Norm auf dem Quotientenraum.

Bemerkung 3.3 (Folgerung und Definition)

Wegen den Eigenschaften des abstrakten Bochner-Integrals(15) gilt:

n n

1µ

X, R, B

n n

dµ = b-

n n

dµ .

Denn es gilt:

n n

dµ

- b-

n n

dµ = b-

( g

n n

- f

n n

) dµ

- f

n n 1

n n

- f

n n 1

= 0.

Also ist folgende Definition sinnvoll:

n n

1µ

X, R, B

n n

dµ := b-

n n

dµ .

In der Bochner-Integration ist eine zentrale Eigenschaft von Mengen die, dass Mengen so genannte µ-

Nullmengen sein k¨onnen. Da wir jedoch von Mengenringen und nicht von -Algebren als Grundstruktur

ausgehen, ist die Definition von µ-Nullmengen hier etwas komplizierter als bei -Algebren. Diese erweist

sich aber f¨ur -Algebren als mit der ¨ublichen Definition bedeutungsgleich, siehe Charakterisierung

von

µ-Nullmengen einer -Algebra(106). F¨ur einen Mengenring X, R mit Pr¨amaß µ : R

[0,]

ist ein Menge N

X genau dann ein µ-Nullmenge, wenn gilt:

> 0 M

i iN

R N

µ (M

) < .

Eine Folge von Abbildungen f

n nN

von X in einen Banachraum B konvergiert punktweise µ-fast

uberall, wenn es ein µ-Nullmenge N gibt, so dass die Folge auf X

\N punktweise konvergiert.

Die Folge f

n nN

konvergiert µ-fast gleichm¨aßig, wenn gilt:

> 0 A

k kN

µ (A

) <

n nN

konvergiert gleichm¨aßig auf X

F¨ur jedes > 0 gibt es also eine Menge, so dass die Folge auf deren Komplement gleichm¨aßig kon-

vergiert und die Menge sich durch abz¨ahlbar viele Mengenringmengen ¨uberdecken l¨asst, f¨ur die gilt,

dass die Summen der zugeh¨origen Maße kleiner ist. Die verschiedenen Arten der punktweisen Kon-

vergenz einer Funktion werden auf den Seiten 123 125 behandelt und miteinander in Beziehung gesetzt.

Das nachfolgende Fundamentaltheorem der Bochner-Integration(17) bildet das Bindeglied zwi-

schen dem abstrakten Bochnerraum und dem Raum der Bochner-integrablen Funktionen. In diesem

steckt die

Hauptarbeit" bei der Einf¨uhrung des Bochner-Integrals.

Im anschließenden Satz ¨uber den Fundamentalmonomorphismus der Bochner-Integration(23) f¨uhren

wir dann unter Verwendung des Fundamentaltheorem der Bochner-Integration(17) die oben erw¨ahn-

te lineare und injektive Abbildung Leb ein. In den S¨atzen Eigenschaften des Bochner-Integrals

I(25)

und Eigenschaften des Bochner-Integrals II(26) sind die Eigenschaften f¨ur Bochner-inte-

grable Funktionen zusammengefasst, welche sich als relativ einfache Konsequenzen aus der Anwen-

dung dieser Abbildung Leb und den Resultaten aus dem Unterkapitel

Das abstrakte Bochner-

Integral" erweisen.

Satz 3.9 (Fundamentaltheorem der Bochner-Integration)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum:

· f

n n

1µ

X, R, B

Teilfoge f

von f

n n

konvergiert µ-fast gleichm¨aßig .

· f

n n

, g

n n

1µ

X, R, B

n n

, g

n n

konvergieren punktweise µ-fast ¨uberall

n n

= g

n n

h : X B f

n n

, g

n n

konvergieren punktweise gegen h µ-fast ¨uberall

Beweis:

Sei

n n

1µ

X, R, B , dann gilt:

> 0n

Nn,l n

- f

l µ

< .

Damit folgt:

k Nn

Nn,l n

- f

l µ

Damit folgt:

()

Teilfolge f

von f

n n

k N f

- f

Sei

k N M

X f

(x)

- f

(x)

und

l N N

, dann

folgt:

l Nx X\N

(x)

- f

(x) =

-1

(x)

- f

(x) +

(x)

- f

(x)

-1

(x)

- f

(x) +

Damit folgt

l Nx X\N

(x)

- f

(x) ist absolute konvergent und damit

wegen der Vollst¨andigkeit von B insbesondere konvergent . Damit folgt:

()

l Nx X\N

(x)

- f

(x)

= lim

(x)

- f

(x)

lim

(x)

- f

(x)

= f

(x)

- lim

(x)

Also folgt

l N f

konvergiert punktweise auf X

Weiter

gilt:

> 0l Nr

N l r

r r

=r+1

Wegen der Definition der N

folgt damit mit () und den

Eigenschaften absolut konvergenter

Reihen(87)

f¨ur ein > 0 und ein l

r r

x X\N

lim

(x)

- f

(x) = f

(x)

- f

(x)

(x) = f

(x)

- f

(x)

- f

(x)

- f

(x) + f

(x)

- f

(x) + . . . +

(x)

- f

(x) +

=r+1

(x)

- f

(x)

=r+1

(x)

- f

(x)

=r+1

(x)

- f

(x)

=r+1

< .

Also gilt

l N f

konvergiert gleichm¨aßig punktweise auf X

gilt

k N f

- f

Trep X,R,B , folgt aus der Definition der M

k N M

R .

Sei

k N M

, . . . , M

- f

-1

(y) y

- f

(X)

und

k N M

j {1,...,m

} x

, dann folgt aus ()

wegen der paarweisen Disjunktheit und da µ ein Pr¨amaß ist:

k N M

µ (M

)

µ (M

)

µ (M

)

- f

dµ = f

- f

Also gilt

k N µ (M

)

Damit folgt:

l N

µ (M

)

Damit folgt:

> 0l N

µ (M

) < .

Da gilt

l N N

, folgt damit f

konvergiert µ-fast gleichm¨aßig.

Seien

n n

, g

n n

1µ

X, R, B punktweise konvergent µ-fast ¨uberall, dann gilt:

· F¨ur f

n n

= g

n n

und h

n n

:= f

, g

, f

, g

, f

, g

, . . .

folgt:

0 =

n n

- g

n n 1

- g

n n 1

= lim

- g

n µ

n N h

falls n ungerade

falls n gerade

Damit folgt:

> 0n

Nn,l n

- g

n µ

- f

l µ

- g

l µ

Sei > 0 und n, l

, dann folgt:

- h

l µ

- g

falls n, l gerade,

- f

falls n, l ungerade,

- f

falls n gerade und l ungerade,

- g

falls n ungerade und l gerade.

F¨ur die F¨alle n, l gerade und n, l ungerade folgt damit unmittelbar h

- h

l µ

< . Der

Fall n gerade und l ungerade geht durch eine

symmetrische" Betrachtung aus dem Fall n

ungerade und l gerade hervor. Sei also O.B.d.A. n ungerade und l gerade.

Weiter sei m :=

und k :=

, dann folgt:

- h

l µ

= f

- g

k µ

- f

k µ

+ f

- g

k µ

= .

Also ist h

n n

eine Cauchy-Folge.

F¨

die Folge h

n n

durchlaufe man nun nochmal den Beweis f¨ur den ersten Punkt dieses

Theorems. Nur an der Stelle () soll die gew¨ahlte Teilfolge h

von h

n n

zus¨atzlich zu ()

noch folgende Bedingung erf¨ullen:

k N (k ist gerade h

n n

)

(k ist ungerade h

n n

) .

F¨ur h

folgt dann analog zu oben, dass h

µ-fast gleichm¨aßig konvergiert. Aus dem Satz

Zusammenhang zwischen den verschiedenen punktweisen Konvergenzarten(124)

folgt damit

konvergiert punktweise µ-fast ¨uberall. Damit folgt:

, N

X N

, N

sind µ-Nullmengen

n n

bzw. g

n n

bzw. h

konvergieren punktweise auf N

bzw. N

Sei N := N

, dann ist N eine µ-Nullmenge und f

n n

, g

n n

, h

konvergieren

punktweise auf N

Betrachtet

man nun die Teilfolge von h

mit den geraden Indizes und die Teilfolge von

mit den ungeraden Indizes, so ist die erstere ebenfalls eine Teilfolge von g

n n

und

letztere eine Teilfolge von f

n n

Wegen der Eindeutigkeit der punktweisen Grenzwerte und da Teilfolgen von konvergenten

Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren wie die konvergente Folge selber, folgt:

x N

(x))

, (g

(x))

haben den selben eindeutigen Grenzwert .

Sei e : X

B; x

lim

(x) ,

falls x

sonst.

Dann folgt:

n n

, g

n n

konvergieren punktweise gegen e µ-fast ¨uberall.

· F¨ur h

n n

Trep X,R,R gilt:

( )

x X n N 0 h

(x)

i,j N i < j h

(x)

n n

konvergiert punktweise gegen 0

µ-fast ¨uberall

n µ

konvergiert gegen 0

denn wenn die Voraussetzungen von () erf¨ullt sind, folgt mit den

Monotonieeigenschaften

reellwertiger Treppenfunktionen(10)

i,j N i < j h

i µ

= b-

| dµ = b-

dµ

dµ = b-

|dµ = h

j µ

Also ist

n µ nN

eine monoton fallende und nach unten durch 0

beschr¨ankte Folge in R

und damit konvergent. Damit folgt f¨ur n, l

N mit O.B.d.A. n l:

- h

l µ

= b-

- h

|dµ = b-

- h

) dµ = b-

dµ

- b-

dµ =

|dµ - b-

|dµ = h

n µ

- h

l µ

(n, l

Also ist h

n n

1µ

X, R, R . Damit folgt mit dem ersten Punkt dieses Theorems:

Teilfolge h

von h

n n

konvergiert µ-fast gleichm¨aßig .

Weiter

gilt:

N X N ist eine µ-Nullmenge h

konvergiert punktweise gegen 0

auf N

Sei > 0, dann folgt:

l lN

, B

l lN

R N

µ (A

) <

µ (B

) <

konvergiert gleichm¨aßig punktweise auf X

Sei M

l lN

:= A

, B

, A

, B

, . . . , dann folgt mit dem

Aggregations-/Partitionssatz f¨

absolut summierbare Familien(96)

und den

Eigenschaften konvergenter Reihen(85)

µ (M

) =

µ (A

) + µ (B

)

µ (A

) +

µ (B

) <

konvergiert gleichm¨aßig punktweise gegen 0

auf X

Da h

n n

auf X punktweise monoton fallend und gr¨oßer 0

ist, folgt weiter:

> 0n

, n

, . . .

n n

x X

(x)

(x) < .

Sei

n n

:= x

X < h

(x)

, dann folgt:

n n

R X

x X h

(x)

= X

Also gilt

n n

. Damit folgt mit den

Eigenschaften von Mengenringen

und Pr¨

amaßen(100)

n n

µ (M

)

µ (M

) < .

Weiter

gilt:

n n

R x T

(x)

Mit den

Eigenschaften des Bochner-Integrals von Treppenfunk. ¨

uber Mengen von R(13)

folgt damit f¨ur jedes n

n µ

= b-

| dµ = b-

dµ = b-

dµ + b-

dµ

µ (M

) max

(x)

| + µ (T

)

max

(x)

µ (M

) max

(x) + µ (

)

max

(x) <

max

(x) + µ (

)

max

(x) + µ (

) .

Da > 0 beliebig war folgt damit h

n µ

· F¨ur h : X B f

n n

, g

n n

konvergieren punktweise gegen h µ-fast ¨uberall folgt:

, N

X N

, N

sind µ-Nullmengen

n n

bzw. g

n n

konvergieren punktweise gegen h auf N

bzw. N

Sei N := N

, dann ist N eine µ-Nullmenge und es folgt:

- g

n n

konvergiert punktweise gegen 0

auf N

Damit folgt:

- g

konvergiert punktweise gegen 0

auf N

Weiter

gilt f

- g

n n

ist eine Cauchy-Folge bzgl. .

Damit folgt wegen

n,l N (f

- g

)

- (f

- g

)

- g

n µ

- f

- g

l µ

- g

n µ n

ist eine Cauchy-Folge bzgl.

|.| und damit konvergent.

Annahme: f

- g

n µ

c > 0 (n ), dann folgt:

- g

= f

- g

n µ

c > 0 (n ).

Sei f

n n

- g

, dann gilt:

Teilfolge f

von f

n n

k N f

- f

Sei f

:= f

und mit min

{f,g } aus dem Satz

Max-Funktion und Min-Funktion(120)

sei

k 2 f

:= min f

, f

, . . . , f

:= min

. . . min min f

, f

. . . , f

Da Trep X, R, R

ein K-Vektorraum ist, folgt durch mehrmaliges Anwenden von Satz

Max-Funktion und Min-Funktion(120)

Trep X,R,R .

Weiter gilt:

x X k N 0 f

(x)

i,j N i < j f

(x)

Weiter gilt:

k Nx N

(x)

(x) = f

(x)

- g

(x)

Also gilt f

konvergiert punktweise gegen 0

µ-fast ¨uberall. Damit erf¨ullt f

die Vor-

aussetzungen von ( ) und es folgt:

Weiter gilt:

= f

k 2 f

= min

-1

, f

} f

-1

- |f

-1

- f

| .

Damit folgt:

k N f

- |f

- f

| - |f

- f

| - ... - |f

-1

- f

| .

Mit

den

Monotonieeigenschaften reellwertiger Treppenfunktionen(10)

und

der

Linearit¨

at des Bochner-Integrals f¨

ur Treppenfunktionen(10)

folgt dann:

k N f

= b-

| dµ = b-

dµ

- |f

- f

| - |f

- f

| - ... - |f

-1

- f

| dµ =

dµ

- b-

- f

| dµ - ... - b-

-1

- f

| dµ =

- f

- ... - f

-1

- f

+ . . . +

lim

- 1

- 1 -

c 2

- 1 =

c > 0 .

Also gilt f

). Widerspruch!

Damit

folgt:

n n

- g

n n 1

n n

- g

n n 1

- g

n n 1

= lim

- g

n µ

= 0.

Da .

auf L

1µ

X, R, B eine Norm ist folgt damit f

n n

= g

n n

Satz 3.10 (Fundamentalmonomorphismus der Bochner-Integration)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum und

der Nullraum in L

1µ

X, R, B bzgl. .

und

(X, B) der

Lineare Unterraum der Abbildungen

die µ-f. ¨

u. glich der Nullabbildung sind(123)

von Abb X, B und

Leb

: L

1µ

X, R, B

Abb X,B /N

(X, B) ;

n n

Nµ(X,B)

falls gilt

Teilfolge f

von f

n n

konver. punkt. gegen h µ-f. ¨u. .

Dann gilt:

· Leb ist eine wohldefinierte lineare und injektive Abbildung.

· f Trep X,R,B Leb T (f)

= f

Nµ(X,B)

Beweis:

Sei

n n

1µ

X, R, B , so folgt mit dem

Fundamentaltheorem der Bochner-Integration(17)

Teilfolge f

von f

n n

konvergiert µ-fast gleichm¨aßig .

Mit dem Satz ¨uber den

Zusammenhang zwischen den verschiedenen punktweisen Konvergenz-

arten(124)

folgt:

konvergiert punktweise µ-fast ¨uberall.

Seien

n n

, p

n n

und g

bzw. p

Teilfolgen von g

n n

bzw. p

n n

die punkt-

weise konvergieren µ-fast ¨uberall, dann folgt mit dem Satz

Nullabstand einer Teilfolge einer

Cauchy-Folge von der Cauchy-Folge(80)

n n

= f

n n

= p

n n

Dann folgt mit dem

Fundamentaltheorem der Bochner-Integration(17)

h Abb X,B

, p

konvergieren punktweise gegen h µ-fast ¨uberall .

Mit dem Satz

Eigenschaften der punktweisen Konvergenz µ-fast ¨

uberall(123)

folgt:

f h

Nµ(X,B)

, p

konvergieren punktweise gegen f µ-fast ¨uberall

f Abb X,B \h

Nµ(X,B)

Sowohl f¨ur g

als auch f¨ur p

gilt nicht,

dass diese punktweise gegen f konvergieren µ-fast ¨uberall .

Sei

n n

und p

eine Teilfolge von p

n n

die punktweise konvergiert µ-fast ¨uberall,

dann folgt wie eben

Abb X,B so dass gilt:

f h

Nµ(X,B)

, p

konvergieren punktweise gegen f µ-fast ¨uberall

f Abb X,B \h

Nµ(X,B)

Sowohl f¨ur g

als auch f¨ur p

gilt nicht,

dass diese punktweise gegen f konvergieren µ-fast ¨uberall .

Damit folgt h

Nµ(X,B)

= h

Nµ(X,B)

. Also ist Leb wohldefiniert.

Seien

n n

, g

n n

1µ

X, R, B und h

Abb X,B mit Leb f

n n

= h = Leb

n n

und O.B.d.A. seien f

n n

, g

n n

bereits punktweise konvergent µ-fast ¨uberall, dann folgt mit dem

Fundamentaltheorem der Bochner-Integration(17)

n n

= g

n n

Also ist Leb injektiv.

Seien

n n

, g

n n

1µ

X, R, B und f, g

Abb X,B mit f

n n

bzw. g

n n

konvergiert

punktweise gegen f bzw. g und ,

K, dann folgt mit den

Eigenschaften der punktweisen

Konvergenz µ-fast ¨

uberall(123)

, dass gilt f

+ g

n n

1µ

X, R, B konvergiert punktwei-

se gegen f + g µ-fast ¨uberall. Damit folgt weiter:

Leb

n n

+ Leb

n n

= f + g = f + g =

Leb

+ g

n n

= Leb f

n n

+ g

n n

= Leb f

n n

+ g

n n

Also ist Leb linear.

Sei

Trep X,R,B , dann gilt f

= T (f )

1µ

X, R, B konvergiert punktweise gegen f

µ-fast ¨uberall. Damit folgt f¨ur die abstrakte Bochner-Einbettung T:

Leb T

(f ) = Leb

= f .

Jetzt k¨onnen wir endlich den Raum der Bochner-integrablen Funktionen mit Hilfe des Bildraums der

Abbildung Leb definieren.

Definition 3.7 (Raum der Bochner-interablen Funktionen)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum:

· L

1µ

X, R, B := Leb L

1µ

X, R, B .

· L

1µ

X, R, B :=

Abb X,B F L

1µ

X, R, B

F ,

heißt Raum der Bochner-integrablen Funktionen.

Bemerkung 3.4 (Folgerungen)

· Damit ist Leb ein linearer Isomorphismus zwischen L

1µ

X, R, B und L

1µ

X, R, B . Aufgrund von

Satz Induzierte Halbnorm bzw. Norm(82) wird damit durch die folgende Definition mit Hilfe

von .

eine Norm auf L

1µ

X, R, B definiert, bzgl. der Leb normerhaltend ist und so zu einem

Normisomorphismus wird.

· Aufgrund von Bemerkung 3.3 auf S.16 ist die nachfolgende Definition des Bochner-Integrals f¨ur die

Funktionen in

1µ

X, R, B wohldefiniert.

Definition 3.8 (Bochner-Integral und Bochner-Norm)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum:

· .

: L

1µ

X, R, B

R; F Leb

-1

(F )

heißt Bochner-Norm auf L

1µ

X, R, B .

· f L

1µ

X, R, B

f dµ := b-

Leb

-1

dµ .

Wir fassen in den n¨achsten beiden S¨atzen die wichtigsten Eigenschaften des Bochner-Integrals zusammen

und

ernten" damit die ersten Fr¨uchte des bis hier hin erbrachten hohen technischen Aufwands bei der

Definition des Bochner-Integrals f¨ur banachraumwertige Funktionen.

Satz 3.11 (Eigenschaften des Bochner-Integrals I)

Sei (X, R) ein Mengenring und µ : R

[0,[ ein endliches Pr¨amaß und (B, . ) ein Banachraum und

f L

1µ

X, R, B

:= f

Dann gilt:

· Trep X,R,B L

1µ

X, R, B .

· f Trep X,R,B Das in der Definition 3.2 f¨ur f definierte Integral hat den selben Wert,

wie das in Definition 3.8 definierte Integral von f .

· f L

1µ

X, R, B

n n

Leb

-1

f dµ = lim

dµ .

· f L

1µ

X, R, B

n n

Leb

-1

n n

konvergiert gegen f bzgl. .

· L

1µ

X, R, B , .

ist ein vollst¨andiger halbnormierter K-Vektorraum mit

1µ

X, R, B , .

als normierten Quotientenraum und Trep X, R, B liegt dicht in

1µ

X, R, B bzgl. .

Beweis:

Sei

Trep X,R,B , dann folgt aus dem Satz

Fundamentalmonomorphismus der Bochner-

Integration(23)

Leb T

(f ) = f .

Also gilt f

1µ

X, R, B .

Sei

1µ

X, R, B und f

n n

Leb

-1

f , dann folgt:

f dµ = b-

Leb

-1

f dµ = b-

n n

dµ = b-

n n

dµ = lim

dµ.

Sei

Trep X,R,B , dann gilt:

= T (f )

Leb

-1

f .

Damit folgt mit dem eben Gezeigtem:

f dµ = lim

f dµ = b-

f dµ,

wobei das erste Integral bzgl. der neuen Definition interpretiert werden soll und das letzte Integral

bzgl. der alten. Damit folgt die Identit¨at der beiden Integralwerte f¨ur f .

Sei

1µ

X, R, B und f

n n

Leb

-1

f , dann folgt mit dem Satz

Vervollst¨

andigung

eines halbnormierten Raums(81)

n i n

konvergiert gegen f

n n

bzgl. .

in L

1µ

X, R, B .

Weiter gilt wegen den S¨atzen

Lineare halbnormerhaltende Abbildung(77)

und

Eigenschaften

abstandserhaltender Funktionen(77)

, dass Leb stetig ist bzgl. der beiden .

. Damit folgt nun:

f = Leb

n n

= Leb

lim

n i

= lim

Leb

n i

= lim

Leb T

) = lim

Damit folgt nun f

n n

konvergiert gegen f bzgl. .

()

gilt

1µ

X, R, B , .

ist ein normierter K-Vektorraum und

1µ

X, R, B , .

ist

ein Banachraum und Leb : L

1µ

X, R, B

1µ

X, R, B ein Normisomorphismus. Also ist

1µ

X, R, B , .

vollst¨andig.

Weiter

gilt

1µ

X, R, B ist ein Unterraum von Abb X, B mit

(X, B)

1µ

X, R, B .

Details

Seiten
Erscheinungsform: Originalausgabe
Erscheinungsjahr: 2013
ISBN (eBook): 9783842840430
Dateigröße: 1.1 MB
Sprache: Deutsch
Institution / Hochschule: FernUniversität Hagen – Mathematik und Informatik
Erscheinungsdatum: 2014 (März)
Note: 1,0
Produktsicherheit: Diplom.de

Autor

Jürgen Friedrich (Autor:in)

Integration banachraumwertiger Funktionen: Bochner- und Birkhoff-Integration

Zusammenfassung

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

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Autor

Jürgen Friedrich (Autor:in)