Filtertechniken in der Topologieoptimierung
©2013
Masterarbeit
44 Seiten
Zusammenfassung
Einleitung:
In der Topologieoptimierung ist es, wie bei den meisten Problemstellungen in der Numerik, nötig die Problemformulierung so zu gestalten, dass man mit möglichst geringem Rechenaufwand ein möglichst gutes Ergebnis erzielt. Dazu werden Vereinfachungen getroffen, sowohl innerhalb der Strukturanalyse, wofür die Finite-Elemente-Methode (FEM) herangezogen wird, als auch innerhalb der Strukturoptimierung.
Aus der FEM bekannte Folgefehler werden mit dem Begriff Locking umschrieben. Diese Phänomene sind nicht Teil dieser Arbeit, deshalb werden Interessierte auf die Literatur (z.B. Koschnick) verwiesen.
Auch während des Optimierungsvorgangs kommen Fehler auf. Gewollt ist ein homogen verteiltes Material zu konzentrieren. So entstehen fachwerkartige Strukturen, die eine höhere Steifigkeit haben, als ein Bauteil mit derselben jedoch homogen verteilten Materialmenge. Auf dem Weg zu einem Ergebnisdesign entstehen optimierungsbasierte Fehler, sogenannte Schachbrettmuster (checkerboarding) oder Einschlüsse. Außerdem bilden sich infolge des iterativen Prozesses ‘kurvige‘ Strukturen, die dem Wachstum in der Natur ähneln. Diese ungewollten Defekte sollen beseitigt werden. Aus diesem Grund ist es nötig Filter einzusetzen, die durch Filterung des Ergebnisdesigns die genannten Fehler korrigieren.
Ziel dieser Arbeit ist es, einen Überblick über solche Filtertechniken zu bieten und einen auf der Helmholtz-DGL basierten Filter zu implementieren. Dazu werden die Ursachen der Defekte möglichst genau lokalisiert und diskutiert. Anschließend sollen Tests die gemachten Aussagen verifizieren.
In der Topologieoptimierung ist es, wie bei den meisten Problemstellungen in der Numerik, nötig die Problemformulierung so zu gestalten, dass man mit möglichst geringem Rechenaufwand ein möglichst gutes Ergebnis erzielt. Dazu werden Vereinfachungen getroffen, sowohl innerhalb der Strukturanalyse, wofür die Finite-Elemente-Methode (FEM) herangezogen wird, als auch innerhalb der Strukturoptimierung.
Aus der FEM bekannte Folgefehler werden mit dem Begriff Locking umschrieben. Diese Phänomene sind nicht Teil dieser Arbeit, deshalb werden Interessierte auf die Literatur (z.B. Koschnick) verwiesen.
Auch während des Optimierungsvorgangs kommen Fehler auf. Gewollt ist ein homogen verteiltes Material zu konzentrieren. So entstehen fachwerkartige Strukturen, die eine höhere Steifigkeit haben, als ein Bauteil mit derselben jedoch homogen verteilten Materialmenge. Auf dem Weg zu einem Ergebnisdesign entstehen optimierungsbasierte Fehler, sogenannte Schachbrettmuster (checkerboarding) oder Einschlüsse. Außerdem bilden sich infolge des iterativen Prozesses ‘kurvige‘ Strukturen, die dem Wachstum in der Natur ähneln. Diese ungewollten Defekte sollen beseitigt werden. Aus diesem Grund ist es nötig Filter einzusetzen, die durch Filterung des Ergebnisdesigns die genannten Fehler korrigieren.
Ziel dieser Arbeit ist es, einen Überblick über solche Filtertechniken zu bieten und einen auf der Helmholtz-DGL basierten Filter zu implementieren. Dazu werden die Ursachen der Defekte möglichst genau lokalisiert und diskutiert. Anschließend sollen Tests die gemachten Aussagen verifizieren.
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Oks, Sergej: Filtertechniken in der Topologieoptimierung, Hamburg, Diplomica Verlag
GmbH 2013
PDF-eBook-ISBN: 978-3-8428-3317-3
Herstellung: Diplomica Verlag GmbH, Hamburg, 2013
Zugl. Technische Universität Dortmund, Dortmund, Deutschland, Masterarbeit,
März 2013
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Printed in Germany
iii
.
Inhaltsangabe
Die vorliegende Arbeit besch¨
aftigt sich mit der Behebung von Defekten in der To-
pologieoptimierung durch den Einsatz von Filtern. Um zu verstehen, wieso ¨
uberhaupt
Defekte im Ergebnisdesign auftreten, findet eine umfassende Betrachtung der Grundla-
gen statt. Es werden verschiedene M¨
oglichkeiten zum L¨
osen des Optimierungsproblems
vorgestellt und angewendet. Die Auswirkungen der Optimierung auf das Ergebnisdesign
werden analysiert und m¨
ogliche Fehlerquellen lokalisiert. Im Anschluss daran wird ver-
sucht, die w¨
ahrend des Optimierungsprozesses entstehenden Defekte durch Filterung des
Designs zu beheben. Dazu werden zum ersten der Standardfilter und zum zweiten der
sogenannte Helmholtz-PDE-Filter eingef¨
uhrt. Vor- und Nachteile beider Filtertechniken
werden diskutiert und danach numerischen Untersuchungen unterzogen, mit zum Teil
sehr interessanten Ergebnissen. Außerdem werden die Diskussionen mit Pseudocodes als
Verst¨
andnis- und Implementationshilfe unterst¨
utzt.
.
Summary
The present work deals with the correction of defects in the topology optimization
through the use of filters. To understand why at all defects occur in the designresult,
there will be a comprehensive consideration of the basics. Various options to solve the
optimization problem are presented and applied. The effects of optimization on the desi-
gnresult are analyzed and potential sources of error are localized. Thereafter, it is tried
to correct the resulting defects during the optimization process by filtering the design.
For the first the standard filter and for the second the so-called Helmholtz-PDE-filter are
introduced. Pros and Cons of both filtering techniques are discussed and then subjected to
numerical investigations, in part with very interesting results. Moreover, the discussions
are supported with pseudocodes as understanding and implementation assistance.
Inhaltsverzeichnis
v
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Grundlagen
3
2.1
Optimierungsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Strukturanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4
Mathematische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5
Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3 Standardfilter
19
3.1
Filterung der Designvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2
Filterung der Sensitivit¨
aten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4 Helmholtz-PDE-Filter
23
4.1
Filterung der Designvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2
Filterung der Sensitivit¨
aten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5 Numerische Untersuchungen
27
5.1
Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.2
Explizite Restringierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.3
Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
6 Zusammenfassung
33
7 Anhang
35
7.1
Matlab-Beispielcode f¨
ur Nachbarsuche
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Literatur
38
1
1
Einleitung
"
Zeit haben heißt wissen,
wof¨
ur man Zeit haben will
und wof¨
ur nicht."
Emil Oesch
In der Topologieoptimierung ist es, wie bei den meisten Problemstellungen in der Nu-
merik, n¨
otig die Problemformulierung so zu gestalten, dass man mit m¨
oglichst geringem
Rechenaufwand ein m¨
oglichst gutes Ergebnis erzielt. Dazu werden Vereinfachungen ge-
troffen, sowohl innerhalb der Strukturanalyse, wof¨
ur die Finite-Elemente-Methode (Fem)
herangezogen wird, als auch innerhalb der Strukturoptimierung.
Aus der Fem bekannte Folgefehler werden mit dem Begriff Locking umschrieben. Die-
se Ph¨
anomene sind nicht Teil dieser Arbeit, deshalb werden Interessierte auf die Literatur
(z.B. Koschnick [9]) verwiesen.
Auch w¨
ahrend des Optimierungsvorgangs kommen Fehler auf. Gewollt ist ein homogen
verteiltes Material zu konzentrieren. So entstehen fachwerkartige Strukturen, die eine
h¨
ohere Steifigkeit haben, als ein Bauteil mit derselben jedoch homogen verteilten Mate-
rialmenge. Auf dem Weg zu einem Ergebnisdesign entstehen optimierungsbasierte Fehler,
sogenannte Schachbrettmuster (checkerboarding) oder Einschl¨
usse. Außerdem bilden sich
infolge des iterativen Prozesses
"
kurvige" Strukturen, die dem Wachstum in der Natur
¨
ahneln. Diese ungewollten Defekte sollen beseitigt werden. Aus diesem Grund ist es n¨
otig
Filter einzusetzen, die durch Filterung des Ergebnisdesigns die genannten Fehler korrigie-
ren.
Ziel dieser Arbeit ist es, einen ¨
Uberblick ¨
uber solche Filtertechniken zu bieten und einen
auf der Helmholtz-DGL basierten Filter zu implementieren. Dazu werden die Ursachen
der Defekte m¨
oglichst genau lokalisiert und diskutiert. Anschließend sollen Tests die ge-
machten Aussagen verifizieren.
3
2
Grundlagen
Die Topologieoptimierung ist ein Prozess, der in einem gegebenen Gebiet mit Rand-
bedingungen eine optimale Verteilung von z.B. Masse iterativ berechnet. Dieser Op-
timierungsprozess verwendet die Finite-Elemente-Methode (Fem) f¨
ur die Analyse der
vorgeschlagenen Struktur zusammen mit einem geeigneten Optimierer, wie etwa dem
Optimality-Criteria-Verfahren (OC-Verfahren), um dem Benutzer einen geeigneten
L¨
osungsvorschlag f¨
ur das eingegebene Problem zu liefern. W¨
ahrend der Optimierung her-
vorkommende Defekte im L¨
osungsvorschlag sollen durch Einsatz eines Filters beseitigt
werden.
Der L¨
osungsvorschlag ist im wesentlichen von folgenden Faktoren abh¨
angig:
· Strukturanalyse
Problemdefinition
Elementformulierung
Diskretisierung
Bestrafungsfaktor p
· Optimierungsproblem
Zielfunktion Z
Designvariablen
D
Restriktionen
G (Nebenbedingungen)
Sensitivit¨
aten
S
· Mathematische Optimierung
Optimierer
· Filterung
Designvariablen Filter
Sensitivit¨
aten Filter
Im ersten Unterkapitel werden zwei grundlegende M¨
oglichkeiten f¨
ur den Ablauf einer To-
pologieoptimierung vorgestellt und in den nachfolgenden Unterkapiteln 2.2 bis 2.5 schritt-
weise erl¨
autert.
4
2
Grundlagen
2.1
Optimierungsablauf
Der Ablauf eines Optimierungsprozesses ist abh¨
angig von der Art des Filterns. Wie bereits
erw¨
ahnt gibt es daf¨
ur zwei M¨
oglichkeiten. Zum ersten die Filterung der Designvariablen
selbst und zum zweiten die Filterung der Sensitivit¨
aten.
2.1.1
Optimierung mit Designvariablen-Filter
Beim Filtern der Designvariablen geht man folgendermaßen vor:
Prozedur Topologieoptimierung mit Designvariablen-Filter
Eingabe:
-
A
F E
//FE-Daten (definierte Struktur mit Randbed.)
A
nr
//Nummern der Nachbarn
R
N
e
×N
i
A
dist
//Distanzen der Nachbarn
R
N
e
×N
i
V
//Volumina bzw. Massen aller Elemente
R
N
e
D
in
//Startwerte der Designvariablen
R
N
e
D
sum
//Gesamtsumme aller Designvariablen (Restriktion)
r
//Filterradius
p
//Bestrafungsfaktor bzw. Konvergenzfaktor
E
old
=
;
//Startwert f¨
ur ¨
außere Energie vom Vorschritt
E
out
= 0;
//Startwert f¨
ur aktuelle ¨
außere Energie
E
dif f
= 0.01
· E
out
;
//Beispielwert f¨
ur Abbruchkriterium
T = I;
//Startwert f¨
ur Transformationsmatrix
Ausgabe:
D
out
//Optimierte Designvariablen
R
N
e
Algorithmus:
-
X = D
in
;
while ( E
old
- E
out
> E
dif f
)
-
E
old
= E
out
;
[E
out
,
E
inn
] = Strukturanalyse(
X, A
F E
, p);
E
dif f
= 0.01
· E
out
;
S
Z
= Sensitivit¨
atsanalyse(
X, E
inn
);
~
S
Z
=
T
T
· S
Z
;
~
X = Optimierung(X, ~
S
Z
, D
sum
);
if Helmholtz
- P DE - F ilter
-
[
X, T ] = F ilterung( ~
X, r);
else
[
X, T ] = F ilterung( ~
X, r, A
nr
,
A
dist
,
V );
end
end
D
out
=
X;
Prozedur Topologieoptimierung mit Designvariablen-Filter
Man definiert zuerst eine Struktur mit Randbedingungen, die mit Hilfe der Fem be-
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2013
- ISBN (eBook)
- 9783842833173
- Dateigröße
- 2.9 MB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Technische Universität Dortmund – Numerische Methoden und Informationsverarbeitung
- Erscheinungsdatum
- 2014 (März)
- Note
- 3,7
