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Titel: Dynamische Modelle mit Hilfe der lokalen Volatilität

Dynamische Modelle mit Hilfe der lokalen Volatilität

von Monica Balan (Autor:in)
©2011 Diplomarbeit 148 Seiten
Mathematik - Stochastik

Zusammenfassung

Inhaltsangabe:Einleitung:
Im Rahmen dieser Diplomarbeit befassen wir uns mit der Modellierung von Aktienpreisprozessen mit Hilfe der lokalen Volatilität. Die Einführung der lokalen Volatilität in der finanzmathematischen Welt wurde von B. Dupire und E. Derman realisiert. In ihren Artikeln [18] beziehungsweise [17] analysieren die Autoren diese innovative Findung zur Bestimmung der Optionspreise. Der Aufbau dieser Diplomarbeit entspricht der chronologischen Reihenfolge, in der diese Modellierung erweitert worden ist.
Zuerst befassen wir uns näher mit der Modellierung von Finanzmärkten nach F. Black und M. Scholes. Dieses in dem Jahr 1973 entwickelte Modell repräsentiert einen Ausgangspunkt für weitere Modellierungen. Wir diskutieren die restriktiven Annahmen dieses Modells und motivieren dadurch die Notwendigkeit eines permissiveren Modells. Der Aufbau des Modells und die Herleitung der Black-Scholes Gleichung werden in dem Kapitel 1 dieser Diplomarbeit detailliert präsentiert.
In dem Kapitel 2 diskutieren wir verschiedene klassische Ansätze zur Bestimmung der Volatilität. Die Kritik an diesen Vorgehensweisen motiviert unsere Präferenz für die lokale Volatilität.
Der Kern dieser Arbeit ist das Kapitel 3. Wir beginnen in diesem Kapitel mit der Herleitung der lokalen Volatilität nach Dupire. Dieses Resultat benötigen wir für den weiteren Verlauf dieser Arbeit. Die lokale Volatilität als bedingter Erwartungswert und die Umwandlung der lokalen Volatilität in die implizite Volatilität sind ebenfalls detailliert dargestellt. Das Verhalten der lokalen Volatilität in einem stochastischen Aktienpreismodell, sowie die Berechnung und Visualisierung der lokalen Volatilitätsäche ergänzen das Kapitel 3. Mit Hilfe eines Matlab-Programmes für eine parametrische Familie der lokalen Volatilität generieren wir die Flächen dieser Volatilität.
Das Kapitel 4 fasst die Resultate aus den Artikeln [7], [8] und [9] zusammen. Wir geben in diesem Kapitel zwei Aktienpreismodelle an, in welchen die lokale Volatilität dynamisch ist. Unter geeigneten Regulationsannahmen beweisen wir, dass solche Aktienpreismodelle arbitragefrei sind. Dieses Resultat ist das Hauptergebnis des Kapitels 4. Für ein intuitiveres Verständnis visualisieren wir den Diffusionsterm der lokalen Volatilität, anhand eines Matlab-Programmes. Wir ergänzen die Analyse dieses Modells mit weiteren Anmerkungen über lokale Hedgingstrategien. Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Modellierung nach Black und […]

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis


Monica Balan
Dynamische Modelle mit Hilfe der lokalen Volatilität
ISBN: 978-3-8428-2979-4
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2012
Zugl. Ludwig-Maximilians-Universität München, München, Deutschland, Diplomarbeit,
2011
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© Diplomica Verlag GmbH
http://www.diplomica.de, Hamburg 2012
Zusammenfassung
Im Rahmen dieser Diplomarbeit befassen wir uns mit der Modellierung von
Aktienpreisprozessen mit Hilfe der lokalen Volatilit¨
at. Die Einf¨
uhrung der lo-
kalen Volatilit¨
at in der finanzmathematischen Welt wurde von B. Dupire und
E. Derman realisiert. In ihren Artikeln [18] beziehungsweise [17] analysieren
die Autoren diese innovative Findung zur Bestimmung der Optionspreise.
Der Aufbau dieser Diplomarbeit entspricht der chronologischen Reihenfolge,
in der diese Modellierung erweitert worden ist.
Zuerst befassen wir uns n¨
aher mit der Modellierung von Finanzm¨
arkten nach
F. Black und M. Scholes. Dieses in dem Jahr 1973 entwickelte Modell re-
pr¨
asentiert einen Ausgangspunkt f¨
ur weitere Modellierungen. Wir diskutie-
ren die restriktiven Annahmen dieses Modells und motivieren dadurch die
Notwendigkeit eines permissiveren Modells. Der Aufbau des Modells und die
Herleitung der Black-Scholes Gleichung werden in dem Kapitel 1 dieser Di-
plomarbeit detailliert pr¨
asentiert.
In dem Kapitel 2 diskutieren wir verschiedene klassische Ans¨
atze zur Bestim-
mung der Volatilit¨
at. Die Kritik an diesen Vorgehensweisen motiviert unsere
Pr¨
aferenz f¨
ur die lokale Volatilit¨
at.
Der Kern dieser Arbeit ist das Kapitel 3. Wir beginnen in diesem Kapitel mit
der Herleitung der lokalen Volatilit¨
at nach Dupire. Dieses Resultat ben¨
otigen
wir f¨
ur den weiteren Verlauf dieser Arbeit. Die lokale Volatilit¨
at als bedingter
Erwartungswert und die Umwandlung der lokalen Volatilit¨
at in die implizi-
te Volatilit¨
at sind ebenfalls detailliert dargestellt. Das Verhalten der lokalen
Volatilit¨
at in einem stochastischen Aktienpreismodell, sowie die Berechnung
und Visualisierung der lokalen Volatilit¨
atsfl¨
ache erg¨
anzen das Kapitel 3. Mit
Hilfe eines Matlab-Programmes f¨
ur eine parametrische Familie der lokalen
Volatilit¨
at generieren wir die Fl¨
achen dieser Volatilit¨
at.
Das Kapitel 4 fasst die Resultate aus den Artikel [7], [8] und [9] zusammen.
Wir geben in diesem Kapitel zwei Aktienpreismodelle an, in welchen die
lokale Volatilit¨
at dynamisch ist. Unter geeigneten Regulationsannahmen be-
weisen wir, dass solche Aktienpreismodelle arbitragefrei sind. Dieses Resultat
ist das Hauptergebnis des Kapitels 4. F¨
ur ein intuitiveres Verst¨
andnis visua-
lisieren wir den Diffusionsterm der lokalen Volatilit¨
at, anhand eines Matlab-
Programmes. Wir erg¨
anzen die Analyse dieses Modells mit weiteren Anmer-
kungen ¨
uber lokale Hedgingstrategien.
Inhaltsverzeichnis
1 Modellierung nach Black und Scholes
5
1.1
Finanzmathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Annahmen des Finanzmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Aufbau des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1
Black-Scholes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2
Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Klassische Bestimmung der Volatilit¨
at
23
2.1
Historische Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1
Logarithmische Kursschwankungen . . . . . . . . . . . 24
2.1.2
Definition der historischen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . 26
2.2
Implizite Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1
Inverses Problem der Finanzmathematik . . . . . . . . 28
2.2.2
Smile-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3
Stochastische Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1
Hull-White Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2
Heston Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4
Schw¨
achen dieser Vorgehensweisen
. . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1
Defizite der historischen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . 37
2.4.2
Defizite der impliziten Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3
Defizite der stochastischen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . 38
3 Lokale Volatilit¨
at
39
3.1
Dupire'sche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1
Diskussion ¨
uber die Dupire'sche Formel . . . . . . . . . 47
3.2
Lokale Volatilit¨
at als bedingte Erwartung . . . . . . . . . . . . 48
3.3
Lokale Volatilit¨
at als Implizite Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . 53
3.4
Lokale Volatilit¨
at in stochastischen
Aktienpreismodellen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5
Parametrische Familie der lokalen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . 69
3.5.1
Parametrische Herleitung der lokalen Volatilit¨
at . . . . 69
1
3.5.2
Log-normaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.3
Numerische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Aktienpreismodelle mit lokaler Volatilit¨
at
79
4.1
Einf¨
uhrung und Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2
Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3
Diffusionsterm der lokalen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4
Semi-Martingal-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5
Arbitragelosigkeit der Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6
Hedging in einem Modell mit dynamischer lokaler Volatilit¨
at . 97
A Anhang
105
A.0.1 Herleitung der Optionskennzahlen . . . . . . . . . . . . 105
A.0.2 Herleitung der Fokker-Planck Gleichung
. . . . . . . . 110
A.0.3 Anwendung der Feynman-Ka
c Formel . . . . . . . . . . 115
B Matlabprogramme
117
B.0.4
Black-Scholes Preisformel
. . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.0.5
Zwei Pfade eines Wiener-Prozesses
. . . . . . . . . . . 118
B.0.6
Kennzahlen einer Call Option . . . . . . . . . . . . . . 118
B.0.7
Parametrische Familie der lokalen Volatilit¨
at nach R.
Carmona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
C Beweise der ben¨
otigten Lemmata und S¨
atze
124
C.0.8 Beweis von Lemma 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
C.0.9 Beweis von Lemma 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C.0.10 Beweis von dem Satz 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
C.0.11 Beweis von dem Satz 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2
Abbildungsverzeichnis
1.1
Zwei Beispiel-Pfade eines Standard-Wiener-Prozesses. . . . . .
7
1.2
Der Black-Scholes Preis einer europ¨
aischen Call-Option mit
K = 100, = 0.3 und r = 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1
Errechnete Fl¨
ache der impliziten Volatilit¨
at. . . . . . . . . . . 30
3.1
Die aus den Call-Optionspreisen errechnete Fl¨
ache der lokalen
Volatilit¨
at. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2
Typische Fl¨
ache der lokalen Volatilit¨
at in dem Heston Modell.
68
3.3
Fl¨
ache der lokalen Volatilit¨
at aus der parametrischen Familie.
77
3.4
Fl¨
ache der lokalen Volatilit¨
at in dem Heston Modell. . . . . . . 78
4.1
Diffusionsterm der lokalen Volatilit¨
at aus der parametrischen
Familie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2
Diffusionsterm der lokalen Volatilit¨
at in dem Hull­White Mo-
dell mit der Volatilit¨
at als geometrische Brown'sche Bewegung.
85
3
Danksagung
An dieser Stelle m¨
ochte ich mich bei allen Personen bedanken, die mich bei
der Erstellung dieser Arbeit unterst¨
utzten.
Ein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Georg Schl¨
uchtermann, der mit
sehr viel Engagement, guten Ideen und unerm¨
udlichem Einsatz diese Di-
plomarbeit betreute. Ebenfalls bedanke ich mich f¨
ur das interessante Thema
und f¨
ur die Teilnahme an seiner Academy.
Weiter bedanke ich mich bei der Firma Benoist&Company f¨
ur die M¨
oglichkeit,
diese Diplomarbeit im Rahmen der Academy vorzustellen und f¨
ur die hilfrei-
chen mathematischen Diskussionen.
Diese Diplomarbeit m¨
ochte ich meinen Eltern widmen, da sie nicht nur mein
Studium erm¨
oglichten, sondern auch st¨
andig ein sehr großes Interesse an mei-
ner Arbeit zeigten und mich immer motivierten.
4
Kapitel 1
Modellierung nach Black und
Scholes
Motivation
Dieses Kapitel behandelt das Black-Scholes Modell, das richtungsweisend
f¨
ur die Finanzmathematik ist. Zun¨
achst geben wir einige grundlegende De-
finitionen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie an. In den darauf folgenden
Abschnitten untersuchen wir das Black-Scholes-Modell. In diesem Zusam-
menhang diskutieren wir die Annahmen und die Konstruktion des Modells.
1.1
Finanzmathematische Grundlagen
Mit Hilfe der n¨
achsten Definitionen aus dem Buch [34] von G. Schl¨
uchtermann
k¨
onnen wir im Weiteren kompliziertere mathematische Ausdr¨
ucke n¨
aher ver-
stehen.
Die erste Definition lautet:
Definition 1.1:
Ein stochastischer Prozess in stetiger Zeit ist eine Familie von Zufallsvaria-
blen (X
t
)
t0
, X
t
:
R, mit dem Zeithorizont t [0, ] beziehungswei-
se t
[0, T ], so dass die Abbildung × [0, )
(, t)
X
t
() messbar
bez¨
uglich der Produkt--Algebra
F B
R
+
0
beziehungsweise
F B
[0,T ]
ist.
Weiter erl¨
autern wir den Begriff der Filtration und in diesem Zusammenhang
f¨
uhren wir die Definition eines adaptierten stochastischen Prozesses ein:
5
Definition 1.2:
Eine Filtration auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (,
F, R) ist eine Familie
von -Algebren (
F
t
)
t0
mit
F
s
F
t
F, falls s t. In diesem Fall ist
(,
F, (F
t
)
t0
,
P) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum.
Ein stochastischer Prozess (X
t
)
t0
heißt adaptiert bez¨
uglich der Filtration
(
F
t
)
t0
, wenn X
t
f¨
ur alle t
0 F
t
-messbar ist.
Weitere wichtige Definitionen sind:
Definition 1.3:
Ein adaptierter und integriebarer stochastischer Prozess (X
t
)
t0
auf
(,
F, (F
t
)
t0
,
P) heißt:
1. Martingal (bzgl. (
F
t
)
t0
), falls
E
P
(X
t
| F
s
) = X
s
f.s,
s < t.
2. Supermartingal (bzgl. (
F
t
)
t0
), falls
E
P
(X
t
| F
s
)
X
s
f.s,
s < t.
3. Submartingal (bzgl. (
F
t
)
t0
), falls
E
P
(X
t
| F
s
)
X
s
f.s,
s < t.
Definition 1.4:
Ein stochastischer Prozess (
B
t
)
t0
auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeits-
raum (,
F, (F
t
)
t0
,
P) heißt Brown'sche Bewegung bez¨uglich (F
t
)
t0
, falls
dieser adaptiert zur Filtration (
F
t
)
t0
ist und dieser Prozess die n¨
achsten
Eigenschaften besitzt:
1.
B
0
= 0.
2.
B
t
- B
s
ist
N (0, t - s) verteilt f¨ur alle s < t.
3.
B
t
- B
s
ist von
F
s
f¨
ur jede Wahl von 0
s < t unabh¨angig.
Das heißt, dass f¨
ur jede messbare Teilmenge A
R und jedes F F
s
gilt:
P(F {B
t
- B
s
A}) = P(F)P({B
t
- B
s
A}) =
=
P(F)
1
2(t
- s)
A
e
-
x2
2(t-s)
dx.
4. (
B
t
)
t0
hat stetige Pfade.
Eine Brown'sche Bewegung mit Erwartungswert Null und Varianz Eins wird
Standard Brown'sche Bewegung bezeichnet.
Wir nennen die Brown'sche Bewegung auch den Wiener-Prozess.
6
Die folgende Abbildung 1.1 zeigt die Simulation von zwei Pfaden einer Stan-
dard Brown'schen Bewegung. Wir erkennen in dieser Abbildung die cha-
rakteristische Zitterbewegung des Wiener-Prozesses. In dem Anhang B.0.5
befindet sich das Matlab-Programm zur Simulation einer Brown'schen Be-
wegung.
Abbildung 1.1: Zwei Beispiel-Pfade eines Standard-Wiener-Prozesses.
Nun definieren wir den log-normalen Prozess:
Definition 1.5:
Es sei (
B
t
)
t0
eine Brown'sche Bewegung auf einem filtrierten Wahrschein-
lichkeitsraum (,
F, (F
t
)
t0
,
P). Weiter sei R, > 0 und S
0
> 0. Wir
nennen den Prozess S
t
, der gem¨
aß
S
t
:= S
0
e
t-
1
2
2
t+B
t
definiert ist, den log-normalen Prozess oder geometrische Brown'sche Bewe-
gung mit Drift und Volatilit¨
at .
Da die geometrische Brown'sche Bewegung log-normal verteilt ist, definieren
wir die Dichte f (x, t) des Prozesses (S
t
)
t0
durch die Dichte der logarithmi-
schen Normalverteilung:
f (x, t) :=
1
x
2(
2
t)
exp
-
ln
x
S0
-t+
1
2
2
t
2
2
2
t
, falls
S
t
> 0
0
, falls
S
t
0.
(1.1)
Die Dichte f (S
t
, t) konvergiert also f¨
ur S
t
gegen Null.
7
Die Gleichung (1.1) in der Definition 1.5 l¨
asst sich mit Hilfe der Eigenschaften
der Brown'schen Bewegung zeigen. Den ausf¨
uhrlichen Beweis der Gleichung
(1.1) finden wir in dem Buch [37] von S. Shreve.
Im Weiteren ben¨
otigen wir den folgenden wichtigen Satz. Wir verzichten in
dieser Arbeit auf den Beweis dieses Satzes. Eine ausf¨
uhrliche Vorgehensweise
befindet sich zum Beispiel in dem Buch [34] von G. Schl¨
uchtermann.
Satz 1.6 (It^
o Formel):
Sei (Z
t
)
t0
ein Diffusionsprozess, das heißt der Prozess (Z
t
)
t0
ist von der
Form dZ
t
= X
t
dt + Y
t
d
B
t
. Hierbei sind die Prozesse X
t
und Y
t
progressiv-
messbar und fast sicher quadrat-integrierbar.
Weiter sei g : [0,
) × R R, (t, x) g(t, x) stetig differenzierbar in
der t
-Komponente und zweimal stetig differenzierbar in der x-Komponente.
Dann gilt:
g(T, Z
T
)
- g(0, Z
0
) =
=
T
0
t
g(t, Z
t
)dt +
T
0
x
g(t, Z
t
)dZ
t
+
1
2
T
0
2
x
2
g(t, Z
t
)Y
2
t
dt
und
T
0
x
g(t, Z
t
)dZ
t
=
T
0
x
g(t, Z
t
)X
t
dt +
T
0
x
g(t, Z
t
)Y
t
d
B
t
.
Bemerkung 1.7:
Der Prozess S
t
= S
0
e
(-
1
2
2
)t+B
t
gen¨
ugt der folgenden stochastischen Diffe-
rentialgleichung:
dS
t
= S
t
dt + S
t
d
B
t
.
Diese Aussage l¨
asst sich mit der It^
o Formel aus dem Satz 1.6 zeigen, wenn
wir g(t, x) = ln x setzen.
8
1.2
Annahmen des Finanzmodells
Nachdem wir die mathematische Grundlagen in dem Kapitel 1.1 vorstellten,
befassen wir uns mit den Annahmen zu dem Finanzmodell.
Wir bezeichnen die risikolose Geldanlage (Bond) mit (S
0
t
)
t0
(oder kurz S
0
t
).
In unserer Modellierung betrachten wir eine Aktie S, deren Preisprozess zu
dem Zeitpunkt t
0 mit (S
t
)
t0
(oder kurz S
t
) notiert wird.
Black und Scholes verwenden in ihrem Artikel [3] die folgenden, sehr restrik-
tiven Annahmen:
Der risikolose Zinssatz r 0 ist bekannt und konstant. Also gen¨ugt der
Bond der Differentialgleichung:
dS
0
t
= rS
0
t
dt.
(1.2)
Es werden keine Dividenden ausgezahlt.
Beim Handel mit Aktien werden keine Transaktionskosten erhoben.
Die Aktie kann kontinuierlich (zu stetiger Zeit) gehandelt werden und
ist beliebig teilbar. Es gibt keine Einschr¨
ankungen bei dem Leerverkauf,
das sogenannte 'short selling'.
Es gibt keine Informationsasymmetrie, das heißt alle Marktteilnehmer
k¨
onnen auf die gleiche Information zugreifen.
Die Marktpreise unterliegen einer geometrischen Brown'schen Bewe-
gung mit konstanten Drift und Volatilit¨
at . Also folgt der Aktien-
preisprozess gem¨
aß Definition 1.5 der n¨
achsten Gleichung:
S
t
= S
0
exp
{B
t
+ (
-
1
2
2
)t
}.
(1.3)
Nun besteht der n¨
achste Schritt darin zu zeigen, dass das Black-Scholes-
Modell arbitragefrei ist. Dazu brauchen wir das Novikov-Kriterium und das
Girsanov-Theorem. Die Beweise dieser beiden S¨
atze k¨
onnen in dem Buch [2]
von T. Bj¨
ork nachgelesen werden. Daher werden sie in dieser Arbeit nicht
n¨
aher beschrieben.
9
Theorem 1.8 (Novikov Kriterium):
Seien
2
loc
=
{, progressiv t,
t
0
2
s
ds <
f.s} und
2
loc,d
=
{ = (
1
, ...,
d
) :
i
2
loc
, i = 1, ..., d
} definiert.
Weiter seien
2
loc,d
, Z = (Z
t
)
tR
+
, 0
T und 0 t.
Wir definieren den Prozess Z durch:
Z
t
:= Z
t
() := exp
t
0
tr
s
d
B
s
-
1
2
t
0
|| ||
2
ds .
Dieser Prozess heißt Dol´
eans-Dade Exponential und wird notiert mit:
Z
t
:=
tr
s
d
B
s
t
= (,
B)
t
.
Nehmen wir an, dass gilt:
E exp
1
2
T
0
||
s
||
2
ds
< +
.
(1.4)
Aus der Gleichung (1.4) folgern wir:
E Z
T
= 1.
Theorem 1.9 (Girsanov Theorem):
Sei der Prozess (Z
t
)
tR
+
wie in Theorem 1.8 definiert. Wir nehmen an, dass
gilt
E Z
= 1. Weiter seien
P und Q zwei ¨aquivalente und lokale Martin-
galmaße mit
d
Q
d
P
= Z
. Wir definieren den Prozess ( ~
B
t
)
tR
+
wie folgt:
~
B
t
=
B
t
-
t
0
s
ds.
Dann ist ~
B
t
eine (
F
t
)
tR
+
Brown'sche Bewegung unter
Q.
Nun beweisen wir die Arbitragefreiheit des Black-Scholes-Modells.
10
Satz 1.10:
Das Black-Scholes-Modell ist arbitragefrei.
Beweis:
Wir betrachten die zwei folgenden Gleichungen:
S
0
t
= e
rt
und
S
t
= S
0
e
B
t
+(-
1
2
2
)t
.
Sei ¯
S
t
=
S
t
S
0
t
der diskontierte Preis, dann gilt:
¯
S
t
= S
0
e
B
t
+(-
1
2
2
-r)t
.
Die Dynamik von ¯
S
t
hat also die Form:
d ¯
S
t
=
1
S
0
t
dS
t
+ S
t
d
1
S
0
t
=
=
1
S
0
t
dS
t
+ S
t
-r
S
0
t
dt =
=
S
t
S
0
t
(
- r)dt + dB
t
=
=
¯
S
t
(
- r)dt + dB
t
.
Wir w¨
ahlen eine strikt positive Zufallsvariable Z = e
B
T
-
2
2
T
,
R. Die
Novikov Bedingung, siehe Theorem 1.8, liefert uns also
E[Z] = 1. Das heißt,
es existiert ein wohldefiniertes Wahrscheinlichkeitsmaß
Q mit der Dichte
d
Q
d
P
= Z. Wir definieren die Brown'sche Bewegung ( ~
B
t
)
t[0,T ]
durch:
~
B
t
:=
B
t
- t.
Mit dem Theorem von Girsanov 1.9 auf Seite 10 ist ( ~
B
t
)
t[0,T ]
eine Brown'sche
Bewegung unter
Q.
Die Dynamik von ¯
S
t
unter
Q ist nun gegeben durch:
d ¯
S
t
= ¯
S
t
(
- r + )dt + d ~
B
t
.
Wir setzen :=
-r
und erhalten, dass
Q ein ¨aquivalentes Martingalmaß in
diesem Markt ist. Die Existenz eines solchen Maßes ist Beweis genug um zu
zeigen, dass der Markt arbitragefrei ist.
11
1.3
Aufbau des Modells
1.3.1
Black-Scholes-Gleichung
In diesem Abschnitt wollen wir in dem Black-Scholes-Modell den arbitrage-
freien Preis eines Finanzderivates angeben.
Dieser arbitragefreie Preis soll zur Zeit 0
t T < bestimmt werden.
Also betrachten wir im Folgenden ein Derivat, welches uns zur Zeit T den
Betrag F (S
T
) auszahlt.
Die folgende Herleitung wird unter anderem von G. Schl¨
uchtermann und
S. Pilz in dem Buch [34] beschrieben. Wir ben¨
otigen zun¨
achst die folgenden
Annahmen.
Annahme 1:
Der Markt besteht aus zwei Wertpapieren, deren Dynamiken durch die beiden
folgenden Gleichungen mit eindeutiger L¨
osung beschrieben werden:
dS
0
t
= rS
0
t
dt,
(1.5)
dS
t
=
t
S
t
dt +
t
S
t
d
B
t
.
(1.6)
Dabei bezeichnet S
0
t
den Wert des risikolosen Bonds zur Zeit 0
t T und
(S
t
)
0
tT
den Preisprozess der Aktie.
Die zweite Gleichung aus der Annahme 1 lautet in Integralschreibweise:
S
t
- S
0
=
t
0
u
S
u
du +
t
0
u
S
u
d
B
u
.
In der obigen Formulierung stellen (
t
)
t0
und (
t
)
t0
stochastische Prozesse
dar, das heißt
t
:= (t, S
t
) und
t
:= (t, S
t
).
Die n¨
achste Annahme bezieht sich auf die arbitragefreien Preise des betrach-
teten Derivats.
Annahme 2:
Zu jedem Zeitpunkt 0
t T gibt es einen eindeutigen arbitragefreien Preis
f¨
ur das Derivat, welchen wir mit V
t
bezeichnen.
Die Funktion V
t
h¨
angt von dem Zeitpunkt t und von dem Aktienpreis S
t
ab,
also setzen wir V
t
:= f (t, S
t
). Wir nehmen zus¨
atzlich an, dass die Funktion
f : [0, T [
×[0, [ R
einmal stetig differenzierbar in der ersten Komponente und zweimal stetig
differenzierbar in der zweiten Komponente ist.
12
Wir benutzen die aus der Physik bekannten Notationen:
f (u, x) :=
x
f (u, x),
f (u, x) :=
2
x
2
f (u, x)
und
f (u, x) :=
u
f (u, x).
Nach den Modellannahmen von Black und Scholes aus dem Abschnitt 1.2
k¨
onnen beliebige viele Bond- und Aktienanteile erworben werden. Zum Zeit-
punkt t bezeichen a
t
die Aktienanteile und b
t
die Bondanteile. Das Portfolio,
bestehend aus Aktien- und Bondanteilen, definieren wir mit (a
t
, b
t
). Der Pro-
zess (a
t
, b
t
)
0
tT
heißt Handelsstrategie.
Wir nehmen weiter an:
Annahme 3:
Die Prozesse (a
t
)
0
tT
und (b
t
)
0
tT
auf (,
F, P) sind an die Filtration
(
F
t
)
0
tT
adaptiert.
Diese Annahme ist gerechtfertigt, da unsere Strategie nicht von zuk¨
unftigen
Ereignissen beeinflusst wird. Die n¨
achste Annahme lautet:
Annahme 4:
Der Prozess (a
t
)
0
tT
ist bez¨
uglich (S
t
)
0
tT
schwach quadratisch integrierbar
und der Prozess (b
t
)
0
tT
ist bez¨
uglich (S
0
t
) pfadweise integrierbar.
Die schwach quatratische und die pfadweise Integrierbarkeit sichern die Exi-
stenz der beiden Integrale:
t
s
a
u
dS
u
und
t
s
b
u
dS
0
u
mit 0
s < t T.
Die letzte Annahme lautet:
Annahme 5:
Es existiert eine selbstfinanzierende Strategie (a
t
, b
t
)
0
tT
, welche die Annah-
men 3 und 4 erf¨
ullt. Zus¨
atzlich erzeugt diese Strategie das Derivat, das heißt
zu jedem Zeitpunkt 0
t T gilt:
V
t
= a
t
S
t
+ b
t
S
0
t
.
(1.7)
13
Mit Hilfe der vorherigen f¨
unf Annahmen wollen wir jetzt die arbitragefreien
Preise bestimmen.
Als erstes wenden wir die It^
o Formel aus dem Satz 1.6 auf dV
t
= df (t, S
t
)
an und wir setzen Gleichung (1.6) aus der Annahme 1 ein:
dV
t
= df (t, S
t
) =
=
f (t, S
t
)dt + f (t, S
t
)dS
t
+
1
2
f (t, S
t
)(dS
t
)
2
=
= f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
d
B
t
+ [f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
+
+
f (t, S
t
)]dt +
1
2
f (t, S
t
)(dS
t
)
2
.
Wir benutzen (dS
t
)
2
=
2
(t, S
t
)S
2
t
dt und wir folgern:
dV
t
= f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
d
B
t
+ f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
+
+
f (t, S
t
) +
1
2
f (t, S
t
)
2
(t, S
t
)S
2
t
dt.
(1.8)
Wegen Annahme 5 schreiben wir:
V
t
- V
0
= a
t
S
t
+ b
t
S
0
t
- (a
0
S
0
+ b
0
S
0
0
) =
=
t
0
a
u
dS
u
+
t
0
b
u
dS
0
u
.
Wir k¨
urzen mit der Differentialschreibweise ab und wir setzen die Gleichun-
gen (1.5) und (1.6) aus der Annahme 1 ein:
dV
t
= a
t
dS
t
+ b
t
dS
0
t
=
= a
t
(t, S
t
)S
t
dt + a
t
(t, S
t
)S
t
d
B
t
+ b
t
rS
0
t
dt =
= a
t
(t, S
t
)S
t
d
B
t
+ [a
t
(t, S
t
)S
t
+ rb
t
S
0
t
]dt.
(1.9)
Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen (1.8) und (1.9) gleich. Bei dem Ver-
gleich der d
B
t
-Terme ergibt sich:
f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
= a
t
(t, S
t
)S
t
.
Aus der obigen Gleichung ergibt sich:
f (t, S
t
) = a
t
.
(1.10)
Die Gleichung (1.10) ist die sogennante Hedging Gleichung. Falls f eine be-
kannte Funktion ist, so wird f (t, S
t
) die Anzahl der Aktien angeben, die
gekauft werden m¨
ussen, um ein Portfolio zu erzeugen.
14
Vergleichen wir die dt-Terme der beiden Gleichungen (1.8) und (1.9), so folgt:
f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
+
f (t, S
t
) +
1
2
f (t, S
t
)
2
(t, S
t
)
2
S
2
t
=
= a
t
(t, S
t
)S
t
+ rb
t
S
0
t
. (1.11)
Nun l¨
osen wir die Gleichung (1.7) aus Annahme 5 nach b
t
auf und setzten
dann die Gleichung (1.10) ein:
b
t
=
1
S
0
t
[f (t, S
t
)
- a
t
S
t
] =
1
S
0
t
[f (t, S
t
)
- f (t, S
t
)S
t
].
(1.12)
Dann setzen wir die Darstellungen f¨
ur a
t
und b
t
aus den Gleichungen (1.10)
und (1.12) in die obige Gleichung (1.11) ein und wir erhalten:
f (t, S
t
) +
1
2
f (t, S
t
)
2
(t, S
t
)S
2
t
= rf (t, S
t
)
- rf (t, S
t
)S
t
.
Wir stellen diese Gleichung um und folgern:
1
2
f (t, S
t
)
2
(t, S
t
)S
2
t
+ rf (t, S
t
)S
t
+
f (t, S
t
)
- rf(t, S
t
) = 0.
(1.13)
Unser arbitragefreie Preis ist die L¨
osung der partiellen und deterministischen
Differentialgleichung (1.13) zum Endwert f (T, S
T
) = f (T, S) = F (S).
Die Gleichung (1.13) wird auch die Black-Scholes Gleichung genannt.
15
1.3.2
Black-Scholes-Formel
Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir, dass der arbitragefreie Preis eines
Derivats die L¨
osung der Black-Scholes-Gleichung(1.13) ist. Das Ziel dieses
Abschnittes ist eine L¨
osung der Black-Scholes-Gleichung (kurz: BSG) anzu-
geben. Die folgenden Ausf¨
uhrungen stammen aus dem Buch [34].
Wir nehmen f¨
ur den restlichen Verlauf dieser Herleitung eine konstante Vo-
latilit¨
at an. Wir betrachten erneut die BSG:
1
2
2
S
2
f (t, S) + rSf (t, S) +
f (t, S)
- rf(t, S) = 0,
(1.14)
mit dem Endwert f (T, S) = F (S).
Schritt 1
Schritt 1
Schritt 1: Wir schreiben die Black-Scholes-Gleichung um in die bekannte
W¨
armeleitungsgleichung (kurz: WLG).
Die WLG ist folgendermaßen definiert:
h (, x) = h(, x),
(1.15)
mit dem Anfangswert h(0, x) = h
0
(x).
Als erstes eliminieren wir die nicht konstanten Koeffizienten S
2
und S aus
BSG (1.14) durch eine Variablentransformation. Wir w¨
ahlen zun¨
achst:
x = ln(S),
=
1
2
2
(T
- t) und
g(, x) = f T
-
2
2
, e
x
.
(1.16)
Wir berechnen die Ableitungen von g(, x) unter Ber¨
ucksichtigung von S = e
x
und den Notationen der Ableitungen auf Seite 13. So erhalten wir:
g(, x) =
-
2
2
f (t, S),
g (, x) = f (t, S)S
und
g (, x) = f (t, S)S + f (t, S)S
2
.
Mit Hilfe dieser Ableitungen k¨
onnen wir die Black-Scholes-Gleichung (1.14)
umschreiben zu:
2
2
g (, x)
-
2
2
g (, x) + rg (, x)
-
2
2
g(, x)
- rg(, x) = 0.
Wir multiplizieren die obige Gleichung mit
2
2
und setzen k =
2r
2
ein. Dann
erhalten wir:
g (, x) + (k
- 1)g (, x) - kg(, x) = g(, x).
(1.17)
16
Weiter setzen wir:
g(, x) = e
x+
h(, x).
(1.18)
Wir wollen nun die neue Funktion g(, x) aus der Gleichung (1.18) in die
Gleichung (1.17) einsetzen. Hierzu ben¨
otigen wir die Berechnungen:
g(, x) = e
x+
[h(, x) + h(, x)],
g (, x) = e
x+
[h(, x) + h (, x)]
und
g (, x) = e
x+
[
2
h(, x) + 2h (, x) + h (, x)].
Wir setzen nun diese drei Ableitungen in die Gleichung (1.17) ein und erhal-
ten:
h (, x) + (2 + k
- 1)h (, x) +
2
+ (k
- 1) - k - h(, x) = h(, x).
Jetzt m¨
ussen und so bestimmt werden, dass wir die WLG (1.15) erhalten.
Dies gelingt uns, wenn wir und folgendermaßen w¨
ahlen:
=
-
k
- 1
2
und
=
2
+ (k
- 1) - k =
k
- 1
2
2
-
(k
- 1)
2
2
- k = -
1
4
(k + 1)
2
.
Wir setzen und in die Gleichung (1.18) ein. Also erhalten wir f¨
ur die
Funktion h(, x):
h(, x) = e
1
2
(k-1)x+
1
4
(k+1)
2
g(, x).
So ergibt sich die WLG:
h(, x) - h (, x) = 0,
(1.19)
mit der Anfangsbedingung h
0
(x) = h(0, x) = e
1
2
(k-1)x
g(0, x).
Schritt 2:
Schritt 2:
Schritt 2: Jetzt l¨
osen wir die WLG (1.15). Hierzu benutzen wir die folgenden
drei Hilfss¨
atze:
Hilfssatz 1:
Sei h(t, x) :=
1
2
t
e
-
x2
4t
die Dichte der Normalverteilung
N (0, 2t). Dann ist
h(t, x) die L¨
osung von:
h (t, x) = h(t, x).
Beweis (skizzenhaft):
Die Behauptung l¨
asst sich durch die einfache Berechnung der ben¨
otigten
Ableitungen zeigen.
17
Hilfssatz 2:
Sei h
0
:
R R eine stetige Funktion und c R.
Falls
-
c
2
| h
0
(u)
| ·e
-
(x-u)2
4t
du <
gilt, dann lautet die L¨osung der WLG:
1
2
t
-
h
0
(u)
· e
-
(x-u)2
4t
du.
Beweis (skizzenhaft):
Wir setzen h(t, x) =
1
2
t
-
h
0
(u)
· e
-
(x-u)2
4t
du. Dann berechnen wir die
erste Ableitung nach t und die zweite Ableitung nach x. Wir sehen, dass
diese gleich sind.
Hilfssatz 3:
Sei h
0
:
R R eine stetige Funktion mit
1
2
t
-
| h
0
(u)
| ·e
-
(x-u)2
4t
du <
f¨
ur alle t > 0. So gilt f¨
ur alle x
R:
lim
t0
1
2
t
-
h
0
(u)
· e
-
(x-u)2
4t
du = h
0
(x).
Beweis:
Den ausf¨
uhrlichen Beweis k¨
onnen wir in dem Buch [34] von G. Schl¨
uchtermann
nachvollziehen.
Zusammenfassend l¨
asst sich der n¨
achste Satz mit den drei letzten Hilfs¨
atzen
beweisen.
Satz 1.11:
Die L¨
osung der W¨
armeleitungsgleichung h (t, x) = h(t, x) mit Anfangswert-
bedingung h(0, x) = h
0
(x) ist:
h(t, x) =
1
2
t
-
h
0
(u)e
-
(x-u)2
4t
du.
Zus¨
atzlich muss die n¨
achste Integrabilit¨
atsbedingung erf¨
ullt sein:
1
2
t
-
| h
0
(u)
| u
2
e
-
(x-u)2
4t
du <
f¨ur alle t < .
18
Schritt 3:
Schritt 3:
Schritt 3: Das Ziel ist, die BSG zu l¨
osen, also den arbitragefreien Preis des
Derivats V
t
= f (t, S
t
) zu bestimmen. In dem ersten Schritt transformier-
ten wir durch eine geeignete Substitution, die Black-Scholes Gleichung in
die W¨
armeleitungsgleichung. Jetzt machen wir die Substitution unter der
Ber¨
ucksichtigung der L¨
osung der WLG r¨
uckg¨
angig.
Wir beginnen also mit der Parametrisierung (1.16) und es ergibt sich mit
Hilfe der Substitution (1.18):
f (t, S) = g
1
2
2
(T
- t), ln S =
= e
ln S
e
1
2
2
(T -t)
h
1
2
2
(T
- t), ln S .
Nun setzen wir die L¨
osung der WLG aus dem Satz 1.11 in obige Gleichung
ein. Benutzt wird unsere Wahl von h
0
(
·) und f(·, ·) aus dem Schritt 1:
h
0
() = h(0, ) = e
-
1
2
(k-1)
g(0, ) = e
-
1
2
(k-1)
f (T, e
) = e
-
1
2
(k-1)
F (e
).
Folglich ergibt sich:
f (t, S) =
e
ln S
e
1
2
2
(T -t)
2
2
(T
- t)
-
h
0
()e
-
(-ln S)2
22(T -t)
d =
=
e
ln S
e
1
2
2
(T -t)
2
2
(T
- t)
-
e
-
F (e
)e
-
(-ln S)2
22(T -t)
d.
Wir substituieren mit =
- ln S und erg¨anzen quadratisch, so dass folgt:
f (t, S) =
e
1
2
2
(T -t)
2
2
(T
- t)
-
e
-
F (Se
)e
-
2
22(T -t)
d =
=
e
1
2
2
(T -t)
2
2
(T
- t)
-
F (Se
)e
-
+2(T -t)
2
-24(T -t)2
22(T -t)
d =
=
e
1
2
2
(T -t)(+
2
)
2
2
(T
- t)
-
F (Se
)e
-
+2(T -t)
2
22(T -t)
d.
(1.20)
Nach der Wahl der Parameter , und k =
2r
2
k¨
onnen wir berechnen:
+
2
=
-
1
4
(k + 1)
2
+
-
k
- 1
2
2
=
-k = -
2r
2
.
Wir w¨
ahlen nun = z + r
-
2
2
(T
- t). Jetzt setzen wir dies und die obige
Berechnung in die Gleichung (1.20) ein. Es folgt f¨
ur alle t
[0, T ]:
V
t
= f (t, S
t
) =
=
e
-r(T -t)
2
2
(T
- t)
-
F (S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)
e
z
)e
-
z2
22(T -t)
dz. (1.21)
19
Wir bemerken, dass
1
2
2
(T -t)
e
-
z2
22(T -t)
die Dichte von
N (0,
2
(T
- t)) ist.
Mit der Definition 1.4 der Brown'schen Bewegung und den Eigenschaften der
Normalverteilung gilt:
(
B
T
- B
t
)
N (0,
2
(T
- t)).
Hiermit d¨
urfen wir die Gleichung (1.21) wie folgt schreiben:
V
t
= e
-r(T -t)
E F (S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)+(B
T
-B
t
)
) .
(1.22)
Schritt 4:
Schritt 4:
Schritt 4: Hier leiten wir die Black-Scholes Formel her. Sei Y eine standard-
normalverteilte Zufallsvariable, so gilt:
Y
T
- t N (0,
2
(T
- t)).
Dann d¨
urfen wir die Gleichung (1.22) auch wie folgt schreiben:
V
t
= e
-r(T -t)
E F (S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)+Y
T -t
) .
Mit Hilfe der Auszahlungsfunktion einer europ¨
aischen Call-Option
F (S) = (S
- K)
+
folgern wir:
V
t
= e
-r(T -t)
1
2
-
max S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)+z
T -t
-K, 0 e
-
z2
2
dz. (1.23)
Wir schreiben das Maximum in dem Integral aus der Gleichung (1.23) um.
Dazu ben¨
otigen wir die Berechnung:
S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)
e
T -tz
- K > 0
r(T - t) -
2
2
(T
- t) +
T
- tz > ln(
K
S
t
)
z >
ln(
K
S
t
)
- (r -
2
2
)(T
- t)
T
- t
z > -
ln(
S
t
K
) + (r
-
2
2
)(T
- t)
T
- t
=:
-d
2
.
Wir benutzen nun die Wahl von (
-d
2
) und die Gleichung (1.23) wird zu:
V
t
= e
-r(T -t)
-d
2
S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)
e
T -tz
- K
1
2
e
-
z2
2
dz =
= e
-r(T -t)
-d
2
S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)
e
T -tz
1
2
e
-
z2
2
dz
(
)
-
- e
-r(T -t)
-d
2
K
1
2
e
-
z2
2
dz
(
)
.
(1.24)
20
Wir bestimmen den ersten Term (
) der Gleichung (1.24):
(
) = S
t
e
-r(T -t)
e
r(T -t)
-d
2
e
-
2
2
(T -t)+
T -tz-
z2
2
1
2
dz =
= S
t
-d
2
1
2
e
-
1
2
(z-
T -t)
2
dz.
(1.25)
Wir w¨
ahlen z := d
2
, ~
z :=
-d
2
-
T
- t := -d
1
. Mit (
·) bezeichnen wir die
kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Dann setzen
wir diese Wahl in die Gleichung (1.25) ein. So ergibt sich:
(
) = S
t
-d
1
1
2
e
-
~
z2
2
d~
z =
= S
t
-
1
2
e
-
~
z2
2
d~
z
-
-d
1
-
1
2
e
-
~
z2
2
d~
z =
= S
t
(1
- (-d
1
)) =
= S
t
(d
1
).
Nun berechnen wir den zweiten Term (
) in der Gleichung (1.24):
(
) = e
-r(T -t)
-d2
K
1
2
e
-
z2
2
=
= e
-r(T -t)
K(1
- (-d
2
)) =
= e
-r(T -t)
K(d
2
).
Wir setzen die Ergebnisse von (
) und () in die Gleichung (1.24) ein und
wir erhalten:
V
t
= S
t
(d
1
)
- e
-r(T -t)
K(d
2
).
Es wurde der folgende Satz bewiesen:
Satz 1.12 (Black-Scholes-Formel f¨
ur Call-Optionen):
Der Wert einer europ¨
aischen Call-Option mit dem F¨
alligkeitsdatum T und
dem Strike-Preis K l¨
asst sich folgendermaßen bestimmen:
C(K, t, S
t
, T ) = S
t
(d
1
)
- Ke
-r(T -t)
(d
2
).
(1.26)
Hierbei bezeichnet die Funktion (
·) die Verteilungsfunktion der Standard-
normalverteilung:
(x) =
1
2
x
-
e
-
s2
2
ds.
(1.27)
Die Parameter d
1
und d
2
sind folgendermaßen gew¨
ahlt:
d
1,2
:=
ln(
S
t
K
) + (r
±
2
2
)(T
- t)
T
- t
.
(1.28)
21
Satz 1.13 (Black-Scholes-Formel f¨
ur Put-Optionen):
F¨
ur europ¨
aische Put-Optionen mit dem Aus¨
ubungsdatum T und dem Aus¨
ubungspreis
K l¨
asst sich ihr Wert wie folgt errechnen:
P (K, t, S, T ) = Ke
-r(T -t)
(
-d
2
)
- S(-d
1
).
(1.29)
Die Funktion (
·) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
aus der Gleichung (1.27). Die beiden Parameter d
1
, d
2
sind wie in der Glei-
chung (1.28) gew¨
ahlt.
Beweis:
Wir benutzen die Call-Put-Parit¨
at:
S + P (K, t, S, T )
- C(K, t, S, T ) = Ke
-r(T -t)
.
Auf Grund der Symmetrie der Normalverteilung gilt:
P (K, t, S, T ) = C(K, t, S, T )
- S + Ke
-r(T -t)
=
= S((d
1
)
- 1) - Ke
-r(T -t)
((d
2
)
- 1)) =
= Ke
-r(T -t)
(
-d
2
)
- S(-d
1
).
Abbildung 1.2: Der Black-Scholes Preis einer europ¨
aischen Call-Option mit
K = 100, = 0.3 und r = 0.05.
Die Abbildung 1.2 zeigt, wie der Preis einer europ¨
aischen Call-Option in
Abh¨
angigkeit von Restlaufzeit und Aktienpreis variiert. Die Black-Scholes-
Formel liefert uns nach der Abbildung 1.2 h¨
ohere Optionspreise, falls Akti-
enpreis und Restlaufzeit ansteigen.
22
Kapitel 2
Klassische Bestimmung der
Volatilit¨
at
Motivation
In dem vorigen Kapitel 1 befassten wir uns mit dem Black-Scholes Modell.
In dieser Modellierung k¨
onnen wir Preise von europ¨
aischen Optionen mit der
Black-Scholes Formel aus dem Satz 1.12 bestimmen. Bei dieser Optionspreis-
berechnung ist lediglich die Volatilit¨
at unbekannt, falls wir den konstanten
Zinssatz r kennen.
Um diese Optionspreise genauer bestimmen zu k¨
onnen, ist eine Berechnung
der Volatilit¨
at erforderlich.
Es existieren einige klassische Ans¨
atze um die Volatilit¨
at zu berechnen.
In diesem Kapitel analysieren wir diese Methoden der Volatilit¨
atsfindung.
2.1
Historische Volatilit¨
at
Die historische Volatilit¨
at wird aus den vergangenen Kurs¨
anderungen der be-
trachteten Aktie berechnet. Im Allgemeinen beschreibt die historische Vola-
tilit¨
at
hist
die annualisierte Standardabweichung der logarithmischen Kurs-
¨
anderungen des Wertpapiers. Zuerst betrachten wir diese logarithmischen
Kurs¨
anderungen n¨
aher. Unser Vorgehen wird unter anderem von T. Bj¨
ork in
dem Buch [2] dargestellt.
23
2.1.1
Logarithmische Kursschwankungen
Es sei das Zeitintervall I = [0, t] gegeben, wobei t <
der gegenw¨artige
Zeitpunkt ist. Wir beobachten die vergangenen Kursst¨
ande der Aktie S
t
an
n+1 diskreten und ¨
aquidistanten Zeitpunkten. Die Aktienpreise werden wie
in dem Kapitel 1.3 nach Black-Scholes modelliert. Wir erhalten somit eine
diskrete Zerlegung des Zeitintervalls f¨
ur n
N \ {0}:
0 = t
0
t
1
· · · t
n
= t
mit
= t
i
- t
i-1
=
t
n
,
i = 1, . . . , n.
Als Erstes definieren wir die logarithmischen Kurs¨
anderungen wie folgt:
Y
i
= ln
S
t
i
S
t
i-1
= ln S
t
i
- ln S
t
i-1
,
i = 1, . . . , n
- 1.
(2.1)
Diese logarithmischen Kurs¨
anderungen werden auch Log
- Returns genannt
und deren Werte sind nur bis zum aktuellen Zeitpunkt t > 0 beobachtbar. Der
Aktienpreis (S(t
i
))
i=0,...,n
ist ein Diffusionsprozess und dessen Dynamik wird
durch die Gleichung (1.6) beschrieben. F¨
ur sp¨
atere Definitionen ben¨
otigen
wir die Dynamik der Log-Returns. Nun betrachten wir diese n¨
aher und ver-
wenden die n¨
achsten Ableitungen:
m(x) = ln(x),
m (x) =
x
m(x) =
1
x
und
m (x) =
2
x
2
m(x) =
-
1
x
2
.
Es folgt f¨
ur den ersten Term der Gleichung (2.1) mit der It^
o-Formel aus dem
Satz 1.6 und den Ableitungen von oben:
d ln S
t
i
=
1
S
t
i
dS
t
i
+
1
2
-
1
S
2
t
i
S
2
t
i
2
t
i
dt
i
.
(2.2)
Weiter folgt aus der Gleichung (2.2) mit der Modellgleichung (1.6):
d ln(S
t
i
) =
1
S
t
i
dS
t
i
-
1
2
2
t
i
dt
i
=
=
1
S
t
i
t
i
S
t
i
dt
i
+
1
S
t
i
t
i
S
t
i
d
B
t
i
-
1
2
2
t
i
dt
i
=
=
t
i
-
1
2
2
t
i
dt
i
+
t
i
d
B
t
i
.
(2.3)
24
Die Gleichung (2.3) lautet in Integralschreibweise:
ln(S
t
i
) = ln(S
0
) +
t
i
0
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i
0
s
d
B
s
.
(2.4)
Benutzen wir dieselbe Vorgehensweise f¨
ur ln(S
t
i-1
), so ergibt sich:
ln(S
t
i-1
) = ln(S
0
) +
t
i-1
0
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i-1
0
s
d
B
s
.
(2.5)
Wir setzen die beiden Gleichungen (2.4) und (2.5) in die Gleichung (2.1) der
Log-Returns ein. Es ergibt sich:
Y
i
= ln
S
t
i
S
t
i-1
=
t
i
0
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i
0
s
d
B
s
-
-
t
i-1
0
s
-
1
2
2
s
ds
-
t
i-1
0
s
d
B
s
.
Es gilt t
i
> t
i-1
, also d¨
urfen wir f¨
ur die Log-Returns schreiben:
Y
i
=
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i
t
i-1
s
d
B
s
.
(2.6)
25
2.1.2
Definition der historischen Volatilit¨
at
In diesem Abschnitt geben wir die Definition der historischen Volatilit¨
at an.
Wir modellieren die Aktienpreise durch eine geometrische Brown'sche Be-
wegung. Das bedeutet mit der Definition eines Wiener-Prozesses, dass die
logarithmischen Returns unabh¨
angig normal verteilt sind.
Zuerst beweisen wir skizzenhaft den folgenden Satz.
Satz 2.1:
Der Prozess (g
t
)
t>0
sei an die von der Brown'schen Bewegung erzeugte Fil-
tration
F
B
t
adaptiert und es gelte
t
0
E[g
2
]ds <
.
Zus¨
atzlich sei der Prozess (X
t
)
t>0
definiert durch:
X
t
=
t
0
g
d
B
.
Dann ist der Prozess (X
t
)
t>0
ein Martingal bez¨
uglich
F
B
t
.
Beweis:
Wir w¨
ahlen s > 0 fest und t > s. Nun gilt:
E[X
t
|F
B
s
] =
E
t
0
g
d
B
F
B
s
=
=
E
s
0
g
d
B
F
B
s
+
E
t
s
g
d
B
F
B
s
.
Das Integral in der ersten bedingten Erwartung ist nach der Definition des
stochastischen Integrals
F
B
t
-messbar und so ergibt sich:
E
s
0
g
d
B
F
B
s
=
s
0
g
d
B
.
Ebenfalls gilt nach der Proposition 4.4 in dem Buch [2] von T. Bj¨
ork:
E
t
s
g
d
B
F
B
s
= 0.
Zusammenfassend erhalten wir die Martingaleigenschaft:
E[X
t
|F
B
s
] =
s
0
g
d
B
= X
s
.
26
F¨
ur den Erwartungswert der Log-Returns d¨
urfen wir mit Hilfe der Gleichung
(2.6) und dem Satz 2.1 schreiben:
E[Y
i
] =
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds.
Um die Varianz der logarithmischen Schwankungen zu berechnen, ben¨
otigen
wir die n¨
achste Folgerung aus der Gleichung (2.6):
(Y
i
)
2
=
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i
t
i-1
s
d
B
s
2
=
=
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds
2
+
t
i
t
i-1
s
d
B
s
2
+
+2
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds
t
i
t
i-1
s
d
B
s
.
(2.7)
Wir erhalten mit der Gleichung (2.7) und der It^
o-Isometrie:
V ar[Y
i
] =
E[Y
i
]
2
- E[Y
2
i
] =
E
t
i
t
i-1
s
d
B
s
2
=
=
t
i
t
i-1
2
s
ds.
In diesem Abschnitt beziehen wir uns auf einem diskreten Zeithorizont, das
heißt wir erhalten f¨
ur den Erwartungswert und die Varianz der Log-Returns:
E[Y
i
] =
t
i-1
-
1
2
2
t
i-1
(t
i
- t
i-1
)
und
V ar[Y
i
] =
2
t
i-1
(t
i
- t
i-1
).
Die historische Volatilit¨
at
hist
l¨
asst sich mit der Statistischen Theorie nun
definieren.
Definition 2.2:
Die historische Volatilit¨
at
hist
ist wie folgt definiert:
hist
=
1
(t
i
- t
i-1
)
1
n
- 1
n
i=1
(Y
i
- Y )
2
1
2
(2.8)
mit
Y =
1
n
n
i=1
Y
i
.
27
2.2
Implizite Volatilit¨
at
Eine andere M¨
oglichkeit die Volatilit¨
at zu bestimmen ist der Ansatz der
impliziten Volatilit¨
at.
Allgemein wird die implizite Volatilit¨
at mit Hilfe der Black-Scholes Formel
zur Optionspreisbestimmung berechnet. Diese Volatilit¨
atsfindung wird als
das inverse Problem der Finanzmathematik bezeichnet.
In dem n¨
achsten Abschnitt beschreiben wir das Vorgehen aus dem Buch [23]
von M.G¨
unter und J. Ansgar.
2.2.1
Inverses Problem der Finanzmathematik
In dem Kapitel 1.3.2 leiteten wir die Black-Scholes-Formel (1.26) f¨
ur konstan-
te Volatilit¨
at bereits her. Nun seien die Parameter S
t
, K, T und r aus dieser
Formel gegeben. Zus¨
atzlich nehmen wir an, dass uns die Preise der auf dem
Markt gehandelten Call-Optionen zu dem Zeitpunkt t < T bekannt sind.
Wir betrachten in der Regel einen Mittelwert ¨
uber alle Call-Optionspreise
mit dem gleichen Strike K und der gleichen Restlaufzeit = T
- t auf dem
selben Basiswert. Diesen Mittelwert bezeichnen wir mit C
obs
(K, t, S
t
, T ).
Die implizite Volatilit¨
at k¨
onnen wir aus der Optionspreisformel (1.26) be-
rechnen, da alle Parameter und der Optionspreis als bekannt vorausgesetzt
werden.
Jetzt zeigen wir die Eindeutigkeit dieses Ergebnisses.
Aus dem Satz 1.12 auf der Seite 21 wissen wir, dass die Parameter d
1
, d
2
aus
der Gleichung (1.28) von der Volatilit¨
at abh¨
angen. Also schreiben wir:
d
1
= d
1
(),
d
2
= d
2
()
und
C() = C(K, t, S
t
, T ) = S
t
(d
1
())
- Ke
-r(T -t)
(d
2
()).
Folglich ist die implizite Volatilit¨
at (K, ) die L¨
osung der Gleichung:
C((K, )) = C
obs
(K, t, S
t
, T ).
(2.9)
Bemerkung 2.3:
Wir notieren die implizite Volatilit¨
at mit (K, ), da wir diese als Abbildung
betrachten:
(K, ) :
R
+
× [0, T ] R
+
.
Diese Notation ist sinnvoll, weil f¨
ur verschiedene Werte von dem Strike K und
der Restlaufzeit die zugeh¨
origen impliziten Volatilit¨
aten auf dem gleichen
Basiswert variieren.
28
Es l¨
asst sich zeigen, dass die Gleichung (2.9) eine eindeutige L¨
osung besitzt
und zwar genau dann, wenn die folgenden Arbitrage-Schranken erf¨
ullt sind:
S
t
- Ke
-r(T -t) +
C
obs
(K, t, S
t
, T )
S
t
.
Die Arbitrage-Schranken garantieren f¨
ur die Funktion C()
-C
obs
(K, t, S
t
, T )
nicht negative Werte, falls
. Andererseits erhalten wir aus diesen
Schranken nicht positive Funktionswerte, falls
0.
Wir betrachten nun den Sensitivit¨
atsfaktor Vega
V, dessen Herleitung sich
in dem Anhang A.0.1 befindet:
V =
C() = S
t
T
- t (d
1
).
(2.10)
Wir erkennen, dass die Optionskennzahl
V strikt positiv ist. Daraus folgt,
dass die Abbildung
C() - C
obs
(K, t, S
t
, T ) monoton wachsend und ste-
tig ist. Also besitzt diese Funktion eine eindeutige Nullstelle. Diese Nullstelle
ist die eindeutige L¨
osung des Problems (2.9), n¨
amlich die implizite Volatilit¨
at
(K, ).
Die numerische L¨
osung des Problems (2.9) l¨
asst sich gut mit dem Newton-
Verfahren berechnen.
Die Nullstelle (K, ) der Funktion f () := C()
- C
obs
(K, t, S
t
, T ) appro-
ximieren wir also mit der Iteration:
k+1
=
k
-
f (
k
)
f (
k
)
.
Mit unseren Notationen ergibt sich:
k+1
=
k
-
C(
k
)
- C
obs
(K, t, S
t
, T )
C (
k
)
=
k
-
C(
k
)
- C
obs
(K, t, S
t
, T )
V(
k
)
.
Bemerkung 2.4:
Das Newton-Verfahren ist f¨
ur diese Problemstellung gut geeignet, da dieses
Verfahren eine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit besitzt.
29

Details

Seiten
Erscheinungsform
Originalausgabe
Jahr
2011
ISBN (eBook)
9783842829794
DOI
10.3239/9783842829794
Dateigröße
3 MB
Sprache
Deutsch
Institution / Hochschule
Ludwig-Maximilians-Universität München – Mathematik, Informatik und Statistik, Mathematisches Institut
Erscheinungsdatum
2012 (März)
Note
1,3
Schlagworte
volatilität familie dupiresche formel matlab programme dynamische modelle

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Titel: Dynamische Modelle mit Hilfe der lokalen Volatilität
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