Volatilitätsderivate
Bewertung, Hedging und Anwendung
©2010
Diplomarbeit
82 Seiten
Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Einleitung:
Die Volatilität (lat. volare = fliegen, flattern) als Maß für die Schwankungsintensität der Renditen eines Vermögenswertes, sieht sich spätestens seit dem Erscheinen der Arbeit von Black & Scholes zur Bewertung von Optionen auf Aktien aus dem Jahr 1973 und der zeitgleichen Einführung von Optionen auf Aktien an der Chicago Board of Options Exchange (CBOE), einem wachsenden Interesse gegenüber. Der Handel von derivativen Finanzprodukten, bei denen die Volatilität als wertbestimmender Parameter in die Bewertungsmodelle einfließt, ist in den letzten drei Jahrzehnten rasant angestiegen. Neben der Aussagekraft als Risikomaß und der großen Bedeutung für derivative Produkte wurde die Volatilität in den letzten Jahren aber auch zunehmend als eigenständige Anlageklasse entdeckt. Dies liegt vor allem darin begründet, dass in Zeiten der zunehmenden Globalisierung die Korrelation zwischen den verschiedenen Aktienmärkten zugenommen hat. Portfolios, die in ihrer grundsätzlichen Zusammenstellung vor einigen Jahren noch als ausreichend diversifiziert angesehen wurden, weisen nun ein erhöhtes Risiko auf. Volatilität zeichnet sich durch eine negative Korrelation zu Aktienrenditen aus. Auch aus diesem Grund wird seit geraumer Zeit versucht, Volatilität handelbar zu machen, um so bestehende Portfolios zu diversifizieren. Vor Einführung von Volatilitätsderivaten, d.h. Derivaten, deren Underlying Volatilitäten darstellen, erforderte ein Handel von Volatilität immer auch ein dynamisches Management. Eine Methode, um von einem volatilen Markt zu profitieren, besteht im Handel von Straddles. Ein Straddle ist ein Portfolio, bestehend aus einer am Geld liegenden Call- und einer einer am Geld liegenden Put-Option auf das gleiche Basisinstrument und mit identischen Restlaufzeiten. Der Käufer eines solchen Straddles profitiert immer dann, wenn der Kurs des Basisinstruments eine ausreichend große Bewegung in beliebiger Richtung erfährt. Zudem steigt der Wert des Straddles, wenn die implizite Volatilität der Optionen ansteigt. Letztendlich ist aber die Wertentwicklung des Straddles direkt an die Wertentwicklung des Kurses des Basisinstruments geknüpft. Das Optionspaar beinhaltet somit eine Delta-Sensitivität, die im Zeitablauf nur näherungsweise durch ein dynamisches Management eliminiert werden kann. Neben dem Handel mit Straddles werden vor allem auch dynamisch deltaneutral gestellte Optionen genutzt, um Volatilitätsmeinungen umzusetzen. Aber auch hier […]
Die Volatilität (lat. volare = fliegen, flattern) als Maß für die Schwankungsintensität der Renditen eines Vermögenswertes, sieht sich spätestens seit dem Erscheinen der Arbeit von Black & Scholes zur Bewertung von Optionen auf Aktien aus dem Jahr 1973 und der zeitgleichen Einführung von Optionen auf Aktien an der Chicago Board of Options Exchange (CBOE), einem wachsenden Interesse gegenüber. Der Handel von derivativen Finanzprodukten, bei denen die Volatilität als wertbestimmender Parameter in die Bewertungsmodelle einfließt, ist in den letzten drei Jahrzehnten rasant angestiegen. Neben der Aussagekraft als Risikomaß und der großen Bedeutung für derivative Produkte wurde die Volatilität in den letzten Jahren aber auch zunehmend als eigenständige Anlageklasse entdeckt. Dies liegt vor allem darin begründet, dass in Zeiten der zunehmenden Globalisierung die Korrelation zwischen den verschiedenen Aktienmärkten zugenommen hat. Portfolios, die in ihrer grundsätzlichen Zusammenstellung vor einigen Jahren noch als ausreichend diversifiziert angesehen wurden, weisen nun ein erhöhtes Risiko auf. Volatilität zeichnet sich durch eine negative Korrelation zu Aktienrenditen aus. Auch aus diesem Grund wird seit geraumer Zeit versucht, Volatilität handelbar zu machen, um so bestehende Portfolios zu diversifizieren. Vor Einführung von Volatilitätsderivaten, d.h. Derivaten, deren Underlying Volatilitäten darstellen, erforderte ein Handel von Volatilität immer auch ein dynamisches Management. Eine Methode, um von einem volatilen Markt zu profitieren, besteht im Handel von Straddles. Ein Straddle ist ein Portfolio, bestehend aus einer am Geld liegenden Call- und einer einer am Geld liegenden Put-Option auf das gleiche Basisinstrument und mit identischen Restlaufzeiten. Der Käufer eines solchen Straddles profitiert immer dann, wenn der Kurs des Basisinstruments eine ausreichend große Bewegung in beliebiger Richtung erfährt. Zudem steigt der Wert des Straddles, wenn die implizite Volatilität der Optionen ansteigt. Letztendlich ist aber die Wertentwicklung des Straddles direkt an die Wertentwicklung des Kurses des Basisinstruments geknüpft. Das Optionspaar beinhaltet somit eine Delta-Sensitivität, die im Zeitablauf nur näherungsweise durch ein dynamisches Management eliminiert werden kann. Neben dem Handel mit Straddles werden vor allem auch dynamisch deltaneutral gestellte Optionen genutzt, um Volatilitätsmeinungen umzusetzen. Aber auch hier […]
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Tobias Torbrügge
Volatilitätsderivate
Bewertung, Hedging und Anwendung
ISBN: 978-3-8428-2022-7
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2011
Zugl. Universität Osnabrück, Osnabrück, Deutschland, Diplomarbeit, 2010
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http://www.diplomica.de, Hamburg 2011
I
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis... III
Tabellenverzeichnis... IV
Abkürzungsverzeichnis... V
1
Einleitung... 1
2 Grundlagen...
4
2.1
Volatilität: Allgemeine Definition... 4
2.2
Volatilitätsbegriffe...
6
2.3
Volatility-Smile und Volatility-Term-Structure... 8
3
Varianz- und Volatilitäts-Swap... 13
3.1 Auszahlungsfunktionen...13
3.2
Log-Kontrakt...14
3.3
Arbitragefreie Bewertung der Varianz-Swap-Rate... 18
3.4
Varianz-Vega des Optionsportfolios...23
3.5 Mark-to-Market-Bewertung...
27
3.6
Anwendungsmöglichkeiten des Varianz-Swaps... 28
4 Volatilitätsindizes...
33
4.1
Bewertungsformel des VDAX-new und deren Rückführung
auf
den
Varianz-Swap...
34
4.2
Forward-Volatilitätskurve des VDAX-new... 38
4.3
Bewertungsbeispiel
des
VDAX-new...
39
4.4
Eigenschaften der Volatilitätsindizes... 43
4.5
Portfoliodiversifikation durch fiktive Zertifikate auf den VDAX... 45
5
Forward auf die implizite Volatilität... 49
5.1
Auszahlungsfunktion und Bestimmung des Ausübungspreises... 49
5.2
Hedging des Vega-Risikos von Optionen... 52
5.2.1 Ausgangssituation und allgemeine Vorgehensweise... 53
5.2.2
Absicherung
durch
Handel von zusätzlichen Optionen... 54
5.2.3 Absicherung durch Handel von Forwards auf die
implizite
Volatilität...
55
5.3
Open-End-Volatilitätskurven-Produkt auf den VDAX-new... 59
II
5.3.1 Bewertung des Open-End-Volatilitätskurven-Produkts
auf
den
VDAX-new...
60
5.3.1
Performance
des
Open-End-Volatilitätskurven-Produkts
auf
den
VDAX-new...
63
6 Schlussbemerkung...
65
Anhang A: Daten zur Bewertung des VDAX-new... 68
Literaturverzeichnis/Quellenverzeichnis... VI
III
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Volatility-Smile und Volatility-Skew... .9
Abbildung 2: Empirische Dichtefunktion der Microsoft-Tagesrenditen im Vergleich
zur Normalverteilung... 10
Abbildung 3: Implizite Volatilität in Abhängigkeit der Restlaufzeit der Option
(Volatility-Term-Structure)...12
Abbildung 4: Varianz-Vega einzelner Optionen und Varianz-Vega von unterschiedlich
gewichteten Optionsportfolios... 25
Abbildung 5: Streudiagramm der log-Renditen des DAX-Varianz-Swaps in Abhängigkeit
von den log-Renditen des DAX innerhalb des Beobachtungszeitraumes von
1995 bis 2004... 31
Abbildung 6: Forward-Volatilitätskurve des VDAX-new... 39
Abbildung 7: Kursverlauf des DAX, VDAX und des VDAX-new im Zeitraum von
Januar 1992 bis April 2010... 44
Abbildung 8: Performance des Open-End-Volatilitätskurven-Produkts und des VDAX-new
im direkten Vergleich... 63
IV
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1:
Abgrenzung der Volatilitätsbegriffe...8
Tabelle 2:
Charakteristika von DAX/VDAX-Portfolios aufgrund einer aktiven
Handelsstrategie im Zeitraum von 1992 bis 2004... 47
Tabelle 3:
Selektion der Optionen, die in die Berechnung
des
Subindex
einfließen...
68
Tabelle 4:
Bestimmung der gewichteten Optionspreise... 69
V
Abkürzungsverzeichnis
ATMF
at the money forward
CBOE
Chicago Board of Options Exchange
Bd.
Band
bspw.
beispielsweise
bzw.
beziehungsweise
DAX
Deutscher
Aktien
Index
EONIA
Euro OverNight Index Average (Zinssatz)
et
al.
und
andere
EUREX
European Exchange
EURIBOR
European InterBank Offered Rate (Zinssatz)
EuroStoxx50
Aktienindex, der 50 große Unternehmen der Eurozone beinhaltet
EWU
Europäische
Währungsunion
GE
Geldeinheiten
i.d.R.
in
der
Regel
Is.
Issue
OTM
out
the
money
o.V.
ohne
Verfasser
s.
siehe
S.
Seite
S&P
Standard
and
Poor´s
(amerikanischer Aktienindex)
USA
United States of America
usw.
und
so
weiter
VDAX
DAX-Volatilitätsindex
(alt)
VDAX-new
DAX-Volatilitätsindex
(neu)
vgl.
vergleiche
VIX
Volatilitätsindex des Standard & Poor´s Aktienindex
Vol.
Volume
VOLAX
Future auf die implizite Volatilität einer synthetischen, am Geld
liegenden DAX-Option
1
1 Einleitung
Die Volatilität (lat. ,,volare" = fliegen, flattern) als Maß für die Schwankungsintensität der
Renditen eines Vermögenswertes, sieht sich spätestens seit dem Erscheinen der Arbeit von
Black & Scholes zur Bewertung von Optionen auf Aktien aus dem Jahr 1973 und der
zeitgleichen Einführung von Optionen auf Aktien an der Chicago Board of Options Exchange
(CBOE), einem wachsenden Interesse gegenüber.
1
Der Handel von derivativen
Finanzprodukten, bei denen die Volatilität als wertbestimmender Parameter in die
Bewertungsmodelle einfließt, ist in den letzten drei Jahrzehnten rasant angestiegen.
2
Neben
der Aussagekraft als Risikomaß und der großen Bedeutung für derivative Produkte wurde die
Volatilität in den letzten Jahren aber auch zunehmend als eigenständige Anlageklasse
entdeckt.
3
Dies liegt vor allem darin begründet, dass in Zeiten der zunehmenden
Globalisierung die Korrelation zwischen den verschiedenen Aktienmärkten zugenommen hat.
Portfolios, die in ihrer grundsätzlichen Zusammenstellung vor einigen Jahren noch als
ausreichend diversifiziert angesehen wurden, weisen nun ein erhöhtes Risiko auf.
4
Volatilität
zeichnet sich durch eine negative Korrelation zu Aktienrenditen aus. Auch aus diesem Grund
wird seit geraumer Zeit versucht, Volatilität handelbar zu machen, um so bestehende
Portfolios zu diversifizieren. Vor Einführung von Volatilitätsderivaten, d.h. Derivaten, deren
Underlying Volatilitäten darstellen, erforderte ein Handel von Volatilität immer auch ein
dynamisches Management. Eine Methode, um von einem volatilen Markt zu profitieren,
besteht im Handel von Straddles. Ein Straddle ist ein Portfolio, bestehend aus einer am Geld
liegenden Call- und einer einer am Geld liegenden Put-Option auf das gleiche
Basisinstrument und mit identischen Restlaufzeiten. Der Käufer eines solchen Straddles
profitiert immer dann, wenn der Kurs des Basisinstruments eine ausreichend große Bewegung
in beliebiger Richtung erfährt.
5
Zudem steigt der Wert des Straddles, wenn die implizite
Volatilität der Optionen ansteigt.
6
Letztendlich ist aber die Wertentwicklung des Straddles
direkt an die Wertentwicklung des Kurses des Basisinstruments geknüpft. Das Optionspaar
beinhaltet somit eine Delta-Sensitivität, die im Zeitablauf nur näherungsweise durch ein
dynamisches Management eliminiert werden kann.
7
Neben dem Handel mit Straddles werden
vor allem auch dynamisch deltaneutral gestellte Optionen genutzt, um Volatilitätsmeinungen
1
Vgl. Werner (1997), S. 342.
2
Vgl. Roth (1999), S. 1.
3
Vgl. Goldman Sachs (2007), S. 5.
4
Vgl. Thomas (2008), S. 10; vgl. Goldman Sachs (2007), S. 5.
5
Vgl. Hull (2006), S. 10.
6
Vgl. Mougeot (2005), S. 5f.
7
Vgl. Nandi/Waggoner (2001), S. 37f.
2
umzusetzen. Aber auch hier hängt der Gewinn/Verlust der Position entscheidend vom
Kursniveau des Basisinstruments ab.
8
Es gelingt somit nicht, ein Exposure ausschließlich auf
Volatilität aufzubauen. Volatilitätsderivate schließen diese Lücke und machen Volatilitäten
direktional handelbar, ohne dass ein dynamisches Management erforderlich wird.
Ziel dieser Arbeit ist es, die wesentlichen Charakteristika der bedeutendsten
Volatilitätsderivate vorzustellen, Bewertungsmöglichkeiten aufzuzeigen, aber auch auf den
Absicherungsaspekt der Derivate einzugehen. So hängt doch der Erfolg von Derivaten im
Allgemeinen auch von einer möglichen Absicherungsstrategie ab. Zudem soll aufgezeigt
werden, ob die Volatilitätsderivate über das reine Spekulationsmotiv hinaus einen
wirtschaftlichen Nutzen bereit stellen. Diesbezüglich stehen zwei Anwendungsmöglichkeiten
im Fokus der Arbeit und werden auf ihre Praxistauglichkeit überprüft. So wird häufig darauf
verwiesen, dass sich Volatilitätsderivate zur Porfoliobeimischung eignen, um so
Diversifikationsvorteile zu generieren. Eine weitere Einsatzmöglichkeit wird in der
Absicherung des Vega-Risikos von Optionen proklamiert.
Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut. In einem Grundlagenteil (Kapitel 2) wird zunächst die
Volatilität definiert und es werden unterschiedliche Volatilitätsbegriffe voneinander
abgegrenzt, die zum Verständnis der Arbeit unerlässlich sind. Zudem werden mit dem
Volatility-Smile bzw. Skew und der Volatility-Term-Structure zwei Eigenschaften der
impliziten Volatilität vorgestellt.
Kapitel 3 befasst sich mit dem Volatilitäts- und dem Varianz-Swap, welche einen Handel der
realisierten Schwankungsintensität eines Basiswertes ermöglichen. Der Fokus der Arbeit liegt
beim Varianz-Swap. Es wird auf einer formal-mathematischen Ebene aufgezeigt, wie der faire
Wert der zukünftigen Varianz ermittelt werden kann, wobei die Bewertungsmethodik zudem
eine Replikationsstrategie für den Varianz-Swap offenbart. Um ein intuitiv besseres
Verständnis für den Varianz-Swap bzw. dessen Replikationsstrategie zu gewährleisten, wird
zudem auf die Varianz-Vega-Sensitivität des Replikationsportfolios eingegangen. Darüber
hinaus wird aufgezeigt, wie der Varianz-Swap während der Laufzeit bewertet werden kann.
Im Abschnitt der Anwendungsmöglichkeiten steht eine Studie im Mittelpunkt, die das
Renditeverhalten von synthetischen Varianz-Swaps analysiert. Die Ergebnisse der Studie
8
Vgl. Schöne (2009), S. 882; vgl. Krügel (2007), S. 128-137.
3
ermöglichen es, dazu Stellung zu nehmen, inwieweit sich Varianz-Swaps eignen um
Portfolios zu diversifizieren.
In Kapitel 4 werden unterschiedliche Volatilitätsindizes vorgestellt und deren Bewertung mit
Hilfe der Replikationsstrategie für den Varianz-Swap nachvollzogen. Die Volatilitätsindizes
spiegeln die vom Terminmarkt erwartete Volatilität eines zugrundeliegenden Basiswertes
wider und dienen als mögliches Underlying für Derivate. Es wird dazu Stellung genommen,
inwieweit solche Derivate abgesichert werden können. Ein fiktives Zahlenbeispiel soll die
Bewertungssystematik der Indizes nochmals verdeutlichen. Zudem werden die grundlegenden
Eigenschaften der Indizes vorgestellt. Anhand einer Studie, die unterstellt, dass eine eins zu
eins Partizipation an der Wertentwicklung eines Volatilitätsindex mittels eines Zertifikats
möglich ist, wird das Potenzial der Volatilitätsindizes zur Portfoliodiversifikation beleuchtet.
Kapitel 5 befasst sich mit Forwards, deren Underlying die implizite Volatilität bzw.
Volatilitätsindizes darstellen. Anhand eines fiktiven Zahlenbeispiels kann nachvollzogen
werden, inwieweit der Forward eingesetzt werden kann, um das Vega-Risiko von Optionen
abzusichern. Inwieweit sich Derivate auf die implizite Volatilität eignen, um Portfolios zu
diversifizieren, soll stellvertretend anhand des von Goldman Sachs emittierten Open-End-
Volatilitätskurven-Produkts auf den VDAX-new nachvollzogen werden. Zu guter letzt fasst
Kapitel 6 die wesentlichen Ergebnisse der Arbeit zusammen.
4
2 Grundlagen
2.1
Volatilität: Allgemeine Definition
Varianz und Standardabweichung sind in der Statistik verwendete Streuungsmaße einer
beobachteten statistischen Reihe bzw. Verteilung X. Die Varianz ist hier definiert als mittlere
quadratische Abweichung der Realisationen
t
x vom arithmetischen Mittel x der
betrachteten Zeitreihe X. Die positive Quadratwurzel aus der Varianz bildet die
Standardabweichung.
9
Durch Übertragung dieser statistischen Maßzahlen auf den
Kapitalmarkt definiert die Deutsche Börse die Volatilität in ihrem Börsenlexikon als
,,Maß für die Intensität der Schwankungen eines Wertpapierkurses, eines Index oder der
Rendite eines Anlageobjekts um den eigenen Mittelwert."
10
Der Einfachheit halber wird im Folgenden immer Bezug auf den Aktienmarkt genommen. In
der Finanzmathematik hat man sich weitestgehend darauf geeinigt, die Schwankungsintensität
einer Aktie unter Verwendung der Renditen der Aktie zu berechnen. Im Vergleich zur
Verwendung von Aktienkursen zeichnen sich Renditen dadurch aus, dass ein standardisierter
Vergleich der Entwicklung mehrerer Aktien ermöglicht wird.
11
Für die Ermittlung der
Rendite der Aktie innerhalb eines Betrachtungszeitraumes kann auf zwei unterschiedliche
Maße zurückgegriffen werden. Findet während des Betrachtungszeitraumes nur eine
sprunghafte Kursänderung statt, so bietet sich die diskrete Rendite
diskret
r
als relevante
Maßzahl an:
12
%
100
1
-
=
+
t
t
t
diskret
S
S
S
r
.
(2.1)
Dabei beschreibt
t
S den Kurs der Aktie S zum Zeitpunkt t. Erfolgt die
Aktienkursentwicklung in stetiger Zeit, so ist das Maß der stetigen Rendite
stetig
r
dem der
diskreten Rendite vorzuziehen:
13
9
Vgl. Schira (2005), S. 53f.
10
Siehe Internetpräsenz der Deutschen Börse (www.deutsche-boerse.de).
11
Vgl. Krügel (2007), S. 4.
12
Vgl. Dartsch (1999), S. 60f.
13
Vgl. Dartsch (1999), S. 60f.
5
%
100
ln
1
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
+
t
t
stetig
S
S
r
. (2.2)
Bei Anwendung der stetigen Rendite wird implizit eine stetige Kapitalisierung unterstellt,
wodurch der Zinseszinseffekt berücksichtigt wird. Darüber hinaus beinhalten stetige Renditen
statistische Eigenschaften, durch welche sie besser mittels einer Normalverteilung modelliert
werden können, was ihren höheren Stellenwert für die Finanzmathematik unterstreicht.
14
Der Mittelwert der Aktienrenditen beschreibt die durchschnittliche Rendite der Aktie während
der N Rendite-Beobachtungen, wobei im Folgenden von täglichen Beobachtungen
ausgegangen wird:
¦
=
=
N
t
t
r
N
r
1
1
.
(2.3)
Demzufolge ergibt sich die Varianz der Rendite als mittlere quadratische Abweichung der
Renditeausprägungen von ihrem Mittelwert:
15
(
)
¦
=
-
=
N
t
t
r
r
N
1
2
2
1
.
(2.4)
Die Standardabweichung der Aktienrenditen ist definiert als die positive Quadratwurzel aus
der Varianz:
16
(
)
¦
=
-
=
N
t
t
r
r
N
1
2
1
.
(2.5)
Im Rahmen dieser Arbeit ist die Volatilität dann definiert als die annualisierte
Standardabweichung der Renditen von ihrem Mittelwert. Diese Definition als Maßzahl für die
Schwankungsintensität der Aktienrenditen ermöglicht einen Vergleich der Maßzahlen für
14
Vgl. Henn (2001), S. 9.
15
Vgl. Henn (2001), S. 10.
16
Vgl. Henn (2001), S. 10.
6
Perioden unterschiedlicher Länge.
17
Werden Tagesrenditen betrachtet (1 Jahr besteht aus 252
Handelstagen), so erfolgt eine Annualisierung der Varianz, indem Gleichung (2.4) mit dem
Annualisierungsfaktor A = 252 multipliziert wird. Zudem erfolgt die Ermittlung der Varianz
bzw. Volatilität im Rahmen der Volatilitätsderivate meist ohne Mittelwertbereinigung. Dies
liegt in der Vereinfachung der Berechnung begründet und ist bei Betrachtung der Renditen
auf Handelstagebasis zulässig, da der Mittelwert der Renditen sich hier nahe null befindet.
18
Bei Berücksichtigung der logarithmierten Renditen berechnet sich die Volatilität auf
Handelstagebasis und ohne Mittelwertbereinigung folglich aus:
19
%
100
ln
252
1
2
1
¸¸¹
·
¨¨©
§
¸¸¹
·
¨¨©
§
=
¦
=
+
N
t
t
t
S
S
N
. (2.6)
2.2 Volatilitätsbegriffe
Die Finanzmathematik verwendet keinen einheitlichen Volatilitätsbegriff. Abhängig vom
Zeitbezug und der Ermittlungsart wird zwischen historischer (realisierter), zukünftiger,
erwarteter und impliziter Volatilität unterschieden. Eine Unterscheidung dieser Begriffe ist für
das Verständnis dieser Arbeit unerlässlich. Um die Unterschiede deutlich zu machen, wird an
dieser Stelle eine Zeitskalierung eingeführt. Es werden drei Zeitpunkte unterschieden:
V
t beschreibt einen Zeitpunkt in der Vergangenheit,
0
t steht für das heutige Datum und
Z
t
stellt einen Zeitpunkt in der Zukunft dar. Somit gilt:
z
V
t
t
t
<
<
0
. Der Zeitraum von
V
t bis
0
t
umfasst N Handelstage, an denen die Rendite beobachtet wird.
20
Die Begriffsdefinition der historischen Volatilität ist in der Literatur nicht einheitlich. Streng
genommen errechnet sie sich aus der annualisierten Variante der in Gleichung (2.5)
definierten Standardabweichung für die N beobachteten Renditewerte und gibt Auskunft über
die realisierte Volatilität im Zeitintervall von
V
t bis
0
t . Oftmals wird die historische
Volatilität jedoch als erwartungstreuer Schätzer der allgemeinen Volatilität der Aktie
17
Die Definition der Volatilität ist im Schrifttum nicht einheitlich. Bspw. definiert Henn (2001) die Volatilität
zunächst als Standardabweichung der Renditen von ihrem Mittelwert, vgl. Henn (2001), S. 10. Gerade im
Rahmen der Volatilitätsderivate hat man sich aber weitestgehend darauf geeinigt die Volatilität als annualisierte
Standardabweichung der Renditen von ihrem Mittelwert zu definieren. Vgl. Allen et al. (2006), S. 10; vgl.
Mougeot (2005), S. 5; vgl. Demeterfi et al. (1999a), S. 1.
18
Vgl. Allen et al. (2006), S. 9f.
19
Vgl. Allen et al. (2006), S. 10; vgl. Mougeot (2005), S. 5; vgl. Bossu et al. (2005), S. 3.
20
Vgl. Roth (1999), S. 36.
7
definiert. Unter diesen Gesichtspunkten berechnet sich die historische Volatilität mit einem
Freiheitsgrad weniger:
21
(
)
¦
=
-
-
=
N
t
t
h
r
r
N
1
2
1
252
.
(2.7)
Die Güte des Schätzers ist dabei umso größer, je mehr Beobachtungen für die Berechnung der
Volatilität berücksichtigt werden.
22
Dem Begriff der historischen Volatilität ist der Begriff der
zukünftigen Volatilität abzugrenzen. In Bezug auf die vorgenommene Skalierung ist die
zukünftige Volatilität die in
0
t noch unbekannte Volatilität der Aktie, die innerhalb des
Zeitintervalls von
0
t bis
Z
t realisiert wird.
23
Da diese unbekannt ist, muss sie von Investoren,
die bspw. Optionen bewerten, prognostiziert werden. Eine solche Prognose eines einzelnen
Marktteilnehmers stellt die erwartete Volatilität für den Zeitraum von
0
t bis
Z
t dar. Dabei
entspricht die Prognose nicht zwangsläufig der in Gleichung (2.7) definierten Schätzung.
24
Der Begriff der erwarteten Volatilität ist eng mit dem Begriff der impliziten Volatilität
verknüpft. Die implizite Volatilität stellt die Markterwartung bzgl. der zukünftigen Volatilität
dar, welche im Optionsbewertungsmodell von Black & Scholes berücksichtigt wird. Für die
Bewertung einer Option, die in
0
t initiiert wird und deren Verfalltermin
Z
t darstellt, werden
fünf Eingangsparameter benötigt: Der aktuelle Kurs des Underlyings, die Restlaufzeit der
Option, der Ausübungspreis, der risikolose Zinssatz sowie die für die Laufzeit der Option
unterstellte Volatilität. Die ersten vier Eingangsparameter sowie der Marktpreis der Option
können dabei direkt am Markt beobachtet werden.
25
Die einzige nicht beobachtbare
Komponente ist die für die Optionsbewertung unterstellte Volatilität. Erfolgt die Bewertung
der Option mit Hilfe des Black & Scholes Modells, so kann die implizit in den Marktpreisen
der Optionen enthaltene Volatilität bestimmt werden. Dies ist aufgrund der mathematischen
21
Vgl. Bossu et al. (2005), S. 24.
22
Vgl. Roth (1999), S. 37.
23
Vgl. Roth (1999), S. 39.
24
Die am häufigsten verwandten Prognosemodelle für die Volatilität sind die Prognosemodelle der Arch-
Familie. Eine detaillierte Erläuterung findet sich in Specht (2000).
25
Streng genommen kann auch der zur Bewertung der Option herangezogene Zinssatz nicht direkt am Markt
beobachtet werden. Aufgrund der am Markt gehandelten Zinssätze ist der zulässige Wertebereich allerdings eng
eingegrenzt. Zum Beispiel können die am Markt gehandelten EONIA- und EURIBOR-Zinssätze genutzt werden,
um mittels linearer Interpolation einen Zinssatz zu ermitteln, der für die Restlaufzeit der Option gelten soll. Vgl.
Deutsche Börse (2007), S. 13.
8
Zusammenhänge im Black & Scholes Modell nur iterativ möglich.
26
Da sich der Marktpreis
der Option aus Angebot und Nachfrage aller Marktteilnehmer ergibt, kann die implizite
Volatilität als Markterwartung der Volatilität interpretiert werden.
27
Tabelle 1 fasst die zu
unterscheidenden Volatilitätsbegriffe zusammen.
Volatilitätsart Erläuterung Zeitbezug
historische Volatilität realisierte Volatilität
bzw.
Schätzung der zukünftigen Volatilität
V
t bis
0
t
0
t bis
z
t
zukünftige Volatilität
in der Zukunft realisierte Volatilität
0
t bis
z
t
erwartete Volatilität
Prognose eines einzelnen Marktteilnehmers
bzgl. der zukünftigen Volatilität
0
t bis
z
t
implizite Volatilität
Markterwartung der zukünftigen Volatilität
0
t bis
z
t
Tabelle 1: Abgrenzung der Volatilitätsbegriffe.
2.3
Volatility-Smile und Volatility-Term-Sructure
Orientiert man sich an die Optionsbewertung nach Black & Scholes, so stellt die implizite
Volatilität wie in Kapitel 2.2 beschrieben die in diesem Modell verwendete erwartete
Volatilität der Aktienrenditen dar, welche im Black & Scholes Modell als konstant angesehen
wird. Werden nun Optionen auf die gleiche Aktie betrachtet, die sich nur bezüglich der
Basispreise und der Laufzeit unterscheiden, so muss nach Black & Scholes die verwendete
implizite Volatilität bei allen Optionen gleich sein.
Eine Untersuchung der Preise von in der Praxis gehandelten Optionen führt aber zu dem
Ergebnis, dass sich die am Markt verwendeten impliziten Volatilitäten signifikant
unterscheiden.
28
Betrachtet man zunächst Optionen auf Aktien bzw. Aktienindizes, die sich
nur bzgl. des Basispreises unterscheiden, so sind die in Abbildung 1 dargestellten
Abhängigkeiten der impliziten Volatilität von der Höhe des Basispreises zu beobachten. Bei
dem auf der linken Seite dargestellten Volatility-Smile (Volatilitäts-Lächeln) nimmt die Höhe
der impliziten Volatilität zunächst mit steigendem Basispreis ab. Ab einem gewissen Punkt
erhöht sich die verwendete implizite Volatilität aber wieder mit zunehmendem Basispreis. Die
rechte Seite zeigt die Volatility-Skew (Volatilitäts-Schiefe), bei der die verwendete implizite
26
Vgl. Dartsch (1999), S. 65f.
27
Vgl. Henn (2001) , S. 20.
28
Vgl. Neumann, Wolfen (2003), S. 630.
9
Volatilität mit steigendem Basispreis abnimmt. Es ist also eine funktionale Abhängigkeit der
für das Black & Scholes Modell verwendeten impliziten Volatilitäten von ihren Basispreisen
festzustellen.
Abbildung 1: Volatility-Smile und Volatility-Skew.
29
Ob es sich im Einzelfall um einen Volatility-Smile oder eine Volatility-Skew handelt, hängt
von dem jeweiligen Markt ab, der betrachtet wird. Bspw. weist eine Untersuchung von
Neumann/Wolfen (2003) für die DAX-Optionen im Jahr 2001 einen Volatility-Smile nach,
wohingegen Derman/Kani (1994) sowie Nandi/Waggoner (2000) bei Optionen auf den S&P
500 im Jahr 1994 von einer Volatility-Skew berichten.
30
Zudem ist zu beobachten, dass mit
Abnahme der Restlaufzeit der Smile- bzw. Skew-Effekt zunimmt, was in dem geringeren
Zeitwert von kurz laufenden Optionen begründet liegt.
31
Der Grund des Auftretens des Volatility-Smile bzw. -Skew wird vor allem an der
Normalverteilungsannahme der Renditen im Black & Scholes Modell festgemacht. Die
Akteure an den Optionsmärkten gehen implizit von einer im Vergleich zur Normalverteilung
leptokurtischen Verteilung
32
der Renditen aus.
33
Ein Blick auf empirische Studien
unterstreicht eine solche Annahme. In Abbildung 2 ist die empirische Dichtefunktion der
Microsoft-Tagesrenditen von Januar 1995 bis Dezember 2004 dargestellt. Die x-Achse gibt
die in Intervalle eingeteilten Tagesrenditen wider, die y-Achse die für die Tagesrenditen
beobachtete Häufigkeit. Als rote Linie ist die Normalverteilung dargestellt, wie sie im Black
& Scholes Modell Verwendung findet. Es ist ersichtlich, dass die Normalverteilung nur als
29
Goldman Sachs (2007), S. 13.
30
Vgl. Neumann, Wolfen (2003), S. 632f.; vgl. Derman/Kani (1994), S. 3; vgl. Nandi/Waggoner (2000), S. 32ff.
31
Vgl. Ripper/Günzel (1997), S. 475.
32
Eine leptokurtische Verteilung hat eine Kurtosis, die größer als null ist. Die Kurtosis ist ein Maß für die
Wölbung einer statistischen Verteilung. Die Normalverteilung hat eine Kurtosis von 3. Die hier betrachtete
Microsoft-Aktie weist eine Kurtosis von 7,43 auf. Vgl. Goldman Sachs (2007), S. 8f.
33
Vgl. Roth (1999), S. 64.
10
Annäherung an die empirische Verteilung angesehen werden kann. So weist die empirische
Verteilungsfunktion mehr Wahrscheinlichkeitsmasse sowohl für nah an dem Mittelwert
liegende Renditen, als auch für stark positive sowie stark negative Renditen auf. Letzteres
wird auch als ,,fat tails" bezeichnet. Dahingegen sind mittlere Bewegungen der Renditen
weniger wahrscheinlich.
34
Abbildung 2: Empirische Dichtefunktion der Microsoft-Tagesrenditen im Vergleich zur
Normalverteilung.
35
Betrachtet man nun eine weit aus dem Geld liegende Call-Option auf die Microsoft-Aktie mit
einem hohen Basispreis
1
K , so endet diese nur im Geld, wenn der Kurs der Aktie größer als
1
K ist. Dafür sind somit hohe positive Renditen notwendig, die bei der impliziten Verteilung
wahrscheinlicher sind, als bei der Normalverteilung. Dementsprechend hat die Option bei
Berücksichtigung der impliziten Verteilung einen höheren Wert. Um dies mit dem
verwendeten Black & Scholes Modell in Einklang zu bringen, wird die Option mit einer
relativ hohen Volatilität bewertet. Zu dem gleichen Ergebnis führt die Betrachtung einer weit
aus dem Geld liegenden Put-Option mit einem niedrigen Basispreis
2
K . Diese Option endet
im Geld wenn der Kurs der Aktie kleiner als
2
K ist. Dafür sind stark negative Renditen
notwendig, die wiederum bei der impliziten Verteilung wahrscheinlicher sind als bei der
Normalverteilung. Daraus folgt, dass der Put-Option ebenfalls ein höherer Wert zukommen
muss, was durch eine relativ hohe implizite Volatilität bewerkstelligt wird.
36
Durch das No-
34
Vgl. Goldman Sachs (2007), S. 8f.
35
Quelle: Goldman Sachs (2007), S. 9.
36
Vgl. Hull (2006), S. 457ff.; vgl. Ripper/Günzel (1997), S. 476.
11
Arbitrage-Argument der Put-Call-Parität müssen Put und Call mit identischen
Ausstattungsmerkmalen die gleiche implizite Volatilität aufweisen und somit weisen auch
weit im Geld liegende Call- und Put-Optionen eine relativ hohe implizite Volatilität auf.
37
Insgesamt wird also durch die Annahme der Lognormalverteilung des Aktienkurses die
Wahrscheinlichkeit extremer Kursbewegungen unterschätzt. Bei Optionen auf die Microsoft-
Aktie ist somit ein Volatility-Smile zu beobachten. Eine Volatility-Skew hingegen ergibt sich,
wenn die implizite Verteilung der Renditen linksschief ist. Im Vergleich zur
Normalverteilung sind hier große negative Renditen wahrscheinlicher, große positive
Renditen aber unwahrscheinlicher.
38
Ein weiterer Erklärungsansatz für das Auftreten von Volatility-Smile bzw. -Skew liegt in
Angebots- und Nachfrageeffekten auf dem Terminmarkt begründet. So werden aus
Absicherungsgründen vor allem aus dem Geld liegende Put-Optionen nachgefragt, wodurch
ein Nachfrageüberschuss entsteht, der erhöhte Preise und somit erhöhte implizite Volatilitäten
zur Folge hat.
39
Zudem ist eine Abhängigkeit der Volatilität vom Kurs des Basisinstruments
einer Option zu beobachten, was ebenfalls zu abweichenden impliziten Volatilitäten führen
kann (siehe Kapitel 4.4).
40
Neben der Abhängigkeit der verwendeten impliziten Volatilität vom Basispreis gibt es eine
weitere Abhängigkeit von der Restlaufzeit der Option. Werden Optionen betrachtet, die sich
nur im Ausstattungsmerkmal der Laufzeit unterscheiden, so werden in der Praxis für
unterschiedliche Laufzeiten auch unterschiedliche implizite Volatilitäten verwendet, was
beinhaltet, dass der Markt eine sich im Zeitablauf verändernde Volatilität erwartet. Dieser
Zusammenhang ist mit der so genannten Forwardkurve der Volatilität (auch Volatility-Term-
Structure genannt) darstellbar, wie sie in Abbildung 3 zu sehen ist. Dort ist zu erkennen, dass
die implizite Volatilität (y-Achse) eine ansteigende Funktion der Restlaufzeit der Option (x-
Achse) ist. Eine solche ansteigende Forwardkurve ergibt sich tendenziell immer dann, wenn
die derzeitige Volatilität historisch niedrig ist. Dementsprechend stellt sich vermehrt immer
dann eine abfallende Forwardkurve ein, wenn die derzeitige Volatilität historisch hoch ist.
41
Der Markt berücksichtigt somit in der Erwartungsbildung den stilisierten Fakt, dass die
37
Vgl. Hull (2006), S. 456f.
38
Vgl. Nandi/Waggoner (2000), S. 32; vgl. Hull (2006), S. 462.
39
Vgl. Thomas (2008), S. 146.
40
Vgl. Ripper/Günzel (1997), S. 476.
41
Vgl. Hull (2006), S. 463f.
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2010
- ISBN (eBook)
- 9783842820227
- DOI
- 10.3239/9783842820227
- Dateigröße
- 842 KB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Universität Osnabrück – Wirtschaftswissenschaften, Studiengang Betriebswirtschaftslehre
- Erscheinungsdatum
- 2011 (September)
- Note
- 2,0
- Schlagworte
- volatilitätsderivate volatilität derivat varianz-swap forward
