Nichtstationarität und Einheitswurzeln in dynamischen Panelmodellen

Dedekarginoglu, Selim

Nichtstationarität und Einheitswurzeln in dynamischen Panelmodellen

Zusammenfassung

Inhaltsangabe:Einleitung:
Von zentraler Bedeutung bei der Untersuchung einer ökonomischen Zeitreihe ist die Frage, ob diese stationär ist, oder aber ob eine Instationarität der Daten gegeben ist. Diese Frage ist nicht nur von einem statistisch-theoretischen, sondern insbesondere auch ökonomischen Standpunkt heraus von großem Interesse.
Wird etwa die Stationarität einer univariaten, realen Wechselkursreihe getestet, bedeutet eine Ablehnung der Stationarität, dass reale Wechselkurse einem Random Walk folgen, was wiederum eine Ablehnung der Kaufkraftparitätentheorie nahelegt. Liegen hingegen Zeitreihenwerte für reale Wachstumsraten des BIP vor, bedeutet eine Instationarität im landesspezifischen Kontext eine Ablehnung der in der Neoklassik vertretenen Steady State-Hypothese und im internationalen Kontext eine Ablehnung der realen Konvergenz-Hypothese armer und reicher Volkswirtschaften.
So gehaltvoll diese Informationen sein mögen, so schwierig zu testen sind sie. Die Schwierigkeit besteht hierbei darin, dass die im Rahmen der univariaten ZRA entwickelten Testverfahren auf Einheitswurzeln eine zu geringe Mächtigkeit, bzw. Power aufweisen, als dass sie zwischen der Nullhypothese einer Instationarität, sowie der Alternativhypothese einer Stationarität unterscheiden könnten. Insbesondere gilt dies im Falle kurzer Zeitreihen.
Mögliche Abhilfe bietet die Untersuchung mehrerer Zeitreihen im Rahmen der Panelanalyse. Mit der Grundsteinlegung durch Quah, der einen ersten, primitiven Panel Unit Root (PUR)-Test vorschlägt, hat sich seitdem eine kaum zu überblickende Vielfalt an Testverfahren entwickelt, deren zentrales Anliegen die Erhöhung der im Rahmen der ZRA bemängelten, geringen Power von Einheitswurzeltests ist.
Aufgabe dieser Arbeit soll sein, einen Überblick wichtiger, gängiger, sowie erst kürzlich erschienener Testverfahren zu geben. Zwar soll kein Anspruch auf Vollständigkeit aller existierender Testverfahren erhoben werden. Doch soll versucht werden, die behandelten Tests sowohl in ihren Modellrahmen, -annahmen und formulierten Hypothesenpaaren, als auch Grenzverteilungen so detailliert wie nötig, so vollständig wie möglich zu behandeln.
In Anlehnung an Breitung, Pesaran, auf die ein guter Überblicksartikel gängiger PUR-Tests zurückgeht, scheint es nicht nur im Sinne der chronologisch richtigen Reihenfolge ratsam, diese Verfahren in solche der ersten und zweiten Generation zu unterteilen; es bestehen auch beträchtliche Unterschiede in den […]

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Selim Dedekarginoglu

Nichtstationarität und Einheitswurzeln in dynamischen Panelmodellen

ISBN: 978-3-8428-1974-0

Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2011

Zugl. Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Erlangen, Deutschland,

Diplomarbeit, 2007

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Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Abk¨

urzungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI

1 Einf¨

uhrung

2 Panelmodellierung

2.1

Querschnitts-, Zeitreihen-, Panelanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Mikropanels, Makropanels, Ber¨

uhmte Panels . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Besonderheit von Paneldaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Sch¨

atzmethoden in station¨

aren Panels

. . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1

Modellspezifikation: Fixed Effects, Random Effects . . . . . .

2.4.2

Sch¨

atzmethoden in statischen Panels . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2.1

Pooled Regression

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2.2

Least Square Dummy Variable-Sch¨

atzung . . . . . . 10

2.4.2.3

Within-Transformation und -Sch¨

atzer

. . . . . . . . 11

2.4.2.4

Robuster Varianzsch¨

atzer von Arellano (1987) . . 13

2.4.2.5

(Feasible) Generalized Least Squares . . . . . . . . . 14

2.4.3

Sch¨

atzmethoden in station¨

aren dynamischen Panels . . . . . . 16

2.4.3.1

FE-Sch¨

atzer und Nickell Bias . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3.2

RE-Sch¨

atzer und die Bedeutung der Startwerte . . . 19

2.4.3.3

IV-, GMM-Sch¨

atzung als Alternativen . . . . . . . . 19

3 Nichtstationarit¨

at in Zeitreihenmodellen

3.1

Testverfahren auf Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1

Univariater (Augmented) Dickey Fuller-Test . . . . . . . . . . 25

3.1.2

Residuenbasierter LM-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

INHALTSVERZEICHNIS

3.1.2.1

Univariater KPSS-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.2.2

Test von Breitung, Hassler (2002) . . . . . . . . 29

3.2

Kointegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1

Kointegration und Spurious Regression . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2

Fehlerkorrektur-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3

Ausblick auf nichtstation¨

are Panelanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1

Hypothesenpaare von PUR-Tests . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2

Multi-Index-Asymptotik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Panel Unit Root-Tests der ersten Generation

4.1

Lineare Tests der ersten Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.1

Test von Levin, Lin, Chu (1993, 2002)

. . . . . . . . . . . . 37

4.1.1.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 37

4.1.1.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 38

4.1.2

Test von Im, Pesaran, Shin (2003) . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.2.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 41

4.1.2.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 42

4.1.3

Test von Harris, Tzavalis (1999) . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.3.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 46

4.1.3.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 46

4.1.4

Test von Choi (2001)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.4.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 50

4.1.4.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 51

4.1.4.3

Der Fall eines N

. . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2

Nichtlineare Tests der ersten Generation . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1

Test von He, Sandberg (2005a) . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 56

4.2.1.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 57

4.2.2

Test von Hassler, Demetrescu, Tarcolea (2004) . . . . . 59

4.2.2.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 60

4.2.2.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 62

4.3

Weitere Tests der ersten Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.1

Test von Breitung, Meyer (1994) . . . . . . . . . . . . . . 63

INHALTSVERZEICHNIS

III

4.3.2

Test von Hadri (2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4

Kleinstichprobeneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Panel Unit Root-Tests der zweiten Generation

5.1

Kreuzabh¨

angigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1

Ursachen und Kategorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.2

Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.3

Modellierung und Handhabung . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2

Lineare Tests der zweiten Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.1

Test von Choi (2002)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 76

5.2.1.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 78

5.2.2

Test von Harvey, Bates (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.2.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 80

5.2.2.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 80

5.2.3

Test von Breitung, Das (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.3.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 83

5.2.3.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 84

5.2.4

Test von Bai, Ng (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.4.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 86

5.2.4.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 89

5.2.5

Test von Pesaran (2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.5.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 91

5.2.5.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 92

5.3

Nichtlineare Tests der zweiten Generation

. . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.1

Test von Chang (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.1.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 95

5.3.1.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 97

5.3.1.3

Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.2

Test von Chang, Song (2002, 2005) . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.2.1

Modelle, Modellannahmen und Hypothesen . . . . . 101

5.3.2.2

Teststatistiken, Grenzverteilungen

. . . . . . . . . . 103

5.4

Weitere Tests der zweiten Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

INHALTSVERZEICHNIS

5.4.1

Test von J¨

onsson

(2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.2

Test von Moon, Perron (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.5

Kleinstichprobeneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6 Schluß

114

A Internetadressen

116

A.1 PUR-Tests der ersten Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.2 PUR-Tests der zweiten Generation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Literaturverzeichnis

Tabellenverzeichnis

4.1

Uberblick der Testverfahren der ersten Generation. . . . . . . . . . . 68

5.1

Uberblick linearer Tests der zweiten Generation.

. . . . . . . . . . . 110

Abk¨

urzungsverzeichnis

Im Folgenden werden die in dieser Arbeit verwendeten Abk¨

urzungen, Symbole und

Zeichen erkl¨

art. Ausgenommen sind solche, die einmalig verwendet werden und an

entsprechender Stelle definiert sind. Vektoren und Matrizen sind grunds¨

atzlich durch

Fettdruck kenntlich gemacht, Hervorhebungen kursiv dargestellt.

I. Mathematische Symbole und Zeichen

Zeitindex, mit t = 1,

· · · , T

Index f¨

ur Querschnittseinheiten, mit i = 1,

· · · , N

}

Stochastischer Prozess

Erkl¨

arte Variable eines Zeitreihenmodells

Erkl¨

arte Variable eines Panelmodells

Vektor f¨

ur Einheit i, mit y

= (y

· · · , y

)

i,-1

Vektor f¨

ur Einheit i, mit y

i,-1

= (y

· · · , y

i,T -1

)

Vektor zum Zeitpunkt t, mit y

= (y

· · · , y

)

Zusammengefasster Vektor, mit y

y = (y

· · · ,yyy

)

Erkl¨

arende Variable eines Zeitreihenmodells

Erkl¨

arender, k-dimensionaler Variablenvektor eines Panelmodells

Datenmatrix f¨

ur Einheit i, mit X

= (x

· · · ,xxx

)

Zusammengefasste Datenmatrix, mit X

X = (X

· · · ,X

)

St¨

orgr¨

oße eines Zeitreihenmodells

St¨

orgr¨

oße eines Panelmodells

Vektor f¨

ur Einheit i, mit

= (

· · · ,

)

i,-1

Vektor f¨

ur Einheit i, mit

i,-1

= (

· · · ,

i,T -1

)

Vektor zum Zeitpunkt t, mit

= (

· · · ,

)

TABELLENVERZEICHNIS

VII

Zusammengesetzte St¨

orgr¨

oße eines Panelmodells

, ,

Parameter

Individueller Effekt, stochastisch oder deterministisch

Zeiteffekt, stochastisch oder deterministisch

Varianz einer Zufallsvariable

Varianz-Kovarianz-Matrix eines Zufallsvektors

·,t

Durchschnitt der Panelwerte x

uber s¨

amtliche Einheiten

i,·

Durchschnitt der Panelwerte x

uber s¨

amtliche Zeitpunkte

E(y)

Erwartungswert einer Zufallsvariable y

E(y

|x)

Erwartungswert einer Zufallsvariable y, bedingt auf das Ereignis x

III

× T -Einheitsmatrix

iii

T -dimensionaler Hilfsvektor, mit iii

= (1,

· · · , 1)

T -dimensionaler Hilfsvektor, mit

= (1, 2,

· · · , T )

Kronecker-Produkt

lim

Grenzwert

plim

Stochastischer Grenzwert

·)

Landau Symbol

(

·)

Landau Symbol, mit P -stochastischer Konvergenz

Differenzen-Operator, mit y

= y

- y

t-1

, L

(Matrix-)Lag-Operator, mit L

= y

t-i

I(d)

Integrationsgrad eines Prozesses

Dummy-Vektor

Dummy-Matrix, mit D

D = (d

· · · ,ddd

)

Projektionsmatrix zu D

Stichprobenvarianz

N (,

)

Normalverteilung, mit Mittelwert , Varianz

W N (0,

)

White Noise-Verteilung (mit Mittelwert 0, Varianz

)

()

Chi-Quadrat Verteilung, mit Freiheitsgraden

t()

t-Verteilung, mit Freiheitsgraden

U(a, b)

Gleichverteilung im Intervall a, b

LL(·)

Log Likelihood -Funktion

Schwache Konvergenz, bzw. Konvergenz in Verteilung

TABELLENVERZEICHNIS

VIII

Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

diag(a

· · · , a

)

Diagonalmatrix mit den Elementen a

· · · , a

det(A

Determinante der Matrix A

tr(A

Spur der Matrix A

Euklidische Norm der Matrix A

sgn(x)

Signum-Funktion in x

Menge der nat¨

urlichen Zahlen

Menge der reellen Zahlen

TABELLENVERZEICHNIS

II. Abk¨

urzungen

(A)DF

(Augmented) Dickey Fuller

BIP

Bruttoinlandsprodukt

BLUE

Best Linear Unbiased Estimator

Bspw.

Beispielsweise

Bzw.

Beziehungsweise

Et al.

Et alii - Und Andere

Fixed Effects

(F)GLS

(Feasible) Generalized Least Squares

GMM

Generalized Method of Moments

I.A.

Im Allgemeinen

Insb.

Insbesondere

IPS

Im, Pesaran, Shin

Instrument Variables

I.W.

Im Wesentlichen

LLC

Levin, Lin, Chu

LSDV

Least Squares Dummy Variable

Monte Carlo

Maximum Likelihood

NLS

National Longitudinal Survey of Labor Market Experience

(O)LS

(Ordinary) Least Squares

Panelanalyse

PPP

Purchasing Power Parity - Kaufkraftparit¨

PSID

Michigan Panel Study of Income Dynamics

(P)UR

(Panel) Unit Root(s) - (Panel) Einheitswurzel(n)

PWT

Penn World Tables

Querschnittsanalyse

Random Effects

Random Walk

Sog.

Sogenannt/-e/-er/es

U.a.

Unter anderem/-n

TABELLENVERZEICHNIS

U.U.

Unter Umst¨

anden

U.S.

United States - Verinigte Staaten

u.(i.)v.

unabh¨

angig (identisch) verteilt

i.(n.)v.

identisch (normal-)verteilt

I.W.

Im Wesentlichen

VAR(p)

Vektorautoregressiv der Ordnung p

ZRA

Zeitreihenanalyse

Kapitel 1

Einf¨

uhrung

Von zentraler Bedeutung bei der Untersuchung einer ¨

okonomischen Zeitreihe ist die

Frage, ob diese station¨

ar ist, oder aber ob eine Instationarit¨

at der Daten gegeben ist.

Diese Frage ist nicht nur von einem statistisch-theoretischen, sondern insbesondere

auch ¨

okonomischen Standpunkt heraus von großem Interesse.

Wird etwa die Stationarit¨

at einer univariaten, realen Wechselkursreihe getestet,

bedeutet eine Ablehnung der Stationarit¨

at, dass reale Wechselkurse einem Random

Walk folgen, was wiederum eine Ablehnung der Kaufkraftparit¨

atentheorie nahelegt.

Liegen hingegen Zeitreihenwerte f¨

ur reale Wachstumsraten des BIP vor, bedeutet

eine Instationarit¨

at im landesspezifischen Kontext eine Ablehnung der in der Neo-

klassik vertretenen Steady State-Hypothese und im internationalen Kontext eine

Ablehnung der realen Konvergenz-Hypothese armer und reicher Volkswirtschaften.

So gehaltvoll diese Informationen sein m¨

ogen, so schwierig zu testen sind sie.

Die Schwierigkeit besteht hierbei darin, dass die im Rahmen der univariaten ZRA

entwickelten Testverfahren auf Einheitswurzeln eine zu geringe M¨

achtigkeit, bzw.

Power aufweisen, als dass sie zwischen der Nullhypothese einer Instationarit¨

at, sowie

der Alternativhypothese einer Stationarit¨

at unterscheiden k¨

onnten. Insbesondere

gilt dies im Falle kurzer Zeitreihen.

M¨

ogliche Abhilfe bietet die Untersuchung mehrerer Zeitreihen im Rahmen der

Panelanalyse. Mit der Grundsteinlegung durch Quah (1994,[69]), der einen ersten,

primitiven Panel Unit Root (PUR)-Test vorschl¨

agt, hat sich seitdem eine kaum

zu ¨

uberblickende Vielfalt an Testverfahren entwickelt, deren zentrales Anliegen die

Erh¨

ohung der im Rahmen der ZRA bem¨

angelten, geringen Power von Einheitswur-

KAPITEL 1. EINF ¨UHRUNG

zeltests ist.

Aufgabe dieser Arbeit soll sein, einen ¨

Uberblick wichtiger, g¨

angiger, sowie erst

k¨

urzlich erschienener Testverfahren zu geben. Zwar soll kein Anspruch auf Vollst¨

andig-

keit aller existierender Testverfahren erhoben werden. Doch soll versucht werden, die

behandelten Tests sowohl in ihren Modellrahmen, -annahmen und formulierten Hy-

pothesenpaaren, als auch Grenzverteilungen so detailliert wie n¨

otig, so vollst¨

andig

wie m¨

oglich zu behandeln.

In Anlehnung an Breitung, Pesaran (2005,[17]), auf die ein guter ¨

Uberblicksar-

tikel g¨

angiger PUR-Tests zur¨

uckgeht, scheint es nicht nur im Sinne der chronolo-

gisch richtigen Reihenfolge ratsam, diese Verfahren in solche der ersten und zweiten

Generation zu unterteilen; es bestehen auch betr¨

achtliche Unterschiede in den zu-

grundeliegenden Annahmenkomplexen. W¨

ahrend im Rahmen der ersten Generation

von einer Unabh¨

angigkeit individueller Zeitreihen ausgegangen wird, unterstellen

die Testverfahren der zweiten Generation eine (noch zu kl¨

arende) Abh¨

angigkeit zwi-

schen ihnen. Innerhalb der jeweiligen Generationen soll ferner zwischen linearen und

nichtlinearen Testverfahren differenziert werden.

Bevor dieser ¨

Uberblick jedoch gegeben wird, soll in Kapitel 2, neben einigen

g¨

angigen Definitionen, insbesondere auf Sch¨

atzverfahren im Rahmen der station¨

aren

Panelanalyse eingegangen werden. Diese erweisen sich n¨

amlich auch im nichtsta-

tion¨

aren Kontext als ¨

außerst n¨

utzlich. In Kapitel 3 sollen wichtige Konzepte der

nichtstation¨

aren ZRA vorgestellt werden, die im Panelkontext oftmals analoge An-

wendung finden. In den Kapiteln 4 und 5 schließlich, soll auf besagte Verfahren

der ersten, bzw. zweiten Generation eingegangen werden. Wichtige ¨

Uberblicksarti-

kel f¨

ur Verfahren der ersten Generation wurden von Banerjee (1999,[10]), Baltagi,

Kao (2000,[9]) und Choi (2003,[27]) verfasst. Einen guten ¨

Uberblick der Verfahren

der zweiten Generation geben Hurlin, Mignon (2004,[45]).

Kapitel 2

Panelmodellierung

2.1

Querschnitts-, Zeitreihen-, Panelanalyse

Grunds¨

atzlich l¨

asst sich die statistische Analyse untergliedern in die Zeitreihen-

analyse und die Querschnittsanalyse. W¨

ahrend sich die univariate Zeitreihenanaly-

se mit der Entwicklung einer einzigen Variable entlang ihrer Zeitreihendimension

besch¨

aftigt, ist es Aufgabe der multivariaten Zeitreihenanalyse, die Entwicklung

eines Vektors an Zufallsvariablen aus der eigenen Vergangenheit zu erkl¨

aren. Im

Rahmen der Querschnittsanalyse hingegen wird die Streuung der Daten alleine ent-

lang ihrer Querschnittsdimension untersucht. Vor diesem Hintergrund l¨

asst sich die

Panelanalyse nun einerseits als Vereinigung von Zeitreihen- und Querschnittsanaly-

se verstehen. Andererseits, wie Banerjee (1999,[10]) feststellt, ist die Literatur zur

Panelanalyse gr¨

oßer als die Summe besagter Teilbereiche.

Betrachtet wird also ein Datenset, das sowohl ¨

uber eine Zeitreihen-, als auch eine

Querschnittsdimension verf¨

ugt, so dass die Daten stets in Form eines sog. Panels,

die holl¨

andische Bezeichnung f¨

ur Rechteck, angeordnet werden k¨

onnen. W¨

ahrend

hierbei die Ordnung der individuellen Zeitreihenwerte mit der logischen Sequenz

des Zeitindexes t vorgegeben ist, muss die Querschnittsdimension keine immanente

Ordnung aufweisen. Ein Panel l¨

asst sich somit darstellen als

} , mit i = 1, · · · , N, t = 1, · · · , T.

Zwar soll sich diese Arbeit auf zweidimensionale Panels beschr¨

anken. Hsiao (2005,[44])

gibt jedoch ein Beispiel f¨

ur ein von h¨

oherer Ordnung dimensionalisiertes Panel.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

2.2

Mikropanels, Makropanels, Ber¨

uhmte Panels

Panels lassen sich nun, in Abh¨

angigkeit von der Gr¨

oße ihrer Zeitreihendimension T

und ihrer Querschnittsdimension N , unterscheiden in Mikro-, bzw. Querschnittspa-

nels und Zeitreihen-, bzw. Makropanels. W¨

ahrend Makropanels ein relativ kleines

N und ein relativ großes T aufweisen, sind Mikropanels zwar durch ein gr¨

oßeres N ,

jedoch ein kleineres T gekennzeichnet.

Zwei ¨

uberaus bedeutende U.S. amerikanische Mikropanels sind bspw. der Na-

tional Longitudinal Survey of Labor Market Experience (NLS) und der Michigan

Panel Study of Income Dynamics (PSID). So handelt es sich beim PSID um ei-

ne Stichprobe von ca. 6000 Haushalten und 15.000 Individuen, die seit dem Jahre

1968 beobachtet und interviewt wird, um die Determinanten (von Ver¨

anderungen)

des Haushaltseinkommens besser zu verstehen. Ein ber¨

uhmtes Makropanel hingegen

w¨

aren die Penn World Tables (PWT), bei welchen es sich um Daten volkswirtschaft-

licher Gesamtrechnungen der Jahre 1950-2000 von 168 L¨

andern handelt

Bei einem Panelmodell handelt es sich grunds¨

atzlich um ein Regressionsmodell,

welches einen Panelwert zu einem bestimmten Zeitpunkt t, sowie f¨

ur eine bestimmte

Einheit i, in der Regel durch einen Achsenabschnitt, eine bestimmte Anzahl von

Regressoren und eine St¨

orgr¨

oße erkl¨

art. Dies bietet eine Vielzahl von M¨

oglichkeiten

Panelmodelle zu kategorisieren.

2.3

Besonderheit von Paneldaten

Kaum ein Gebiet der Statistik erf¨

ahrt so viel Beachtung wie die Panelanalyse. Zwar

stellt sie mehr als nur eine Vereinigung von ZRA und QA dar und bietet etsprechend

exklusive Vorteile, welche, wie Hsiao (2005,[44]) anf¨

uhrt, insb. in Anbetracht einer

besseren Daten-Verf¨

ugbarkeit zusehend an Bedeutung gewinnen. Die Kehrseite der

Medaille ist jedoch in ebenso exklusiven Nachteilen der Panelmodellierung zu sehen

Ein zentraler Vorteil von Paneldaten besteht etwa darin, dass pr¨

azisere Infe-

renzen ¨

uber Modellkoeffizienten gewonnen werden k¨

onnen. Der Grund hierf¨

ur ist,

dass Paneldaten sowohl mehr Freiheitsgrade als ein Querschnitt, bzw. ein Panel

Einen ¨

Uberblick ¨

uber wichtige Panels gibt etwa Hsiao (2005,[44]).

Eine ausf¨

uhrliche Darstellung dieser Vor- und Nachteile findet sich in Hsiao (1986[43], 2005[44]).

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

mit T = 1, als auch als eine einzelne Zeitreihe, bzw. ein Panel mit N = 1, bie-

ten. Da die Querschnittsdimension des Panels im Falle unabh¨

angiger Einheiten i, u.

U. als Realisierung eines Ziehen mit Zur¨

ucklegen verstandenen werden kann, wird

zudem das insb. im Rahmen der Zeitreihenanalyse vorhandene Multikollinearit¨

ats-

Problem relativiert und mehr Information bereitgestellt; die Effizienz von Koeffizien-

tensch¨

atzungen steigt. Hsiao (1986,[43]) bietet ein Beispiel anhand eines Distributed

Lag-Modells.

Ein weiterer Vorteil ist, dass sich mit Paneldaten jene Probleme vermeiden las-

sen, die in Folge vergessener beobachteter, falsch gemessener und unbeobachteter

Variablen entstehen k¨

onnen. Hierzu sei das Modell

= + x

+ z

betrachtet. Bekanntermaßen ist der OLS-Sch¨

atzer von , und unter recht all-

gemeinen Bedingungen der Best Linear Unbiased Estimator (BLUE)

. Ist nun je-

doch z

unbeobachtet und gilt Cov(x

, z

) = 0, folgt Cov(x

) = 0, mit

. Da die Annahmen des klassischen Modells nicht mehr zutreffen, ist der

OLS-Sch¨

atzer, in Folge eines sog. Omitted Variable Bias, verzerrt und inkonsistent.

Im Rahmen von Panelmodellen l¨

asst sich dieser Effekt von z

eliminieren. Ist

die nicht ber¨

ucksichtigte Variable zeitunabh¨

angig, bzw. gilt z

= z

, oder aber

= z, ist das Modell in ersten (zeitlichen) Differenzen zu betrachten. Man erh¨

alt

-y

i,t-1

= (x

-x

i,t-1

. Ist die Variable hingegen einheitenunabh¨

angig,

bzw. gilt z

= z

, oder z

= z, bietet sich eine Bereinigung der Daten um Quer-

schnittsdurchschnitte (zum Zeitpunkt t) an. Es folgt y

- ¯y

·t

= (x

- ¯x

·t

) +

- ¯

·t

In beiden F¨

allen bleiben Erwartungstreue und Konsistenz von OLS gewahrt

W¨

ahrend der wesentliche Vorteil von Paneldaten im Verh¨

altnis zu Querschnitts-

daten darin besteht, dass die Zeitreihenkomponente des Datensets weitreichende

Aufschl¨

usse ¨

uber individuenspezifische Parameter gibt, sind sie Zeitreihendaten da-

hingehend ¨

uberlegen, dass die Querschnittsdimension Informationen ¨

uber zeitspezi-

fische Parameter birgt. Dies bietet eine gr¨

oßere Flexibilit¨

at zur Modellierung indi-

vidueller und zeitlicher Unterschiede. Ausgangspunkt nachfolgender ¨

Uberlegungen

Vgl. etwa Greene (2003,[34]), S. 890 ff.

Im Falle T = 1, oder N = 1 k¨ame eine alternative IV-Sch¨atzung in Frage.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

soll das Panelmodell

= zzz

+ x

(2.1)

sein, wobei x

einen Vektor an exogenen Regressoren darstellt, bzw. E(

|xxx

) = 0

gilt. Zeit- und individuenspezifische Heterogenit¨

at wird mittels zzz

formuliert

Wie Greene (2003,[34]) anmerkt, kann zzz

neben einem konstanten Term auch

eine Reihe individuen- und/oder zeitspezifischer Variablen enthalten, die, wie etwa

Geschlecht, Rasse, Wohnort etc., beobachtet, oder aber, wie im Falle von familien-

spezifischen Charakteristika, Pr¨

aferenzen etc., unbeobachtet sein k¨

onnen.

Der individuenspezifisch und zeitlich heterogenen Abh¨

angigkeit von dem Regres-

sorenvektor x

wird hingegen durch

Rechnung getragen. Ausgehend von einem

homogenen Standardmodell der Form y

= zzz

+ x

und je nachdem, ob

Achsenabschnitt und Steigungskoeffizient zeit- und/oder einheitenspezifisch sind,

ergeben sich in Anlehnung an Hsiao (1986,[43]) folgende Modelle:

= zzz

+ x

= zzz

+ x

(2.2)

= zzz

+ x

= zzz

+ x

(2.3)

W¨

ahrend in den Modellen (2.2) Achsenabschnitte stets einheitenspezifisch, manch-

mal einheiten- und zeitspezifisch formuliert werden, gilt dies in (2.3) auch f¨

ur die

Steigungskoeffizienten. In der Regel werden s¨

amtliche einheitenpezifischen Variablen

in zzz

, s¨

amtliche Zeiteffekte hingegen zu

zusammengefasst, so dass sich die

zwei ersteren Modelle in (2.2) und (2.3) als sog. One Way-Modelle, alle ¨

ubrigen als

sog. Two Way-Modelle bezeichnen lassen. Es gilt

+ x

(2.4)

+ x

(2.5)

Nach Hsiao konzentriert sich die Literatur zur Panelanalyse hierbei im Wesentli-

chen auf Modelle (2.2), bzw. (2.4) und (2.5), da diese trotz ihrer relativ einfachen

Struktur in der Lage sind, ausreichend zeit- und individuenspezifische Heterogenit¨

zu formulieren. Dennoch kann mittels eines F -Testes auf Gruppeneffekte bestimmt

werden, welches der Modelle in (2.2), (2.3) zu formulieren ist

Zu denken w¨

are etwa ein deterministisches Trendpolynom.

Vgl. Hsiao (1986,[43]), S.12.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

2.4

Sch¨

atzmethoden in station¨

aren Panels

Nachfolgend soll auf alternative Sch¨

atzmethoden f¨

ur station¨

are Panelmodelle ein-

gegangen werden. Zun¨

achst jedoch soll der sehr allgemeine Modellrahmen in Ab-

schnitt 2.3 konkretisiert werden. Je nachdem, ob der Regressorenvektor x

in (2.4)

und (2.5) nur exogene Variable, nur verz¨

ogerte abh¨

angige Variable y

i,t-

· · · , y

i,t-p

oder aber exogene und verz¨

ogerte abh¨

angige Variable enth¨

alt, unterscheidet Arella-

no (2003,[3]) zwischen statischen Modellen, autoregressiven Modellen und Modellen

mit strikt exogenen und verz¨

ogerten abh¨

angigen Variablen. In ihrer einfachsten Form

lassen sich diese darstellen als

+ x

(2.6)

+ y

i,t-1

(2.7)

+ x

+ y

i,t-1

(2.8)

W¨

ahrend es sich bei (2.7) um ein sog. autoregressives One Way-Modell der

Ordnung p = 1 handelt, w¨

urde es sich mit Aufnahme eines Zeiteffektes

um ein

entspechendes Two Way-Modell handeln. Nachfolgend soll dann von dynamischen

Modellen die Rede sein, wenn Modelle der Art in (2.7) gemeint sind. Von Modellen

der Art in (2.8) soll abgesehen werden

2.4.1

Modellspezifikation: Fixed Effects, Random Effects

Panelmodelle k¨

onnen sich auch hinsichtlich der statistischen Eigenschaften ihrer

Modellkoeffizienten unterscheiden lassen. Wird in den Modellen (2.7) und (2.8) etwa

angenommen, dass

deterministisch ist, handelt es sich um ein sog. Fixed Effects

(FE)-Modell. Von einem sog. Random Effects (RE)-Modell ist die Rede, wenn

stochastisch ist. Formulieren l¨

asst sich das FE-Modell als

+ x

(2.9)

Hierbei gilt, dass

(I.1) E(

, x

) = 0,

Eine ausf¨

uhrliche Darstellung von Sch¨

atzmethoden f¨

ur Modell (2.8) findet sich in Sevestre,

Trognon (1992,[70]), S. 95 ff.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

(I.2) E(

, x

) =

(I.3)

u.i.v.(0,

)

i, t, so dass E(

it js

, x

) = 0, f¨

ur t = s oder i = j.

Wie Mundlak (1978, [57]) feststellt, ist ein FE-Modell jedoch nicht nur im Falle de-

terministischer Zeit-, bzw. individuenspezifischer Effekte zu formulieren. Auch dann

ist von fixen Effekten auszugehen, wenn in (2.1) angenommen werden kann, dass

der Vektor zzz

mit den ¨

ubrigen Regressoren x

korreliert ist. Eine Nicht-Ber¨

ucksich-

tigung der Effekte w¨

urde n¨

amlich eine Inkonsistenz des OLS-Sch¨

atzers ^

in Folge

einer sog. Omitted Variable bewirken, worauf bereits in Abschnitt 2.3 eingegangen

worden ist. Das FE-Modell kennzeichnet sich also durch seine grundlegende Annah-

me, Unterschiede zwischen Einheiten k¨

onnten durch parametrische

Verschiebungen

der Regressionsgeraden modelliert werden. Vor diesem Hintergrund wird also jedes

als zu sch¨

atzender, einheitenspezifisch-konstanter Term betrachtet.

Von einem RE-, bzw. Fehlerkomponenten-Modell ist hingegen dann auszugehen,

wenn die unbeobachtete, individuelle Heterogenit¨

at, ungeachtet ihrer spezifischen

Form, unkorreliert mit den Modellvariablen ist. Zudem ist ein RE-Modell dann an-

zuraten, wenn ¨

uber in-sample-Ergebnisse hinausgehend, Inferenzen ¨

uber Grundge-

samtheiten gewonnen werden sollen

. Darstellen l¨

asst sich dieses als

= x

+ E(zzz

) + [zzz

- E(zzz

)] +

= x

+ +

= x

(2.10)

Auch hier liegt also ein lineares Regressionsmodell vor, welches insb. durch eine

zusammengesetzte St¨

orgr¨

oße,

, gekennzeichnet ist. Die zuf¨

alligen in-

dividuellen Effekte,

, k¨

onnen als Abweichungen von einem globalen Mittel, ,

verstanden werden. Dieses l¨

asst sich problemlos in den Vektor

integrieren, wenn

entsprechend mit Eins erg¨

anzt wird. Annahmegem¨

aß gilt

(II.1) E(

|xxx

) = E(

|xxx

) = 0,

(II.2) E(

|xxx

) =

, E(

|xxx

) =

, E(

|xxx

) = 0, f¨

ur i = j,

(II.3) E(

it js

, x

) = 0,

t = s oder i = j, E(

|xxx

) = 0,

i, t, j.

In Abh¨

angigkeit von

Eine eingehende subjektivistische Interpretation von RE und FE gibt Hsiao (1986,[43]).

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

Demzufolge kann Modell (2.10) konsistent, aber ineffizient mittels OLS gesch¨

atzt

werden. Effizient w¨

are hingegen eine (F)GLS-Sch¨

atzung, auf welche in Abschnitt

2.4.2.5 eingegangen werden soll.

Sollte also die Korrelations-Annahme stimmen, so dass ein RE-Modell formuliert

werden kann, reduziert sich die Anzahl der zu sch¨

atzenden Parameter in (2.9) um

die N Achsenabschnitte

, so dass die Freiheitsgrade von Sch¨

atzungen steigen.

Sollte sie jedoch nicht stimmen, resultiert sie in Folge eines Omitted Variable Bias

in inkonsistenten, verzerrten Sch¨

atzern, weshalb stets die G¨

ultigkeit dieser Annahme

getestet werden sollte.

Im Hinblick auf den nachfolgend zu bestimmenden (F)GLS-Sch¨

atzer, sind die

bedingte Varianz-Kovarianz-Matrix des zusammengesetzten St¨

orgr¨

oßenvektors

(

· · · ,

) und dessen Inverse

zu formulieren. Es gilt

= E(

X) =

III

iii

(2.11)

-1

III

+ T

iii

(2.12)

In Folge der Unabh¨

angigkeit unterschiedlicher Beobachtungseinheiten, kann die

N T

×NT -Kovarianz-Matrix des gesamten NT ×1 -Residuenvektors = (

· · · ,

)

formuliert werden als

= III

(2.13)

Zu beachten ist nun, dass je nach L¨

ange und Spezifikation des Vektors zzz

, bzw.

zzz

in (2.2), bzw. (2.3), je nachdem ob dieser Vektor (un-)beobachtet ist, sowie je

nachdem ob ein FE- oder RE-Modellrahmen unterstellt wird, sich unterschiedliche

Implikationen f¨

ur die Sch¨

atzung der Modellkoeffizienten ergeben.

Grunds¨

atzlich gilt, dass wenn zzz

beobachtet ist, sich das gesamte Modell mit-

tels OLS sch¨

atzen l¨

asst. Im Folgenden soll ohne Beschr¨

ankung der Allgemeinheit

von Zeiteffekten abstrahiert, und von Modellen der Art (2.4) und (2.7) ausgegangen

werden, um geeignete Sch¨

atzmethoden f¨

ur die FE-, bzw. RE-Spezifikation darzustel-

len. Hierbei gelte der interessantere Fall eines unbeobachteten zzz

. Die Darstellungen

folgen i.W. Greene (2003, [34]).

Vgl. etwa Hsiao (1986,[43]), S. 34.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

2.4.2

Sch¨

atzmethoden in statischen Panels

In statischen Modellen lassen sich (I.1)

-(I.3) und (II.1)-(II.3) in Matrixnotation

angeben. F¨

ur die FE-Modellspezifikation gilt insbesondere (I.1 ) E(

) = 0, f¨

den RE-Modellrahmen

(II.1 ) E(

) = 0. (I.1 ) und (II.1 ) formulieren die

Annahme der strikten Exogenit¨

at der Regressoren X

. In (I.2 ), (I.3 ) und (II.2 ),

(II.3 ) werden die entsprechenden Momente von

, bzw.

ebenfalls auf X

bedingt.

2.4.2.1

Pooled Regression

Wenn die Vektorl¨

ange von zzz

Eins betr¨

agt, bzw. nur ein konstanter Term enthalten

ist, so dass die Modellparameter homogen sind, bietet sich eine sog. Pooled Regres-

sion der Gestalt

= + x

auf Basis aller verf¨

ugbaren Daten an. Auch hier erm¨

oglicht eine OLS-Sch¨

atzung

der k + 1 zeit- und individuenunabh¨

angigen Modellkoeffizienten ,

· · · ,

die

Herleitung konsistenter, effizienter Sch¨

atzer. Im RE-Modell ist einzig die (F)GLS-

Sch¨

atzung effizient.

2.4.2.2

Least Square Dummy Variable-Sch¨

atzung

Ausgangspunkt dieser Sch¨

atzmethode im FE-Modellrahmen ist die Matrixnotation

des Modells in (2.9). Es gilt

= X

+ iii

(2.14)

y = X

+ ,

(2.15)

wobei X

= (X

X, d

, d

· · · ,ddd

= (

) , mit

= (

· · · ,

) ,

= (

· · · ,

Hierbei stellt d

einen zu Einheit i geh¨

origen N T

×1-Dummy Variablen-Spaltenvektor

dar, in dem an den i-ten Stellen jeweils T Werte Eins, alle ¨

ubrigen Null entsprechen.

Alternativ l¨

asst sich die Matrixnotation mittels der Einf¨

uhrung einer N T

× N-

Dummy-Matrix D

= (d

· · · ,ddd

) formulieren als

y = X

+ D

+ .

(2.16)

Zu beachten ist, dass die Datenmatrix X

im Falle (I.1 ) eine zus¨atzliche Spalte bestehend aus

Einsen enth¨

alt, welche den fixen Effekten Rechnung tr¨

agt.

Zur Notation sei erneut auf das Abk¨

urzungsverzeichnis verwiesen.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

Das in (2.16) formulierte, sog. Least Squares Dummy Variable (LSDV)-Modell

stellt ein klassisches Regressionsmodell dar, so dass auf bestehende Ergebnisse zu

dieser Modellklasse zur¨

uckgegriffen und eine OLS- bzw. LSDV-Sch¨

atzung des K +N -

Parametervektors (

) durchgef¨

uhrt werden kann. Herleitung und Bestimmung

des Sch¨

atzers sind trivial und brauchen nicht angegeben zu werden.

Ein wesentlicher Nachteil der LSDV -Methode ist die hohe Anzahl der zu sch¨

atzen-

den Parameter. Insb. im Falle von Mikropanels kommt es deshalb oftmals zu nu-

merischen Instabilit¨

aten. Eine alternative, und wie noch zu zeigen ist, ¨

aquivalente

Methode zur Bestimmung von ^

, ist die sog. Within-Sch¨

atzung.

2.4.2.3

Within-Transformation und -Sch¨

atzer

Das Problem numerischer Instabilit¨

at l¨

asst sich durch eine sog. Within-Transforma-

tion der Daten und eine entsprechende Within-Sch¨

atzung der Modellparameter

l¨

osen. Ausgangspunkt stellt auch hier das Modell (2.16) in seiner FE-Spezifikation

dar. Der Grundgedanke ist, dass durch eine partitionierte Regression zun¨

achst nur

der OLS-Sch¨

atzer des K

× 1 -Koeffizientenvektors hergeleitet wird, so dass in ei-

nem ersten Schritt N Parameter weniger gesch¨

atzt werden m¨

ussen. Unter R¨

uckgriff

auf Ergebnisse zur partitionierten Regression

, l¨

asst sich der OLS-Sch¨

atzer von

in (2.16) formulieren als

= (X

X M

-1

X M

y),

(2.17)

mit M

= III

- D

)

-1

. M

stellt hierbei eine idempotente Projektions-

matrix dar, so dass gilt M

= M

. Ferner ist M

orthogonal zu den Spalten

von D

D, so dass M

D = 0

Allgemein gilt f¨

ur eine T

×K-Datenmatrix A

A = (a

, a

· · · ,aaa

), mit a

als einem

T -dimensionalen Vektor, f¨

ur eine Matrix B

B und f¨

ur eine entsprechenden Projekti-

onsmatrix P

= III

- A

A(A

A A

-1

A , dass P

B = 0

0 und P

= 0

0, f¨

ur alle j.

Der Sch¨

atzer in (2.17) wird auch Within-, bzw. FE-Sch¨

atzer genannt und kann

mittels zweier verwandter Methoden bestimmt werden. Eine Methode basiert auf der

Uberlegung, dass aufgrund der Idempotenz von M

, der Sch¨

atzer in (2.17) auch dem

Koeffizientensch¨

atzer einer Regression der transformierten y

y-Werte, y

= M

y, auf

Vgl. etwa Greene (2003, [34]), S. 26 ff.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

das transformierte Datenset X

= M

X entsprechen muss. Eine Vormultiplikation

von (2.16) mit M

liefert

y = M

+ M

(2.18)

da M

= 0

0. Ein besseres Verst¨

andnis der Transformation in (2.18) erfordert

eine genauere Betrachtung der Projektionsmatrix M

. In Folge der paarweisen Or-

thogonalit¨

at der Spaltenvektoren der Dummy-Matrix D

, l¨

asst sich diese als block-

diagonale Matrix der Form

= I

(2.19)

= III

iii

(2.20)

darstellen. Bemerkenswert ist nun, dass jede Vormultiplikation eines beliebigen T

×1-

Vektors zzz

mit M

, gleichbedeutend ist mit M

zzz

= zzz

-¯ziii, wobei ¯z den Durchschnitt

uber s¨

amtliche Beobachtungszeitpunkte f¨

ur Einheit i darstellt. Es findet eine Mit-

telwertbereinigung und eine einhergehende Eliminierung der fixen Effekte statt. Be-

zeichnet wird diese Transformation als Within-Transformation. Deshalb ist (2.18)

aquivalent zur Regression

- ¯y

i·

) = (x

- ¯xxx

i·

)

+ (

- ¯

i·

(2.21)

Die zweite Methode basiert auf zwei Hilfsregressionen. Da im klassischen linearen

Modell M

y = ^

OLS

gilt, wird eine Matrix der Gestalt M

in (2.17) als Residual

Maker bezeichnet. Dementsprechend k¨

onnen die transformierten Werte y

= M

bzw. X

= M

X, alternativ auch als St¨

orgr¨

oßen der Gestalt

= y

- D

(2.22)

= X

- D

(2.23)

bestimmt werden. Hierbei stellen ^

, ^

die OLS-Sch¨

atzer zweier Hilfsregressionen

von y

y nur auf D

D, und von X

X nur auf D

D dar. Das Frisch Waugh-Theorem

besagt

nun, dass sich der Sch¨

atzer f¨

in (2.16) auch alternativ mittels einer Regression

von y

auf X

bestimmen l¨

asst. Mit der Idempotenz von M

, lassen sich der Sch¨

atzer

Vgl. Greene (2003,[34]), S. 27.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

in (2.17) f¨

ur die Modelle (2.16), (2.18), sowie dessen Varianzsch¨

atzer formulieren als

= (X

)

-1

(2.24)

V ar(^

) = ^

X M

-1

(2.25)

mit ^

= (nT

- n - k)

-1

i=1

t=1

und ^

= y

- ^

- xxx

. Der LSDV-

Sch¨

atzer f¨

in Abschnitt 2.4.2.2 ist also ¨

aquivalent mit obigem Within-, bzw.

FE-Sch¨

atzer

. Anzumerken ist, dass solange im FE-Modell in (2.9) von einer stren-

gen Exogenit¨

at der Regressoren, bzw. E(

X) ausgegangen wird und

u.i.v.

(0,

)

gilt, sich zeigen l¨

asst, dass der FE-Sch¨

atzer f¨

BLUE ist. Eine GLS-Sch¨

atzung

von (2.18) f¨

uhrt zu einem identischen Sch¨

atzer

. Wie aus (2.25) zu ersehen ist,

kann sowohl f¨

ur T

, als auch N von einer Konsistenz des Sch¨atzers ^

ausgegangen werden.

Hinsichtlich des RE-Modellrahmens in (2.10) ist anzumerken, dass der FE-Sch¨

atzer

unverzerrt und konsistent, jedoch ineffizient ist. Eine Within-Transformation eines

RE-Modells der Gestalt (2.10) f¨

uhrt, analog zu (2.18), zwar zu einer Eliminierung

der nunmehr zuf¨

alligen individuellen Effekte

. Zeitgleich geht jedoch die Between

Group-Variation der Daten, bzw. deren Informationsgehalt verloren, was in endli-

chen Stichproben zu ineffizienten Sch¨

atzern f¨

uhrt

. Die Ineffizienz motiviert eine

(F)GLS-Sch¨

atzung.

2.4.2.4

Robuster Varianzsch¨

atzer von Arellano (1987)

Ausgangspunkt der ¨

Uberlegungen stellt das FE-Modell in (2.9), bzw. (2.14), unter

dem in Unterabschnitt 2.4.2 geschilderten Annahmenkomplex (I.1 )

- (I.3 ), dar.

W¨

ahrend der FE-Sch¨

atzer unter diesen Annahmen BLUE ist, geht mit Verletzung

von Annahme (I.3 ) die Effizienz-Eigenschaft verloren. Insbesondere sind Inferen-

zen auf Basis des Varianzsch¨

atzers in (2.25) irref¨

uhrend. Mit der Annahme, dass

u.i.v.

(000,

), wobei E(

it is

) =

its

, also ausgehend von querschnittsun-

abh¨

angigen, jedoch einheitenpezifisch heteroskedastischen und autokorrelierten Mo-

dellresiduen, leitet Arellano (1987,[2]) den korrekten, bzw. robusten Varianzsch¨

atzer

Der Sch¨

atzer ^

, sowie V ar(^

) k¨

onnen etwa Greene (2003, [34]) entnommen werden.

In (2.18) gilt E(

) =

, mit

= M

, wobei M

III

f¨

ur große T .

Vgl. Hsiao (1986,[43]), S. 34.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

des FE-Sch¨

atzers ^

her.

Unter dieser Annahme und f¨

ur ein N

l¨asst sich f¨ur den FE-Sch¨atzer aus (2.17)

N (^

- )

N (000,M

-1

V M

-1

schreiben, wobei M

M = plim

-1

) und V

V = plim

-1

i=1

)

gilt und analog zu Abschnitt 2.4.2.3 X

= M

X und X

= M

gesetzt wird.

Den Sch¨

atzer von V

V gibt Arellano an als

V = N

-1

i=1

mit ^

= y

- X

. Da wegen der Idempotenz der Within-Projektionsmatrix M

= X

, mit

= M

, gilt, kann von einer Konsistenz von ^

f¨

ur V

V ausgegangen werden. Der robuste Varianzsch¨

atzer des Within-Sch¨

atzers l¨

asst

sich somit angeben als

V ar(^

W ith

) = (X

)

-1

i=1

)

-1

(2.26)

2.4.2.5

(Feasible) Generalized Least Squares

W¨

ahrend das Gauss Markov -Theorem

die BLUE-Eigenschaft des OLS-Sch¨

atzers

u.a. von den Annahmen abh¨

angig macht, dass die Residuen homoskedastisch und

nicht autokorreliert sind, bewirkt die Zeitkonstanz der zuf¨

alligen individuellen Ef-

fekte im RE-Modellrahmen eine Verletzung insb. der Autokorrelations-Annahme.

Effizienzgr¨

unde motivieren eine GLS-Sch¨

atzung des Koeffizientenvektors, welche der

Information in der Kovarianz-Matrix besser Rechnung tr¨

agt. Ausgangspunkt sei die

Matrixnotation von (2.10). Es gilt

y = X

(2.27)

mit

als dem N T -dimensionalen Vektor der zusammengesetzten St¨

orgr¨

oßen. Der

GLS-Sch¨

atzer der Steigungskoeffizienten in (2.27) hat unter Ber¨

ucksichtigung von

(2.13) die Form

GLS

= (X

-1

y =

i=1

-1

i=1

-1

(2.28)

Vgl. Greene (2003,[34]) S., 45 ff.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

Eine ¨

aquivalente Vorgehensweise ist, (2.27) in ein klassisches lineares Modell zu

transformieren und den GLS-Sch¨

atzer mittels der OLS-Methodik herzuleiten. Die

Transformation besteht in einer Vormultiplikation von X

und y

mit dem Aus-

druck

-1/2

= (III

)

-1/2

, wobei lediglich

-1/2

zu bestimmen ist. Aus einer

Cholesky-Zerlegung von

-1

ergibt sich

-1/2

-1

(III

iii

), mit = 1

(

+ T

)

-1

. Der transformierte Vektor der Panelwerte f¨

ur Individuum i l¨

asst

sich nun darstellen als

-1/2

-1

- ¯y

i·

, y

- ¯y

i·

· · · , y

- ¯y

i·

) . Analoges

gilt f¨

ur die Transformation der Zeilenvektoren von X

. Die Vormultiplikation der

Modellresiduen mit der Gewichtungsmatrix,

-1/2

, bewirkt vor allen Din-

gen, dass f¨

ur die Kovarianzmatrix der transformierten Residuen E(

) = III

gilt.

Da die Annahmen des klassischen Modells wieder erf¨

ullt sind, kann auf bestehende

Ergebnisse zur¨

uckgegriffen werden.

Die nachfolgend zu t¨

atigende Regression der (gewichteten und) mittelwertberei-

nigten Werte y

auf die entsprechend transformierten Werte x

zeigt die ¨

Ahnlichkeit

zur LSDV-Methodik, im Rahmen derer = 1 angenommen wird.

Wenn die Komponenten der Kovarianz-Matrix (2.13) bekannt sind, ist oben be-

schriebene GLS-Methode anzuwenden. Da dies jedoch nicht der Fall sein wird, ist

die GLS-Sch¨

atzung unfeasible bzw. nicht durchf¨

uhrbar, so dass zun¨

achst

gesch¨

atzt

werden muss. Problematisch ist, dass im Falle einer symmetrisch-positiv definiten

Matrix

prinzipiell N T (N T + 1)/2 Komponenten gesch¨

atzt werden m¨

ussen, was

angesichts von nur N T Beobachtungen unmachbar ist. Im RE-Modell in (2.10) wird

dieses Problem dank der einfachen Struktur der blockdiagonalen Kovarianzmatrix

in (2.13) umgangen. Jede der Matrizen

ist auf der Hauptdiagonalen mit

(

), auf den Nebendiagonalen hingegen mit

besetzt. Dementspechend sind

also zun¨

achst

und

, bzw. ^

zu sch¨

atzen, um anschließend den FGLS-Sch¨

atzer

herzuleiten. F¨

ur Modell (2.27) stellt sich dieser dar als

F GLS

= (X

X ^

-1

X ^

-1

(2.29)

Es l¨

asst sich zeigen, dass dieser unter sehr allgemeinen Bedingungen asymptotisch

aquivalent mit dem GLS-Sch¨

atzer aus (2.28) ist. Von besonderer Bedeutung hier-

bei ist, dass ein asymptotisch effizienter FGLS-Sch¨

atzer keine effizienten, sondern

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

lediglich konsistente Sch¨

atzer f¨

und

ben¨

otigt

. Deshalb wird der Datensatz

zun¨

achst, analog zu Abschnitt 2.4.2.3, mittels der Within-Sch¨

atzung um die indivi-

duelle Heterogenit¨

at bereinigt, um gleichzeitig konsistent gesch¨

atzte St¨

orgr¨

oßen ^

zu erhalten. Hierauf aufbauend lassen sich dann

konsistent sch¨

atzen.

Die gesch¨

atzte, asymptotische Kovarianzmatrix des FGLS-Sch¨

atzers entspricht

der inversen Matrix in (2.29) und ist gegeben als

F GLS

= (X

X ^

-1

(2.30)

Problematisch im Hinblick auf den herzuleitenden FGLS-Sch¨

atzer in (2.29) ist,

dass dieser sich nur im Falle einer invertierbaren, bzw. nichtsingul¨

aren N

× N-

Matrix ^

bestimmen l¨

asst. Ist etwa ^

A A

A, wobei A

A = (^

· · · , ^

) und ^

· · · , ^

i,T

) , so gilt Rg[ ^

] = Rg [A

A]. Deshalb besitzt ^

nur dann vollen Rang N ,

wenn T > N .

Abschließend sei angemerkt, dass wenn trotz korrelierter individueller Effekte, ein

RE-Modell der Art (2.10) formuliert wird, bzw. dessen Annahmen nicht erf¨

ullt sind,

der (F)GLS-Sch¨

atzer inkonsistent ist. Der (F)GLS-Sch¨

atzer wird auch als Random

Effects-Sch¨

atzer bezeichnet.

2.4.3

Sch¨

atzmethoden in station¨

aren dynamischen Panels

Da viele zu untersuchenden Variablen, sowohl in mikro-, als auch makro¨

okonomi-

schen Zusammenh¨

angen, von ihrer eigenen Vergangenheit abh¨

angig sind, kommt

dynamischen Modellen auch im Kontext der Panelanalyse eine besondere Bedeu-

tung zu. Nachfolgende Darstellungen sind i.W. Arellano (2003,[3]) entlehnt.

Ausgangspunkt der ¨

Uberlegungen sei ein station¨

ares, autoregressives Panelm-

odell erster Ordnung der Gestalt y

+ y

i,t-1

. Das entsprechende FE-,

bzw. RE-Modell in Matrixnotation lautet, analog zu (2.16) und (2.27),

y = D

+ y

-1

+ ,

(2.31)

y = y

-1

(2.32)

Eine Stationarit¨

at der Prozesse (2.31) und (2.32) setzt voraus, dass

|| < 1, bzw.

die Nullstellen des charakteristischen Polynoms (1

- z) außerhalb des Einheits-

Vgl. Greene (2003, [34]) S. 208 ff.

KAPITEL 2. PANELMODELLIERUNG

kreises liegen

. In Abschnitt 2.4.2 wurde festgestellt, dass die Annahme strikter

Exogenit¨

at erkl¨

arender Variablen grundlegend f¨

ur die Erwartungstreue und Konsi-

stenz der LS -Sch¨

atzer ist.

Im Kontext dynamischer FE-Modelle der Art (2.31) stellen sich zwei Proble-

me. Ein Problem ist, dass die strikte Exogenit¨

at in Folge der Endogenit¨

at des Re-

gressorenvektors y

-1

nicht gewahrt ist; insb. gilt Corr(y

i,t-1

i,t-j

) = 0, f¨

ur alle

1. Dementsprechend ist in dynamischen FE-Modellen von Annahmenkomplex

(I.1)

-(I.3), insbesondere (I.1) E(

, y

i,t-1

) = 0 auszugehen. Diese Annahme im-

pliziert, dass es sich bei

um eine f¨

ur Einheit i, in Periode t eintretende Innovation

handelt, die keinerlei Korrelation zu heutigen und vergangenen, wohl aber zu k¨

unf-

tigen Regressoren aufweisen darf. Es l¨

asst sich zeigen, dass unter recht allgemeinen

Bedingungen Erwartungstreue und Konsistenz des OLS-Sch¨

atzers gewahrt bleiben.

Problematisch ist diese Annahme allerdings nicht nur im Falle dynamischer FE-

Modelle, deren Regressoren Messfehlern unterliegen und/oder autokorrelierte Mo-

dellresiduen aufweisen. In letzerem Falle ist n¨

amlich das kontempor¨

are Residuum

mit seinem verz¨

ogerten Wert

i,t-1

, dieser wiederum mit y

i,t-1

korreliert. Pro-

blematisch ist diese Annahme insbesondere auch in Anbetracht der in Unterab-

schnitt 2.4.2.3 geschilderten Within-Transformation, worauf im n¨

achsten Abschnitt

eingegangen werden soll. In allen diesen F¨

allen ist eine Instrumental Variables (IV)-

Sch¨

atzung anzuraten.

Das Problem im Kontext dynamischer RE-Modelle der Art (2.32) hingegen ist,

dass Corr(y

i,t

) = 0, f¨

ur alle s, t. Die zusammengesetzte St¨

orgr¨

oße,

, und y

werden ¨

uber den Effekt

zu jedem Zeitpunkt korrelieren, so dass die LS-Sch¨

atzer,

also auch der GLS-Sch¨

atzer, verzerrt und inkonsistent sind. Es l¨

asst sich zeigen,

dass der Bias insb. von den Annahmen ¨

uber die Startwerte y

abh¨

angt. Auch in

dynamischen RE-Modellen liefert die IV-Methodik konsistente Sch¨

atzer.

Vgl. etwa Hamilton (1994,[39]), S. 53 ff.

Details

Seiten
Erscheinungsform: Originalausgabe
Jahr: 2007
ISBN (eBook): 9783842819740
DOI: 10.3239/9783842819740
Dateigröße: 917 KB
Sprache: Deutsch
Institution / Hochschule: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg – Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Studiengang Volkswirtschaftslehre
Erscheinungsdatum: 2011 (August)
Note: 1,0
Schlagworte: statistik ökonometrie nichtstationarität einheitswurzel panelmodell

Autor

Selim Dedekarginoglu (Autor:in)

Nichtstationarität und Einheitswurzeln in dynamischen Panelmodellen

Zusammenfassung

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

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Autor

Selim Dedekarginoglu (Autor:in)