Theorie und Numerik unterschiedlicher Elementformulierungen von Scheibenproblemen
©2010
Bachelorarbeit
60 Seiten
Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Einleitung:
Elementformulierungen egal welcher Art basieren zunächst auf einem dreidimensionalen Problem. Durch Annahmen und Umformungen wird dieses Problem auf eine Form heruntergebrochen, mit der man, mit möglichst wenig Rechenleistung bzw. -aufwand, Berechnungen durchführen kann, die eine zufriedenstellende Lösung bieten. In diesem Sinne werden zu Beginn dieser Arbeit Grundgleichungen aufgestellt und auf die, für Scheibenprobleme, nötige Dimension reduziert. Mit diesen Grundgleichungen kann dann die Definition der Verschiebungsmethode erfolgen und es können auch die Schwächen dieser Definition herauskristallisiert werden.
Das Ziel dieser Thesis ist es nach der Einführung in die Elementformulierungen für Scheibenprobleme anhand der Verschiebungsmethode aufbauend darauf andere Elementformulierungen vorzustellen und zu diskutieren, die die Schwächen der Verschiebungsmethode nicht aufweisen bzw. effizienter sind. Die Theorie dieser Formulierungen soll besprochen und danach an konkreten numerischen Beispielen veranschaulicht werden.
Zu den ausgewählten Elementformulierungen gehören neben der Verschiebungsmethode (Kapitel 3) noch die B -Methode (Kapitel 5) und im Kapitel 6 die Enhanced Strain Methode. Es wird stets die Elementebene betrachtet, da hier die wichtigsten Informationen herauszulesen sind. Anschließend soll das Kapitel 7 noch einige Hinweise zur Assemblierung der Elementinformationen zum Gesamtsystem geben. Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1Einleitung1
2Grundgleichungen3
2.1Kräftegleichgewichtsbedingung3
2.2Kinematik4
2.3Werkstoffgesetz5
2.4Randwertproblem8
3Verschiebungsmethode11
3.1Schwache Form der Verschiebungsmethode11
3.2Diskretisierung der Verschiebungsmethode12
3.3Implementierung der Verschiebungsmethode15
3.4Untersuchung zur Querkontraktion mit der Verschiebungsmethode15
4Locking19
5B-bar Methode21
5.1Schwache Form der B-bar Methode21
5.2Diskretisierung der B-bar Methode22
5.3Implementierung der B-bar Methode 23
5.4Untersuchung zur Querkontraktion mit der B-bar Methode25
6Enhanced Strain Methode27
6.1Schwache Form der Enhanced Strain Methode27
6.2Diskretisierung der Enhanced Strain Methode28
6.3Implementierung der Enhanced Strain Methode30
6.4Effizienz-Vergleich der EAS-Modi30
6.5Untersuchung zur Querkontraktion mit der EAS-Methode32
7FEM-Umsetzung35
7.1Programmstruktur35
7.2Numerische Integration36
7.3Hard- und Softwareinformationen37
8Numerische […]
Elementformulierungen egal welcher Art basieren zunächst auf einem dreidimensionalen Problem. Durch Annahmen und Umformungen wird dieses Problem auf eine Form heruntergebrochen, mit der man, mit möglichst wenig Rechenleistung bzw. -aufwand, Berechnungen durchführen kann, die eine zufriedenstellende Lösung bieten. In diesem Sinne werden zu Beginn dieser Arbeit Grundgleichungen aufgestellt und auf die, für Scheibenprobleme, nötige Dimension reduziert. Mit diesen Grundgleichungen kann dann die Definition der Verschiebungsmethode erfolgen und es können auch die Schwächen dieser Definition herauskristallisiert werden.
Das Ziel dieser Thesis ist es nach der Einführung in die Elementformulierungen für Scheibenprobleme anhand der Verschiebungsmethode aufbauend darauf andere Elementformulierungen vorzustellen und zu diskutieren, die die Schwächen der Verschiebungsmethode nicht aufweisen bzw. effizienter sind. Die Theorie dieser Formulierungen soll besprochen und danach an konkreten numerischen Beispielen veranschaulicht werden.
Zu den ausgewählten Elementformulierungen gehören neben der Verschiebungsmethode (Kapitel 3) noch die B -Methode (Kapitel 5) und im Kapitel 6 die Enhanced Strain Methode. Es wird stets die Elementebene betrachtet, da hier die wichtigsten Informationen herauszulesen sind. Anschließend soll das Kapitel 7 noch einige Hinweise zur Assemblierung der Elementinformationen zum Gesamtsystem geben. Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1Einleitung1
2Grundgleichungen3
2.1Kräftegleichgewichtsbedingung3
2.2Kinematik4
2.3Werkstoffgesetz5
2.4Randwertproblem8
3Verschiebungsmethode11
3.1Schwache Form der Verschiebungsmethode11
3.2Diskretisierung der Verschiebungsmethode12
3.3Implementierung der Verschiebungsmethode15
3.4Untersuchung zur Querkontraktion mit der Verschiebungsmethode15
4Locking19
5B-bar Methode21
5.1Schwache Form der B-bar Methode21
5.2Diskretisierung der B-bar Methode22
5.3Implementierung der B-bar Methode 23
5.4Untersuchung zur Querkontraktion mit der B-bar Methode25
6Enhanced Strain Methode27
6.1Schwache Form der Enhanced Strain Methode27
6.2Diskretisierung der Enhanced Strain Methode28
6.3Implementierung der Enhanced Strain Methode30
6.4Effizienz-Vergleich der EAS-Modi30
6.5Untersuchung zur Querkontraktion mit der EAS-Methode32
7FEM-Umsetzung35
7.1Programmstruktur35
7.2Numerische Integration36
7.3Hard- und Softwareinformationen37
8Numerische […]
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Sergej Oks
Theorie und Numerik unterschiedlicher Elementformulierungen von
Scheibenproblemen
ISBN: 978-3-8428-2156-9
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2011
Zugl. Technische Universität Dortmund, Dortmund, Deutschland, Bachelorarbeit, 2010
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© Diplomica Verlag GmbH
http://www.diplomica.de, Hamburg 2011
iii
.
Inhaltsangabe
Die vorliegende Arbeit besch¨
aftigt sich mit der Theorie und der Numerik von
ausgew¨
ahlten Elementformulierungen f¨
ur Scheibenprobleme. Behandelt werden außer
der klassischen Verschiebungsmethode noch gemischte Formulierungen, in solchen
Methoden werden neben den Verschiebungen unabh¨
angig davon noch andere Gr¨
oßen
(z.B. Spannungen und/oder Dehnungen) gesucht. Das Hauptaugenmerk wird im Rahmen
dieser Thesis auf die zwei Spezialf¨
alle B-bar und die Enhanced Strain Methode gelegt,
beide werden ausf¨
uhrlich diskutiert. Die Ann¨
aherung an Inkompressibilit¨
at verursacht
bei Scheibenelementen, die mit der Verschiebungsmethode gerechnet werden, einen
materiellen Versteifungseffekt (Locking) und damit auch trotz Verfeinerung des Netzes
eine Verschlechterung der Konvergenz gegen eine exakte L¨
osung. Die aufgef¨
uhrten ge-
mischten Methoden haben dieses Defizit nicht, sie weisen sogar durchweg ein verbessertes
Konvergenzverhalten auf. Neben dem materiellen Locking wird noch geometrisches
Locking von Scheibenelementen untersucht und damit eine ganzheitliche Betrachtung zu
Locking-Ph¨
anomenen bei solchen Elementen gegeben.
Summary
The present work deals with the theory and the numerics of chosen element
formulations of plane problems. This will consider beside the classical displacement
method as well mixed formulations, in such methods in addition to the displacements
independently other values (e.g. stresses and/or strains) are sought. The main focus is in
this thesis on the two special instances B-bar and the Enhanced Strain Method, both are
discussed detailed. The approximation to incompressibility doing with plane elements,
which are calculated with the displacement method, causes a material locking-effect and
thus despite netrefinement a deterioration of the convergence to an exact solution. The
listed mixed methods do not have this deficit, they even have consistently improved
convergence behavior. In addition to the material locking also geometric locking of plane
elements is investigated and therefore a holistic approach to locking-phenomena in such
elements is given.
Inhaltsverzeichnis
v
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Grundgleichungen
3
2.1
Kr¨
aftegleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Werkstoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Verschiebungsmethode
11
3.1
Schwache Form der Verschiebungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Diskretisierung der Verschiebungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3
Implementierung der Verschiebungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.4
Untersuchung zur Querkontraktion mit der Verschiebungsmethode . . . . .
15
4 Locking
19
5 B-bar Methode
21
5.1
Schwache Form der B-bar Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.2
Diskretisierung der B-bar Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5.3
Implementierung der B-bar Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.4
Untersuchung zur Querkontraktion mit der B-bar Methode . . . . . . . . .
25
6 Enhanced Strain Methode
27
6.1
Schwache Form der Enhanced Strain Methode . . . . . . . . . . . . . . . .
27
6.2
Diskretisierung der Enhanced Strain Methode . . . . . . . . . . . . . . . .
28
6.3
Implementierung der Enhanced Strain Methode . . . . . . . . . . . . . . .
30
6.4
Effizienz-Vergleich der EAS-Modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
6.5
Untersuchung zur Querkontraktion mit der EAS-Methode . . . . . . . . . .
32
7 FEM-Umsetzung
35
7.1
Programmstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
7.2
Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
7.3
Hard- und Softwareinformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
8 Numerische Untersuchungen
39
8.1
Materialparameter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
8.2
Geometrie (Vernetzung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
8.3
Cook's Membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
9 Zusammenfassung
51
Literatur
53
1
1
Einleitung
"
Phantasie ist wichtiger als Wissen,
denn Wissen ist begrenzt."
Albert Einstein
Elementformulierungen egal welcher Art basieren zun¨
achst auf einem dreidimensiona-
len Problem. Durch Annahmen und Umformungen wird dieses Problem auf eine Form
heruntergebrochen, mit der man, mit m¨
oglichst wenig Rechenleistung bzw. -aufwand, Be-
rechnungen durchf¨
uhren kann, die eine zufriedenstellende L¨
osung bieten. In diesem Sinne
werden zu Beginn dieser Arbeit Grundgleichungen aufgestellt und auf die, f¨
ur Schei-
benprobleme, n¨
otige Dimension reduziert. Mit diesen Grundgleichungen kann dann die
Definition der Verschiebungsmethode erfolgen und es k¨
onnen auch die Schw¨
achen dieser
Definition herauskristallisiert werden.
Das Ziel dieser Thesis ist es nach der Einf¨
uhrung in die Elementformulierungen f¨
ur Schei-
benprobleme anhand der Verschiebungsmethode aufbauend darauf andere Elementformu-
lierungen vorzustellen und zu diskutieren, die die Schw¨
achen der Verschiebungsmethode
nicht aufweisen bzw. effizienter sind. Die Theorie dieser Formulierungen soll besprochen
und danach an konkreten numerischen Beispielen veranschaulicht werden.
Zu den ausgew¨
ahlten Elementformulierungen geh¨
oren neben der Verschiebungsmethode
(Kapitel 3) noch die ¯
B-Methode (Kapitel 5) und im Kapitel 6 die Enhanced Strain Me-
thode. Es wird stets die Elementebene betrachtet, da hier die wichtigsten Informationen
herauszulesen sind. Anschließend soll das Kapitel 7 noch einige Hinweise zur Assemblie-
rung der Elementinformationen zum Gesamtsystem geben.
3
2
Grundgleichungen
Die Formulierung eines Problems setzt Annahmen und Gleichungen voraus. Unter der
Voraussetzung, dass im Rahmen der vorliegenden Arbeit nur auf lineare Problemstellun-
gen eingegangen wird, findet in diesem Abschnitt die Zusammenstellung der ben¨
otigten
Gleichungen f¨
ur Scheibenformulierungen statt.
2.1
Kr¨
aftegleichgewichtsbedingung
Das Kr¨
aftegleichgewicht an einem deformierten statischen System wird im Kontinuierli-
chen mit dem sogenannten Cauchy
1
-Spannungstensor ^
sowie der Volumenkraftdichte b,
etwa Gravitation, definiert
div ^
+ b = 0.
(2.1)
xx
zz
yy
xy
zy
yz
xz
zx
yx
b
x
b
y
b
z
X
Y
Z
Abbildung 2.1: Gebiet (tensorielle Notation der Indizes)
Das betrachtete Gebiet ist im Allgemeinen der
R
3
. In den Zeilen sieht man die Belast-
ungs- und Reaktionsm¨
oglichkeiten eines K¨
orpers und aus den Spalten der Spannungsma-
trix kann man die Dimension des K¨
orpers ablesen (3 Spalten
allgemeiner dreidimensio-
naler K¨
orper, 2 Spalten
scheibenf¨ormiger K¨orper und 1 Spalte stabf¨ormiger K¨orper).
Das Kr¨
aftegleichgewicht f¨
ur den dreidimensionalen Fall kann man in Matrizenschreibweise
1
Cauchy
, Augustin Louis (1789 - 1857): franz¨
osischer Mathematiker
4
2
Grundgleichungen
wie folgt hinschreiben
xx,x
+
xy,y
+
xz,z
yx,x
+
yy,y
+
yz,z
zx,x
+
zy,y
+
zz,z
+
b
x
b
y
b
z
=
0
0
0
.
(2.2)
Im Rahmen dieser Arbeit wollen wir Scheibenprobleme behandeln und m¨
ussen deshalb ei-
ne Dimensionsreduktion durchf¨
uhren. Wie oben erw¨
ahnt, hat ein scheibenf¨
ormiger K¨
orper
nur zwei Spalten in der Spannungsmatrix. Er hat in einer Richtung, wir w¨
ahlen daf¨
ur die
z-Richtung, eine sehr viel geringere Abmessung als in den anderen Richtungen. Die Ab-
messung in z-Richtung strebt gegen Null und die in diese Richtung wirkenden Spannungen
k¨
onnen n¨
aherungsweise als konstant angenommen werden, daraus folgt, dass die Ableitun-
gen der Spannungen nach z verschwinden. F¨
ur die Scheibe wird zus¨
atzlich gefordert, dass
es keine Belastungen in z-Richtung geben soll und damit auch keine Plattenwirkung akti-
viert wird. Somit kann man auch die Schubspannungen, die von der z-Richtung abh¨
angen
(3. Zeile), streichen
xx,x
+
xy,y
yx,x
+
yy,y
+
b
x
b
y
=
0
0
.
(2.3)
Es bleiben also nur noch die Normalspannungen in x- und y-Richtung sowie die Schub-
spannungen aus der Kombination der beiden Richtungen, der Spannungstensor ist somit
zu einer 2
× 2 Matrix geworden. Da der Cauchy-Spannungstensor symmetrisch ist, kann
man ihn nach Voigtscher
1
Notation in einen Vektor umschreiben, indem man die symme-
trischen Anteile zusammenfasst. Dazu muss man gleichzeitig die sogenannte Differential-
operatormatrix
D einf¨uhren. Nicht zu vergessen ist, dass eine L¨osung der Gleichung nur
gefunden werden kann, wenn eine der Variablen bekannt ist, hier ist es die Volumenlast
b = ¯b, womit folgt
D
T
+ ¯b = 0.
(2.4)
Im Zweidimensionalen gilt dann
x
0
y
0
y
x
xx
yy
xy
+
¯b
x
¯b
y
=
0
0
.
(2.5)
2.2
Kinematik
¨
Aquivalent zur Reduktion der Kr¨
aftegleichgewichtsbedingung vom
R
3
zum
R
2
kann auch
die Kinematik (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung) reduziert werden. Der sogenannte
1
Voigt
, Woldemar (1850 - 1919): deutscher Physiker
2.3
Werkstoffgesetz
5
Green
1
-Lagrangesche
2
Verzerrungstensor ist wie folgt definiert
^
E =
1
2
(grad
u
T
+ grad
u + grad u
T
grad
u).
(2.6)
Bei nur kleinen Verschiebungen kann der quadratische (nicht-lineare) Anteil vernachl¨
assigt
werden. Im Rahmen dieser Thesis ist es ausreichend sich auf den dadurch resultierenden
linearisierten Verzerrungstensor zu beschr¨
anken, da nur lineare Problemstellungen behan-
delt werden sollen. Es gilt
^
=
1
2
(grad
u
T
+ grad
u) =
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
.
(2.7)
Nach Voigtscher Notation l¨
asst sich der linearisierte Verzerrungstensor analog zum Span-
nungstensor als Vektor darstellen. Reduziert auf den 2D-Fall f¨
ur die Scheibe folgt demnach
mit Hilfe der Differentialoperatormatrix
xx
yy
2
xy
=
xx
yy
xy
=
x
0
0
y
y
x
u
x
u
y
.
(2.8)
Man definiert dabei
= 2 f¨ur die Schubverzerrungen. In Kurzform l¨asst sich die Bezie-
hung folgendermaßen darstellen
= Du.
(2.9)
2.3
Werkstoffgesetz
¨
Uber das Materialgesetz (auch konstitutive Gleichung) koppelt man die Spannungen mit
den Verzerrungen. Dieses Verh¨
altnis wird durch das Hookesche
3
Gesetz beschrieben
^
= C : ^.
(2.10)
Dabei ist der Elastizit¨
atstensor
C ein Tensor 4. Stufe. Nutzt man die Kenntnis ¨uber die
Symmetrie des Spannungs- und Verzerrungstensors und vereinfacht außerdem diese Ten-
sorgleichung f¨
ur linear elastisches und isotropes Material mit konstanten Eigenschaften,
so kann man f¨
ur den 3D-Fall das Stoffgesetz in der folgender Form darstellen
1
Green
, George (1793 - 1841): englischer Mathematiker und Physiker
2
de Lagrange
, Joseph-Louis (1736 - 1813): italienischer Mathematiker und Astronom
3
Hooke
, Robert (1635 - 1703): englischer Physiker, Mathematiker und Erfinder
6
2
Grundgleichungen
xx
yy
zz
xy
yz
xz
=
E
(1 +
)(1 - 2)
1
-
0
0
0
1
-
0
0
0
1
-
0
0
0
0
0
0
1
-2
2
0
0
0
0
0
0
1
-2
2
0
0
0
0
0
0
1
-2
2
xx
yy
zz
xy
yz
xz
. (2.11)
Das Stoffgesetz wird normalerweise mit dem Elastizit¨
atsmodul
E (auch Youngs
1
Modulus)
und der Querkontraktion
(auch Poissonzahl
2
) ausgedr¨
uckt. In der Festk¨
orpermechanik
gibt es außerdem noch den Schubmodul
G und den Kompressionsmodul K, die durch
den folgenden Zusammenhang mit dem E-Modul und der Querkontraktion in Verbindung
stehen
E = 2G(1 + ) = 3K(1 - 2) =
9
KG
3
K + G
,
=
E
2
G
- 1 =
3
K - E
6
K
=
3
K - 2G
6
K + 2G
,
G =
E
2(1 +
)
=
3
KE
9
K - E
= 3
K
1
- 2
2 + 2
,
K =
E
3(1
- 2)
=
GE
9
G - 3E
=
2
G(1 + )
3(1
- 2)
.
(2.12)
Mit der Kenntnis ¨
uber die Zusammenh¨
ange zwischen den Moduln besteht die M¨
oglichkeit
volumetrische (dilatorische) und deviatorische Anteile in der Materialmatrix zu trennen.
Der volumetrische Anteil resultiert aus Volumendehnung bzw. -stauchung und ist somit in
alle Richtungen gleich. Der deviatorische Anteil resultiert aus Verzerrung des Volumens.
Es gilt
C = C
vol
+
C
dev
(2.13)
mit
C
vol
=
Kmm
T
,
C
dev
= 2
G(I
0
-
1
2
mm
T
)
.
(2.14)
Je nachdem ob man den 3D- oder 2D-Fall betrachtet, haben die Hilfsmatrix
I
0
und der
Hilfsvektor
m folgende Gestalt
1
Young
, Thomas (1773 - 1829): englischer Augenarzt und Physiker
2
Poisson
, Sim´
eon-Denis (1781 - 1804): franz¨
osischer Physiker und Mathematiker
2.3
Werkstoffgesetz
7
I
0
=
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0
1
2
0 0
0 0 0 0
1
2
0
0 0 0 0 0
1
2
und
m =
1
1
1
0
0
0
(2.15)
f¨
ur den
R
3
und daraus abgeleitet folgt der f¨
ur Scheibenprobleme interessante 2D-Fall
I
0
=
1 0 0
0 1 0
0 0
1
2
und m =
1
1
0
.
(2.16)
Will man im 2D-Fall die Werkstoffmatrix f¨
ur den volumetrischen Anteil mit Hilfe des
Kompressionsmoduls berechnen, so muss man beachten, dass durch die Reduktion vom
R
3
zum
R
2
ein Vorfaktor hinzukommt, es folgt die volumetrische Werkstoffmatrix f¨
ur den
2D-Fall
C
vol
=
3
2(1 +
)
Kmm
T
.
(2.17)
Alternativ kann der volumetrische Anteil auch berechnet werden mit
C
vol
=
C - C
dev
.
(2.18)
Die Aufteilung in volumetrisch und deviatorisch wird wichtig, wenn man die beiden An-
teile unterschiedlich behandeln m¨
ochte. Am besten lassen sich die unterschiedlichen Wir-
kungen zwischen deviatorisch und volumetrisch an einem kleinen Beispiel mit der Werk-
stoffmatrix f¨
ur den 2D-Fall veranschaulichen
vol + dev
vol
- dev
0
vol
- dev vol + dev
0
0
0
dev
=
vol
vol
0
vol
vol
0
0
0
0
+
dev
-dev
0
-dev
dev
0
0
0
dev
. (2.19)
Die Reduktion vom
R
3
zum
R
2
f¨
uhrt zu zwei unterschiedlichen Anwendungen, dem ebe-
nen Verzerrungszustand (EVZ) und dem ebenen Spannungszustand (ESZ). Im EVZ trifft
man die Annahme
zz
= 0 und erm¨
oglicht damit die Berechnung der Spannungen in z-
Richtung in Abh¨
angigkeit von den Spannungen in x- und y-Richtung
zz
=
(
xx
+
yy
)
(2.20)
Mit dieser Gleichung ist es dann m¨
oglich eine Materialmatrix
C
EVZ
aufzustellen, es folgt
xx
yy
xy
=
E
(1 +
)(1 - 2)
1
-
0
1
-
0
0
0
1
-2
2
xx
yy
xy
(2.21)
8
2
Grundgleichungen
d.h. man berechnet
EVZ
=
C
EVZ
EVZ
.
(2.22)
Wird die Annahme getroffen
zz
= 0, bekommt man eine Gleichung f¨
ur die Verzerrungen
in z-Richtung
zz
=
-
1
-
(
xx
+
yy
)
(2.23)
und damit die entsprechende Gleichung f¨
ur den ebenen Spannungszustand
xx
yy
xy
=
E
(1
-
2
)
1
0
1
0
0 0
1
-
2
xx
yy
xy
(2.24)
gleichbedeutend mit
ESZ
=
C
ESZ
ESZ
.
(2.25)
Die Anwendungen EVZ und ESZ sind auf unterschiedlichen Intervallen definiert. Je nach
Wahl der Poissonzahl wird beim dilatorischen (volumetrischen) Teil eine Teilung durch
Null verursacht. Somit ist der ebene Verzerrungszustand auf dem Intervall
I (-1.0, 0.5)
und der ebene Spannungszustand auf
I (-1.0, 1.0) definiert. Aus physikalischen Gr¨unden
ist eine Betrachtung des Bereichs ¨
uber
= 0.5 nicht n¨otig, da dort bereits Inkompres-
sibilit¨
at erreicht ist. Ein Werkstoff, der diesen Grenzwert erreicht, ist Gummi. Andere
kompressible Medien, wie z.B. Beton (
0.2), Glas und Stahl ( 0.3), haben eine posi-
tive Querkontraktion. Sogenannte auxetische Materialien, etwa bestimmte Carbonfasern,
weisen auch negative Poissonzahlen auf. Setzt man die Querkontraktion auf Null (Kork
(
0)), so bekommt man f¨ur beide Anwendungen, also f¨ur den ebenen Verzerrungszu-
stand und den ebenen Spannungszustand, identische Materialmatrizen
C
EVZ
=
C
ESZ
.
2.4
Randwertproblem
Um ein Problem vern¨
unftig zu formulieren, ben¨
otigt man Randbedingungen und je nach-
dem auch ¨
Ubergangsbedingungen, also den Rahmen in dem das Problem gel¨
ost werden
soll. Wir formulieren ein Randwertproblem mit Kr¨
afte- und Verschiebungsrandbedingun-
gen.
Aus der Kr¨
aftegleichgewichtsbedingung (genauer aus div ^
) kann man mit Hilfe des all-
gemeinen Gaußschen
1
Integralsatzes folgende Beziehung ableiten
div ^ d = -
^
· grad d +
N
^ · n d
N
,
(2.26)
1
Gauß
, Johann Carl Friedrich (1777 - 1855): deutscher Mathematiker, Astronom, Geod¨
at und Physiker
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Erscheinungsjahr
- 2010
- ISBN (eBook)
- 9783842821569
- Dateigröße
- 1.9 MB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Technische Universität Dortmund – Bauingenieurswesen
- Erscheinungsdatum
- 2014 (April)
- Note
- 1,3
- Schlagworte
- grundgleichgungen verschiebungsmethode b-bar methode enhanced strain locking
- Produktsicherheit
- Diplom.de
