Inbetriebnahme und Untersuchung der Möglichkeiten des Cypress PSoC Entwicklungssystems

Helmert, Stefan

Inbetriebnahme und Untersuchung der Möglichkeiten des Cypress PSoC Entwicklungssystems

Zusammenfassung

Inhaltsangabe:Einleitung:
Im Laufe der Zeit wurden elektronische Geräte immer kleiner und vor allem preisgünstiger, dabei steigt die Anzahl der Funktionen weiter. Anfangs waren viele Röhren oder Transistoren nötig um einfachste Aufgaben zu lösen. Seit der Verfügbarkeit von integrierten Schaltkreisen mittlerer Dichte ist es mögliche ein Computersystem auf einer einzigen Leiterplatte unterzubringen. Durch Ändern der Software kann der gleiche Computer an verschiedene Aufgaben angepasst. Da Programme im Betrieb nachgeladen werden können, ist eine dynamische Anpassung an die jeweilige Betriebssituation möglich.
Durch Integration aller für eine programmierbare Steuerung nötigen Elemente auf einem Chip entstand der Mikrocontroller. Dieser war anfangs ein Computer geringer Leistung, welcher jedoch Programm- und Datenspeicher neben dem Mikroprozessor bereits auf dem Chip enthält. Nach und nach wurden leistungsfähigere System mit zusätzlichen Peripheriefunktionen entwickelt. Je mehr Komponenten in ein gemeinsames Bauteil verlagert werden, umso zuverlässiger und günstiger können die daraus gefertigten Produkte sein, denn die Anzahl einzelner Bauteilgehäuse und Verbindungsstellen reduziert sich.
In aktuellen Mikrocontrollern nehmen Peripheriekomponenten wie z. B. USB- und Netzwerkschnittstellen mehr Fläche in Anspruch als die Hauptkomponenten. Es werden ganze Computersystem auf einem Chip zusammengefasst, daher stammt die Bezeichnung System-on-Chip.
Problematisch ist noch die Kombination von Systemen verschiedener Anforderungskategorien auf einem gemeinsamen Chip. Das können z. B. Leistungsschalter für hohe Ströme und Spannungen neben hochintegrierten Rechnerstrukturen sowie präzisen Messschaltungen sein. Deshalb befinden sich der Spannungswandler zur Versorgung des Mikrocontrollers, der Controller selbst sowie analoge Komponenten, z. B. Signalverstärker meistens als separate Bauelemente auf der Platine.
Programmierbare analoge Bausteine z. B. von Anadigm ermöglichen es verschiedene analoge Funktionen in einem Bauteil zusammenzufassen und deren Parameter zur Laufzeit zu ändern. Diesen Bausteine haben den Nachteil, dass sie ihre Konfiguration von einem externen Speicher laden, der ebenfalls auf die Platine unterzubringen ist. Eine dynamische Anpassung ist nur durch einen zusätzlichen Mikrocontroller möglich.
Eine Ein-Chip-Lösung mit analogen und digitalen programmierbaren Komponenten sowie einem Mikrocontroller mit nicht flüchtigem Programmspeicher wird […]

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Stefan Helmert

Inbetriebnahme und Untersuchung der Möglichkeiten des Cypress PSoC

Entwicklungssystems

ISBN: 978-3-8428-0923-9

Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2011

Zugl. Technische Universität Chemnitz, Chemnitz, Deutschland, Bachelorarbeit, 2010

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte,

insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von

Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der

Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen,

bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung

dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen

der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik

Deutschland in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich

vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des

Urheberrechtes.

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in

diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme,

dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei

zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.

Die Informationen in diesem Werk wurden mit Sorgfalt erarbeitet. Dennoch können

Fehler nicht vollständig ausgeschlossen werden und der Verlag, die Autoren oder

Übersetzer übernehmen keine juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für evtl.

verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen.

http://www.diplomica.de, Hamburg 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen

1.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Signalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 LTI- und LSI-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Sonstige Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Realisierung von LTI-Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Approximationsvarianten von IIR-Filtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Tiefpass 1. Ordnung kritisch gedämpfter Tiefpass . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Filter höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Filtersynthese am Beispiel der Butterworth-Approximation . . . . . . . . . 11

1.4 Besonderheiten der Switched-Capacitor-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 SC-Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2 Z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Der PSoC 1

2.1 PSoC-Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Analog-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Continuous-Time-Block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Switched-Capacitor-Block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Usermodule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Digital-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Die Entwicklungsumgebung PSoC DesignerTM

3.1 Eingabefenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Schaltplaneingabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Übertragen der Firmware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Entwurf analoger System mit dem PSoC 1

4.1 Tiefpässe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Verwendete Usermodule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.2 Tiefpass 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.3 Tiefpass 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.4 Tiefpass 6. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.5 Tiefpass 8. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Bandpässe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Der Bandpass-Grundbaustein BPF2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.2 Bandpass 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.3 Bandpass 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.4 Bandpass 6. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.5 Bandpass 8. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Einstellbares Kerbfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.1 Verwendete Usermodule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.2 Bandsperre 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.3 Bandsperre 2. Ordnung alternativer Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Instrumentenverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4.1 INSAMP-Usermodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4.2 Instrumentenverstärker mit > 1000-facher Verstärkung . . . . . . . . . . . . 46

5 Messungen und Auswertungen

5.1 Tiefpässe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Bandpässe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Kerbfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 Instrumentenverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 Fazit

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungen

Bandpass

BQTAP Biquadritic Tap

Bandsperre

CMOS Complementary Metal Oxide Semiconductor

Continuos-Time, zeitkontinuierlich

Dezibel

INV Inverter

LCD Liquid Crystal Display, Flüssigkristallanzeige

OPA Operational Amplifier, Operationsverstärker

PSoC Programmable System on Chip

Switched-Capacitor, geschalteter Kondensator

Switch, Schalter

Tiefpass

Symbole

Ladungsdifferenz

Kreisfrequenz

normierte Kennkreisfrequenz, relativ zu

Bandbreite,

= 2B

Eigenkreisfrequenz, Abklingfrequenz

Mittenkreisfrequenz,

= 2M

nominale Kennkreisfrequenz

Sperrkreisfrequenz

Kennkreisfrequenz eines Bandpasses

Kennkreisfrequenz, Resonanzkreisfrequenz des ungedämpften Systems

res

Resonanzkreisfrequenz

Zeitkonstante

komplexer elektrischer Wechselstrom

komplexe elektrische Wechselspannung

Bandbreite

Kapazität eines Kondensators

geschaltete Kapazität

Dämpfungskonstante

Dämpfungskonstante, d = 2D

Dämpfungskonstante einer Bandpass-Stufe

T P

Dämpfungskonstante einer Tiefpass-Stufe

Frequenz

Schaltfrequenz, Abtastfrequenz

Sperrfrequenz

Grundverstärkung

(p) Übertragungsfunktion, frequenzabhängige Verstärkung und Phasenverschiebung

elektrischer Strom, konstant

elektrischer Strom, zeitlich veränderlich

imaginäre Einheit

Mittenfrequenz

komplexe Kreisfrequenz, aus Abklingkonstante () und Frequenz (j), p = + j

() Filterpolynom

Polstelle eines Bandpasses

T P

Polstelle eines Tiefpasses

Güte, Q =

; Ladung

reeller Widerstand

komplexe Kreisfrequenz, s = p

reziproke Kennkreisfrequenz, T =

Zeit

elektrische Spannung, konstant

elektrische Spannung, zeitlich veränderlich

Eingangswert, Argument im Bildbereich

Eingangswert, Argument im Zeitbereich

Ausgangswert, Funktionswert im Bildbereich

Ausgangswert, Funktionswert im Zeitbereich

komplexer Widerstand

komplexe Frequenz, z-transformiert, z = e

Motivation

Im Laufe der Zeit wurden elektronische Geräte immer kleiner und vor allem preisgünstiger, da-

bei steigt die Anzahl der Funktionen weiter. Anfangs waren viele Röhren oder Transistoren nötig

um einfachste Aufgaben zu lösen. Seit der Verfügbarkeit von integrierten Schaltkreisen mittlerer

Dichte ist es mögliche ein Computersystem auf einer einzigen Leiterplatte unterzubringen. Durch

Ändern der Software kann der gleiche Computer an verschiedene Aufgaben angepasst. Da Pro-

gramme im Betrieb nachgeladen werden können, ist eine dynamische Anpassung an die jeweilige

Betriebssituation möglich.

Durch Integration aller für eine programmierbare Steuerung nötigen Elemente auf einem Chip

entstand der Mikrocontroller. Dieser war anfangs ein Computer geringer Leistung, welcher jedoch

Programm- und Datenspeicher neben dem Mikroprozessor bereits auf dem Chip enthält. Nach

und nach wurden leistungsfähigere System mit zusätzlichen Peripheriefunktionen entwickelt. Je

mehr Komponenten in ein gemeinsames Bauteil verlagert werden, umso zuverlässiger und günsti-

ger können die daraus gefertigten Produkte sein, denn die Anzahl einzelner Bauteilgehäuse und

Verbindungsstellen reduziert sich.

In aktuellen Mikrocontrollern nehmen Peripheriekomponenten wie z. B. USB- und Netzwerk-

schnittstellen mehr Fläche in Anspruch als die Hauptkomponenten. Es werden ganze Computer-

system auf einem Chip zusammengefasst, daher stammt die Bezeichnung System-on-Chip.

Problematisch ist noch die Kombination von Systemen verschiedener Anforderungskategorien

auf einem gemeinsamen Chip. Das können z. B. Leistungsschalter für hohe Ströme und Span-

nungen neben hochintegrierten Rechnerstrukturen sowie präzisen Messschaltungen sein. Deshalb

befinden sich der Spannungswandler zur Versorgung des Mikrocontrollers, der Controller selbst

sowie analoge Komponenten, z. B. Signalverstärker meistens als separate Bauelemente auf der

Platine.

Programmierbare analoge Bausteine z. B. von Anadigm [1] ermöglichen es verschiedene analoge

Funktionen in einem Bauteil zusammenzufassen und deren Parameter zur Laufzeit zu ändern.

Diesen Bausteine haben den Nachteil, dass sie ihre Konfiguration von einem externen Speicher

laden, der ebenfalls auf die Platine unterzubringen ist. Eine dynamische Anpassung ist nur durch

einen zusätzlichen Mikrocontroller möglich.

Eine Ein-Chip-Lösung mit analogen und digitalen programmierbaren Komponenten sowie ei-

nem Mikrocontroller mit nicht flüchtigem Programmspeicher wird von der Firma Cypress Semicon-

ductor Corporation angeboten. Der Mikrocontroller dieses Programmable-System-on-Chip PSoC®

programmiert die Funktion digitale Logikbausteine zur Laufzeit und kann sie jederzeit ändern.

Eine Besonderheit sind die analogen Schaltungsblöcke, deren Verhalten ebenfalls zur Laufzeit be-

stimmt wird. Es können bspw. einstellbare Verstärker oder Filter realisiert werden. Ein integrierter

Schaltwandler ermöglicht den Betrieb an einer Spannung von nur 1,1 V. Sie wird auf die für den

Chip nötige Betriebsspannung hochgesetzt. [2]

Die vorliegende Arbeit konzentriert sich auf die Einsatzmöglichkeiten des PSoC® zur Realisie-

rung analoger Filter. Verstärker werden ebenfalls behandelt. Alle dargestellten Versuche werden

mit dem CY8C29466 der PSoC-1-Familie durchgeführt.

1 Grundlagen

Die Umsetzung verschiedenster physikalischer Größen in bestimmte elektrische Signale, die Ver-

arbeitung dieser und das Erzeugen einer erforderlichen Reaktion ist Aufgabe der Informations-

technik. Das komplexe Gebiet der Signalverarbeitung befasst sich dabei mit unterschiedlichen

Repräsentationen der Information, deren Umwandlung, dem Herausfiltern unerwünschter Antei-

le und der Entscheidungsfindung. Filtersysteme können ungünstige Eigenschaften von System

ausgleichen, bspw. den Schallpegel bestimmter Töne, die ein Lautsprecher schlechter überträgt,

anheben.

1.1 Signale

Signale sind verarbeitungsfreundliche physikalische Größen, bspw. Spannungen und Ströme, wel-

che schwer verarbeitbare Größen repräsentieren, z. B. Temperaturen, Schall oder Magnetfelder.

An Signale werden i. d. R. folgende Anforderungen gestellt: Die Verarbeitung muss kostengünstig

realisierbar sein. Der Energieaufwand hat bei Batteriebetrieb sehr gering zu sein. Die Verarbei-

tung hat schnell zu erfolgen. Die notwendige Signalverarbeitungseinheit soll möglichst klein und

leicht sein, aber trotzdem robust gegen Fremdeinwirkungen. Je nach Schwerpunkt der jeweiligen

Anforderungen, werden die Signale in Gruppen eingeteilt.

Analoge Signale Diese Art entspricht den natürlichen Prozessen. Werte- noch der Zeitbereich

sind kontinuierlich. Sie kommen meistens in Sensoren direkt nach der Erfassung der gewünschten

Größe vor und werden i. d. R. in andere Signalarten umgesetzt, da diese leichter verarbeitet werden

können.

Wertdiskrete Signale Alle realen Systeme und die damit verbundenen Prozesse unterliegen

nicht vermeidbaren Abweichungen. Die Signale haben in Grenzen tolerant gegenüber die Para-

meterabweichungen der zum Transport und der Verarbeitung notwendigen Einrichtungen zu sein.

Dies ist erreichbar, indem der gesamte Werteraum auf eindeutig definierte Schritte beschnitten

wird. Das ursprüngliche Signal kann, verfälscht durch unerwünschte Beeinträchtigung entlang des

Signalpfades, durch Rundung wieder hergestellt werden, allerdings nur, wenn die Abweichung die

halbe Schrittweite nicht überschreitet.

In der Praxis sind meistens binäre Signale anzutreffen. Diese bieten nicht nur den größten

Störabstand, sie eignen sich auch zur Anwendung der booleschen Logik. Vergleichsergebnisse lie-

gen grundsätzlich in Form der Zweizustandslogik vor. Mehrere binäre Signale (Bit) können zu

wertdiskreten Signalen höherer Ordnung, z. B. Bytes, zusammengefasst werden um den Zustands-

raum zu vergrößern. Dies erlaubt eine flexible Abbildung von Werten unterschiedlicher Auflösung

aufeinander. Das Speichern und Zusammenführen dieser Signalart bereitet jedoch trotzdem noch

Schwierigkeiten, da jede geringste Asynchronität die dargestellte Information beeinträchtigt.

Zeitdisktrete Signale Diese Signal repräsentieren nur an bestimmten Zeitpunkten eine In-

formation. Die Abstände zwischen allen Zeitpunkten sind in der Regel gleich. Sie sind über die

Abtast- oder Schaltfrequenz definiert. Die Zeitdiskretisierung vereinfacht die Speicherung und Syn-

chronisation von Informationen. Zeitdiskrete Signale werden meistens ebenfalls als analoge Signale

bezeichnet und die verarbeitenden Komponenten heißen analoge Systeme.

Digitale Signale Die zeit- und wertdiskrete Repräsentation toleriert gewisse Abweichungen so-

wohl auf der Zeit- als auch auf der Wertachse. Digitale Signale sind besonders einfach speicherbar.

Jeder Zeitzyklus kann zu jeweils einer Speicherstelle zugeordnet werden. Die Informationen können

beliebig lang aufbewahrt werden, da die verwendeten Speicherelemente endlich viele stabile Zu-

stände besitzen. Ein kontinuierlicher Wertdrift ist damit auch über einen langen Zeitraum hinweg

ausgeschlossen.

Nachteilig ist jedoch der hohe Aufwand, ursprünglich analoge Signale zu digitalisieren, eine

Größe durch mehrere Bit darzustellen und nach digitalen Operationen eine Rückwandlung in ein

wiederum analoge Größe durchzuführen.

In einigen Fällen kann es daher wirtschaftlicher sein direkt analog oder zeitdiskret zu arbeiten,

denn jede Umsetzung zwischen analogen und digitalen Signalen stellt eine analoge Verarbeitung

dar, an die entsprechend hohe Anforderungen an Präzision gestellt werden.

1.2 Signalverarbeitung

Aufgabe der Signalverarbeitung ist nicht nur das Umsetzen von Information in verschiedene Dar-

stellungsarten, sondern auch das Trennen nützlicher von überflüssiger Information. Die Aufgabe

übernimmt das ,,Filter". In der Literatur steht der Begriff Filter meist für lineare zeitinvariante

Systeme (LTI-Systeme). Es existieren jedoch auch Filter-Einrichtungen, welche eine oder beide

vorgenannten Eigenschaften nicht erfüllen.

1.2.1 LTI- und LSI-Filter

LTI bzw. LSI stehen für Linear-Time-Invariant bzw. Linear-Shift-Invariant. Ersteres bezieht sich

auf zeitkontinuierliche Systeme, zweiteres auf zeitdiskrete Systeme.

Diese Übertragungsverhalten weisen eine von der Amplitude unabhängige Verstärkung auf.

Sinussignale werden in ihrer Signalform nicht beeinflusst. Es gilt der Überlagerungssatz, der besagt,

dass die Summe von Signalen, welche das Filter passieren, das gleiche Ergebnis erzeugen, wie eine

separate Filterung und anschließende Summierung. Die Filterkoeffizienten bestimmen für jede

Frequenz eine Verstärkung und Phasenverschiebung.

Es ist unerheblich, wann ein Signal eintrifft, es verlässt das Filter nach definierter Laufzeit in

gleicher Form.

Da der Schwerpunkt dieser Arbeit auf diese Filterart liegt, findet an dieser Stelle eine genauere

Betrachtung statt.

Hochpass Er überträgt Frequenzen ab einer unteren Grenzfrequenz möglichst originalgetreu

übertragen. Einsatzgebiete sind u. a. die Sicherstellung von Gleichspannungsfreiheit in Verstärkern,

Transformatoren und Lautsprechern.

Tiefpass Alle Frequenzen von 0 Hz bis zu einer spezifizierten oberen Grenzfrequenz sollen mög-

lichst unbeeinflusst übertragen werden. Ab der Grenzfrequenz ist i. d. R. eine möglichst starke

Dämpfung erwünscht. Eingesetzt wird dieser Filtertyp zur Vermeidung von Alias vor Abtastschal-

tungen, zur Unterdrückung von Oberwellen nach DA-Wandlern oder Sendern.

Bandpass Dieser Filter stellt eine Reihenschaltung von Hochpass und Tiefpass dar, können

aber auch in Form eines sog. Resonanzbandpasses realisiert werden. Nur der Frequenzbereich

zwischen der spezifizierten oberen und unteren Grenzfrequenz passiert das Filter. Dieser Filter

wird in Funkempfängern eingesetzt, um alle im Frequenzband benachbarten Sendestationen zu

unterdrücken. Es ist nur die gewünschte Station zu hören.

Differentiator Er bildet die Umkehrfunktion des Integrators. Ein Hochpass 1. Ordnung verhält

sich unterhalb seiner unteren Grenzfrequenz bspw. wie ein Differentiator.

Integrator Seine Verstärkung ist umgekehrt proportional zur Signalfrequenz. Als Grundelement

wird er zur Realisierung von Hoch-, Tief- und Bandpässen verwendet.

Bandsperre Die Bandsperre wird auch als inverser Bandpass bezeichnet. Sie gibt nur Frequen-

zen außerhalb eines definierten Bereichs weiter. Sehr schmale Bandsperren werden bspw. zum

Entfernen von störenden Pfeifgeräuschen auf Tonträgern oder im Amateurfunk verwendet.

Allpass Die Aufgabe dieses Filters liegt einzig in der frequenzabhängigen Phasenverschiebung

bzw. Gruppenlaufzeit. Der Amplitudengang ist flach. Ziel kann die Phasenkorrektur nicht linear-

phasiger Systeme sein. Bei der Einseitenbandmodulation ist bspw. ein frequenzunabhängiger 90°-

Phasenschieber im NF-Signalpfad notwendig, um die Erzeugung des zweiten Seitenbandes zu ver-

hindern.

Das sogenannte Totzeitglied (T

) gibt das Eingangssignal unverändert, aber um eine definierte

Zeit verschoben aus. Es wird nur bedingt als LTI-System anerkannt, da der Frequenzgang nicht

als (gebrochen-)rationale Funktion darstellbar ist.

|H(f)|

Hochpass

Tiefpass

Bandpass

Differentiator

Integrator

Bandsperre

Abbildung 1: ideale Übertragungsverhalten von LTI-Filtern

1.2.2 Sonstige Filter

Gleichrichter, Logarithmierer und Quadrierer zählen zu den nichtlinearen Systemen. LTI-Systeme

weisen immer einen unerwünschten nichtlinearen Anteil auf.

Die Parameter von LTI-Filtern können durch Alterung oder Umwelteinflüsse verändert wer-

den. Für die Signalverarbeitung ist dann erheblich, welche Einflüsse zum Verarbeitungszeitpunkt

auftreten. Das System ist zeitvariant.

1.3 Realisierung von LTI-Filtern

Mathematisch bedeutet Filtern die Multiplikation des Frequenzspektrum eines Signals mit der

Übertragungsfunktion des Filters. Technisch liegt das Signal als zeitlich veränderliche Größe vor,

welche mit der Impulsantwort des Filters zu falten ist. Zu unterscheiden sind zwei Grundformen:

FIR Finite Impulse Response Diese Filter realisieren die Faltung direkt, d. h. sie speichern

das Eingangssignal eine bestimmte Dauer. Zu jedem Zeitpunkt wird der gesamte Speicherinhalt

mit der Impulsantwort des Filters multipliziert und gemittelt. Die Impulsantwort ist daher auf die

gespeicherte Zeit begrenzt.

IIR Infinite Impulse Response Mit erheblich geringerem Aufwand ist ein IIR-Filter reali-

sierbar. Es entspricht einem Regelkreis, ist also rekursiv. Die Anregung zirkuliert daher unbegrenzt,

weshalb die Impulsantwort unendlich lang andauert. Nach endlicher Zeit ist jedoch keine messbare

Änderung mehr registrierbar. Das zeitliche Verhalten wird von Integratoren oder Totzeitgliedern

gebildet.

1.3.1 Approximationsvarianten von IIR-Filtern

Eine ideal rechteckige Übertragungsfunktion ist nicht realisierbar. Das Filter müsste unendlich

kleine Frequenzabweichungen unterscheiden können. Dazu wäre eine unendliche Gruppenlaufzeit

erforderlich. Je schmaler der Übergangsbereich ist, umso länger ist die Gruppenlaufzeit, da mit

sinkendem Frequenzunterschied zweier Signale ihre Unterscheidbarkeit nur in einem sich vergrö-

ßerndem Zeitfenster gegeben ist.

Je besser das ideale Übertragungsverhalten erreicht wird, umso größer ist der technische Auf-

wand. In der Praxis werden Filter je nach Anforderung auf bestimmte Eigenschaften hin optimiert.

Analoge Filter werden i. d. R. als rekursive Filter realisiert, um mit geringem Aufwand hohe Se-

lektivität zu erreichen. Dazu werden die in Bild 1 dargestellten Kurven mit Hilfe von gebrochen

rationalen Funktionen angenähert.

Diese Polynomform ergibt sich aus dem Einsatz von Integratoren als frequenzabhängige Kom-

ponenten. Folgende Gleichung zeigt die Wirkung der Integration eines Sinussignals:

sin(t)dt = -

cos(t) + C

(1)

Eine höhere Polynomordnung entsteht durch mehrfaches Hintereinanderschalten von Integratoren.

Die zweite Integration bewirkt dabei bereits eine quadratische Abhängigkeit der Amplitude von

der Frequenz:

cos(t)dt = -

sin

() + C

(2)

Je nach Anforderungen unterscheiden sich die Filteranordnungen in ihrer Bauform und vor allem

in Koeffizienten der Übertragungsfunktion. Folgende Approximationen sind praktisch relevant:

Kritisch gedämpfte Filter Diese Charakteristik ergibt sich bei gleichspannungsmäßigen Ent-

kopplung verschiedener Schaltungsteile. Als Hochpass, der normalerweise weit über seiner unteren

Grenzfrequenz betrieben wird, beeinträchtig er das Nutzsignal kaum.

Butterworth Der Butterworth-Charakter zeichnet sich durch einen möglichst horizontalen Am-

plitudenverlauf im Durchlassbereich aus. Frequenzen im Sperrbereich werden gut unterdrückt. Die

Gruppenlaufzeitkonstanz verschlechtert sich in der Nähe der Grenzfrequenz.

Bessel Im Vergleich zum Butterworth-Filter ist Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich linear,

aber Übergangsbereich verläuft flacher. Verschiedenfrequente Signalanteil im Durchlassbereich

werden untereinander nicht verschoben. Die Signalform bleibt dadurch erhalten.

Tschebyscheff Tschebyscheff-Filter werden dann eingesetzt, wenn ein steiler Übergang vom

Durchlass in den Sperrbereich nötig ist, aber Amplitudenkonstanz und Phasenlinearität im Durch-

lassbereich nicht entscheidend sind.

Cauer Der Übergangsbereich verläuft noch steiler als beim Tschebyscheff-Filter. Die Gruppen-

laufzeitverzerrungen sind ebenfalls größer.

1.3.2 Tiefpass 1. Ordnung kritisch gedämpfter Tiefpass

Die Funktionsweise eines Tiefpasses entspricht einem Regelkreis. Ziel einer Regelung ist es die

Regelgröße der Führungsgröße trotz Störeinflüssen anzupassen. Unerwünschte Abweichungen zwi-

schen Soll- und Istwert sollen dabei nur so kurz wie möglich auftreten. Der Regler passt den Istwert

kontinuierlich dem Sollwert an. Es handelt sich um ein träges System.

Diese Trägheit ist bei Tiefpässen erwünscht um hochfrequente Signalanteile zu entfernen. Die

Funktionsweise veranschaulicht Abbildung 2, wobei x den Eingang und y den Ausgang des Filters

darstellen. Der rechteckige Block ist ein Integrator, d. h. sein Ausgangssignal bleibt nur dann kon-

stant, wenn an seinem Eingang der Wert 0 anliegt. Ansonsten steigt sein Ausgangswert abhängig

von der Höhe des Eingangswertes, bzw. fällt bei negativem Eingangswert. Bei einem konstanten

Eingangswert steuert der Integrator seinen Ausgang so weit aus, bis x und y gleich sind, denn

jede Abweichung zwischen x und y würde einen Wert ungleich 0 am Eingang des Integrators

hervorrufen.

Abbildung 2: Tiefpass erster Ordnung

Dieses Blockschaltbild kann auch in Form einer linearen Differentialgleichungen beschrieben

werden:

(t)

(t) - y(t)

(3)

Aus der bereits einmal nach t abgeleiteten Gleichung 3 geht das erwähnte Verhalten hervor. Die

Wertdifferenz zwischen Eingang (x) und Ausgang (y) bestimmt wie schnell der Ausgangswert

steigt. Er nähert sich asymptotisch dem Eingangswert an. Zusätzlich wurde die Zeitkonstante

eingeführt, welche bestimmt wie schnell das Filter auf Änderungen an seinem Eingang reagiert.

Sie wird kleiner je stärker das Signal des Integrators verstärkt wird, bevor es zurückgeführt wird.

Mit Hilfe der Laplace-Transformation lässt sich der Frequenzgang ermitteln. Dazu werden die

einzelnen Terme anhand der Korrespondenztabelle [3] transformiert:

· p · Y

(p) = 1 · X(p) - 1 · Y (p)

(4)

Und anschließend nach der frequenzabhängigen Verstärkung (Dämpfung) umgestellt:

(p) =

(p)

1 + p ·

(5)

Das p steht in diesem Fall für die komplexe Kreisfrequenz. Eine ungedämpfte Schwingung hat dabei

eine rein imaginäre Frequenz. Über die relle Zeitkonstante wird die Grenzfrequenz bestimmt:

= j

(6)

Für diesen Fall ist das Spannungsverhältnis zwischen Ein- und Ausgang

. Das Leistungsver-

hältnis am ohmschen Widerstand ist dabei

)

1 + j

)

+ 1

(7)

Ab der Grenzfrequenz ergibt sich ein intregrales Verhalten. Eine Verzehnfachung der Frequenz

bewirkt eine Zehntelung der Ausgangsspannungsamplitude. Das entspricht einem Hundertstel der

ursprünglichen Leistung an einem ohmschen Widerstand, d. h. einen Abfall von 20 dB/Dekade.

Diese logarithmische Einheit gibt Verhältnisse an, ein Bel oder 10 dB entsprechen einem Faktor

von 10; 20 dB dem Faktor 100 usw.

Um einen steileren Verlauf des Frequenzgangs zu erreichen, können mehrere Tiefpässe hinter-

einander geschaltet werden. Dabei fällt die Amplitude mit steigender Frequenz immer monoton,

da nur reelle Polstellen vorhanden sind, Signalfrequenzen jedoch rein imaginär auftreten. Da es

sich hierbei um ein nicht schwingfähiges System handelt, trägt es auch die Bezeichnung kritisch

gedämpftes Filter.

1.3.3 Filter höherer Ordnung

Durch Rückkopplung über zwei Integratoren ist es möglich zwei konjugiert komplexe Polstellen

zu erzeugen. Je nach deren Lage können damit die genannten Filter-Approximationen realisiert

werde. Bspw. weist ein Tschebyscheff-Filter zweiter Ordnung eine Resonanz kurz vor dem Über-

gangsbereich auf. Die Amplitude steigt vor der Grenzfrequenz an, um danach steiler abzufallen.

2 D T

Abbildung 3: Blockschaltbild eines Filters 2. Ordnung

Aus dem Blockschaltbild 3 ist zu entnehmen, dass an unterschiedlichen Signalpfade eines sol-

chen Systems ein tiefpass-, bandpass- und hochpassgefiltertes Signal entnommen werden kann. Die

Differentialgleichung für den Tiefpassausgang ergibt sich wie folgt:

T P

(t)

= x(t) - 2DT ·

T P

(t)

- y

T P

(t)

(8)

Zentrales Element ist die Summierstelle. Ihr Ausgang entspricht der linken Seite der Gleichung 8.

Durch Multiplikation mit

und zweifacher Integration ergibt sich y

T P

, folglich ist y

T P

in zweifach

differenzierter Form multipliziert mit T

in der Gleichung enthalten. Die Summierstelle erzeugt

dieses Signal aus dem Eingangssignal x, dem invertierten Ausgangssignal y

T P

und dem Signal

aus dem Dämpfungszweig. Dieses wird vor dem letzten Integrator abgegriffen. Demnach ist y

T P

einfach differenziert. Der Faktor 2DT gibt die Dämpfung an.

Generell werden bei Differentialgleichungen vom Ausgang abhängige Terme auf die eine und

vom Eingang abhängig auf die andere Seite des Gleichheitszeichens gebracht:

T P

(t)

+ 2DT ·

T P

(t)

T P

(t) = x(t)

(9)

An Gleichung 9 wurden die Ausgänge für Hochpass- und Bandpassverhalten gekennzeichnet. Die

Grundkreisfrequenz des ungedämpften Systems liegt bei

. [4] Sie wird auch als Kennfrequenz

bezeichnet. Die Laplacetransformierte hat diese Darstellung:

(p) =

(p)

1 + 2DT · p + T

· p

(10)

In der allgemeinen Darstellung eines LTI-Systems zweiter Ordnung im Bildbereich stehen beide

Polstellen als Produkt von Linearfaktoren. Grundsätzlich wird das Polynom in normierter Form

angegeben:

(p) =

(p)

1 +

(11)

Für die Gleichung 9 ergeben sich demnach folgende Lösungen:

= -

+ j

1 - D

, p

= -

- j

1 - D

(12)

Die Schwingung wird mit D gedämpft. Oft wird auch die Güte Q angegeben, dabei handelt es

sich um das Reziproke von 2D. Ein System mit D = 0 ist ungedämpft. Eine einmal angeregte

Schwingung auf der sog. Eigenfrequenz bleibt auch ohne Anregung erhalten. Der aperiodische

Grenzfall tritt bei D = 1 ein. Die Lösung ist dabei eine reelle Doppelpolstelle. Diese und eine

größere Dämpfung entsprechen einer Verkettung zweier Tiefpässe erster Ordnung. Das bedeutet,

dieses System ist nicht schwingfähig, d. h. es besitzt keine Eigenfrequenz. Springt das Eingangssi-

gnal von einem Wert auf einen anderen, nähert sich das Ausgangssignal an den Endwert an ohne

ihn zu überschreiten.

Zu unterscheiden sind die Eigenfrequenz

, die Resonanzfrequenz

res

und die Kennfre-

quenz

. Nach einmaligem Anstoßen schwingt ein System auf Eigenfrequenz [5] weiter. Ein

gedämpftes System absorbiert Schwingungsenergie am besten auf Resonanzfrequenz. [5] Hat ein

System keine Dämpfung, fallen diese Frequenzen mit der Kennfrequenz [5] zusammen. Diese cha-

rakteristischen Frequenzen ergeben sich folgendermaßen:

1 - D

(13)

res

1 - 2D

(14)

(15)

Für

2 < D < 1, enthält die Impulsantwort eine Überschwingung, aber die Übertragungsfunk-

tion zeigt keine Resonanzüberhöhung.

Erreicht wird dieses Schwingkreis-Verhalten durch Kopplung von mindestens einer Spule und

einem Kondensator. Da Spulen als integrierte Bauelemente nicht wirtschaftlich realisierbar sind,

werden rückgekoppelte aktive (Verstärker) Filter aufgebaut. Dabei verhält sich ein entsprechend

mit einem Kondensator verschalteter Operationsverstärker als Spule. Aus zwei Integratoren, wovon

einer ein inverses Ausgangssignal erzeugt, lassen sich dabei schwingfähige Systeme bauen.

Filter höherer Ordnung bestehen meist aus der Verkettung Systeme zweiter Ordnung. Bei

ungerader Filterordnung ist ein System erster Ordnung dabei. Rückkopplungen über mehr als

zwei Ordnungen sind aus Stabilitätsgründen selten anzutreffen.

In der Literatur werden oft unterschiedliche Formelzeichen für gleiche Zusammenhänge ver-

wendet. Bspw. wird bei Filteranwendungen anstelle der Gleichung 10 folgende Form gewählt [6]:

(p) =

(

)

+ d · (

) · p + (

)

(16)

Dabei gilt:

= 2D =

(17)

Bei Zusammenschaltung mehrerer System gibt

jeweils die relative Kennfrequenz an. Mit dem

Parameter

wird das gesamte Filter auf die erforderliche Grenzfrequenz angepasst. Der Para-

meter T aus Gleichung 10 wird ersetzt:

(18)

Äquivalent zu Gleichung 12 sind die Lösungen der Gleichung 16:

+ j 1 -

, p

- j

1 -

(19)

Die Polstellen bewegen sich abhängig von der Dämpfung d auf einer Kreisbahn. Die Polfre-

quenz

gibt den Radius an.

Das Formelzeichen für die komplexe Frequenz kann sowohl p als auch s sein. Beide haben die

gleiche Bedeutung.

1.3.4 Filtersynthese am Beispiel der Butterworth-Approximation

Um evtl. Abweichungen von Parametern zu erkennen werden in dieser Arbeit Butterworth-Filter

realisiert. Eine Anweichung verformt den flachen Verlauf im Durchlassbereich.

Filter 4. Ordnung bestehen meist aus der Verkettung von 2 Filtern 2. Ordnung. Da der Am-

plitudenverlauf eines Butterworth-Filters approximiert werden soll, muss zuerst der Betrag der

komplexen Übertragungsfunktion des Tiefpasses 2. Ordnung ermittelt werden. Das Eingangssignal

hat die Frequenz , deshalb ist p = j. Die Grenzfrequenz wird auf

= 1s

-1

gesetzt und kann

im Nachhinein skaliert werden. Die Betragsform wird umgeformt und der frequenzabhängige Teil

als Polynom P () zusammengefasst:

(j)

1 - (

)

+ (d

)

1 + d

2 (

)

+ (

)

(

)

1 + P

()

(20)

Das Polynom P () bestimmt den Verlauf der Übertragungsfunktion. Die Gleichung 20 bezieht

sich auf Filter 2. Ordnung. Ein Filter 4. Ordnung besteht aus 2 Kaskadenstufen mit jeweils un-

terschiedlichen Parametern d und

. Das Polynom P () ist dementsprechend vom Grad 4 usw.

Filter ungeradzahliger Ordnungen weisen eine Stufe der Ordnung 1 auf.

Der Butterworth-Tiefpass zeichnet sich durch monotonem Amplitudenverlauf aus, welcher

durch das Polynom P

() =

erreicht wird. Der Parameter n gibt die Ordnung an. Die Polstellen

ergeben sich mit p = j aus:

0 = 1 + P

()

= 1 +

= 1 + (-jp)

= 1 + (-p

)

(21)

In der linken Halbebene ergeben sich n Polstellen [7]:

= e

2i+n-1

; i = 1, 2, . . . , n

(22)

Alle Polstellen befinden sich auf einer Kreisbahn, demnach besitzen allem Stufen die gleiche Kenn-

frequenz

= 1. Sie unterscheiden sich nur in ihrer Dämpfung. Die Dämpfung beträgt:

= -

2 Re(p

)

(23)

Zwei konjugiert komplexe Pole bilden eine Filter-Stufe. Der relativ flache Verlauf im Durchlass-

bereich bei mehrstufigen Butterworth-Filtern entsteht durch die Resonanzüberhöhung schwach

gedämpfter Stufen, die den verfrühten Abfall der Amplitude stark gedämpfter Stufen ausgleichen.

Grad n

reeller Pol

1,4142

reeller Pol

1,0000

1,8477

0,7653

reeller Pol

1,6180

0,6180

1,9319

1,4142

0,5176

reeller Pol

1,8019

1,2470

0,4450

1,9616

1,6629

1,1111

0,3902

Tabelle 1: Dämpfungswerte für Butterworth-Tiefpässe

Es ist daher sinnvoll die Stufen in der Kette nach ihrer Dämpfung zu ordnen. Die Stufe mit der

geringsten Dämpfung ist die letzte vor dem Ausgang. Auf diese Weise wird verhindert, dass eine

Resonanz einer schwach gedämpften Stufe die höchst zulässige Amplitude einer realen Filterschal-

tung verletzt.

Die Tabelle 1 gibt die Dämpfungswerte für Butterworth-Filter bis zur 8. Ordnung an. Der reelle

Pol bei ungerader Filterordnung wird durch einen Tiefpass 1. Ordnung mit einer Zeitkonstante

= 1 im Fall

= 1 realisiert.

Wird ein Hochpass benötigt, kann dieser aus dem Tiefpass erzeugt werden. Bandpässe können

als Serienschaltung eines Hochpasses und eines Tiefpasses realisiert werden. Eine andere Möglich-

keit ist die Transformation des Tiefpasses zu einem Bandpass.

Mathematisch entspricht der Bandpass einer zeitlichen Ableitung jeder Tiefpass-Filterstufe.

Technisch wird das erreicht, indem das Bandpasssignal zwischen den beiden Integratoren einer

Filterstufe abgegriffen wird, wie in Bild 3 dargestellt.

Die Amplitude eines Tiefpasses 2. Ordnung verläuft im Durchlassbereich flach, d. h. sie fällt

anfangs mit 0 dB/Dekade ab. Weit im Sperrbereich fällt sie mit 40 dB/Dekade. Die Differentiation

wandelt den Durchlassbereich in einen Sperrbereich um, in dem die Amplitude mit 20 dB/Dekade

steigt. Im ursprünglichen Übergangsbereich verläuft die Amplitude horizontal. Das ist der neu

entstandene Durchlassbereich. Im vorherigen Sperrbereich fällt die Amplitude nach der Änderung

mit 20 dB/Dekade ab.

Die normierten Tiefpasses-Parameter z. B. aus Tabelle 1 können nicht direkt auf diese Band-

passfunktion übertragen werden, denn sie approximieren einen optimalen Verlauf im Durchlass-

bereich des Tiefpasses. Der Durchlassbereich des Bandpasses entspricht jedoch dem Übergangsbe-

reich des ursprünglichen Tiefpasses.

Die jeweilige Approximation muss auf den Durchlassbereich des Bandpasses angewandt werden.

Dies geschieht indem aus den Tiefpass-Polstellen jeweils zwei Bandpass-Polstellen erzeugt werden.

Ein Bandpass gleicher Trennschärfe besitzt die doppelte Anzahl Polstellen im Vergleich zum Tief-

pass. Die Transformation der Poldaten wird auf den normierten Referenztiefpass angewandt und

ist von der Bandbreite

und der Mittenfrequenz

abhängig [8]:

BP 1,2

T P

(24)

Die Gleichung 24 generiert einen Pol für die untere Flanke des Bandpasses und eine für die obere.

Der jeweils konjugiert komplexe Tiefpass-Pol erzeugt die zugehörigen konjugiert komplexen Pole

für die beiden Flanken des Bandpasses. In der Praxis sind die Kennfrequenz

und die Dämp-

fung d

von Interesse. Diese Werte können durch Ausmultiplizieren der beiden Linearfaktoren

ermittelt werden. Da die beiden Polstellen konjugiert komplex vorliegen, reicht die Betrachtung

von jeweils einem Pol:

= |p

(25)

Details

Seiten

Erscheinungsform

Originalausgabe

Jahr

2010

ISBN (eBook)

9783842809239

DOI

10.3239/9783842809239

Dateigröße

1.9 MB

Sprache

Deutsch

Institution / Hochschule

Technische Universität Chemnitz – Elektrotechnik / Informationstechnik, Elektrotechnik

Erscheinungsdatum

2011 (Januar)

Note

2,0

Schlagworte

filter mikrocontroller programmierung

Autor

Stefan Helmert (Autor:in)