Kreditrisiken - Portfoliomodelle und Simulation

Inhaltsverzeichnis

Symbol- und Abkürzungsverzeichnis

Abbildungs- und Tabellenverzeichnis

1 Einleitung

2 Unterscheidungsmerkmale von CreditMetrics und CreditRisk+

3 Grundlegende Modellkategorien
3.1 Firmenwertmodelle
3.2 Intensitätsbasierte Modelle

4 Kreditportfoliomodelle
4.1 CreditMetrics
4.2 CreditRisk+

5 Analyse von Kreditrisiken
5.1 Untersuchungsgegenstand
5.2 Ableitung und Funktionsweise von Modellen
5.2.1 Mark-to-Market Simulationsmodell
5.2.2 Default-Mode Simulationsmodell
5.2.3 Analytisches Poisson-Modell
5.3 Risikoanalyse eines Beispielportfolios
5.3.1 Analyse der Ausgangslage
5.3.2 Variation von Korrelationen
5.3.3 Variation von Zufallszahlen
5.3.4 Variation von Ausgangsratings
5.3.5 Variation von Kreditzinssätzen
5.3.6 Variation von Kapitalmarktzinsen
5.3.7 Variation der Rangstellung
5.3.8 Variation von Recovery Rates
5.3.9 Variation der Migrationsmatrix
5.3.10 Variation der Basiseinheit B
5.3.11 Variation des Kreditvolumens
5.3.12 Zusammenfassung und Beurteilung der Ergebnisse

6 Schluss

Literaturverzeichnis

Symbol- und Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungs- und Tabellenverzeichnis

Abbildung 1: Renditeintervalle der Standardnormalverteilung

Tabelle 1: 1-Jahres-Migrationsmatrix

Tabelle 2: Ratingklassenspezifische Forwardzinssätze

Tabelle 3: Recovery Rates

Tabelle 4: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Marktwerte

Tabelle 5: Kreditdaten des Ausgangsbeispiels

Tabelle 6: Korrelationen aus Aktienkurszeitreihen

Tabelle 7: Value at Risk im Ausgangsbeispiel

Tabelle 8: Value at Risk bei Korrelation von null in den Simulationsmodellen

Tabelle 9: Value at Risk bei Neuberechnung der Zufallszahlen

Tabelle 10: Value at Risk bei Ratingänderungen

Tabelle 11: Gesamtverluste bei Ratingänderungen

Tabelle 12: Erwartete Verluste in B und CCC

Tabelle 13: Gesamtverluste in B und CCC

Tabelle 14: Erwartete Verluste bei verschiedenen Zinssätzen

Tabelle 15: Value at Risk bei Zinssatzvariation

Tabelle 16: Gesamtverluste bei Zinssatzvariation

Tabelle 17: Erwartete Verluste bei Zinssatzvariation

Tabelle 18: Alternative Zinsstruktur

Tabelle 19: Value at Risk bei verschiedenen Zinskurven

Tabelle 20: Value at Risk bei Veränderung der Rangstellung von Krediten

Tabelle 21: Alternative Recovery Rates

Tabelle 22: Value at Risk bei Variation der Recovery Rates

Tabelle 23: Migrationsmatrix mit erhöhtem Risiko

Tabelle 24: Value at Risk bei veränderter Migrationsmatrix

Tabelle 25: Gesamte und erwartete Verluste bei veränderter Migrationsmatrix

Tabelle 26: Value at Risk bei Änderung der Basiseinheit B

Tabelle 27: Value at Risk in Abhängigkeit vom Kreditvolumen

Tabelle 28: Verhalten der Value at Risk-Werte bei Variation von Parametern

1 Einleitung

Der Ausfall von Kreditnehmern stellt derzeit das größte Risiko für die meisten Kreditinstitute dar.^[1] Zusätzlich birgt die aktuell einsetzende Rezession in der Weltwirtschaft, verursacht durch die im Jahre 2008 beginnende Finanzmarktkrise, die große Gefahr steigender Unternehmens- und Privatinsolvenzen und folglich weiter steigender Risiken im Kreditgeschäft in sich. Auf der anderen Seite sind auch die Zinskonditionsbeiträge im Kreditgeschäft aufgrund der veränderten Wettbewerbsbedingungen^[2] in den letzten Jahren größtenteils rückläufig. Während auf der Nachfrageseite eine steigende Markttransparenz der Kunden und eine Aufweichung des Hausbankprinzips zu beobachten sind, kommt es auf der Angebotsseite zum Eintritt neuer Marktteilnehmer, zu einer zunehmenden Marktverteilung und letztendlich zum Verdrängungswettbewerb. Um weiterhin rentabel wirtschaften zu können, verfolgen die meisten Banken sogenannte Spezialisierungsstrategien. Durch die Fokussierung auf bestimmte Regionen und Branchen lassen sich Ertragssteigerungen aufgrund komparativer Konkurrenzvorteile erzielen. Dadurch entstehen jedoch wiederum Konzentrationsrisiken, welche das Kreditrisiko im Bankportfolio weiter erhöhen.^[3] Somit besteht im Kreditgeschäft eine Gratwanderung zwischen hohen Erträgen und niedrigem Risiko^[4], weshalb ein effizientes Kreditportfoliomanagement für jedes Kreditinstitut unabdingbar ist. Da das vorhandene Eigenkapital einer Bank in der Regel knapp und kurzfristig nicht veränderbar ist, müssen die Kreditengagements mit der höchsten risikoadjustierten Rendite eingegangen werden. Den Ausgangspunkt für die Kreditrisikosteuerung bildet die Quantifizierung des Kreditrisikos. Zunächst wird dabei die Einzelgeschäftsebene mit der Durchführung der Kreditwürdigkeitsprüfung betrachtet. Anschließend muss sich die Risikoquantifizierung jedoch auch auf die Gesamtportfolioebene ausdehnen, da Ausfallkorrelationen einen wesentlichen Einfluss auf die Risikohöhe des Kreditportfolios haben.^[5] Zu diesem Zweck wurden verschiedene Kreditportfoliomodelle entwickelt, wobei in dieser Arbeit die weit verbreiteten Modelle CreditRisk+™ und CreditMetrics™ behandelt werden.

In der Praxis werden diese Modelle jedoch oft ohne ausreichende Kenntnisse der Funktionsweise und Zusammenhänge angewendet. Daher ist es Zielsetzung dieser Arbeit, die Methodik und Ergebnisinterpretation von Kreditrisikomodellen näher zu erläutern und für Wissenschaft und Praxis greifbar darzustellen. Als Instrument wird hierfür neben einer detaillierten theoretischen Darstellung der beiden kommerziellen Modelle vor allem die praktische Simulation von Kreditrisiken eines Beispielportfolios eingesetzt.

Dafür werden im zweiten Kapitel zunächst die grundlegenden Unterschiede zwischen CreditRisk+™ und CreditMetrics™, im Folgenden CreditRisk+ und CreditMetrics genannt, dargestellt. Bereits hier kann man erkennen, dass die Modelle zwei unterschiedlichen Basiskategorien, den Firmenwertmodellen und den intensitätsbasierten Modellen, zuzuordnen sind. Die Kenntnis dieser Modellkategorien ist für das Verständnis der Kreditportfoliomodelle zwingend erforderlich, weshalb sie im dritten Kapitel erläutert werden. Schließlich erfolgt im vierten Kapitel eine ausführliche Darstellung der Kreditportfoliomodelle. Zur Erklärung der Berechnungsmethodik von derartigen Modellen wurden vom Verfasser dieser Arbeit vereinfachte und Excel-basierte Modelle abgeleitet, welche im fünften Kapitel genau spezifiziert werden. Anhand dieser vereinfachten Modelle erfolgt in diesem Kapitel die Simulation von Kreditrisiken eines Beispielportfolios. Die Simulationsergebnisse werden dabei analysiert und bewertet. Den Abschluss dieser Arbeit bildet das sechste Kapitel mit der Zusammenfassung der Ergebnisse und einem Ausblick.

2 Unterscheidungsmerkmale von CreditMetrics und CreditRisk+

Die Kreditrisikomodelle CreditMetrics und CreditRisk+ haben das gemeinsame Ziel, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Portfoliowerte bzw. die Portfolioverluste zu einem festgelegten Risikohorizont zu bestimmen. Meist wird einheitlich ein 1-Jahres-Risikohorizont definiert. Der Grund liegt darin, dass die meisten relevanten Daten wie Ausfallraten oder Ratingänderungen auf Jahresbasis erhoben werden und dies auch als der Zeitraum angesehen wird, in dem risikoreduzierende Maßnahmen ergriffen werden können.^[6] Allerdings ergeben sich im Weiteren deutliche Unterschiede hinsichtlich der Wege, dieses gemeinsame Ziel zu erreichen. Ein wichtiger Aspekt ist die Definition des Risikobegriffes in den beiden Modellen. CreditRisk+ stellt hierbei auf das Ausfallparadigma ab. Es werden lediglich Wertverluste in Form von Ausfallereignissen berücksichtigt, sodass am Risikohorizont für einen Kredittitel lediglich zwei Zustände möglich sind. Falls der Kredit bis zum Risikohorizont nicht ausgefallen ist, entspricht der Wert des Kredites seinem Buchwert. Wenn hingegen bis zu diesem Zeitpunkt ein Ausfallereignis eingetreten ist, ergibt sich der Kreditwert aus der Multiplikation der ausstehenden Forderung bei Ausfall mit der Recovery Rate. Demgegenüber baut CreditMetrics auf dem Marktwertparadigma auf. Dabei werden alle Wertveränderungen eines Kredites berücksichtigt, die durch eine Bonitätsveränderung des Schuldners verursacht worden sind. Die Bonität des Schuldners am Risikohorizont wird dabei durch sein Rating gemessen, in dessen Abhängigkeit eine barwertorientierte Neubewertung seiner Kredittitel vorgenommen wird.^[7] Das Ausfallrisiko ist durch die Wanderung des Kreditnehmers in die niedrigste Ratingkategorie im Bonitätsrisiko inbegriffen.^[8] Beiden Modellen ist jedoch gemeinsam, dass das Credit-Spread-Risiko nicht berücksichtigt wird, da die risikoadjustierten Zinszuschläge bis zum Risikohorizont in CreditMetrics als deterministisch unterstellt werden.^[9] Hinsichtlich der Berechnungsmethodik wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Modell CreditRisk+ analytisch hergeleitet, während bei CreditMetrics eine Monte-Carlo-Simulation zum Einsatz kommt. Die Modellierung von Korrelationen zwischen den Ausfallwahrscheinlichkeiten wird bei CreditRisk+ durch die gemeinsame Abhängigkeit der Schuldner von makroökonomischen Hintergrundfaktoren vorgenommen. CreditMetrics nutzt eine mikroökonomische Betrachtungsweise, indem die Korrelationen zwischen den Bonitätszustandsprozessen aus den Korrelationen der Unternehmenswerte bzw. approximativ aus den Aktienkurskorrelationen abgeleitet werden.^[10] Außerdem ist die Recovery Rate im Modell CreditRisk+ eine ex ante bekannte Größe, wohingegen CreditMetrics eine stochastische Wiedergewinnungsrate simuliert.^[11] Ein weiterer gravierender Unterschied ergibt sich in der jeweiligen Modellbasis. Während CreditRisk+ ein Vertreter der intensitätsbasierten Modelle ist, gehört CreditMetrics der Klasse der Firmenwertmodelle an.^[12] Da Kenntnisse über diese Modellkategorien für das Verständnis der unterschiedlichen Kreditrisikomodelle zwingend notwendig sind, werden sie im nächsten Kapitel behandelt.

3 Grundlegende Modellkategorien

3.1 Firmenwertmodelle

Die Firmenwertmodelle werden auch als Strukturmodelle bezeichnet, da ein ökonomischer Zusammenhang zwischen Firmenwert und Insolvenz geschaffen wird.^[13] Diese Beziehung wird im Firmenwertmodell von Merton (1974) konkretisiert, das auf den Erkenntnissen der Optionspreistheorie von Black/Scholes (1973) basiert.^[14] Den Ausgangspunkt bildet ein Unternehmen mit beschränkter Haftung, dessen Fremdfinanzierung lediglich auf einem einzigen Zerobond basiert. Zusammen mit dem Aktienkapital des Unternehmens bildet dieser Zerobond die Passivseite des Unternehmens ab. Aufgrund der Bilanzgleichung und der Annahme des vollkommenen Kapitalmarktes lässt sich der Marktwert des Unternehmens daher im Zeitpunkt t = 0 als Summe der Marktwerte des Eigen- und Fremdkapitals darstellen:^[15]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Zeitpunkt T erhalten die Gläubiger grundsätzlich den vereinbarten Rückzahlungsbetrag R aus dem Zerobond. Das Risiko der Fremdkapitalgeber liegt nun darin, dass der Unternehmenswert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten im Rückzahlungszeitpunkt des Zerobonds T unter dem Betrag R liegt und die Unternehmenseigner damit ihre Verbindlichkeiten nicht begleichen können. Stattdessen übertragen sie das Unternehmen an die Gläubiger, die nun einen Verlust in Höhe von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erleiden. Die Recovery Rate wird somit als Anteil des Unternehmenswertes in Bezug auf den Rückzahlungsbetrag modellendogen ermittelt. Liegt der Wert des Unternehmens im Zeitpunkt T dagegen über dem Rückzahlungsbetrag, so erhalten die Fremdkapitalgeber von den Eigenkapitalgebern den Betrag R. Damit determiniert also die Entwicklung des Unternehmenswertes die Ausfallwahrscheinlichkeit.

Das Auszahlungsprofil der Fremdkapitalgeber und der Eigenkapitalgeber stellt sich demgemäß folgendermaßen dar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Somit entspricht der zweite Summand im Auszahlungsprofil der Fremdkapitalposition dem Pay-off einer verkauften europäischen Verkaufsoption, während das Auszahlungsprofil der Eigenkapitalgeber gleich dem Pay-off einer gekauften europäischen Kaufoption ist. Anhand der Darstellung als Optionen lassen sich nun Optionswerte berechnen, aus denen Risikoprämien für das Ausfallrisiko abgeleitet werden können.^[16] Im Folgenden wird dabei von der Bestimmung des Wertes der Fremdkapitalposition ausgegangen, wobei aufgrund der Put-Call-Parität auch die Bestimmung der Eigenkapitalposition als Ausgangspunkt dienen kann.^[17]

Weiterhin gelten folgende Modellannahmen^[18]:

- Es liegt ein vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt vor.
- Das Modigliani-Miller-Theorem besitzt Gültigkeit.
- Es liegt eine flache und konstante Zinsstruktur vor.
- Aktien und Optionen werden kontinuierlich gehandelt.
- Der Unternehmenswert folgt einer geometrischen Brownschen Bewegung.
- Dividendenzahlungen fallen nicht an.
- Es liegt eine Option europäischen Typs vor.
- Ein Kreditausfall kann nur zum Fälligkeitszeitpunkt T eintreten.

Damit lässt sich der Wert einer risikobehafteten Fremdkapitalposition an ihrem Fälligkeitstag darstellen als eine risikolose Fremdkapitalposition abzüglich einer europäischen Verkaufsoption mit Basispreis R und dem Unternehmenswert als Underlying:^[19]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird also davon ausgegangen, dass die Fremdkapitalgeber eine risikolose Anleihe erwerben und gleichzeitig eine europäische Verkaufsoption an die Eigenkapitalgeber verkaufen, die diesen die Möglichkeit bietet, entweder den Nominalbetrag zurückzuzahlen oder den Gläubigern das Unternehmen anzudienen.^[20] Mit anderen Worten resultiert die Verkaufsoption aus der Annahme der beschränkten Eigentümerhaftung, was dazu führt, dass die Gläubiger die Position des Stillhalters in der Option einnehmen.^[21] Dafür erhalten die Gläubiger eine Optionsprämie, die als Risikoprämie für das Ausfallrisiko definiert wird.^[22]

Um zur Risikoprämie zu gelangen, muss der Marktwert des Fremdkapitals im Zeitpunkt t = 0 bei stetiger Verzinsung mit r bestimmt werden als:^[23]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert der Verkaufsoption in t=0 ist somit eine Funktion des Unternehmenswertes, des Rückzahlungsbetrages und der Zeit T bis zum Verfall der Option.^[24] Da die Wertdifferenz zwischen dem Marktwert des Fremdkapitals und dem Marktwert der risikolosen Anleihe genau durch den Wert der Verkaufsoption im Zeitpunkt t=0 determiniert wird, kann dieser als Ausfallrisikoprämie interpretiert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun kann die Risikoprämie mittels Optionsbewertung nach Black/Scholes bestimmt werden:^[25]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der erste Summand kann dabei als diskontierter Erwartungswert des Totalverlustes interpretiert werden, der um den Erwartungswert des Rückflusses aus dem Unternehmensvermögen vermindert wird.^[26]

Wobei:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Variable r bezeichnet den risikolosen und stetigen Zinssatz, T die Restlaufzeit der Option, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltendie Volatilität des Unternehmenswertes und N bezeichnet die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.^[27] Der Unternehmenswert bezieht sich auf den Zeitpunkt t=0, da dieser in einer risikoneutralen Welt, wie sie im Modell unterstellt wird, dem diskontierten, zukünftig erwarteten Unternehmenswert entspricht. Annahmegemäß unterliegt der Unternehmenswert im Optionspreismodell einem kontinuierlichen und stationären Zufallsprozess, wobei eine logarithmische Normalverteilung der Unternehmenswertrenditen vorliegt. Dieser Zufallsprozess wird durch eine geometrische Brownsche Bewegung beschrieben.^[28]

Nunmehr kann weitergehend eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ausfallrisikoprämien zum Zeitpunkt T bestimmt werden. Da die Parameter Rückzahlungsbetrag, Volatilität und risikoloser Zinssatz im Zeitablauf konstant sind, besteht ein deterministischer Zusammenhang zwischen Unternehmenswert und Ausfallprämie. Da das Black-Scholes-Modell, wie oben geschildert, die Entwicklung des Unternehmenswertes modelliert, liegt im Zeitpunkt T eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Unternehmenswert vor. Somit können den zu den jeweiligen Unternehmenswerten dazugehörigen Ausfallrisikoprämien die Wahrscheinlichkeiten aus der Unternehmenswertverteilung zugeordnet werden. Die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung stellt folglich eine Verlustverteilung mit dem aufgezinsten Wert der Verkaufsoption als Erwartungswert dar.^[29]

3.2 Intensitätsbasierte Modelle

Im Gegensatz zu den Firmenwertmodellen wird hier auf die Herleitung eines Zusammenhangs zwischen der Ausfallwahrscheinlichkeit und dem Unternehmenswert als endogene Größe verzichtet, weshalb diese Modelle auch Reduktionsmodelle genannt werden.^[30] Vielmehr erfolgt die Spezifikation der Ausfallwahrscheinlichkeit anhand eines exogenen Prozesses.^[31] Modellvariablen sind damit nicht mehr Unternehmenswerte, sondern Unternehmensratings, Anleihepreise oder Credit Spreads.^[32] Daher muss auch die Recovery Rate exogen vorgegeben werden.^[33] Zuerst muss ein Prozess definiert werden, der die Eigenschaften von Ausfallereignissen möglichst gut darstellt. Dabei ist zu bedenken, dass Ausfälle seltene und unerwartete Ereignisse sind, die jedoch zu großen und sprunghaften Preisveränderungen führen.^[34] Diese Eigenschaften können durch einen Poisson-Prozess modelliert werden. Die folgenden Darstellungen beziehen sich dabei auf einen zeithomogenen Poisson-Prozess, der wie folgt definiert ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies bedeutet, dass der Prozess zum Zeitpunkt t=0 mit 0 beginnt. Die Zuwächse von N sind im Zeitablauf unabhängig und stationär, d. h. nicht abhängig von der Zeit.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Poisson-Prozess springt also zu jedem nachfolgenden Zeitpunkt t entweder um eins oder er bleibt konstant.^[35] Die Sprungzeitpunkte werden hierbei mitAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten…Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bezeichnet. Sobald ein Sprung eintritt, gilt der Kreditnehmer als ausgefallen.^[36] Die Abstände zwischen zwei Sprüngen sind unabhängig und identisch exponentialverteilt mit dem IntensitätsparameterAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,^[37] der als momentane Ausfallrate interpretiert werden kann^[38]. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zwischen zwei Sprüngen größer als t ist, beträgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiterhin gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Normalfall wird also der Zeitpunkt des ersten Sprunges, der ebenfalls dieser Exponentialverteilung folgt, als Ausfallzeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten definiert. Damit kann die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Sprung erst nach dem Zeitpunkt t eintritt, geschrieben werden als:^[39]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies entspricht der Überlebenswahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bis zum Zeitpunkt t, die definiert ist als Differenz zwischen eins und der Ausfallwahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bis zum Zeitpunkt t:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Ausfallwahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bis zum Zeitpunkt t ergibt sich folglich aus:^[40]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Verteilung des Poisson-Prozesses wird also alleine durch den Intensitätsparameter Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bestimmt.^[41] Durch die Kenntnis des Ausfallprozesses und durch Annahmen über die Wiedergewinnungsrate kann nun der Wert eines risikobehafteten Titels bestimmt werden durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn nun die Recovery Rate RR als bestimmter Anteil des Wertes des risikobehafteten Titels bei Nichtausfall definiert wird, kann die Gleichung umgeschrieben werden zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wobei:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Prozess ist zeithomogen, da die Intensitätsrate im Zeitablauf konstant bleibt.^[42] In der Realität schwanken jedoch die Ausfallwahrscheinlichkeiten im Zeitablauf, sodass in weiterführenden Modellen die Intensitätsraten als deterministische Funktion der Zeit oder stochastisch dargestellt werden.^[43] Hier lässt sich also eine bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit für bestimmte ökonomische Zustände ableiten. Durch Aggregation der bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten eines Kreditnehmers über alle möglichen Zustände erhält man die unbedingte Verteilung der Ausfallwahrscheinlichkeiten und darauf aufbauend die Verlustverteilung des einzelnen Kreditnehmers.^[44]

Die vorgestellten Modelle bilden somit die theoretische Grundlage der diskutierten Kreditportfoliomodelle, die nicht nur den einzelnen Kredit, sondern durch die Berücksichtigung von Risikointerdependenzen zwischen den Kreditnehmern zusätzlich das gesamte Kreditportfolio betrachten. Diese Portfoliomodelle werden im nächsten Kapitel nun eingehend erläutert.

4 Kreditportfoliomodelle

4.1 CreditMetrics

Dieses Kreditportfoliomodell wurde 1997 von J.P. Morgan entwickelt^[45] und gehört grundsätzlich der Klasse der Firmenwertmodelle an.^[46] Diese Zuordnung resultiert aus der Korrelationsermittlung, welche später noch eingehend erläutert wird. Andererseits werden die Ausfall- bzw. Migrationswahrscheinlichkeiten nicht aus Unternehmenswertänderungen, sondern aus historischen Daten abgeleitet, weshalb CreditMetrics teilweise auch in die Klasse der intensitätsbasierten Modelle einzuordnen ist.^[47] Das Ziel ist die Bestimmung des aus kreditbezogenen Ereignissen herrührenden Portfoliorisikos. Anders ausgedrückt soll die Unsicherheit über den zukünftigen Portfoliowert zu einem vorab definierten Risikohorizont gemessen werden, die durch Veränderungen der Kreditnehmerbonitäten verursacht wird.^[48] Aus diesem Satz wird bereits ersichtlich, dass nicht nur der Ausfall als Kreditereignis berücksichtigt werden soll, sondern auch Marktwertänderungen aufgrund von Änderungen der Bonitätseinstufung erfasst werden sollen.^[49]

Die Vorgehensweise des Modells lässt sich im Überblick in drei Schritte gliedern: Im ersten Schritt wird das Exposure jedes einzelnen Kredittitels bestimmt, welcher zum betrachteten Portfolio gehört. Dabei ist vor allem zwischen stabilen Exposures, die wie Floating Rate Notes stets nahe bei pari notieren und variablen Exposures, unter welchen Festzinsanleihen mit marktabhängiger Kursentwicklung subsumiert werden, zu unterscheiden. Anschließend werden im zweiten Schritt für jeden Kredit alle möglichen Marktwerte zum Risikohorizont berechnet, die durch entsprechende Ratingeinstufungen zu diesem Zeithorizont verursacht werden. Jedem ermittelten Marktwert ist nun die auf historischen Daten basierende Eintrittswahrscheinlichkeit zuzuordnen, um kreditspezifisch erwartete und unerwartete Verluste bestimmen zu können. Schließlich werden im dritten Schritt alle Finanzinstrumente des Portfolios unter Berücksichtigung ihrer Risikointerdependenzen betrachtet. Dies bedeutet, dass für jede Bonitätszustandskombination der Kreditnehmer der jeweilige Portfoliowert und die zugehörige gemeinsame Eintrittswahrscheinlichkeit zu ermitteln sind. Somit erhält man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Portfoliowerte, aus welcher der erwartete Verlust und der Value at Risk bestimmt werden können.^[50] Der Value at Risk ist dabei definiert als der maximale Wertverlust innerhalb eines ex ante festgelegten Zeitraums, der mit einer ebenfalls vorab bestimmten Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird und stellt so die negative Abweichung des tatsächlichen Wertes vom Erwartungswert dar.^[51]

Ausgangspunkt für die Risikomessung auf Einzelkreditebene ist die Bestimmung der Eintrittswahrscheinlichkeiten für Bonitätszustandsänderungen auf Basis einer sogenannten Migrationsmatrix. Diese Matrix wird in der Literatur auch als transition matrix oder Übergangsmatrix bezeichnet und erfasst ausgehend vom Anfangsrating die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Kreditnehmer innerhalb eines bestimmten Zeitraums in eine andere Ratingklasse migriert.^[52] Sie wird von Ratingagenturen wie Moody’s oder Standard & Poors aufgrund langfristiger Emissionsratings ermittelt und anschließend publiziert.^[53] Da es sich hierbei um Durchschnittswerte eines Portfolios mit heterogener Kreditnehmerzusammensetzung handelt, kann eine einzelne Bank bei ausreichender Datengrundlage auch eine eigens ermittelte Migrationsmatrix einsetzen, um die individuelle Zusammensetzung ihres eigenen Kreditportfolios zu berücksichtigen.^[54] Die Tabelle 1 stellt eine 1-Jahres-Migrationsmatrix beispielhaft dar:^[55]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: 1-Jahres-Migrationsmatrix.

Ein Kreditnehmer mit dem Anfangsrating A bleibt also innerhalb eines Jahres mit einer Wahrscheinlichkeit von 91,05 % in der Ratingklasse A, wechselt mit einer Wahrscheinlichkeit von 5,52 % in die Ratingklasse BBB und fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,06 % aus.^[56] Ein Ausfall stellt einen absorbierenden Status dar, d. h. bei Ausfall eines Kreditnehmers bleibt dieser in der Default-Klasse und kann zukünftig keine anderen Ratingausprägungen mehr annehmen.^[57] Die Spaltensumme der obigen Migrationsmatrix muss bei ungerundeten Werten immer 100 % ergeben, da sich der Kreditnehmer am Risikohorizont in Abhängigkeit vom Ausgangsrating in einer der Ratingkategorien befinden muss. Außerdem ist ersichtlich, dass die Bleibewahrscheinlichkeit stets den höchsten Wert darstellt.^[58]

Nunmehr muss eine Neubewertung des Kredittitels für alle möglichen Bonitätszustände am Risikohorizont vorgenommen werden, da der zu diesem Zeitpunkt tatsächliche Zustand eine stochastische Größe ist.^[59] Dabei werden alle vertraglich vereinbarten und jenseits des Risikohorizontes anfallenden Cashflows mit risikoadjustierten Forward-Nullkuponzinssätzen laufzeitadäquat auf den Zeitpunkt des Risikohorizonts diskontiert.^[60] Je schlechter der Kredit am Risikohorizont eingestuft ist, desto höher ist der risikoadjustierte Forward-Nullkuponzinssatz und desto niedriger ist folglich der Barwert des Kredits. Dabei stellen die risikoadjustierten Forward-Nullkuponzinssätze eine Kombination von risikoloser Forward-Nullkuponzinsstruktur und den ratingklassenspezifischen Forward Credit Spreads dar^[61], wobei der Credit Spread den Risikoaufschlag kennzeichnet, den ein Schuldner schlechterer Bonität im Vergleich zu einem risikolosen Schuldner am Markt zu zahlen hat.^[62] Eine Darstellung beispielhafter, auf einen Risikohorizont von einem Jahr bezogener risikoadjustierter Forward-Nullkuponzinssätze ist dabei der folgenden Tabelle zu entnehmen:^[63]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Ratingklassenspezifische Forwardzinssätze.

Der Barwert eines Kredites mit einem Nennwert von EUR 1000, einem Zinssatz von 7 % und einer Laufzeit von 4 Jahren, der am Risikohorizont das Rating AAA aufweist, ergibt sich demnach gemäß folgender Formel:^[64]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Oder in allgemeiner Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten den Cashflow im Zeitpunkt t und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten den in t=0 gültigen Forward-Nullkuponzinssatz als Funktion des Risikohorizontes k, des Zeitpunktes t und der Ratingklasse b bezeichnen.^[65]

Es wird also offensichtlich unterstellt, dass die Zinsstruktur am Risikohorizont den heutigen Forwardzinssätzen entspricht. Hieraus kann abgeleitet werden, dass Veränderungen der marktinduzierten Credit Spreads in CreditMetrics keine Berücksichtigung finden.^[66]

Sollte dagegen das Ausfallereignis eintreten, bestimmt sich der Wert des Kredites aus dem Produkt von Nominalvolumen und Recovery Rate. Die Recovery Rate gibt den anteiligen Mittelrückfluss aus dem ausgefallenen Engagement an und wird durch eine betaverteilte Zufallsvariable beschrieben. Die Parameter der Betaverteilung, der Erwartungswert und die Standardabweichung, ergeben sich dabei anhand historischer Daten in Abhängigkeit von der Rangstellung des Kredittitels.^[67] Im Folgenden sind die differenzierten Recovery Rates basierend auf einer Studie von Moody’s dargestellt:^[68]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3: Recovery Rates.

Aufgrund der bisherigen Überlegungen kann nun jedem Bonitätszustand eines Kreditnehmers eine Eintrittswahrscheinlichkeit und ein Marktwert zugeordnet werden. Wenn nun die Eintrittwahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit der größenmäßig geordneten Marktwerte dargestellt werden, erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Kreditwerte eines einzelnen Titels.^[69] Die entsprechende Verteilung für den oben beschriebenen Kredit mit einem Nennwert von EUR 1000 ergibt sich dabei unter Berücksichtigung einer Rangstellung des Titels von „Senior Secured“, einer simulierten Recovery Rate, die dem Erwartungswert entspricht und einem Anfangsrating von A wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 4: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Marktwerte.

Der Erwartungswert von EUR 1126,60 ergibt sich somit nach folgender allgemeiner Formel als Summe der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gewichteten ratingklassenspezifischen Marktwerte Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in Abhängigkeit von der Anzahl der Ratingklassen B:^[70]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Des Weiteren ergibt sich der erwartete Verlust aus der Differenz zwischen dem anfänglichen Wert des Kredits und seinem Erwartungswert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Beispiel ergibt sich der erwartete Verlust aus der Differenz von 1127,97 und 1126,60 und beträgt somit EUR 1,37.

Neben dem erwarteten Verlust kann nun auch der unerwartete Verlust als Value at Risk unter Verwendung der kumulierten Eintrittswahrscheinlichkeiten errechnet werden. Bei einem Vertrauensbereich von 99 % wird also zunächst derjenige Marktwert gesucht, der mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % nicht unterschritten wird. Deshalb werden, beginnend mit der höchsten Ratingkategorie, die Eintrittswahrscheinlichkeiten solange aufsummiert, bis die kumulierte Eintrittswahrscheinlichkeit mindestens 99 % beträgt. Der gesuchte Quantilswert ergibt sich bei der Ratingklasse BB, da hier die kumulierte Wahrscheinlichkeit einen Wert von 99,67 % erreicht. Aus der Differenz von Erwartungswert und Quantilswert des betrachteten Kredits kann nun der Value at Risk berechnet werden:

[...]

^[1] Vgl. Bröker/Lehrbass (2001), S. 3.

^[2] Vgl. Dunemann (2001), S. 2.

^[3] Vgl. Rinker/Schweizer (2007), S. 232.

^[4] Vgl. Schmoll (1995), S. 865.

^[5] Vgl. Klement (2007), S. 128.

^[6] Vgl. Hartmann-Wendels, Pfingsten, Weber (2007), S. 480-481.

^[7] Vgl. Grundke (2003), S. 265-266.

^[8] Vgl. Daldrup (2003), S. 3.

^[9] Vgl. Hartmann-Wendels, Pfingsten, Weber (2007), S. 483.

^[10] Vgl. Grundke (2003), S. 268.

^[11] Vgl. Schwarz (2004), S. 14.

^[12] Vgl. Hegemann (2003), S. 43-44.

^[13] Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2007), S. 506.

^[14] Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 113.

^[15] Vgl. Rudolph (1995), S. 898.

^[16] Vgl. Daldrup (2003), S. 13-15 und S.18.

^[17] Vgl. Rudolph (1995), S. 900.

^[18] Vgl. Klement (2007), S. 117 und Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 113.

^[19] Vgl. Daldrup (2003), S. 19.

^[20] Vgl. Klement (2007), S. 118.

^[21] Vgl. Rudolph (1995), S. 899.

^[22] Vgl. Klement (2007), S. 118.

^[23] Vgl. Daldrup (2003), S. 19-20.

^[24] Vgl. Rudolph (1995), S. 900.

^[25] Vgl. Daldrup (2003), S.20.

^[26] Vgl. Hartmann-Wendels, Pfingsten, Weber (2007), S. 507.

^[27] Vgl. Daldrup (2003), S. 16.

^[28] Vgl. Rudolph (1995), S. 901.

^[29] Vgl. Hegemann (2003), S. 30-31.

^[30] Vgl. Hartmann-Wendels, Pfingsten, Weber (2007), S. 516-517.

^[31] Vgl. Läger (2002), S. 223.

^[32] Vgl. Daldrup (2003), S. 25.

^[33] Vgl. Klement (2007), S. 120.

^[34] Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 121-122.

^[35] Vgl. Läger (2002), S. 225-226.

^[36] Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 122.

^[37] Vgl. Läger (2002), S. 226.

^[38] Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2007), S. 519.

^[39] Vgl. Läger (2002), S. 226.

^[40] Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 122.

^[41] Vgl. Läger (2002), S. 226.

^[42] Vgl. Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007), S. 122.

^[43] Zu deterministischen und stochastischen Poisson-Prozessen vgl. Läger (2002), S. 227 ff.

^[44] Vgl. Daldrup (2003), S. 28.

^[45] Vgl. Jeffrey/Heidemann (2007), S. 110.

^[46] Vgl. Schiller/Tytko (2001), S. 267.

^[47] Vgl. Daldrup (2003), S. 32.

^[48] Vgl. Schierenbeck/Lister/Kirmße (2008), S. 174.

^[49] Vgl. Rau-Bredow (2002), S. 10.

^[50] Vgl. Schierenbeck/Lister/Kirmße (2008), S. 174.

^[51] Vgl. Hegemann (2003), S. 12.

^[52] Vgl. Schiller/Tytko (2001), S. 268.

^[53] Vgl. Hegemann (2003), S. 38.

^[54] Vgl. Crouhy/Galai/Mark (2000), S. 66.

^[55] Vgl. Schwarz (2004), S. 7.

^[56] Vgl. Schulze (2001), S. 20-21.

^[57] Vgl. Crouhy/Galai/Mark (2000), S. 66.

^[58] Vgl. Schiller/Tytko (2001), S. 269.

^[59] Vgl. Schierenbeck/Lister/Kirmße (2008), S. 176.

^[60] Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2007), S. 483.

^[61] Vgl. Daldrup (2003), S. 35.

^[62] Vgl. Schiller/Tytko (2001), S. 263.

^[63] Vgl. Schierenbeck/Lister/Kirmße (2008), S. 177.

^[64] Vgl. Schwarz (2004), S. 9.

^[65] Vgl. Grundke (2003), S. 266-267.

^[66] Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2007), S. 483.

^[67] Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2007), S. 484.

^[68] Vgl. Schiller/Tytko (2001), S. 270 und Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2007), S. 485.

^[69] Vgl. Schierenbeck/Lister/Kirmße (2008), S. 178.

^[70] Vgl. Schulze (2001), S. 22.