Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Einleitung:
In dieser Diplomarbeit werden Newsvendormodelle, einer Problemstellung des Operations- bzw. Risikomanagements, erläutert und notwendige Voraussetzungen für das Lösungsverhalten abgeleitet. Untersuchungen von Newsvendormodellen finden bereits seit langer Zeit Beachtung in den Wissenschaften und werden wegen ihrer Flexibilität zahlreich in praktischen Problemstellungen angewendet. Dies ist auch durch den zunehmenden Ein fluss der Risikoadjustierung quer durch alle Unternehmensbereiche begründet. Das Grundproblem, aus der auch die Namensgebung erfolgt, kann folgendermaßen beschrieben werden. Ein Zeitungsverkäufer bietet in einer festen Verkaufsstelle oder Verkaufsgebiet seine Zeitungen an, die er vom Herausgeber/Verlag zu festen Einkaufspreisen bezieht. Die Nachfrage nach diesen Zeitungen schwankt jedoch innerhalb des Verkaufszeitraums und ist damit zufällig. Bestellt der Händler zu viel, so können die Kosten über den Einnahmen liegen und er erzielt einen Verlust. Bestellt er zu wenig, entgehen ihm Einnahmen und damit auch Gewinn.
In Kapitel 2 werden klassische (preisunabhängige) Newsvendor-Modelle und einige Modifikationen untersucht, bei denen Unternehmen vor Beginn der Verkaufsperiode zu entscheiden haben, wie viel Mengeneinheiten eines Produktes P zu bestellen sind, wenn die innerhalb der Verkaufsperiode auftretende Nachfrage nach diesem Produkt unsicher bzw. stochastisch und der Gewinn (Kosten) zu maximieren (minimieren) ist. Ausgehend davon werden in Kapitel 3 preissensitive Newsvendormodelle eingeführt und erläutert.
Im Unterschied zu den preisunabhängigen Newsvendormodellen, bei denen ausschließlich optimale Bestellmengen gesucht sind, unterscheiden sich die preissensitiven Newsvendormodelle dahingehend, dass zusätzlich zur optimalen Bestellmenge auch der Verkaufspreis des Produktes vom Unternehmen festgelegt und deshalb bezüglich der Zielsetzung optimiert werden muss. Wie sich herausstellen wird, sind die preisunabhängigen Modelle recht komfortabel zu handhaben. Bei den preisabhängigen Modellen sieht dies jedoch völlig anders aus. Die scheinbar triviale Erweiterung um einen Optimierungsparameter wird zahlreiche Schwierigkeiten bei der Ermittlung optimaler Preise und Bestellmengen offenbaren, da die Lösungen im Allgemeinen nicht voneinander unabhängig sind. Ebenso ist anzumerken, dass bei den preisabhängigen Modellen, im Gegensatz zu den preisunabhängigen Produkt Modellen, in der Regel keine analytische […]
In dieser Diplomarbeit werden Newsvendormodelle, einer Problemstellung des Operations- bzw. Risikomanagements, erläutert und notwendige Voraussetzungen für das Lösungsverhalten abgeleitet. Untersuchungen von Newsvendormodellen finden bereits seit langer Zeit Beachtung in den Wissenschaften und werden wegen ihrer Flexibilität zahlreich in praktischen Problemstellungen angewendet. Dies ist auch durch den zunehmenden Ein fluss der Risikoadjustierung quer durch alle Unternehmensbereiche begründet. Das Grundproblem, aus der auch die Namensgebung erfolgt, kann folgendermaßen beschrieben werden. Ein Zeitungsverkäufer bietet in einer festen Verkaufsstelle oder Verkaufsgebiet seine Zeitungen an, die er vom Herausgeber/Verlag zu festen Einkaufspreisen bezieht. Die Nachfrage nach diesen Zeitungen schwankt jedoch innerhalb des Verkaufszeitraums und ist damit zufällig. Bestellt der Händler zu viel, so können die Kosten über den Einnahmen liegen und er erzielt einen Verlust. Bestellt er zu wenig, entgehen ihm Einnahmen und damit auch Gewinn.
In Kapitel 2 werden klassische (preisunabhängige) Newsvendor-Modelle und einige Modifikationen untersucht, bei denen Unternehmen vor Beginn der Verkaufsperiode zu entscheiden haben, wie viel Mengeneinheiten eines Produktes P zu bestellen sind, wenn die innerhalb der Verkaufsperiode auftretende Nachfrage nach diesem Produkt unsicher bzw. stochastisch und der Gewinn (Kosten) zu maximieren (minimieren) ist. Ausgehend davon werden in Kapitel 3 preissensitive Newsvendormodelle eingeführt und erläutert.
Im Unterschied zu den preisunabhängigen Newsvendormodellen, bei denen ausschließlich optimale Bestellmengen gesucht sind, unterscheiden sich die preissensitiven Newsvendormodelle dahingehend, dass zusätzlich zur optimalen Bestellmenge auch der Verkaufspreis des Produktes vom Unternehmen festgelegt und deshalb bezüglich der Zielsetzung optimiert werden muss. Wie sich herausstellen wird, sind die preisunabhängigen Modelle recht komfortabel zu handhaben. Bei den preisabhängigen Modellen sieht dies jedoch völlig anders aus. Die scheinbar triviale Erweiterung um einen Optimierungsparameter wird zahlreiche Schwierigkeiten bei der Ermittlung optimaler Preise und Bestellmengen offenbaren, da die Lösungen im Allgemeinen nicht voneinander unabhängig sind. Ebenso ist anzumerken, dass bei den preisabhängigen Modellen, im Gegensatz zu den preisunabhängigen Produkt Modellen, in der Regel keine analytische […]
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Andy Stephan
Newsvendorprobleme
ISBN: 978-3-8366-4536-2
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2010
Zugl. Friedrich-Schiller-Universität Jena, Jena, Deutschland, Diplomarbeit, 2010
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© Diplomica Verlag GmbH
http://www.diplomica.de, Hamburg 2010
Zusammenfassung
Diese Diplomarbeit untersucht zu Beginn Einperioden-Newsvendorprobleme mit zufälli-
ger Nachfrage auf optimale Bestellmengen. Dabei werden verschiedene deterministische
und stochastische Verfahren zur Modellierung solcher Probleme erläutert. Durch die
zusätzliche Berücksichtigung einer weiteren Entscheidungsvariable, dem Verkaufspreis
des Produktes, werden diese Modelle im Anschluss erweitert und hinsichtlich optimaler
Preis- Mengenkombinationen untersucht.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
6
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
7
2.1 Kostenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1 Worst Case Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Gesamtkosten unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Gewinnmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Basismodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Kapazitiertes Basismodell unter Risikoaversion . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Erweitertes Basismodell mit Serviceparameter unter Risikoaversion 32
2.2.4 Worst Case und Regret Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.5 Conditional Value at Risk Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Mehrproduktmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Ein kapazitiertes Mehrproduktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Mehrproduktmodell unter Value-at-Risk Bedingung . . . . . . . . 54
3 Preisabhängige Newsvendormodelle
63
3.1 Preissensitive Gewinnfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1 Additive Gesamtnachfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Multiplikative Gesamtnachfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.3 Ein Gesamtmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 Preiselastizität und die Bedeutung der Kosten . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3 Optimale Preise und Bestellmengen für ein Sortiment . . . . . . . . . . . 98
4 Überblick und Anmerkungen
107
Anhang
109
Literaturverzeichnis
116
Vorwort
Diese Diplomarbeit wurde im Zeitraum September 2009 bis Januar 2010 am Lehrstuhl
für Statistik an der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften, in Verbindung mit dem Fach-
bereich Stochastik am Lehrstuhl für Mathematik & Informatik an der Friedrich-Schiller-
Universität Jena angefertigt. Besonderer Dank gilt meinen Betreuern Prof.Dr.P.Kischka
und PD Dr.J.Günther. Ebenfalls möchte ich mich aber auch bei meinen Eltern und der
Familie Sörgel (besonders für die zahlreichen kostenlosen Ausdrucke) bedanken, ohne
die das Studium und die Diplomarbeit nicht möglich gewesen wäre.
Symbolverzeichnis
P
- Produkt
GE
- Geldeinheiten
ME
- Mengeneinheiten
KE
- Kapazitätseinheiten
- Verkaufspreis [GE/ME] (selling price)
- Bestellkosten [GE/ME] (ordering cost)
- Zusatzkosten für nicht absetzbare Produkte [GE/ME] (holding cost)
- Resterlös, Schrottwert für nicht absetzbare Produkte [GE/ME] (salvage value)
- zusätzliche Bestellkosten/Strafkosten [GE/ME] (backorder cost, penalty cost)
- Bestellmenge [ME]
- probabilistische Nachfrage [ME]
- deterministische Nachfrage [ME]
- Gesamtkosten [GE]
- Gesamtgewinn [GE]
- Lagrangeoperator
- Wahrscheinlichkeitsmaÿ
- Erwartungswertoperator
- Varianzoperator
- Standardabweichungsoperator
A
- messbarer Raum
- Elementarereignis im Wahrscheinlichkeitsraum
A
- Maximum einer Menge
- Minimum einer Menge
- Inmum einer Menge
- Supremum einer Menge
- Grenzwert
N
- Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen
R
- Menge der reellen Zahlen
R
- Menge der nichtnegativen reellen Zahlen
- Conditional Value at Risk
- Value at Risk
1
- Indikatorfunktion
- für alle
- es existiert
- (Mengen-)Kreuzprodukt
- lies: genau dann wenn
1 Einleitung
6
1 Einleitung
In dieser Diplomarbeit werden Newsvendormodelle, einer Problemstellung des Operations-
bzw. Risikomanagements, erläutert und notwendige Voraussetzungen für das Lösungs-
verhalten abgeleitet. Untersuchungen von Newsvendormodellen nden bereits seit lan-
ger Zeit Beachtung in den Wissenschaften und werden wegen ihrer Flexibilität zahlreich
in praktischen Problemstellungen angewendet. Dies ist auch durch den zunehmenden
Einuÿ der Risikoadjustierung quer durch alle Unternehmensbereiche begründet. Das
Grundproblem, aus der auch die Namensgebung erfolgt, kann folgendermaÿen beschrie-
ben werden. Ein Zeitungsverkäufer bietet in einer festen Verkaufsstelle oder Verkaufs-
gebiet seine Zeitungen an, die er vom Herausgeber/Verlag zu festen Einkaufspreisen
bezieht. Die Nachfrage nach diesen Zeitungen schwankt jedoch innerhalb des Verkaufs-
zeitraums und ist damit zufällig. Bestellt der Händler zu viel, so können die Kosten
über den Einnahmen liegen und er erzielt einen Verlust. Bestellt er zu wenig, entgehen
ihm Einnahmen und damit auch Gewinn. In Kapitel 2 werden klassische (preisunab-
hängige) Newsvendor-Modelle (NVM)
1
und einige Modikationen untersucht, bei denen
Unternehmen vor Beginn der Verkaufsperiode zu entscheiden haben, wie viel Mengen-
einheiten [ME] eines Produktes P zu bestellen sind, wenn die innerhalb der Verkaufspe-
riode auftretende Nachfrage nach diesem Produkt unsicher bzw. stochastisch und der
Gewinn (Kosten) zu maximieren (minimieren) ist. Ausgehend davon werden in Kapitel 3
preissensitive Newsvendormodelle eingeführt und erläutert. Im Unterschied zu den prei-
sunabhängigen Newsvendormodellen, bei denen ausschlieÿlich optimale Bestellmengen
gesucht sind, unterscheiden sich die preissensitiven Newsvendormodelle dahingehend,
dass zusätzlich zur optimalen Bestellmenge auch der Verkaufspreis des Produktes vom
Unternehmen festgelegt und deshalb bezüglich der Zielsetzung optimiert werden muss.
Wie sich herausstellen wird, sind die preisunabhängigen Modelle recht komfortabel zu
handhaben. Bei den preisabhängigen Modellen sieht dies jedoch völlig anders aus. Die
scheinbar triviale Erweiterung um einen Optimierungsparameter wird zahlreiche Schwie-
rigkeiten bei der Ermittlung optimaler Preise und Bestellmengen oenbaren, da die Lö-
sungen im Allgemeinen nicht voneinander unabhängig sind. Ebenso ist anzumerken, dass
bei den preisabhängigen Modellen, im Gegensatz zu den preisunabhängigen 1-Produkt
Modellen,in der Regel keine analytische Darstellung der Lösung existieren wird.
1
alternative Bezeichnungsweisen: Newsboyproblem/Inventory Control Problem
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
7
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
In diesem Kapitel werden klassische Newsvendorprobleme und einige Modikationen vor-
gestellt. Zwischen allen Modellen besteht die Gemeinsamkeit, dass sie den Einuss eines
Entscheidungsparameters (bspw. Bestellmenge, Produktionsmenge, Portfolioanteile etc.)
auf eine Zielgröÿe (bspw. Kosten, Gewinn, Erlöse etc.) beschreiben. Jede Zielgröÿe wird
dabei zusätzlich aber unabhängig von der Entscheidungsvariable durch deterministische
oder stochastische Parameter beeinusst. Die Aufgabe besteht darin, denjenigen Wert
der durch den Entscheider beeinussbaren Stellgröÿe zu ermitteln, für den die Zielgröÿe
maximal oder minimal wird.
2
Analog zu den Ausführungen in [DeRuSh09, S.1 .] wird in
einem ersten Ansatz die Newsvendorproblematik durch eine Gesamtkostenbetrachtung
verdeutlicht. Im Anschluÿ daran wird das Gewinnmodell (vgl.[Port02, S.7 .]) als wei-
teres Problem betrachtet und analysiert. Beide Ansätze beinhalten die gleiche Entschei-
dungsvariable und betrachten die gleiche unsichere Nachfrage, haben jedoch verschiedene
Optimierungsrichtungen. Das Kapitel endet mit einigen häug in der Literatur verwen-
deten Modikationen der Standardmodelle. Insbesondere seien in diesem Zusammen-
hang das kapazitierte Modell mit Risikoaversion von Li, Wang und Yang ([LiWaYa08]),
das Gewinnmodell mit Servicebedingungen unter Risikoaversion von Jammernegg und
Kischka ([JamKis08]) und der Mehrproduktfall mit Value at Risk Bedingungen von Ka-
raesmen, Özler und Tan ([KaÖzTa09]) erwähnt. Eine technische Anmerkung noch zu
Beginn: Wenn in dieser Arbeit Erwartungswerte über Integrale ausgedrückt werden, so
verwenden wir in konsistenter Weise die Darstellung durch Stieltjes-Integrale und setzen
immer stillschweigend die Existenz einer Dichte voraus. Weiterhin ieÿen in die Modelle
Lösungsverfahren aus den Bereichen der nichtlinearen und stochastischen Optimierung
ein. Einen guten Überblick aus dem Bereich der nichtlinearen Optimierung bekommt
man beispielsweise bei Alt ([Alt02]). Eine gute Einführung in die stochastische Optimie-
rung erhält man bei Sengupta ([Seng72]) oder bei Dentcheva, Ruszczy«ski & Shapiro
([DeRuSh09]).
2.1 Kostenmodelle
Angenommen ein Unternehmen hat zu Beginn einer Verkaufsperiode zu entscheiden, wie
viel Mengeneinheiten
[ME] eines bestimmten Produktes P zu beschaen sind,
um eine gewisse, innerhalb der Verkaufsperiode auftretende Nachfrage
[ME], be-
2
Extremalziel:Minimierung,Maximierung
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
8
friedigen zu können. Die stückxen (Bestell-)Kosten zu Beginn der Periode betragen
[GE/ME]. Man erhält die vorläugen Gesamtkosten
[GE] bei Bestellmenge
zu
. Sei xiert und unabhängig von der eintretenden Nachfrage gewählt,
dann kann das Unternehmen im Falle
eine zusätzliche Bestellung zu erhöhten
Kosten
[GE/ME] tätigen, um die zusätzliche Nachfrage
zu befriedigen. Die
Dierenz
kann als Kostenzuschlag für die Nachbestellung (z.B. erhöhte Logis-
tikkosten, Kreditkosten etc.) interpretiert werden. In diesem Fall betragen die gesamten
Zusatzkosten
und die Gesamtkostenfunktion
nimmt die Gestalt
an. Wird andererseits aber die Nachfrage überschätzt, gilt
also
, entstehen dem Unternehmen wiederum zusätzliche Kosten
[GE/ME]
für die Lagerung, Entsorgung etc. jeder nicht absetzbaren Mengeneinheit des Produktes
P
. Für diesen Fall betragen die gesamten Zusatzkosten
und die Gesamt-
kostenfunktion ergibt sich zu
. Unter Berücksichtigung von
für beliebige
R
erhält man die aus den xen Bestellkosten
3
und
variablen Zusatzkosten additiv zusammengesetzte Gesamtkostenfunktion
durch
die Gleichung
(2.1)
Hierbei ist
die Entscheidungsvariable (Bestellmenge) und
ein zunächst beliebiger
aber fester Parameter der Gesamtkostenfunktion (vgl. [DeRuSh09, Kapitel 1.2]).
Sei
R
und
D
R
dann ist eine Funktion auf
D
mit Werten in R.
Sei weiterhin
der Schnitt von
für beliebiges aber festes
und
der Schnitt von
für xiertes
. Die Schnitte
und
entlang der
Koordinatenachsen sind dann reelle Funktionen in bzw. mit jeweils stückweise linea-
ren Verläufen. Diese Ergebnisse begründen die später wichtigen Eigenschaften
stetig in und messbar in . Dabei ist
eine Zufallsvariable (zufällige Nachfrage) auf
einem
-Raum
A
mit
,
D
. Abbildung 1
zeigt den charakteristischen Verlauf von
und
.
Durch Anwendung des ökonomischen Prinzips
4
ergibt sich ein Optimierungsansatz durch
die Minimierung der Gesamtkosten. Unter Verwendung der Gesamtkostenfunktion
aus (2.1), kann dann das (deterministische) Minimierungsproblem (2.2) formuliert wer-
3
für festes aber beliebiges
4
ökonomisches Prinzip=Wirtschaftlichkeitsprinzip, vgl.[Wöhe00, S.1-2]
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
9
(a)
(b)
Abbildung 1:
Schnitte der Gesamtkostenfunktion
den.
(2.2)
Sei
beliebig aber fest, dann besitzt die Gesamtkostenfunktion (2.1) die äquivalente
Darstellung
(2.3)
(2.4)
Gleichung (2.3) bzw. (2.4) verdeutlichen wiederum, dass die Gesamtkostenfunktion
stückweise linear verläuft.
5
Einsetzen von (2.4) in (2.2) liefert das Minimax Optimie-
rungsproblem
(2.5)
Wegen
und
ist
streng monoton fallend und
streng monoton steigend in . Somit wird das Minimum von
im Schnittpunkt der Funktionen und
angenommen
6
und es gilt
5
vgl. Abb.1
6
vgl. Abb.1
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
10
Die optimale Entscheidung für das Minimax-Problem (2.5) besteht darin, genau so viel
zu bestellen wie nachgefragt wird (Entscheidung bei vollständiger Information). Be-
trachten wir jetzt die Situation, dass eine Entscheidung über die Bestellmenge eines
Produktes vor Eintritt des unsicheren Nachfrageereignisses getroen werden muss. Be-
zogen auf das Newsvendorproblem bedeutet dies, dass vor Beginn der Verkaufsperiode
die Bestellung des Produktes erfolgt, für das innerhalb der Verkaufsperiode eine zufällige
Nachfrage besteht. Diese Unsicherheit lässt sich mit Hilfe einer geeigneten nichtnegati-
ven Zufallsvariable
modellieren.
7
Weiterhin soll vorausgesetzt werden, dass die
Wahrscheinlichkeitsverteilung
von
bekannt ist und
gilt.
8
Diese Annahme
ist besonders dann gerechtfertigt, wenn sich Bestellvorgänge wiederholen und damit die
Verteilung und deren Momente aus den empirischen Daten geschätzt werden können
oder a priori Informationen bekannt sind.
Sei nun mit
die Gesamtkostenfunktion mit zufälliger Nachfrage
bezeichnet,
dann erhält man als stochastisches Analogon der Gesamtkostenfunktion (2.1) die Dar-
stellung (2.6).
(2.6)
Wir setzen
, um den zufälligen Charakter der Gesamtkostenfunktion
zu betonen. Natürlich ist
auf Grund der Abhängigkeit von der zufälligen Nachfrage
ebenfalls eine Zufallsvariable
9
, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung
vom W-Maÿ
von
abhängig ist. Eine weitere Schlussfolgerung ergibt, dass die Ergebnisse (2.2)
- (2.5) wegen der unsicheren Nachfrage in der Zielfunktion nicht mehr anwendbar sind.
Unter Annahme sich wiederholender Bestellvorgänge eines Produktes P können jedoch
die durchschnittlichen Gesamtkosten
:=
als Ersatzzielgröÿe herangezogen
werden.
10
Man erhält das zu (2.2) korrespondierende Optimierungsproblem
(2.7)
Jeder Entscheider, der die Bestellmenge gemäÿ der Lösung von (2.7) wählt, ist dem Ri-
7
betrachten (reelle) Zufallszahlen
D
mit nichtnegativen Träger D
R
8
: zum W-Maÿ
existiert eine absolut stetige bzw. mit endlich abzählbaren vielen Sprung-
stellen nichtfallende und rechtsseitig stetige Verteilungsfunktion
9
eine stetige Transformation einer Zufallsvariablen ist ebenfalls eine Zufallsvariable
10
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
11
siko gegenüber neutral eingestellt.
11
Falls der Prozess zu Beginn jeder Verkaufsperiode
neu startet, dann sichert das Gesetz der groÿen Zahlen für xierte , dass die durch-
schnittlichen Gesamtkosten bei vielen Wiederholungen mit Wahrscheinlichkeit eins gegen
den Erwartungswert
konvergieren. In diesem Fall ist die Lösung von (2.7) im
Durchschnitt optimal.
Innerhalb der stochastischen Optimierungstheorie ist Problem (2.7) den 2-Stufen Mo-
dellen
12
zuzuordnen. In der ersten Stufe wird vor der Realisation der Nachfrage , eine
Entscheidung über die Bestellmenge
getroen. In der zweiten Stufe nimmt dann
einen Wert
an und es kann passieren, dass
oder
ist. Im Fall
veranlasst der Entscheider eine zusätzliche Bestellung von
Einheiten zu erhöhten
Kosten
. Im Fall
entstehen dem Unternehmen ebenfalls Kosten
für die
nicht abgesetzten
Mengeneinheiten. Wir wollen nun der Frage nachgehen, wie man
zu einer Lösung des Problems (2.7) gelangt. Zunächst benötigt man einige Hilfsmittel.
Es gelten die äquivalenten Umformungen
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Die zufällige Gesamtkostenfunktion
in (2.6) kann mit den Identitäten (2.8)-(2.10)
transformiert werden und es gilt
13
Der Erwartungswert
ergibt sich dann zu
11
im Sinne der Erwartungsnutzentheorie (vgl. [KleSch04, S.406-408],[DeRuSh09, S.274 .])
12
engl.: two-stage problem, problem with recourse action, vgl.[Seng72]
13
neben dieser Variante der Gesamtkostenfunktion erxistieren noch zahlreiche andere Darstellungen die
aus den Gleichungen (2.8)-(2.10) bestimmbar sind
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
12
(2.11)
Sei
die Verteilungsfunktion der zufälligen Nachfrage
und
. Weil die Nachfrage nicht negativ werden kann, gelte zusätzlich
. Der Erwartungswert in (2.11) nimmt dann die Darstellung (2.12) an
(2.12)
Beweis:
Nach (2.11) und (2.12) genügt es zu zeigen
(2.13)
Für xiertes gilt:
14
Fubini
(2.13)
(2.11)
(2.12)
Im nächsten Schritt zeigen wir, dass die Zielfunktion
konvex in
ist. Mit dieser
Eigenschaft kann die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Problems (2.7) gewähr-
leistet werden. Habe dazu
die Darstellung (2.12), dann erhält man die Ableitungen
14
man beachte:
1
R
1
sonst
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
13
erster und zweiter Ordnung von
zu
15
Letzteres gilt auf Grund der Eigenschaften
,
,
absolut stetig und
monoton steigend bzw. nichtfallend.
16
Falls
in einigen Punkten nicht dierenzier-
bar ist, interpretieren wir den Dierentialquotient
im Punkt
als rechtsseitige
Ableitung. Aus
folgt
monoton fallend für
und monoton stei-
gend für
. Aus
erhält man die Konvexität der Funktion
.
17
Sei
gegeben, eine notwendige Bedingung für ein Minimum der durch-
schnittlichen Gesamtkosten gem. Formel (2.12) ergibt sich aus der Gleichung
und es gilt
(2.14)
(2.15)
Insbesondere existiert das Dierential von
nach weil die Erwartungswertfunktion
für jede Realisation
D
Lipschitz stetig in
ist.
18
Um nun in (2.15) die
optimale Bestellmenge zu ermitteln, benötigen wir die Denitionen der linksseitigen
und rechtsseitigen -Quantile einer Verteilung . Sei
beliebig aber fest, das
linksseitige -Quantil ist deniert als
19
15
unter Verwendung der Leibniz-Regel und
für festes
gilt:
16
damit ist auch die Dichte
von
nicht negativ
17
vgl. exemplarisch Abb.2, für jedes
ist
konvex, damit ist auch der Durchschnitt
konvex und damit auch
weil
beliebig
18
aus Lipschitz-Stetigkeit folgt Stetigkeit,
ist linear und damit L -stetig, für
gilt:
mit Lipschitz
Konstante
19
wird auch als verallgemeinerte Inverse bezeichnet, siehe Anhang (A)
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
14
0
2.5
13.75
Abbildung 2:
Erwartungswertfunktion
für gleichverteiltes
mit
und minimalen Bestellkosten bei
,
R
und das rechtsseitige -Quantil durch
R
Damit ist anschaulich klar, dass eine eindeutige Lösung von (2.15) genau dann existiert,
wenn rechts- und linksseitiges -Quantil mit
übereinstimmen. Die Lösungsmen-
ge enthält in diesem Fall nur einen Punkt
und die optimale Wahl der Bestellmenge
ergibt sich zu
(2.16)
Die Lösung (2.16) wird als Quantil-Lösung (vgl. [DeRuSh09, S.4]) oder als kritische
Fraktil-Lösung bezeichnet, die erstmalig von Arrow, Harris und Marschak ([ArHaMa51])
untersucht wurde (vgl. [Port02, S.10]). Ist
in
konstant, gilt also
dann erhält man für diesen Fall aus der notwendigen Bedingung
ein In-
tervall aus optimalen Lösungen. Wegen
folgt in
Verbindung mit (2.15)
, das als optimale stockout-Wahrscheinlichkeit
bezeichnet wird.
20
Nimmt
Werte auf einer abzählbaren Menge D
mit
an, so ergibt sich die optimale Bestellmenge
D
aus dem Mini-
mum
, für das
gilt (vgl.[Port02, S.11 .]). Ist speziell
20
in der Tat gilt
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
15
D
dann ist das kleinste
D
für das gilt
In Abbildung 3 wird dieser Zusammenhang noch einmal an einer diskreten Verteilung
verdeutlicht. Besitzt die Bestellmenge und die zufällige Nachfrage nicht den selben dis-
kreten Träger, können jedoch Schwierigkeiten entstehen. In Porteus ([Port02, Exercise
1.12]) wird ein Fall konstruiert, bei dem die Bestellmenge nur ganzzahhlige Werte auf
der Menge
annehmen kann und die Nachfrage auf
gleichverteilt ist. Unter
speziellen Parametern (
) ergibt sich die optimale Bestellmenge zu
, während
die optimale Bestellmenge
ergibt.
Abbildung 3:
kumulierte Verteilungsfunktion
und optimale Bestellmenge
D
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
16
2.1.1 Worst Case Modell
Betrachten wir jetzt das Newsvendorproblem eines risikoaversen Entscheiders, der von
den höchstmöglichen Gesamtkosten ausgeht (worst case). Der Entscheider steht dann
vor dem Problem diejenige Bestellmenge zu wählen, für die die maximal möglichen Ge-
samtkosten minimal werden. Betrachten wir dazu die Gesamtkostenfunktion
in
der Form (2.6) und setzen voraus, dem Entscheider ist bekannt, dass die Nachfrage einen
Wert
D
annehmen kann. Dabei sei D
ein reelles Intervall das als
Träger der Zufallsvariablen
dient. Die Gesamtkosten
sind dann nach oben
durch
beschränkt
21
und man erhält das (deterministische)
Worst Case Problem
(2.17)
Für
ergibt sich die optimale Bestellmenge für das Problem (2.17) als Lösung
der Gleichung
Die minimal maximalen Gesamtkosten des Worst Case Modells ergeben sich zu
, wobei wegen
und
dann
gilt. Ist zusätzlich zum
Träger der Zufallsvariablen
noch der Erwartungswert
aber nicht die Verteilung
bekannt, so ergibt sich das Worst Case Problem
H
(2.18)
wobei H die Menge aller derjenigen Verteilungsfunktionen bzw. Wahrscheinlichkeitsma-
ÿe auf D ist, die den gleichen Erwartungswert
besitzen. Dieser Fall soll hier
jedoch nicht weiter betrachtet werden. Eine ausführliche Analyse solcher Probleme n-
det man beispielsweise in [DeRuSh09, Kapitel 1.2 (S.5) und Kapitel 6.6 .]. Im nächsten
Unterabschnitt wollen wir uns mit Lösungen unter Nebenbedingungen für das Newsven-
dorproblem (2.7) beschäftigen.
21
d.h. es gilt
, weil
für
und
für
maximal wird
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
17
2.1.2 Gesamtkosten unter Nebenbedingungen
Nehmen wir an, dass gemäÿ (2.16) die Bestellmenge zu
gewählt wurde.
Für jede Realisation
D
der nichtnegativen reellen Zufallsvariablen
wird
jedoch unterschiedliche Werte als
annehmen. Es stellt sich die Frage, ob wir
das Risiko, dass die Kosten einen bestimmten vom Entscheider festgelegten Schwellen-
wert übersteigen, kontrollieren können. Sei
dieser Schwellenwert, dann fordern wir
zusätzlich zum Optimierungsproblem (2.7), dass
sein soll. Wir erhalten das
erweiterte Modell unter Nebenbedingungen
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Nebenbedingung (2.20) ist so zu interpretieren: Für alle möglichen Realisationen von
seien diejenigen
zulässig, für die
gilt.
22
Habe
eine Teilmenge D
R
als Träger und sei
D
eine Realisierung von , dann muss in Verbindung mit (2.4)
die Nebenbedingung (2.20) die folgenden Ungleichungen erfüllen
Umstellen der beiden Ungleichungen liefert das Lösungsintervall
D
(2.22)
Die Ungleichung (2.22) ist in der Regel zu restriktiv, weil für groÿe D die Lösungsmenge
leer sein kann. Dazu betrachten wir folgenden Fall: Sei
D
eine Realisation von
für die
gelte, dann ergibt sich mit (2.22)
22
d.h. für alle möglichen Realisationen
der Zufallsgröÿe
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
18
Diese Ungleichung ist niemals erfüllt, die Lösungsmenge für
also leer. Man sagt, in
diesem Fall, das Optimierungsproblem (2.19) - (2.21) sei inkonsistent. Wie kommt man
dennoch zu einer akzeptablen Lösung dieses Problems? Eine Antwort auf diese Frage er-
hält man durch die Einführung spezieller stochastischer Nebenbedingungen die weniger
restriktiv auf die Lösungsmenge einwirken. Sei dazu
wieder eine Kostenschwelle,
die nicht überschritten werden soll. Sei weiterhin
ein Signikanzlevel und die
Verteilungen von und
bekannt. Dann kann Nebenbedingung (2.20) durch eine der
stochastischen Nebenbedingungen
23
ersetzt werden und wir erhalten das Optimierungsproblem
(2.23)
bzw.
(2.24)
(2.25)
(2.26)
Die Bedingung (2.24) besagt, dass die Gesamtkosten nur mit einer maximalen Wahr-
scheinlichkeit die Kostenschwelle überschreiten dürfen. Die Bedingung (2.25) hinge-
gen deniert die Sicherheitswahrscheinlichkeit, mit der die Kosten unter dem Schwellen-
wert liegen. Wir wollen nun der Frage nachgehen, wann die Ungleichung (2.25) erfüllt
ist und welche Auswirkung dies auf die Lösungsmenge der Zielfunktion (2.23) hat. Unter
Verwendung der Hilfsgleichungen (2.8)-(2.10) erhält man eine äquivalente Darstellung
der Gesamtkostenfunktion nach (2.6) mit
23
engl.:chance constraint, probabilistic constraint
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
19
(2.27)
(2.28)
(2.29)
Einsetzen und Umformen der Gesamtkostenfunktion (2.29) in die linke Seite der Unglei-
chung (2.25) liefert
Also gilt
,
,
(2.30)
Damit besitzt Nebenbedingung (2.25) die alternative (deterministische) Darstellung
(2.31)
Aus (2.30) ergibt sich die notwendige Bedingung für die Lösung von (2.31) durch
.
Damit die Ungleichung (2.31) überhaupt eine Lösung besitzt, muss der Minuend gröÿer
oder gleich
sein, also
weil
ist. Zusätzlich
muss
gelten. Ist
absolut stetig, streng monoton wachsend und in-
vertierbar, dann ist
für
immer erfüllt. Für
können die Fälle
und
auftreten.
Dies liefert die notwendige Bedingung für eine Lösung
(2.32)
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
20
Die Bedingung (2.32) ist notwendig aber nicht hinreichend damit Nebenbedingung (2.31)
erfüllt ist. Umstellen von (2.31) ergibt
und ist
deshalb zu Nebenbedingung (2.24) äquivalent.
24
Setzt man
mit
und
dann folgt
25
und
Also ist
monoton fallend und
monoton wachsend. Für
ist
wegen
. Für
folgt
. Wir zeigen,
dass in diesem Fall die Funktion
monoton wächst. In [ChJiKeLe07] wird bei der
Untersuchung der Nebenbedingung (2.24)
26
die erste Ableitung von
gebildet, man
erhält unter der Annahme der Konkavität von
Die Positivität der Ableitung die Chengxiu, Jianbin, Kebing und Lei ([ChJiKeLe07])
aus der Konkavität der Verteilungsfunktion
schlussfolgern, ist jedoch fragwürdig weil
die Dierentiale von
und
unterschiedliche Vorzeichen besitzen.
27
Wir zeigen die
Monotonie daher auf eine andere Weise. Für
ist
von unten durch
und nach oben durch
beschränkt. Also
gilt
Damit liegt
immer zwischen den Funktionen
und
. Da
und
monoton wachsen, gilt dies auch
24
d.h.
25
sei wieder die Dichte von
26
downside risk
27
sei beispielsweise
Weibull verteilt mit Dichte
mit
dann hat
positive und negative Vorzeichen obwohl
konkav ist, also hat
wachsende und fallende Bereiche
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
21
für
.
28
Fasst man nun alle Ergebnisse zusammen, dann ist
monoton
fallend für
und monoton wachsend für
. Auÿerdem konvergiert
für
gegen eins (vgl. Abb.4). Widmen wir uns nun der Lösung
Abbildung 4:
charakteristischer Verlauf der Funktion
,
des Problems (2.23) - (2.26). Sei
die optimale Bestellmenge des unre-
stringierten und
die optimale Bestellmenge des restringierten Problems. Falls
, dann existiert genau ein
für das
ist (siehe
Abb.4 mit
). Ist
dann folgt
und man wählt
. Für
ist die Nebenbedingung nicht erfüllt und weil
konvex ist, wählt man
. Hat
man den Fall
, dann existieren zwei Punkte
,
bei dem
den Wert annimmt (siehe Abb.4 mit
). Ist
dann ist
und damit
. Für
folgt
und damit
. Mit den
gleichen Überlegungen folgt für
, dass
und für
, dass
ist. Für
existiert kein
, so dass
ist (siehe Abb.4
mit
). Fasst man alle Fälle zusammen, so gilt für die optimale Bestellmenge des
restringierten Problems
28
natürlich kann
in diesem Schlauch fallende und wachsende Bereiche haben, in diesem Sinne ist
quasi- -konvex (siehe Anhang B)
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
22
falls
falls
und
falls
und
falls
(2.33)
Wir haben gezeigt, dass bei Betrachtung der Gesamtkosten die Modelle mit Risikoaversi-
on im Gegensatz zu den risikoneutralen Modellen wesentlich komplizierter zu handhaben
sind, da die optimale Lösung zusätzlich vom Risikoparameter
abhängt. Im nächsten
Abschnitt betrachten wir Modelle aus der Gewinnperspektive des Unternehmens und
versuchen ebenfalls optimale Entscheidungen abzuleiten.
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
23
2.2 Gewinnmodelle
2.2.1 Basismodell
Wie in der Einleitung dieses Kapitels bereits erwähnt, soll jetzt der Gewinn bzw. die
Erlöse als Zielgröÿe betrachtet werden. Dieser Ansatz ist der in der Literatur am häu-
gsten verwendete und unterscheidet sich vom Gesamtkostenansatz in Abschnitt 2.1 nur
durch seine entgegengesetzte Optimierungsrichtung. Folgen wir zu Beginn dem Ansatz
von Porteus ([Port02, S.7 .]) und bezeichnen mit
die unsichere Nachfrage
29
inner-
halb der Verkaufsperiode, deren Verteilung
als bekannt
vorausgesetzt wird. Weiterhin sei mit
wieder die zur Entscheidung stehende Be-
stellmenge des Newsvendors, mit
[GE/ME] die Stückerlöse und mit
[GE/ME]
(
) die Stückkosten des Produktes P bezeichnet. Rest-/Schrotterlöse (salva-
ge value) bzw. Lager-/Entsorgungs-/Recyclingkosten (holding cost), sowie zusätzliche
Bestellkosten (backorder cost) werden zunächst nicht betrachtet. Daraus resultiert die
Bezeichnung als Basismodell. Unter der Annahme, dass die Entscheidung über die Be-
stellmenge vor Beginn der Verkaufsperiode, also vor Kenntnis der Nachfrage, getroen
werden muss, ergibt sich der Gesamtgewinn
30
als Dierenz aus zukünfti-
gen unsicheren Umsatzerlösen
und xen Gesamtkosten
für festes
zu
(2.34)
Da zufällig ist, ist
und damit (2.34) ebenfalls eine zufällige Gröÿe, deren Wahr-
scheinlichkeitsverteilung
vom W-Maÿ
abhängt. Wegen
(siehe (2.8)-(2.10)) erhält man eine äquivalente Darstellung der Gleichung (2.34) in der
Form
(2.35)
In Gleichung (2.35) ergibt sich der Gesamtgewinn aus der Dierenz zwischen maxima-
lem Gewinn
31
und unsicheren Umsatzverlusten
. Der charakteristische
Verlauf der Erlösfunktion
für festes
wird durch Abbildung 5 verdeutlicht.
29
Zufallsgröÿe
30
analog zu den Ausführungen des vorherigen Abschnittes gilt hier natürlich ebenfalls:
D
R
mit
R
und D
R
31
Gewinn=Umsatzerlöse - Kosten
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
24
Abbildung 5:
Erlösfunktion
in Abhängigkeit von für beliebiges aber festes
Sei
die monoton nichtfallende und rechtsseitig stetige Verteilungs-
funktion der Zufallsgröÿe . Weil die Nachfrage nicht negativ werden kann gelte
,
. Sei weiterhin
die Verteilung der zufälligen Gewinn-
funktion . Für
ist
und für
gilt
,
,
(2.36)
Aus (2.36) ist ersichtlich, dass
ein Wahrscheinlichkeitsatom
im Punkt
besitzt. Unter der Annahme, dass die Verteilungsfunktion
von absolut
stetig und streng monoton steigend ist, gilt aber die Identität
und die Verteilung
des Gewinns hat die einfache Gestalt (2.37) (vgl. [JamKis07,
Appendix B]).
,
,
(2.37)
2 Preisunabhängige Newsvendormodelle
25
Nehmen wir nun an, dass sich die Bestellvorgänge periodisch wiederholen und die zu-
fällige Nachfrage homogen
32
ist. Diese Annahme erlaubt es, analog zum Ansatz aus
Abschnitt 2.1, die durchschnittlichen Gesamterlöse
zu betrachten
und es ergibt sich das Optimierungsproblem
(2.38)
Mit den obigen Bezeichnungen hat der Erwartungswert von (2.34) die Darstellung
(2.39)
und für (2.35)
(2.40)
Für letztere gilt wegen (2.13)
(2.41)
In Formel (2.39) ist der durchschnittliche Gewinn die Dierenz aus durchschnittlichen
Umsatzerlösen und Kosten für xiertes . Aus Formel (2.40) hingegen ergibt sich der
zu erwartende Gewinn aus der Dierenz des maximalen Gewinns und den erwarteten
Umsatzverlusten.
33
Um die optimale Bestellmenge des Problems (2.38) zu nden, die-
renzieren wir Gleichung (2.41) nach und setzen dieses anschlieÿend zu Null.
Ist
invertierbar ergibt sich daraus die optimale Bestellmenge zu
.
34
Als hinreichende Bedingung für eine Maximum benötigt man noch die zweite Ableitung
32
d.h. die Verteilung und deren Parameter ändern sich nicht
33
wird auch als expected shortfall bezeichnet(vgl.[DeRuSh09, S.90-91])
34
Quantil-Lösung,
muÿ in
dierenzierbar sein
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2010
- ISBN (eBook)
- 9783836645362
- DOI
- 10.3239/9783836645362
- Dateigröße
- 1.3 MB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Friedrich-Schiller-Universität Jena – Mathematik und Informatik, Wirtschaftsmathmatik
- Erscheinungsdatum
- 2010 (April)
- Schlagworte
- newsvendor newsboy inventory control stochastische optimierung risiko
