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Analysen von Volatilitätssmiles für Aktien-, Index- und Währungsoptionen

Diplomarbeit 2009 119 Seiten

BWL - Investition und Finanzierung

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Notationsverzeichnis/Symbolverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Problemstellung
1.2 Vorgehensweise

2 Ausgangspunkt „Put-Call-Parität“
2.1 Zusammenhänge zwischen Kauf- und Verkaufsoptionen
2.2 Vergleich zwischen den Werten des Black-Scholes-Modells und den Marktwerten

3 Black-Scholes-Modell
3.1 Grundannahmen des Modells
3.2 Optionspreisformeln nach Black-Scholes
3.3 Risikoneutrale Bewertung

4 Volatilität als Risikomaß
4.1 Zukünftige Volatilität
4.2 Historische Volatilität
4.3 Implizite Volatilität

5 Implizite Volatilität und die Smile-Effekte
5.1 Gültigkeit des Black-Scholes-Modells
5.2 Implizite Volatilitäten in Abhängigkeit von Basispreisen
5.2.1 Volatility Smile in Bezug auf Currency-Options (Währungsoptionen)
5.2.1.1 Vergleich der impliziten Verteilung mit der Log-Normalverteilung
5.2.1.2 Erklärung für die Existenz eines Smiles bei Currency-Options
5.2.2 Volatility Smile in Bezug auf Equity-Options (Aktien- und Indexoptionen)
5.2.2.1 Vergleich der impliziten Verteilung mit der Log-Normalverteilung
5.2.2.2 Erklärung für die Existenz eines Smiles bei Equity-Options
5.3 Zusammenfassung der Smile-Effekte und Ansätze über die implizite risikoneutrale Verteilung und Zustandpreisdichte
5.3.1 Implizite risikoneutrale Verteilung und Zustandspreisdichte
5.3.1.1 Eigenschaften einer risikoneutralen Dichtefunktion
5.3.1.2 Zustandspreise im diskreten Modell
5.3.1.3 Zustandspreise im stetigen Modell
5.3.2 Berechnung der Zustandspreisdichte
5.3.3 Prüfung von Arbitragemöglichkeiten auf dem Deutschen Aktienindex
5.4 Erweiterung durch alternative Volatilitätsstrukturen
5.4.1 Volatility Term Structure
5.4.2 Volatility Surface und die Modellerweiterung

6 Schlussbemerkung

Literaturverzeichnis/Quellenverzeichnis

Anhang 1: Berechnung der impliziten Volatilität

Anhang 2: Risikoneutrale Dichtefunktion

Anhang 3: Berechnung der Zustandpreisdichten durch fiktive Daten

Anhang 4: Arbitragemöglichkeiten auf dem Deutschen Aktienindex

Anhang 5: Versicherung an Eides statt

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1:Aktienrendite und Aktienkurs hinsichtlich ihrer Verteilung

Abbildung 2:Moneyness anhand des Volatility Smiles.

Abbildung 3: Implizite Verteilung und Log-Normalverteilung für Currency-Options

Abbildung 4:Voltatility Smile für Equity-Options.

Abbildung 5:Implizite Verteilung und Log-Normalverteilung für Equity-Options.

Abbildung 6:Die Ausprägungen der Smile-Effekte .

Abbildung 7:Butterfly-Spread.

Abbildung 8: Gegenüberstellung der Volatilitätsverläufe in Abhängigkeit zum Basispreis.

Abbildung 9: Zustandspreisdichten im Vergleich zw. impliziter und konstanter Volatilität.

Abbildung 10:Vergleich der konstanten Volatilität mit impliziter Volatilität durch Vorgabe des DAX.

Abbildung 11:Verlauf der Zustandspreisdichten mit impliziter und konstanter Volatilität (Intervall zwischen 5.650,00 € bis 6.700,00 €).

Abbildung 12:Volatility Term Structure

Abbildung 13: Voltatility Surface auf dem S&P 500 Mid-Market vom 27.09.1995.

Abbildung 14: Vergleich zwischen Black-Scholes-Baum und impliziten Baum

Abbildung 15:Vergleich der Zustandspreisdichten zwischen konstanter und impliziter Volatilität durch DAX-Werte.

Abbildung 16:Verlauf der Zustandpreisdichten mit impliziter und konstanter Volatilität (Intervall zwischen 5.650,00 € bis 6.200,00 €).

Abbildung 17:Vergrößerte Darstellung der Zustandspreisdichten im Intervall zwischen (5.650,00 € bis 6.200,00 €).

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1:Berechnung der impliziten Volatilität mittels Newton-Raphson-Methode.

Tabelle 2:Gegenüberstellung der Basispreise und Preise der Call-Optionen.

Tabelle 3: Berechnung der impliziten Volatilitäten und Zustandspreis- dichten.

Tabelle 4:Basispreise und implizite Volatilitäten anhand des DAX.

Tabelle 5: Berechnung der Call-Preise und Zustandspreisdichten anhand von DAX-Werten.

Tabelle 6:Volatilitätsmatrix für z. B. Currency-Options.

Tabelle 7:Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 1930,35 € und Basispreis von 2.000,00 €.

Tabelle 8:Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 1.768,33 € und Basispreis von 2.200,00 €.

Tabelle 9: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 1.611,23 € und Basispreis von 2.400,00 €.

Tabelle 10: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 1.455,85 € und Basispreis von 2.600,00 €.

Tabelle 11: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 1.290,46 € und Basispreis von 2.800,00 €.

Tabelle 12:Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 1.189,14 € und Basispreis von 2.900,00 €.

Tabelle 13:Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 1.102,05 € und Basispreis von 3.000,00 €.

Tabelle 14: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 968,49 € und Basispreis von 3.100,00 €.

Tabelle 15: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 879,67 € und Basispreis von 3.200,00 €.

Tabelle 16: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 820,98 € und Basispreis von 3.250,00 €.

Tabelle 17: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 767,13 € und Basispreis von 3.300,00 €.

Tabelle 18: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 712,54 € und Basispreis von 3.350,00 €.

Tabelle 19: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 645,79 € und Basispreis von 3.400,00 €.

Tabelle 20: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 601,07 € und Basispreis von 3.450,00 €.

Tabelle 21: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 547,68 € und Basispreis von 3.500,00 €.

Tabelle 22: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 466,87 € und Basispreis von 3.550,00 €.

Tabelle 23: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 402,48 € und Basispreis von 3.600,00 €.

Tabelle 24: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 358,56 € und Basispreis von 3.650,00 €.

Tabelle 25: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 320,00 € und Basispreis von 3.700,00 €.

Tabelle 26: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 266,69 € und Basispreis von 3.800,00 €.

Tabelle 27: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 213,34 € und Basispreis von 3.900,00 €.

Tabelle 28: Implizite Volatilität beim Marktpreis des Calls in Höhe von 167,35 € und Basispreis von 4.000,00 €.

Tabelle 29:Handelsstrategien bei Verletzung der Konvexitätseigenschaft.

Tabelle 30: Ausführliche Darstellung der approximierten Zustandspreis- dichten

Tabelle 31: Bestimmung der Optionspreise und Zustandspreisdichten durch DAX-Werte.

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Notationsverzeichnis/Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Den Händlern auf Aktien- und Devisenmärkten stehen bei der Bewertung von Optionen, unsichere zukünftige Zahlungsströme gegenüber die eine grundlegende Fragestellung innerhalb der Finanzwirtschaft einnehmen. Die ersten Optionen wurden an der Chicago Board Options Exchange (CBOE) in den frühen siebziger Jahren gelistet.[1] Zur Bewertung von europäischen Call- und Put-Optionen legen Fischer Black und Myron Scholes mit ihrem Modell im Jahre 1973 einen Meilenstein in der Finanzierungstheorie. Dabei ist an dieser Stelle auch die Mitwirkung von Robert C. Merton zu verweisen, der ebenfalls an der Ausarbeitung dieses Modells mitgewirkt hat, jedoch im selben Jahr eine eigenständige Publikation veröffentlichte. Aufgrund der relativ einfachen Gestaltung des Black-Scholes-Modells (BS), verbreitete sich ihre Anwendung zunehmend in der Theorie und Praxis.[2] Seit der Einführung der ersten Optionen, unterliegen die internationalen Finanz- und Kapitalmärkte einem starken Wandel, wobei in besonderen Maßen auf die Entwicklung der derivativen Hedgeinstrumente zu blicken ist. Durch die stetig wachsende Nachfrage der Unternehmen nach derivativen Instrumenten als Möglichkeit zur Risikoreduktion, wobei die Betrachtung unabhängig von den einzelnen Wirtschaftszweigen erfolgt, führen diese zu schnell wachsenden Anzahlen an verschiedenen derivativen Produkten. Dabei ist neben der Quantität der Produkte vor allem auf die Qualität abzustellen, die aufgrund ihrer zunehmenden komplexeren Struktur eine dementsprechend größere Herausforderung an die Bewertungsmodelle stellt.

1.1 Problemstellung

Das Optionspreismodell von Black-Scholes (Merton) zur Bewertung von europäischen Kauf- und Verkaufsoptionen über dividendenlose Aktien, beinhaltet Einschränkungen die aus den Modellannahmen her resultieren. Diese führen zu verzerrter Preisbildung der Optionen, die anhand von zahlreichen empirischen Untersuchungen beobachtet wurden und deren Fokus dabei im besonderen Maße auf die implizite Volatilität gerichtet ist.[3] Gemäß der Optionspreistheorie soll der Parameter als Volatilitätsmaß für alle Basispreise identisch sein. Konkret bedeutet dies, dass alle Basispreise mit derselben Volatilität innerhalb der Black-Scholes-Formel bewertet werden. Diese Annahme ist seit dem Börsencrash von Oktober 1987 nicht mehr länger aufrecht zu erhalten, da das Phänomen des sog. Smile-Effektes auftrat, die den Sachverhalt bzw. Sichtweise bzgl. der konstanten Volatilität in Frage stellte. Der Volatility Smile gibt für ein und dasselbe Underlying verschiedene implizite Volatilitäten vor. Aus dieser Erkenntnis heraus, entspricht die zukünftige Wahrscheinlichkeitsverteilung des Underlyings nicht einer logarithmierten Normalverteilung wie sie im Black-Scholes-Modell angenommen wird, sodass eine implizite Wahrscheinlichkeitsverteilung entwickelt wurde. Diese ist imstande aus denen am Markt gehandelten Optionen mit einem bestimmten Fälligkeitszeitpunkt, Optionen marktkonform zu bewerten.

1.2 Vorgehensweise

Um einen Einstieg in die Thematik zu erhalten, betrachten wir zunächst in Kapitel 2 die Put-Call-Parität, die einen kleinen Einblick verschaffen soll über die grundlegenden Zusammenhänge zwischen europäische Kauf- und Verkaufsoptionen. Dabei kommt den Parametern zur Berechnung der Optionspreise eine große Bedeutung zu, die letztendlich darüber entscheiden, ob es für die Marktteilnehmer bedeutsam oder irrelevant ist, falls sie von Kauf- oder Verkaufsoptionen sprechen. Dieser Ansatz ist in soweit sinnvoll, als das hierdurch eine konsistente Bewertung von Optionspreisen ermöglicht wird, die dabei eine unabhängige Betrachtung von der Art der Optionen erlauben.

Im Kapitel 3 betrachten wir das zeitstetige Modell von Black-Scholes, das eine kontinuierliche Bewertung von europäischen Optionen gewährleistet. Neben den ausführlichen Erläuterungen der Grundannahmen, werden im Weiteren analytische Aspekte miteinbezogen, die anhand von Gleichungen dargestellt werden um die Herleitung der Black-Scholes-Formel in verständlicher Art und Weise zu gestalten. Dabei wird ergänzend auf die risikoneutrale Bewertung eingegangen. Die Betrachtungsweise aus der Sicht einer risikoneutralen Welt in der keine Risikopräferenzen von Seiten der Investoren existieren, bildet den Ausgangspunkt für die späteren Betrachtungen in Kapitel 5. Zuvor werden im Kapitel 4 die unterschiedlichen Begriffe der Volatilität erörtert. Hier ist neben dem allgemeinen Begriff der Volatilität, die zukünftige Volatilität zu betrachten, die sich durch historische Volatilität oder durch die implizite Volatilität ergibt. Letzteres wird durch den Marktpreis der Option und den darin enthaltenen Information anhand eines nummerischen Verfahrens ermittelt.

Nach den grundlegenden Betrachtungen des klassischen Optionspreismodells von Black-Scholes, wird im Kapitel 5 und damit der Hauptteil dieser Arbeit, die Beobachtung der am Markt entstehenden Smile-Effekte veranschaulicht. Hierbei steht insbesondere die implizite Volatilität im Vordergrund, die sich vom sonst konstanten Parameter Volatilität im Black-Scholes-Modell unterscheidet. Daher wird die Gültigkeit des klassischen Modells in seiner ursprünglichen verwendeten Art und Weise hinterfragt. Im Weiteren wird ausführlich auf die Abhängigkeit der impliziten Volatilität zum Basispreis erläutert, sodass durch ihre Zuordnung der Smile-Effekt abgebildet werden kann. Neben den Ursachen für die unterschiedlichen Marktsegmente, die letztendlich für die Ausprägung der Smiles verantwortlich sind, wird die Log-Normalverteilung nach Black-Scholes mit der impliziten Verteilung gegenübergestellt. Durch den hohen Aussage- und Informationsgehalt einer impliziten Verteilung, wird diese im nachfolgenden Schritt analytisch hergeleitet. Dabei machen wir uns die Erkenntnis der risikoneutralen Bewertung zu Nutzen, sodass hier auch von einer impliziten risikoneutralen Verteilung bzw. risikoneutralen Dichtefunktion gesprochen werden kann. Durch die Zustandswertpapier und ihre speziellen Auszahlungen nach Arrow (1964) und Debreu (1959) im Ein-Perioden-Modell, werden die Erkenntnisse durch Breeden/Litzenberger (1978) ins zeitstetigen Modell überführt, sodass hier ein Zusammenhang zwischen Optionspreisen und Zustandspreisen hergestellt werden kann, der für die anschließende Berechnung wesentlich ist. Der letzte Aspekt betrachtet die Volatilitätsstruktur, die dabei die Abhängigkeit der impliziten Volatilität mit der Laufzeit der Option (Volatility Term Structure) bzw. aus Laufzeit und Basispreis der Option (Volatility Surface) darstellt.

Abschließend werden im Kapitel 6 die wesentlichen Erkenntnisse der Arbeit zusammengefasst und im Kontext des Black-Scholes-Modells gegenübergestellt.

2 Ausgangspunkt „Put-Call-Parität“

Die Put-Call-Parität von Hans R. Stoll aus dem Jahre 1969 betrachtet europäische Kaufoptionen und europäische Verkaufsoptionen über ein dividendengeschütztes Wertpapier[4], z. B. eine Aktie, die sich unter gleichen Bedingungen (Restlaufzeit und Basispreis) auf ein und dieselbe Aktie beziehen. Um zu zeigen, dass es für die Bewertung von Optionen durch Volatility Smiles unerheblich ist ob von einer Kaufoption oder einer Verkaufsoption gesprochen wird, sollen zunächst die Beziehung zwischen Calls und Puts sowie die wesentlichen Eigenschaften konkretisiert werden. Im weiteren Verlauf wird sich der Vergleich zwischen den Werten des Black-Scholes-Modells und den Marktwerten als ein geeignetes Hilfsmittel herausstellen, das immanente Schlussfolgerungen zulässt.

2.1 Zusammenhänge zwischen Kauf- und Verkaufsoptionen

Um einen leichteren Zugang zur Thematik der Volatility Smiles zu bekommen, bedienen wir uns der Put-Call-Parität. Sie stellt eine gute Basis dar, indem sie die Beziehungen zwischen Call- und Put-Optionen beschreibt.[5] Der Einfachheit halber werden im Folgenden ausschließlich Europäische Optionen betrachtet, da sie im Gegensatz zu den Amerikanischen Optionen eine uneingeschränkte Gültigkeit besitzen.[6] Man betrachte dabei zwei Portfolios deren Ausstattung wie folgt beschrieben werden können:

- Das erste Portfolio besteht aus einer europäischen Kaufoption und einem Geldbetrag in Höhe von .
- Das zweite Portfolio beinhaltet eine europäische Verkaufsoption und eine Aktie mit dem Wert .

Da bei europäischen Optionen nicht vor dem Verfalltag ausgeübt werden kann, müssen beide Portfolios zum heutigen Zeitpunkt denselben Wert haben.[7] Die Beziehung zwischen einer europäischen Kaufoption mit dem Preis c und einer europäischen Verkaufsoption mit dem Preis p kann beschrieben werden durch:[8] (1)

Das Preisverhältnis der Put-Call-Parität resultiert aus den Preisen des Calls und Puts die sich auf ein und dieselbe Aktie beziehen. Dabei erhält die Put-Call-Parität ihre Gültigkeit unter der Voraussetzung, das sowohl Calls als auch Puts in Bezug auf die Optionslaufzeit identisch sind.[9] Man ist daher in der Lage durch den Wert einer europäischen Verkaufsoption mit gegebenem Basispreis und Optionslaufzeit, den Wert einer europäischen Kaufoption mit gegebenem Basispreis und Optionslaufzeit abzuleiten. Analog hierzu ist auch der umgekehrte Fall möglich. Der aktuelle Preis des zugrunde liegenden Assets , die Rendite (aus Dividenden) und der risikolose Zinssatz zur Fälligkeit stellen die weiteren Variablen dieser Preisrelation dar. Da die Put-Call-Parität auf das Argument der Arbitragefreiheit[10] beruht, erfordert dies keine Annahmen bzgl. der zukünftigen Wahrscheinlichkeitsverteilung von Asset-Preisen. Insbesondere ob die Asset-Preise lognormalverteilt sind oder nicht ist dabei irrelevant, da die Put-Call-Parität in ihrer Gültigkeit nicht eingeschränkt wird.

Diese Eigenschaften sind dabei nützlich um eine Verbindung zum Black-Scholes-Modell herzustellen.

2.2 Vergleich zwischen den Werten des Black-Scholes-Modells und den Marktwerten

Unter der Annahme einer bestimmten Volatilität betrachtet man eine europäische Kauf- und Verkaufsoption, deren Wert durch das Black-Scholes-Modell ermittelt wurde. Der Preis einer europäischen Verkaufsoption und der Preis einer europäischen Kaufoption nimmt unter dem Black-Scholes-Modell folgende Put-Call-Parität an:[11]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Betrachtet man nun die implizite Volatilität der Verkaufsoption von 18%, dann gilt falls im Black-Scholes-Modell ebenfalls eine Volatilität von 18% unterstellt wird. Unter Verwendung derselben Volatilität von 18% lässt sich aus Gleichung (4) schlussfolgern, das für gilt. Daher beträgt die implizite Volatilität der Kaufoption ebenfalls 18%. Entscheidend dabei ist, dass sowohl der Basispreis als auch die Optionslaufzeit identisch sind.[12] Unter dieser Voraussetzung stimmt die implizite Volatilität einer europäischen Verkaufsoption mit der impliziten Volatilität einer europäischen Kaufoption überein. Das bedeutet zugleich, dass die im Black-Scholes-Modell verwendete Volatilität unter der Voraussetzung gleicher Optionslaufzeit und Basispreis bei der Bewertung von europäischen Kauf- und Verkaufsoption immer identisch ist. Diese Erkenntnis ist in soweit sinnvoll, als das hierdurch eine konsistente Bewertung von Optionspreisen ermöglicht wird, die dabei eine unabhängige Betrachtung von der Art der Optionen erlauben. Anders ausgedrückt müssen Händler bei der Optionsbewertung durch Volatility Smiles nicht erklären, ob es sich um Kauf- oder Verkaufsoptionen handelt, da die Beziehungen zwischen impliziter Volatilität und Optionslaufzeit oder impliziter Volatilität und Basispreis für Kauf- und Verkaufsoptionen gleichbedeutend sind.

3 Black-Scholes-Modell

Den Grundstein zur Bewertung von europäischen Kauf- und Verkaufsoptionen wurde durch Fischer Black und Myron Scholes mit ihrem Modell im Jahre 1973 gelegt. Erwähnt sei an dieser Stelle Robert C. Merton, der ebenfalls an der Ausarbeitung dieses Modells mitgewirkt hat, jedoch im selben Jahr eine eigenständige Publikation veröffentlichte. Robert C. Merton erweiterte dabei das Black-Scholes-Modell indem er den Einfluss um Dividendenzahlungen, Basispreisänderungen innerhalb der Optionslaufzeit sowie weitere Bewertungsformeln hinsichtlich nicht-standardisierten Optionen berücksichtigte, die allerdings im Rahmen dieser Arbeit nicht weiter betrachtet werden.[13] Die Nobelpreisträger aus dem Jahr 1997[14] wurden für ihre fundamentalen Arbeiten gewürdigt, da sie in mehrfacher Hinsicht Entwicklungen ausgelöst haben, wie z. B. das Financial Engineering oder die fortwährende Anwendung in der Praxis (Börse) zur Bewertung von Optionsverträgen.[15] Ihr Gleichgewichtsmodell stellt einen bis heute andauernden Forschungsprozess dar, der Erweiterungen und Verallgemeinerungen sowie Anwendungen auf zahlreichen unterschiedlichen Gütern als nicht erschöpfende Darstellung erscheinen lassen. Hieraus resultiert eine nicht überschaubare Anzahl an empirischen Untersuchungen die vielfältige Facetten aufweisen.[16] Im Rahmen dieser Arbeit wird die zeitstetige Finanztheorie und damit schwerpunktmäßig auf die Theorie der Derivate in Form von Optionen betrachtet. Zunächst betrachten wir die Modellannahmen des Black-Scholes-Modells, um ein besseres Verständnis zum Modellrahmen und den einzelnen Parameter innerhalb des Modells zu bekommen. Im darauf Folgenden widmen wir uns den Optionspreisformeln nach Black-Scholes, wobei der Fokus auf die Unterschiede zwischen den Bewertungsformeln für Currency- und Equity-Options liegen. Diese Veranschaulichung soll eine wegbereitende Stellung innerhalb der Arbeit einnehmen, um das in Kapitel 5 zu beschreibende Phänomen der Smile-Effekt für Currency- und Equity-Options beschreiben und vergleichen zu können. Weiterhin wird auf die risikoneutrale Bewertung Bezug genommen, die sich aus der Black-Scholes-Differentialgleichung ergibt und somit als ein bedeutendes Instrument zur Analyse von Derivaten darstellt.

3.1 Grundannahmen des Modells

Fischer Black und Myron Scholes widmen sich in ihrer Arbeit ausschließlich der Optionsbewertung, wobei die Idee bestand Optionen so fair und exakt wie möglich zu bewerten. Um sich einen adäquaten Überblick hinsichtlich des Modells zu verschaffen, sind die Annahmen von entscheidender Bedeutung.[17] Man geht von der Existenz eines vollkommenen Kapitalmarktes aus, sodass Investoren keinen Einfluss auf die Marktpreise besitzen. Die Märkte sind zu jedem Zeitpunkt geöffnet, sodass ein Handel stattfinden kann. Dabei sind Finanztitel beliebig teilbar und können in ihrer Menge auch beliebig gehandelt werden. Neben den unbeschränkten Leerverkäufen von Wertpapieren wird weiterhin angenommen, dass weder Steuern noch Transaktionskosten existieren sowie Dividenden, Bezugsrechtserlöse oder sonstige Zahlungen an die Aktieninhaber vorgenommen werden. Sie betrachten dabei nur die Bewertung von europäischen Call-Optionen bzgl. der stetigen Kursentwicklung. Anders ausgedrückt, handelt es sich hierbei um einen kontinuierlichen Aktienhandel der sich zwischen zwei aufeinander folgenden Aktienkursen innerhalb infinitesimal kleinen Zeiteinheiten erklären lässt. Im Gegensatz zur diskreten Betrachtungsweise bei der die Barwertberechnung durch ausgedrückt wird, erfolgt die Abzinsung im stetigen Fall bzw. kontinuierlichen Zeitablauf durch den Ausdruck steht für die Basis des natürlichen Logarithmus, für den konstanten risikolosen Zinssatz im stetigen Fall, für den konstanten risikolosen Zinssatz im diskreten Fall und für die Restlaufzeit des Calls. Die Ermittlung des Call-Preises im Black-Scholes-Modell basiert auf ein risikoloses Portfolio bestehend aus Aktienanlage und einer Position im Derivat unter Berücksichtigung des No-Arbitrage-Arguments. Konkret bedeutet dies, dass die Rendite aus dem Portfolio dem risikolosen Zinssatz entspricht. Die Begründung, dass ein risikoloses Portfolio gebildet werden kann, liegt in demselben zugrunde liegenden Unsicherheitsfaktor. Mit dem bezeichneten Unsicherheitsfaktor ist die Schwankung des Aktienkurses gemeint, die sowohl den Aktienkurs als auch den Derivatpreis betreffen. Innerhalb sehr kurzer Zeitabschnitte erhalten wir eine perfekte Korrelation zwischen dem Preis eines Derivates und dem zugrunde liegenden Aktienkurs. So kann der Gewinn oder Verlust aus der Aktienposition, den Gewinn oder Verlust aus der Position des Derivates ausgleichen. Am Ende des kurzen Zeitabschnitts ist daher der Gesamtwert des Portfolios mit Sicherheit bestimmbar.[18] Der zeitstetige Aspekt führt allerdings zur ständigen Umschichtung des risikolosen Portfolios, die dabei vom Aktienkursverlauf und der abnehmenden Restlaufzeit beeinflusst werden. Die in der Zukunft erwarteten Aktienrenditen sind losgelöst von den Kurserhöhungsfaktor und den Kursverringerungsfaktor , die somit keinen unmittelbaren Einfluss mehr einnehmen.[19] Sie unterliegen vielmehr einem stochastischen Prozess der auch als sog. geo. Brownschen Bewegung oder geo. Wiener Prozess bezeichnet wird.[20] Darüber hinaus sind Aktienrenditen die einen stochastischen Prozess unterliegen, normalverteilt und beinhalten eine konstante Varianz erhalten wir die (lokale) Standardabweichung der logarithmierten Zuwächse, die auch als Volatilität bezeichnet wird.[21] Die Volatilität als Risikomaß ist von zentraler Bedeutung, da sie innerhalb des Black-Scholes-Modells ebenfalls als eine Konstante angenommen wird. Die zukünftigen erwarteten Preise des Basisinstrumentes (Aktienkurs) sind lognormalverteilt. Daher lässt das Modell von Grund auf keine negativen Preise zu.[22] In der Abbildung 1 werden die Verläufe der Aktienrendite die einem stochastischen Prozess unterliegen, durch eine Normalverteilung (blaue Kurve) beschrieben, wobei die zukünftigen erwarteten Aktienkurse anhand einer Log-Normalverteilung (rote Kurve) dargestellt wird. Vergleicht man beide Verteilungen, so erkennt man ihre unterschiedliche Symmetrie. Während die Normalverteilung symmetrisch ist, d. h. ihr Mittelwert, Median und Modus sind identisch, lässt sie auch negative Werte zu. Die Log-Normalverteilung ist asymmetrisch und beinhaltet nur positive Werte die dabei zwischen null und unendlich liegen.

Durch ihren schiefen Verlauf ist der Mittelwert, Median und Modus nicht identisch wie im Vergleich zur Normalverteilung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Aktienrendite und Aktienkurs hinsichtlich ihrer Verteilung (Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Franke/Härdle/Hafner (2001): 65).

3.2 Optionspreisformeln nach Black-Scholes

Beim Black-Scholes-Modells handelt es sich um ein zeitstetiges Modell mit unendlich vielen Handelszeitpunkten und ebenso vielen Preispfaden entsprechend dem Basisinstrument. Um die Preispfade modellieren zu können, bedarf es fundierte Kenntnisse im Bereich der stochastischen Differentialgleichung, die im Rahmen dieser Arbeit nicht aufgegriffen werden. Für unsere Zwecke stellt die Gleichung 5 eine gute Basis dar, die eine Aktienkursentwicklung beschreibt, die dabei dem stochastischen Prozess einer geo. Brownschen Bewegung unterliegt und die Form animmt.[23] (5)

Aus Gleichung 5 lässt sich nun die Momentanrendite eines Basisinstrumentes bilden, die sich durch den Quotienten aus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4 Volatilität als Risikomaß

Im Optionspreismodell nach Black-Scholes nimmt unter den verschiedenen Parametern die Volatilität eine herausragende Rolle ein. Sie ist der einzige Parameter, der nicht direkt ersichtlich ist bzw. nicht direkt am Markt beobachtet werden kann.[44] Die Volatilität bezeichnet dabei ein Maß für die Schwankungen der Preise bzw. Kurse bestimmter Basisinstrumente, wie z. B. Aktien, Anleihen, Devisen etc. oder ganzer Börsenmärkte, wie z. B. die DAX-Volatiltät. Sie misst die relative tägliche Kursänderung einer Aktie im Verhältnis zur durchschnittlichen Veränderung des Kurses derselben Aktie innerhalb eines bestimmten Zeitraumes. Mathematisch ausgedrückt ist sie auf ein Jahr bezogene Standardabweichung der relativen täglichen Kursänderungen.[45] Je größer die Kursschwankung ist, umso größer ist auch die Volatilität der Aktie und damit das mit dem Wertpapier verbundene Risiko. Abstrahiert man allerdings den Begriff Risiko von der reinen Definition der Volatilität und betrachtet nur die Stärke der Schwankungen, so ist festzustellen, das Optionen die weit aus dem Geld liegen, durch starke Schwankungen (höhere Volatilität) wieder leichter ins Geld gelangen. Diese Argumentation trifft sowohl für Call-Optionen als auch für Put-Optionen zu. Unter der Voraussetzung, dass alle anderen Faktoren konstant sind, führt ein Anstieg der Volatilität zu einem Anstieg der Call-und Put-Optionsprämien. Demnach ist nur die Stärke der Volatilität entscheidend und nicht die eingeschlagene Richtung ob ein Wertpapier sich nach oben oder unten bewegt.[46] Für den Optionsinhaber ist eine höhere Volatilität willkommen, da sie ab einen gewissen Punkt das Gewinnpotential erhöht ohne gleichzeitig das Risikopotential zu erhöhen. Man spricht von der Asymmetrie der Risiko-Ertrags-Struktur bei dem der Zeitwert der Option mit der Volatilität zunimmt.[47] Neben den unterschiedlichen Arten von Volatilität wie zukünftige, historische und implizite Volatilität auf die noch im weiteren Verlauf eingegangen wird, können ihre Berechnungsmethodik mit unterschiedlichen Basen angegeben werden. Gemeint ist, eine Volatilität von 10% pro Jahr die auf täglicher Basis umgerechnet werden kann. Im Bereich der Finanzmärkte hat sich der Beobachtungszeitraum von einem Jahr als 250 Handelstage durchgesetzt.[48] Daher ist die jährliche Volatilität von 10% durch die Wurzel der 250 Handelstage zu teilen, um die Volatilität auf täglicher Basis zu erhalten. Analoge Vorgehensweise bei der Umrechnung wöchentlicher oder monatlicher Basen, wobei hier die jährliche Volatilität durch die Wurzel aus 52 Wochen bzw. durch die Wurzel aus 12 Monaten geteilt wird. In diesem Kontext wird die annualisierte Standardabweichung, also die Standardabweichung pro Jahr mit den unterschiedlichen Basen berechnet, um so eine Vergleichbarkeit zu schaffen.

4.1 Zukünftige Volatilität

Durch Verwendung der zukünftigen Volatilität versucht man die zukünftigen Aktienkurse und ihre Verteilungen zu qualifizieren. Die inhaltliche Unterscheidung zwischen der zukünftigen Volatilität und der aktuellen Volatilität ist strikt einzuhalten. Dabei betrachtet die aktuelle Ein-Monats-Volatilität, die Variabilität einer Aktie vom heutigen Zeitpunkt bis zum folgenden Monat. Für die zukünftige Ein-Monats-Volatilität ist die Variabilität einer Aktie ab dem nächsten Tag der nachfolgenden Periode und so für den kommenden Monat ausschlaggebend.[49] Um einen fairen Optionspreis zu ermitteln, bedarf es der „richtigen“ Volatilität die für die Kursentwicklung einer Aktie vom heutigen Zeitpunkt bis zum Verfallstag maßgeblich war. Da eine im Voraus basierende Kenntnis über die richtige Volatilität ein Ding der Unmöglichkeit ist, bleibt den Akteuren am Markt nur eine Erwartungsbildung über die zukünftige Volatilität zu treffen.[50] Diese Erwartungsbildung kann durch Schätzung erfolgen oder durch Ermittlung des Wertes indem eine möglichst genaue Annäherung anvisiert wird.

4.2 Historische Volatilität

Die Verwendung von historischen Volatilitäten zielt auf die Prognose zukünftiger Preisbewegungen ab, die durch Preisschwankungen in der Vergangenheit abgeleitet werden.[51] Man zieht die für einen zurück liegenden Zeitraum zu betrachtenden Standardabweichungen der relativen Kursveränderung einer Aktie heran und analysiert diese. Zuvor sind allerdings noch verschiedene Aspekte zu betrachten, wie die Berechnungsmethodik der Renditen, die Länge der Messperioden, die Zeitspanne in der sich die Preise verändern und im besonderen Maße nach der Datenbasis.[52] Für die Berechnungsmethodik der Renditen stehen zum einen, die diskrete Berechnungsvariante der prozentualen Veränderung der Aktienkurse und zum anderen, die stetige Berechnungsvariante der prozentualen Kursveränderung einer Aktie zur Verfügung. Welche Berechnungsmethode für die Ermittlung der Volatilität aus den Renditen herangezogen wird, hängt von dem zugrunde liegenden Datenmaterial und den dahinter stehenden Annahmen ab. Der entscheidende Punkt liegt aber in der unterschiedlichen Häufigkeit der Renditekapitalisierung. Während bei der diskreten Variante nur eine einmalige jährliche Kapitalisierung stattfindet, die als einmalige Kurssteigerung gedeutet wird und den Wert der Investition sprunghaft ansteigen lässt, erhalten wir bei der stetigen Variante einen kontinuierlichen Aktienkursverlauf. Die Kursentwicklung ist dabei nicht sprunghaft, sondern entspricht durch die sekündliche Kapitalisierung einem gleitenden Kursverlauf. Für die Länge der Messperioden kann allgemein festgehalten werden, dass je länger die Messperiode gewählt wird, umso glatter der Verlauf der berechneten Volatilität ist. Der Grund liegt in der Häufigkeit der Beobachtung die starke Ausschläge dabei relativieren. Bei langfristiger Investition sollten längere Messperioden gewählt werden und bei kürzerer Investition eben kürzere Messperioden veranschlagt werden. Letztendlich macht es bei kürzeren Investitionen keinen Sinn langfristige Durchschnitte zu ermitteln und umgekehrt. Die Entwicklung der Volatilität würde in Abhängigkeit von ihrem Niveau einem zu hohen Informationsgehalt bzw. zu niedrigem Informationsgehalt unterliegen. Besonders an Tagen in denen ökonomische Daten veröffentlicht werden, kann die Volatilität verzerrt werden. Daher werden auch Gewichtungen einbezogen, die an besonderen Tagen einer schwächeren Gewichtung erfahren und an normalen Tagen eine stärkere Gewichtung unterzogen werden, um eben diesen Einfluss zu absorbieren[53] Die Zeitspanne in denen sich die Aktienkurse verändern, stellt einen weiteren Aspekt dar. Hierbei werden historische Volatilitäten in Abhängigkeit von der Laufzeit des zu berechnenden Derivats berücksichtig, d. h. für eine Kaufoption mit einer Restlaufzeit von 90 Tagen werden entsprechend die Standardabweichungen der letzten 90 Tage als historische Volatilitäten berücksichtigt. Innerhalb des Zeitraumes von 90 Tage fallen täglich mehrere Tageskurse an, die unterschiedliche Vorgehensweisen zur Berechnung erlauben. Man spricht daher von der Datenbasis die sich je nach Zeitpunkt der Feststellung, in ihrer Qualität unterscheiden. Beispielsweise kann das Fixing der Deutschen Bundesbank verwendet werden oder man nimmt die Schlusskurse, die als gängigste Variante ihren Einsatz findet. Eine andere Möglichkeit bietet mehrere Kurse pro Tag einzubeziehen, die aus jeweils Höchst- und Tiefstkursen einer Aktie bestehen. Dadurch lassen sich die Tagesschwankungen einer Aktie in die Volatilitätskennziffer mit einbeziehen.[54] Die vorherrschende Ansicht in der Literatur ist bzgl. der historischen Volatilität eher negativ anzusiedeln, da sie zeitverzögert auf kurzfristige Erscheinungen am Markt reagiert. Demzufolge wird die historische Volatilität als ungeeignetes Schätzverfahren für die Ermittlung der zukünftigen Volatilität erachtet.[55]

4.3 Implizite Volatilität

In den vorangegangenen Diskussionen über den Begriff der Volatilität und seine unterschiedlichen Interpretationen sind diese entweder durch Schätzung, Näherungsverfahren oder durch die Ermittlung von Renditen abgeleitet worden. Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der zukünftigen Volatilität besteht durch das Optionspreismodell selber.[56] Die Rede ist vom Black-Scholes-Modell zur Bewertung von europäischen Kauf- und Verkaufsoption über dividendenlosen Aktien.[57] Durch die Formulierung der Zusammenhängen zwischen dem Optionspreis und denen am Markt beobachteten Variablen, wie z. B. dem aktuellen Kurs des Underlyings, die Restlaufzeit der Option, dem Basis- bzw. Ausübungspreis und dem risikolosen Zins, ist man in der Lage die Volatilität zu schätzen.[58] Der berechnete Optionspreis am Markt impliziert daher die Einschätzung der Volatilität am Markt, sodass hierbei auch von der impliziten Volatilität gesprochen wird. Anders ausgedrückt ergeben sich die Prognosen der impliziten Volatilität durch den Parameter Volatilität, der im Optionspreismodell selber als eine Größe der Funktion im Modell enthalten ist, allerdings nicht als explizite Funktion geschrieben werden kann. Dementsprechend sind auch hier Iterationsverfahren[59] anzuwenden bei dem die Volatilität so ermittelt werden muss, dass der theoretische Optionspreis identisch mit dem Marktpreis ist.[60] Ein Beispiel zur Ermittlung der impliziten Volatilität findet sich in Tabelle 1 wieder, deren Berechungsgrundlage anhand von fiktiven Marktdaten, beispielsweise einer Aktie vorgenommen wurde.

Zur Berechnung wurden folgende Werte berücksichtigt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Berechnung der impliziten Volatilität mittels Newton-Raphson-Methode.

Wie aus der Tabelle 1 ersichtlich, ist es nach fünf Iterationsschritten möglich, die nahe zu exakte implizite Volatilität zu ermitteln. Dabei erhalten wir die implizite Volatilität genau dann, wenn der Callpreis des Marktes und der Callpreis nach Black-Scholes identisch sind bzw. durch Subtraktion null ergeben. Eine ausführlichere Darstellung zur Berechnung der Werte innerhalb der Tabelle sind im Anhang 1 zu finden.

Hieraus lässt sich die Vorstellung begründen, dass an den Optionsmärkten in erster Linie Volatilitäten gekauft und verkauft werden. Da ein unmittelbarer Zusammenhang zwischen dem Optionspreis und der impliziten Volatilität besteht, ist es sinnvoll die erhaltene oder zu entrichtende Optionsprämie nach der Höhe der zu bezahlenden impliziten Volatilität auszurichten und nicht anhand des absoluten Geldbetrags eines Underlyings.[61] Allerdings sind bzgl. des Black-Scholes-Modells noch folgende Aspekte zu berücksichtigen. Neben der Annahme von dividendenlosen Aktien, d. h. dass wir keine Erträge während der Laufzeit auszahlen, wird die Volatilität als konstant angesehen. Weiterhin erhält das Modell nur dann seine Gültigkeit, wenn alle Markteilnehmer ihre Optionen nach dem Black-Scholes-Modell bewerten.[62] In der Praxis sind allerdings verschiedene implizite Volatilitäten für Optionen hinsichtlich denselben zugrunde liegenden Underlying mit unterschiedlichen Basispreisen und gleicher Restlaufzeiten durch Black-Scholes ermittelt worden.[63] Dies lässt nur zwei mögliche Schlussfolgerungen zu. Als erstes besteht die Möglichkeit, dass die Marktteilnehmer ihre Optionen nicht nach Black-Scholes bewerten. Demzufolge entspricht der Parameter nicht der erwarteten Volatilität am Markt. Die zweite Möglichkeit ist, dass die Marktteilnehmer nach Black-Scholes bewerten, aber durch nichtsystematische Störeinflüsse unter­schiedliche Volatilitäten resultieren.[64] Diese Problematik begegnen Trippi (1977), Latanè/Rendleman (1976) und Chiras/Manaster (1978) mit der Bildung von Durchschnittswerten bzgl. impliziter Volatilitäten. Ihre Idee lag in der Bildung von Durchschnitten nach der Sensitivität der Option. Hierfür sind bei Volatilitätsschwankungen gewichtete Durchschnitte zu bilden sowie jene Durchschnitte nach der Volatilitätselastizität der Optionen zu gewichten.[65] In empirischen Studien wie z. B. von Beckers (1981), Gemmil (1986) sowie Scott/Tucker (1989) konnte gezeigt werden, dass die implizite Volatilität durch Optionen mit der höchsten Sensitivität, sprich die am nächsten im Geld liegen, genauso gute Prognosequalität besitzen, wie die Prognosen anhand der Durchschnittsbildung.[66]

[...]


[1] Vgl. Kraus (1999): 249.

[2] Vgl. Bloss/Ernst (2008): 49.

[3] Vgl. Duan (1999): 2.

[4] Ein dividendengeschütztes Wertpapier liegt dann vor, wenn keine Dividendenzahlungen an den

Halter des Wertpapiers erfolgen. Entscheidend dabei ist, dass innerhalb der Optionslaufzeit keine Dividendenzahlungen geleistet werden. Nach Ablauf der Optionslaufzeit haben Dividendenzahlungen keinen Einfluss auf die Put-Call-Parität. Vgl. Sandmann (2001): 39.

[5] Vgl. Hull (2006): 456.

[6] Vgl. Oehler/Unser (2001): 73.

[7] Vgl. Hull (2006): 264.

[8] Um ein leichteren Zugang zu den späteren Ausführungen bzgl. der Black-Scholes-Formel für Currency-Options zu erhalten, betrachten wir an dieser Stelle die Put-Call-Parität für Aktien, die eine Dividendenrendite aufweist. Vgl. auch Hull (2006): 385.

[9] Vgl. Steiner/Bruns (2007): 342.

[10] Arbitrage bedeutet das Ausnutzen von kurzfristigen Preisunterschieden hinsichtlich eines Gutes auf unterschiedlichen Märkten um einen risikolosen Gewinn zu erzielen. Unter Arbitragefreiheit oder No-Arbitrage-Argument sollen risikolose Gewinne nicht erzielbar sein. Siehe dazu Wilkens (2003): 39.

[11] Vgl. Hull (2006): 456f.

[12] Vgl. Hull (2006): 457.

[13] Vgl. Trautmann (2007): 375.

[14] Im Jahr 1997 wurden Myron Scholes und Robert C. Merton mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet. Fischer Black verstarb im Jahre 1995 sodass ihm diese Ehre nicht mehr zuteil kam.

[15] Vgl. Sandmann (2001): 266f.

[16] Vgl. Wilkens (2003) 103.

[17] Zu den nachfolgenden Annahmen, vgl. Black/Scholes (1973): 640.

[18] Vgl. Hull (2006): 355.

[19] Vgl. Steiner/Bruns (2007): 344.

[20] Vgl. Albrecht/Maurer (2008): 170.

[21] Vgl. Sandmann (2001): 268.

[22] Vgl. Cox/Rubinstein (1985): 198-203; Trautmann (2007): 375. Die logarithmierten Zuwächse

ergeben sich durch .

[23] Vgl. Franke/Härdle/Hafner (2001): 69.

[24] Vgl. Derman/Kani (1994a): 277.

[25] Gleichung (7) ergibt sich bei Anwendung von Gleichung (5) auf die Ito-Formel. Vgl. Wilkens

(2003): 81f.

[26] Vgl. Hull (2006): 357; siehe auch die Ausführungen von Deutsch (2001): 92f.

[27] Vgl. Wilkens (2003): 86.

[28] Vgl. Hull (2006): 358.

[29] Vgl. Hull (2006): 358.

[30] Vgl. Black/Scholes (1973): 644.

[31] Vgl. Black/Scholes (1973): 644.

[32] Vgl. Trautmann (2007): 376f.

[33] Vgl. Garman/Kohlhagen (1983): 231-234.

[34] Vgl. Steiner/Bruns (2007): 352.

[35] Vgl. Hull (2006): 393f.

[36] Vgl. Deutsch (2001): 318.

[37] Im Originalbeitrag zur risikoneutralen Bewertung, wird eine europäische Call-Option selbst

durch einen stochastischen Prozess dargestellt und folgt so weitestgehend den Ausführungen von Black-Scholes-Modell, die zu identischen Resultaten führen. Vgl. hierzu Cox/Ross (1976): 145-155.

[38] Vgl. Cox/Ross (1976): 153.

[39] Vgl. Hull (2006): 360.

[40] Vgl. Hull (2006): 361.

[41] Für Put-Optionen erhalten wir entsprechend .

[42] Betrachtet man den heutigen Kurs eines Wertpapiers, dann entspricht dieser dem Erwartungswert des diskontierten risikoneutralen Kursprozesses zum Zeitpunkt , wobei ein Martingal (faires Spiel) ist. Vgl. hierzu Wilkens (2003): 90f.

[43] Für Put-Optionen entsprechend .

[44] Vgl. Jackwerth (1999): 66.

[45] Vgl. Beike/Schlütz (1999): 130.

[46] Vgl. Spies (1995): 31.

[47] Vgl. Uszczapowski (2008): 125.

[48] Vgl. Wolke (2008): 24.

[49] Vgl. Dartsch (1999): 59.

[50] Vgl. Spies (1995): 33.

[51] Vgl. Eller (2001): 218.

[52] Vgl. Dartsch (1999): 60.

[53] Vgl. Dartsch (1999): 61-63.

[54] Vgl. Spies (1995): 33.

[55] Vgl. Abken/Nandi (1996): 22.

[56] Vgl. Dartsch (1999): 65.

[57] Zur Ermittlung der impliziten Volatilität können unterschiedliche Optionspreismodelle herangezogen werden. Für unsere Zwecke wird lediglich das Optionspreismodell nach Black-Scholes berücksichtigt. Vgl. Goodall-Rathert (1998): 511.

[58] Vgl. Spies (1995): 34.

[59] Der Newton-Raphson-Algorithmus wird in der Theorie und der Praxis häufig als Iterationver-fahren angewendet, da er schon nach wenigen Iterationsschritten, befriedigende Ergebnisse er-zielt. Vgl. hierzu Kwok (2008): 153-155.

[60] Vgl. Goodall-Rathert (1998): 511.

[61] Vgl. Dartsch (1999): 67.

[62] Vgl. Eisele (2004): 84.

[63] Vgl. Spies (1995): 34.

[64] Vgl. Goodall-Rathert (1998): 512.

[65] Vgl. auch Dartsch (1999): 84-87.

[66] Vgl. auch Goodall-Rathert (1998): 512.

Details

Seiten
119
Erscheinungsform
Originalausgabe
Jahr
2009
ISBN (eBook)
9783836630474
Dateigröße
1.1 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v226845
Institution / Hochschule
Universität Duisburg-Essen – Mercator School of Management, Wirtschaftswissenschaften
Note
1,3
Schlagworte
volatilität black-scholes-modell verteilung zustandspreisdichten

Autor

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Titel: Analysen von Volatilitätssmiles für Aktien-, Index- und Währungsoptionen