Fehler und Effizienz von Lösungsmethoden für Anfangs- und Randwertprobleme aus Flugbahnmodellen
©2009
Diplomarbeit
130 Seiten
Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Einleitung:
Flugbahnberechnungen für Risikoanalysen:
Das Fraunhofer-Institut für Kurzzeitdynamik / Ernst-Mach-Institut (EMI) untersucht unter dem Projektnamen Fuze Safety Quantitative Risk Analysis (FSQRA) die Gefährdung von Personen in Überflugszenarien mit Artillerie- und Mörsergeschossen.
Das Modell der Risikoanalyse basiert auf einer repräsentativen Flugbahn des Geschosses und vielen tausenden Flugbahnen von repräsentativen Fragmenten, die bei einem Schadensereignis durch Detonation des Geschosses entstehen.
Der mathematische Aufwand zur Berechnung der Flugbahnen wird dabei durch das zugrunde liegende physikalische Modell bestimmt und reicht von trivial integrierbaren Gleichungen bis zu gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
In dieser Arbeit wurde ein von der NATO standardisiertes modifiziertes Punkt-Masse-Modell verwendet (engl. modified point mass model, MPMM). Das NATO STANDARDIZATION AGREEMENT (STANAG) 4355 schreibt 5 Freiheitsgrade (Degrees of Freedom, DoF) für dieses MPMM vor.
Das Ziel dieser Diplomarbeit ist es, eine bedienzeitsparende numerische Lösung der Differentialgleichungen auf Basis des Flugbahnmodells nach STANAG 4355 bereitzustellen, wobei die dabei auftretenden Fehler bekannt und unter Kontrolle sein sollen.
Dafür ist es notwendig, alle auftretenden physikalischen Kräfte und die daraus abgeleiteten Anfangs- und zweiseitigen Randwertprobleme hinreichend zu untersuchen, um so einen Eindruck für die Komplexität des Problems zu bekommen und um nachfolgende numerische Zusammenhänge zu verstehen.
Um die Genauigkeit der Flugbahn des Projektils zu beschreiben, müssen Kennzahlen eingeführt werden, um die numerischen Abweichungen zur exakten Lösung messen zu können. Hierbei ist es notwendig, die verschiedenen Fehlerschätzungen für Anfangswertprobleme zu studieren, um damit die verschiedenen ODE-Solver aus der Numerical Recipes Bibliothek bezüglich ihrer Genauigkeit zu vergleichen. In ähnlicher Weise muss eine Minimierungsaufgabe numerisch gelöst werden.
Zusammenfassend stellt sich die Frage, welche Fehlermaße auf welche Weise für die einzelnen numerischen Verfahren zur Lösung von Anfangs- und Randwertproblemen berechnet werden können, wie aussagekräftig sie sind und ob es möglich ist, eine einzige Kennzahl zu konstruieren, die alle Verfahren vergleichbar macht.
Eine Herausforderung der Diplomarbeit ist es, den globalen Fehler für Differentialgleichungsverfahren zu beschreiben, […]
Flugbahnberechnungen für Risikoanalysen:
Das Fraunhofer-Institut für Kurzzeitdynamik / Ernst-Mach-Institut (EMI) untersucht unter dem Projektnamen Fuze Safety Quantitative Risk Analysis (FSQRA) die Gefährdung von Personen in Überflugszenarien mit Artillerie- und Mörsergeschossen.
Das Modell der Risikoanalyse basiert auf einer repräsentativen Flugbahn des Geschosses und vielen tausenden Flugbahnen von repräsentativen Fragmenten, die bei einem Schadensereignis durch Detonation des Geschosses entstehen.
Der mathematische Aufwand zur Berechnung der Flugbahnen wird dabei durch das zugrunde liegende physikalische Modell bestimmt und reicht von trivial integrierbaren Gleichungen bis zu gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
In dieser Arbeit wurde ein von der NATO standardisiertes modifiziertes Punkt-Masse-Modell verwendet (engl. modified point mass model, MPMM). Das NATO STANDARDIZATION AGREEMENT (STANAG) 4355 schreibt 5 Freiheitsgrade (Degrees of Freedom, DoF) für dieses MPMM vor.
Das Ziel dieser Diplomarbeit ist es, eine bedienzeitsparende numerische Lösung der Differentialgleichungen auf Basis des Flugbahnmodells nach STANAG 4355 bereitzustellen, wobei die dabei auftretenden Fehler bekannt und unter Kontrolle sein sollen.
Dafür ist es notwendig, alle auftretenden physikalischen Kräfte und die daraus abgeleiteten Anfangs- und zweiseitigen Randwertprobleme hinreichend zu untersuchen, um so einen Eindruck für die Komplexität des Problems zu bekommen und um nachfolgende numerische Zusammenhänge zu verstehen.
Um die Genauigkeit der Flugbahn des Projektils zu beschreiben, müssen Kennzahlen eingeführt werden, um die numerischen Abweichungen zur exakten Lösung messen zu können. Hierbei ist es notwendig, die verschiedenen Fehlerschätzungen für Anfangswertprobleme zu studieren, um damit die verschiedenen ODE-Solver aus der Numerical Recipes Bibliothek bezüglich ihrer Genauigkeit zu vergleichen. In ähnlicher Weise muss eine Minimierungsaufgabe numerisch gelöst werden.
Zusammenfassend stellt sich die Frage, welche Fehlermaße auf welche Weise für die einzelnen numerischen Verfahren zur Lösung von Anfangs- und Randwertproblemen berechnet werden können, wie aussagekräftig sie sind und ob es möglich ist, eine einzige Kennzahl zu konstruieren, die alle Verfahren vergleichbar macht.
Eine Herausforderung der Diplomarbeit ist es, den globalen Fehler für Differentialgleichungsverfahren zu beschreiben, […]
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Fabian Suhrke
Fehler und Effizienz von Lösungsmethoden für Anfangs- und Randwertprobleme aus
Flugbahnmodellen
ISBN: 978-3-8366-2882-2
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2009
Zugl. Fachhochschule Regensburg, Regensburg, Deutschland, Diplomarbeit, 2009
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© Diplomica Verlag GmbH
http://www.diplomica.de, Hamburg 2009
3
Abstrakt
In dieser Arbeit werden Fehler und Effizienz von Lösungsverfahren für das Flugbahnmodell nach
STANAG 4355 analysiert. Für das Anfangswertproblem werden verschiedene ODE-Solver
(Klassisches Runge-Kutta, Runge-Kutta Cash-Karp, Runge-Kutta Dormand-Prince, Burlisch Stoer,
Semi-implizites Burlisch Stoer, Prädiktor-Korrektor Verfahren) für typische Flugbahnen untersucht.
Mit Hilfe einer globalen Fehlerbestimmung mit der Methode der Defektkorrektur und
verallgemeinerten Fehlermaßen zeigt sich, dass das Runge-Kutta Dormand-Prince Verfahren
fünfter Ordnung am effizientesten arbeitet. Das bisher implementierte Runge-Kutta Cash-Karp
Verfahren belegt den zweiten Platz.
Es werden Möglichkeiten zur analytischen Bestimmung der für das zweiseitige Randwertproblem
benötigten Startwerte aufgezeigt.
Nach Untersuchung der Minimierungsalgorithmen (Newton, Broyden, Simulated Annealing,
Brent) zur Lösung des Randwertproblems konnte festgestellt werden, dass das Broyden-Verfahren
dem implementierten Newton-Verfahren überlegen ist.
In this thesis the error and efficiency for methods that solve the trajectory model of STANAG 4355
are analysed. Different ODE-Solver (classical Runge-Kutta, Runge-Kutta Cash-Karp, Runge-Kutta
Dormand-Prince, Burlisch Stoer, semi-implizit Burlisch Stoer, Predictor-Corrector method) for the
initial value problem are investigated for representative trajectories. Using the defect correction
method to determine the global error and mixed measures it is shown that the Runge-Kutta
Dormand-Prince method of fifth order works most efficient. On second place is implemented
Runge-Kutta Cash-Karp.
Analytical start values for the two-side boundary value problem are analytically determined.
When analyzing the minimization algorithms (Newton, Broyden, Simulated Annealing, Brent) that
can solve the boundary value problem it was shown that the Broyden-Method is superior to the
implemented Newton-Method.
4
Inhalt
Erklärung zur Selbständigkeit
2
Abstrakt
3
1
Einleitung
8
1.1
Flugbahnberechnungen für Risikoanalysen
8
1.2
Zielsetzungen und Herausforderungen
8
1.3
Gliederung der Arbeit
9
2
Grundlagen
12
2.1
Ballistik
12
2.2
Koordinatensysteme
12
2.2.1
Erdfestes Koordinatensystem
12
2.2.2
Geozentrisches Koordinatensystem
13
2.2.3
Projektilfestes Koordinatensystem
14
2.3
Kräfte des STANAG 4355 Modells
15
2.3.1
Hilfsgröße I: Aerodynamische Koeffizienten
15
2.3.2
Hilfsgröße II: Lieske Vektor
17
2.3.3
Schwerkraft
19
2.3.4
Corioliskraft
20
2.3.5
Magnus-Kraft
24
2.3.6
Auftriebskraft
25
2.3.7
Luftwiderstand
26
2.3.8
Drallstabilisierung
27
2.4
Allgemeines zu Flugbahnen
28
2.4.1
Einhüllende einer Flugbahnschar
28
2.4.2
Flugzeitenbetrachtung
28
2.5
Notwendige Definitionen über Differentialgleichungen
29
3
Differentialgleichungssystem des Flugbahnmodells
nach STANAG 4355
31
3.1
Differentialgleichungssystem nach STANAG 4355
31
3.2
Anfangswerte
32
3.3
Zweiseitiges Randwertproblem
33
3.4
Randwertproblem mit festen Grenzen - Zeittransformation 34
3.5
Shooting-Methode zur Auffindung einer Lösung für ein
zweiseitiges Randwertproblem
35
4
Verfahren und Kennzahlen zur Bestimmung der
Effizienz von ODE-Solvern
38
5
4.1
Kennzahlen numerischer ODE-Solver
38
4.1.1
Rechenzeit (computing time)
38
4.1.2
Speicherplatz (array storage)
38
4.2
Genauigkeit (accuracy , precision)
39
4.3
Verläßlichkeit (reliability)
39
4.4
Robustheit (robustness)
39
4.5
Definition des lokalen Diskretisierungsfehlers
40
4.6
Verschiedene Verfahren zur Bestimmung des globalen
Fehlers
43
4.6.1
Summation des lokalen Fehlers
44
4.6.2
Klassische Methode nach Isaacson und Keller für
Einschrittverfahren
45
4.6.3
Schätzung des globalen Fehlers durch Variation des lokalen
Fehlers
47
4.6.4
Schätzung des globalen Fehlers durch Variation der
Schrittweite
50
4.6.5
Defektkorrektur
51
4.7
Zusammenfassung der Schätzverfahren zur Bestimmung des
globalen Fehlers
57
5
Analyse der ODE-Solver
58
5.1
ODE-Solver nach Numerical Recipes
58
5.1.1
Klassisches Runge Kutta Verfahren vierter Ordnung
58
5.1.2
Adaptives Runge Kutta Verfahren fünfter Ordnung mit Cash-
Karp Parametern
58
5.1.3
Adaptives Runge Kutta Verfahren fünfter Ordnung mit
Dormand Prince Parametern
59
5.1.4
Adaptives Runge Kutta Verfahren achter Ordnung mit
Dormand Prince Parametern
59
5.1.5
Burlisch Stoer Verfahren mit modifizierter Mittelpunkt
Methode vierter Ordnung
59
5.1.6
Semi-implizites Extrapolationsverfahren nach Burlisch Stoer59
5.1.7
Adaptives Prädiktor-Korrektor Verfahren mit
Schrittweitenkontrolle
59
5.2
Numerische Experimente für einige ODE-Solver
60
5.2.1
Rechenzeit vs. Lokaler Fehler
61
5.2.2
Globaler Fehler vs. Lokaler Fehler
63
5.2.3
Rechenzeit vs. Globaler Fehler
66
5.3
Entwicklung eines Verfahrens zum Vergleich der
konkurrierenden Ziele Rechenzeit und Genauigkeit
67
5.4
Darstellung der globalen Fehlerkurven
70
5.4.1
Globaler Fehler vs. Zeit
70
5.4.2
Darstellung der Schrittweitensteuerung
72
5.4.3
Polarkoordinatendarstellung des globalen Fehlers
73
5.4.4
Dreidimensionaler Plot des globalen Ortsfehlers
74
6
5.4.5
Fehleranteile
75
5.4.6
Weitere Features der Plots
76
5.5
Erkenntnisse über den globalen Fehler der Trajektorie
76
6
Optimierungsmöglichkeiten der
Minimierungsalgorithmen
78
6.1
Guessed Values
78
6.1.1
Analytische Berechnung des Abschusswinkels für ein
Flugbahnmodell im Vakuum bei flacher Erde
78
6.1.2
Performancesteigerung durch vorgeschaltete
Flugbahnmodelle: Quadratisches Luftwiderstandsmodell für
gestreckte Flugbahnen
80
6.2
Performancetest für verschiedene Minimierungsverfahren 82
6.2.1
Newtonverfahren
82
6.2.2
Simulated Annealing
82
6.2.3
Broyden
82
6.2.4
Brent
83
6.2.5
Brent und Newton
83
6.2.6
Vergleich der Verfahren
83
6.2.7
Zusammenfassung der Ergebnisse
85
7
Zusammenfassung und Ausblick
86
7.1
Zusammenfassung
86
7.2
Ausblick
88
8
Abbildungsverzeichnis
89
9
Tabellenverzeichnis
91
10
Literatur
92
11
Appendix A: Numerische Experimente und numerische
Verfahren
95
11.1
Performancetest für vorgeschaltete Flugbahnmodelle
96
11.2
Herleitung der klassischen Methode zu Abschätzung des
globalen Fehlers für ODE-Solver
100
11.3
Anwendung des Schätzers des globalen Fehlers durch
Variation der Schrittweite auf Testprobleme
102
11.4
Anwendung der Defektkorrektur auf Testprobleme
105
11.5
Das Programm ODEINT mit Runge-Kutta Quality Control und
einem Runge-Kutta 4. Ordnung
109
11.5.1 Allgemeines zu ODEINT
109
11.5.2 Einbettungsstrategie für Runge Kutta Familien
110
11.5.3 Lokale Extrapolation zur Schätzung des lokalen Fehlers 110
11.5.4 Runge-Kutta Quality Control
112
7
11.5.5 Die Routinen RK4 und DERIVS
114
12
Appendix B: Physikalische Modelle
115
12.1
Herleitung der Approximation für die Schwerkraft
115
12.2
Erklärung der Form des Luftwiderstandes
118
12.3
Analyse der Flugbahndauer für ein lineares
Luftwiderstandsmodell
119
12.4
Erklärung der Auftriebskraft für Projektile
120
13
Appendix C: Analytische Flugbahnmodelle
122
13.1
Flugbahn(en) im Vakuum unter allgemeinen Bedingungen122
13.2
Berechnung eines gestreckten Flugbahnmodelles mit
quadratischem Luftwiderstand
123
Einleitung
8
1
Einleitung
In diesem Kapitel wird das Projekt ,,Fuze Safety Quantitative Risk Analysis" und
die Hintergründe für diese Diplomarbeit kurz vorgestellt (Abschnitt 1.1). Die
Zielsetzung für die Arbeit werden in Abschnitt 1.2 gegeben und
Herausforderungen angedeutet. Eine Übersicht über die restlichen Kapitel der
Diplomarbeit vor dem Hintergrund der Fragestellung gibt Abschnitt 1.3.
1.1
Flugbahnberechnungen für Risikoanalysen
Das Fraunhofer-Institut für Kurzzeitdynamik (Ernst-Mach-Institut, kurz: EMI)
untersucht unter dem Projektnamen ,,Fuze Safety Quantitative Risk Analysis"
(FSQRA) die Gefährdung von Personen in Überflugsszenarien mit Artillerie- und
Mörsergeschossen [2].
Das Modell der Risikoanalyse basiert auf einer repräsentativen Flugbahn des
Geschosses und viele tausende Flugbahnen von repräsentativen Fragmenten,
die bei einem Schadensereignis durch Detonation des Geschosses entstehen.
Der mathematische Aufwand zur Berechnung der Flugbahnen, wird dabei
durch das zugrundeliegende physikalische Modell bestimmt und reicht von
trivial integriebarer Gleichungen bis zu gewöhnlichen nichtlinearen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
In dieser Arbeit wurde ein von der NATO standardisiertes modifiziertes Punkt-
Masse-Modell verwendet (engl. modified point mass model, MPMM). Das
»NATO STANDARDIZATION AGREEMENT (STANAG) 4355« schreibt 5
Freiheitsgrade (Degrees of Freedom, DoF) für dieses MPMM vor [3].
1.2
Zielsetzungen und Herausforderungen
Das Ziel dieser Diplomarbeit ist es eine bedienzeitsparende numerische Lösung
der Differentialgleichungen auf Basis des Flugbahnmodells nach STANAG 4355
bereitzustellen, wobei die dabei auftretende Fehler bekannt und unter
Kontrolle sein sollen.
Dafür ist es notwendig alle auftretenden physikalischen Kräfte und der daraus
abgeleiteten Anfangs- und zweiseitige Randwertprobleme hinreichend zu
untersuchen, um so einen Eindruck für die Komplexität des Problems zu
bekommen und um nachfolgende numerische Zusammenhänge zu verstehen.
Einleitung
9
Um die Genauigkeit der Flugbahn des Projektils zu beschreiben, müssen
Kennzahlen eingeführt werden, um die numerischen Abweichungen zur
exakten Lösung messen zu können. Hierbei ist es notwendig die verschiedenen
Fehlerschätzungen für Anfangswertprobleme zu studieren, um damit die
verschiedenen ODE-Solver aus der Numerical Recipes Bibliothek [4] bezüglich
ihrer Genauigkeit zu vergleichen. In ähnlicher Weise muss eine
Minimierungsaufgabe numerisch gelöst werden.
Zusammenfassend stellt sich die Frage, welche Fehlermaße auf welche Weise
für die einzelnen numerischen Verfahren zur Lösung von Anfangs- und
Randwertprobleme berechnet werden können, wie aussagekräftig sie sind und
ob es möglich ist eine einzige Kennzahl zu konstruieren, die alle Verfahren
vergleichbar macht.
Eine Herausforderung der Diplomarbeit ist es den globalen Fehler für
Differentialgleichungsverfahren zu beschreiben, da hierbei erst a posteriori die
Schwächen des Schätzverfahrens sichtbar werden. Des weiteren ist die
Implementierung der gewünschten Visualisierung in C++ mit dem Graphik-Tool
TeeChart herausfordernd.
Um das Potential analytischer Lösungen abschätzen zu können wird versucht
werden, die auftretenden physikalischen Kräfte analytisch zu untersuchen und
z.B. aus der Differentialgleichung zu entkoppeln. Aber da selbst die Lösung
einfacher analytischer Flugbahnmodelle schwierig ist, wie ein analytisch
berechnetes quadratisches Luftwiderstandsmodell zeigt, werden diese
Untersuchungen nur unterstützende Funktion haben können.
1.3
Gliederung der Arbeit
Im nächsten Kapitel 2 werden die notwendigen Grundlagen zur Bestimmung
der Anfangs- und Randwertprobleme nach STANAG 4355 erklärt. Dabei wird
auf die einzelnen physikalischen Kräfte eingegangen, die auf das Projektil
wirken. Weiterhin werden die relevanten Begriffe und Definitonen von
Differentialgleichungen erläutert.
In Kapitel 3 kann dann mit den vorher eingeführten Größen das
Differentialgleichungssystem des Flugbahnmodells nach STANAG 4355
definiert und in eine numerisch effiziente Form für ODE-Solver gebracht
werden.
Das darauffolgende Kapitel 4 beschäftigt sich mit Verfahren zur Bestimmung
des Fehlers und der Effizienz numerischer Lösungsverfahren von
Einleitung
10
Differentialgleichungen, insbesondere Rechenzeit, lokaler (Diskretisierungs-)
Fehler, globaler Fehler und Methoden zur Bestimmung des globalen Fehlers.
Dies ist notwendig, damit die Vielzahl von ODE-Solver miteinander verglichen
werden können.
Die Anwendung eines dieser vorgestellten Verfahren, der Defektkorrektur, wird
im Kapitel 5 diskutiert. In diesem Abschnitt werden auch die verwendeten ODE-
Solver vorgestellt. Mithilfe der Kennzahlen in Kapitel 4 kann letztendlich das
effizienteste ODE-Verfahren für das dreidimensionale Flugbahnmodell bestimmt
werden.
In Kapitel 6 werden die benötigten Startwerte des zweiseitigen
Randwertproblems analytisch bestimmt und die effizienteste
Minimierungsmethode ermittelt.
Abschliessend werden in der Zusammenfassung die numerischen Ergebnisse
zusammengetragen und zukünftige mögliche Verbesserungen der numerischen
Rechenmethoden aufgezeigt. In Abbildung 1.1 ist die Struktur der Diplomarbeit
zusammengefasst.
Einleitung
11
Abbildung 1.1 Struktur der Diplomarbeit.
Kapitel 6: Minimierungsalgorithmen
Bestimmung der Startwerte
Fehler und Effizienz für
Minimierungsalgorithmen
Kapitel 5: Analyse der ODE-Solver
Verwendete ODE-Solver
Analyse der ODE-Solver
Fehler und Effizienz der
betrachteten ODE-Solver
Kapitel 4: Kennzahlen und Fehlerschätzer
Kennzahlen zur Bestimmung
der Effizienz von ODE-Solvern
Definition des globalen
und lokalen Fehlers
Verfahren zur Bestimmung
des globalen Fehlers
Kapitel 3: Differentialgleichungssystem nach STANAG 4355
Aufstellen des
Differentialgleichungssystems
Anfangswerte
Randbedingungen
Kapitel 2: Grundlagen
Physikalische Grundlagen
Mathematische Grundlagen
Grundlagen
12
2
Grundlagen
Nach einer Einführung in die Ballistik (Abschnitt 2.1) und die verwendeten
Koordinatensysteme (Abschnitt 2.2) soll dieses Kapitel vor allem die
Komplexität der Problemstellung darstellen. Dazu werden alle auftretenden
physikalischen Kräfte vorgestellt (Abschnitt 2.3) und relevante Begriffe über
Differentialgleichungen definiert (Abschnitt 2.5). Einige Kräfte werden durch
heuristische Herleitungen, oder durch weiterführende Analysen (z.B. die
Corioliskraft im Abschnitt 2.3.4.1) ergänzt. In Abschnitt 2.4 werden allgemeine
Eigenschaften von Flugbahnen diskutiert wie zum Beispiel die Flugbahndauer.
2.1
Ballistik
Ballistics ist the science that deals with the motion of projectiles. Modern
writers divide the subject into interior, exterior, and terminal ballistics [...]. The
modern science of exterior ballistics has evolved as a specialized branch of the
dynamics of rigid bodies, moving under the influence of gravitational and
aerodynamic forces [5].
Aristoteles, der erste Wissenschaftler, der sich mit der Ballistik beschäftigte,
formulierte eine Theorie über die Bewegung von Körpern im lufterfüllten Raum
[6]. Diese ersten Überlegungen waren aber mehr philosophischer als
physikalischer Natur.
Aristoteles Theorie wurde zwar im Spätmittelalter von J.
Buridan um 1325 verworfen, aber der Durchbruch einer ,,echten" berechneten
Flugbahn gelang erst sehr viel später Galilei in seinen Untersuchungen zu den
Fallgesetzen (1638: ,,Untersuchungen über zwei Wissenzweige, die Mechanik
und die Fallgesetze betreffend")
[6]
. Diese Überlegungen führten zu dem
bekannten ,,schiefen Wurf". Dieser war Ausgangspunkt für viele
mathematische und physikalische Formulierungen.
2.2
Koordinatensysteme
Die Bewegung des Projektils wird hier durch zwei Koordinatensysteme
beschrieben, einerseits durch das erdfeste Koordinatensystem, das die
Bewegung des Projektils von der Erde aus betrachtet und andererseits durch ein
projektilfestes Koordinatensystem.
2.2.1
Erdfestes Koordinatensystem
Betrachten wir ein nach STANAG 4355 definiertes erdfestes mitrotierendes
Koordinatensystem das seinen Ursprung auf der Erdoberfläche hat. Die x-Achse
Grundlagen
13
bezeichnet in Abbildung 2.1 hierbei die horizontale Schussrichtung. Dagegen
steht die z-Achse senkrecht auf der x-Achse nach oben und die y-Achse
vervollständigt das rechtsseitige Koordinatensystem. Mit
end
X
ist in Abbildung
2.1 der Zielpunkt der ballistischen Kurve gemeint.
Oft ist die Achsenbeschriftung auch in
,
1, 2, 3
i
X i
=
dargestellt. Bei
Ballistischen Problemen wird manchmal die z mit der y-Achse vertauscht. Diese
Notation ist aufgrund der ersten mathematischen Flugbahnen entstanden, da
diese nur zweidimensional in einem x-y-Koordinatensystem berechnet wurden.
Diese Darstellung wird auch von vielen modernen Ballistikern beibehalten (zum
Beispiel McCoy: Modern Exterior Ballistics (1998) [5]). In dieser Arbeit wird zu
Beginn jeder Rechnung deutlich darauf hingewiesen wie die Achsen bezeichnet
werden.
2.2.2
Geozentrisches Koordinatensystem
Bei dem zweiten wichtigen, nicht rotierenden, Koordinatensystem (siehe
Abbildung 2.2) fällt die z-Achse mit der Drehachse der Erde zusammen. Die x-
Achse zeigt in Abschussrichtung des Geschosses und die y-Achse beschreibt
demnach die rechts-links-Abweichung des Projektils. Mit
0
X
wird in Abbildung
2.2 die Lage der Plattform bezeichnet.
1
,
x X
2
,
z X
3
,
y X
R
end
X
Abbildung 2.1 Erdfestes Koordinatensystem.
Erdoberfläche
Grundlagen
14
2.2.3
Projektilfestes Koordinatensystem
Als letzter dreidimensionaler euklidischer Raum wird nach STANAG 4355 das
projektilfeste Koordinatensystem definiert. Dieses besitzt seinen Ursprung im
Masseschwerpunkt
des
Flugkörpers.
Die
X-Achse
beschreibt
die
Symmetrieachse des Flugkörpers, siehe Abbildung 2.3. Die Z-Achse steht dabei
senkrecht auf dem Flugkörper und die Y-Achse vervollständigt das
rechtshändige Koordinatensystem.
x
z
y
Trajektorie
Erdoberfläche
Erdfestes
Koordinatensystem
Projektilfestes
Koordinatensystem
x
z
y
R
end
X
0
X
Erdoberfläche
Abbildung 2.2 Koordinatensystem im Erdmittelpunkt.
Abbildung 2.3 Projektilfestes Koordinatensystem.
Grundlagen
15
2.3
Kräfte des STANAG 4355 Modells
Wie das erste Newton'sche Axiom zeigt, wirken auf das Geschoss, nach
Abschuss, Kräfte:
Every body perseveres in its state of rest, or of uniform motion in a right line,
unless it is compelled to change that state by forces impressed thereon [7].
(Dieses Axiom war eines der größten physikalischen Entdeckungen. Es wurde
1686 von Sir Isaac Newton in seinem Werk: ,,Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica" veröffentlich, aber schon 1640 von Galileo Galilei aus Versuchen
an schiefen Ebenen abgeleitet [8])
Da die Geschwindigkeit des Geschosses nicht konstant bleibt, muss also
(mindestens) eine Kraft auf das Projektil wirken. STANAG 4355 schreibt die in
Tabelle 2.1 angegebenen Kräfte vor:
Tabelle 2.1 Kräfte des STANAG 4355 Modells
[9, 10].
Mass Forces
Einfluss auf Geschoss
Schwerkraft
Gross
Corioliskraft
Proportional zur
Flugbahndauer
Zentrifugalkraft
Klein
Aerodynamic
Forces
Einfluss auf Geschoss
Luftwiderstand
Proportional zu v². Bei hohen
Geschwindigkeit ein
Vielfaches der Schwerkraft
Auftrieb
Seitendrift, wichtig für
Stabilität
Magnus-Effekt
Wichtig für die Stabilität
Diese Kräfte werden im nächsten Abschnitt ausführlich betrachtet.
2.3.1
Hilfsgröße I: Aerodynamische Koeffizienten
Ein Problem zur exakten Berechnung der Flugbahn ist die Ermittlung
notwendiger Koeffizienten (z.B. der
w
c
Wert) für die verschiedenen
Geschosse:
The main difficulties are due to the need for precise calculations of the
aerodynamics and flight mechanics parameters of the projectiles. Some of
Grundlagen
16
these parameters, such as drag and moment coefficients, have to be measured
in wind tunnels or gun tunnel tests [11].
Diese experimentell bestimmten aerodynamischen Koeffizienten, die Fitting-
Factoren und Korrekturpolynome, werden in Fire-Control-Input Daten (FCI-
Daten) abgelegt [12]. Diese Koeffizienten sind nach STANAG 4355 nur von der
Machzahl abhängig.
Die Machzahl ergibt sich aus dem Verhältnis von Geschwindigkeit und der
höhenabhängigen Schallgeschwindigkeit des Projektils.
( )
:
( , )
( )
Luft
v t
M
M t
c
h
h
=
=
[-]
Aus den FCI-Daten können die Glieder eines abschnittweisen definierten
Polynoms vom Grad
4
abgelesen und so der aeroballistische Koeffizient
k
C
an der Stelle
M
berechnet werden:
4
0
,
i
k
i k
i k
i
C
a M a
=
=
R
(2.1)
Alle in Tabelle 2.2 angegebenen aerodynamischen Koeffizienten werden auf
diese Weise berechnet.
Tabelle 2.2 Aerodynamische Koeffizienten.
Koeffizient Beschreibung
Einheit
0
D
C
Koeffizient der
Luftwiderstandskraft
-
2
D
C
Quadratischer Koeffizient der
Luftwiderstandskraft
2
1
rad
L
C
Koeffizient der Auftriebskraft
1
rad
3
L
C
Kubischer Koeffizient der
Auftriebskraft
3
1
rad
2.3.2
C
C
C
C
Hilfsgröße
Der Winkel zwischen der vertikalen Achse im projektilfesten Koordinatensytem
und
Formelzeichen ist
Der Lieske
repose
Mit:
mag
f
C
-
M
C
3
M
C
spin
C
größe II: Lieske Vektor
Der Winkel zwischen der vertikalen Achse im projektilfesten Koordinatensytem
und der Flugbahn
Formelzeichen ist
Der Lieske-Vektor
repose darstellt
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
e
S
h d v
C
M
C
M
h d v
C
M
C
M
= -
= -
Mit:
Abbildung 2.4 Yaw of repose im projektilfesten Koordinatensystem
Koeffizient der Magnus
Koeffizient des
Kubischer Koeffizient des
Kippmoments
Dämpfungskoeffizient des Dralls
: Lieske Vektor
Der Winkel zwischen der vertikalen Achse im projektilfesten Koordinatensytem
der Flugbahn ist u
Formelzeichen ist
e
.
Vektor
e
, dessen
darstellt, berechnet sich
(
(
4
3
4
2
( )
( )
(
)
(
)
8
( )
( )
(
)
(
)
M
M
e
M
M
e
I p t
S
h d v
C
M
C
M
h d v
C
M
C
M
Yaw of repose im projektilfesten Koordinatensystem
Koeffizient der Magnus
Koeffizient des Kippmoments
Kubischer Koeffizient des
Kippmoments
Dämpfungskoeffizient des Dralls
Der Winkel zwischen der vertikalen Achse im projektilfesten Koordinatensytem
ist unter dem Namen ,,yaw of repose"
, dessen
2
-
erechnet sich nach STANAG 4355
3
3
2
( )
( )
(
)
(
)
8
( )
( )
(
)
(
)
x
M
M
e
x
M
M
e
I p t
S
h d v
C
M
C
M
I p t
h d v
C
M
C
M
+
+
Yaw of repose im projektilfesten Koordinatensystem
Koeffizient der Magnus-Kraft
Kippmoments
Kubischer Koeffizient des
Dämpfungskoeffizient des Dralls
Der Winkel zwischen der vertikalen Achse im projektilfesten Koordinatensytem
nter dem Namen ,,yaw of repose"
- Norm eine Approximation für den
nach STANAG 4355
( )
)
( )
)
2
2
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
M
M
e
M
M
e
S
h d v
C
M
C
M
h d v
C
M
C
M
v t
u t
v t
u t
Yaw of repose im projektilfesten Koordinatensystem
2
1
rad
-
2
1
rad
Dämpfungskoeffizient des Dralls
-
Der Winkel zwischen der vertikalen Achse im projektilfesten Koordinatensytem
nter dem Namen ,,yaw of repose"
Norm eine Approximation für den
nach STANAG 4355:
( )
( )
( )
( )
v t
u t
v t
u t
×
×
Yaw of repose im projektilfesten Koordinatensystem [1]
2
1
rad
2
1
rad
Der Winkel zwischen der vertikalen Achse im projektilfesten Koordinatensytem
nter dem Namen ,,yaw of repose" bekannt
Norm eine Approximation für den
( )
( )
v t
u t
Grundlagen
17
Der Winkel zwischen der vertikalen Achse im projektilfesten Koordinatensytem
bekannt [1]. Sein
Norm eine Approximation für den yaw of
(2.2)
Grundlagen
18
·
repräsentativer Durchmesser
d
[m] des Projektils,
·
von der Höhe über Normal Null abhängige Luftdichte
( )
h
[kg/m³]
·
Trägheitsmoment
x
I
, welches sich auf die Symmetrie-/Längsachse
des projektilfesten Koordinatensystems bezieht,
·
Kreisfrequenz ( )
p t
[1/min],
·
Beschleunigungsvektor
( )
u t
[m/s²],
·
und Geschwindigkeitsvektor
( )
v t
[m/s].
Hierbei ist zu beachten, dass
( )
( )
( )
=
-
v t
u t
w t
( )
w t
Geschwindigkeitsvektor des Windes
[m/s]
( )
u t
Geschwindigkeitsvektor des Projektils
[m/s]
ist. Das aktuelle Modell berücksichtigt den Wind nicht, also kann
( )
w t
= 0
gesetzt werden.
Die Gleichung (2.2) beschreibt einen impliziten Ausdruck, der nach der
Diplomarbeit von Herrn Richter [12], mit folgender Iterationsvorschrift
berechnet werden kann:
( )
(
)
3
2
3
4
(
1)
( )
8
( )
( )
(
)
(
)
( )
( ) ,
0,
, .
x
M
M
k
e
k
e
I p t
h d v
C
M
C
M
v t
u t
k
n
+
= -
+
×
=
...
(1.3)
Folgen eines yaw of repose > 0°: [1, 13]:
-
Erhöht den Luftwiderstand und reduziert damit die Reichweite
-
Es entsteht Seitendrift
-
Führt zu (verstärktem) Magnus-Effekt
Der yaw of repose ist für folgsame Geschosse sehr klein (< 1°) [13].
Wie in Abbildung 2.5 deutlich zu sehen ist, nimmt der Abdriftungswinkel zu,
wenn das Geschoss sich seiner maximalen Höhe nähert. Dies ist damit zu
2.3.3
erklären, dass eine niedrige Geschwindigkeit die Stab
senkt und
Bewegung zurück zur Erdoberfläche nimmt die Geschwindigkeit wieder zu und
das Pro
Abbildung
Schwerkraft
Eine
die für das charakteristische Aussehen der
verantwortlich ist.
konstante Vektor
F
g
nicht aus
Zentrifugalkraft
Vielmehr eignet sich
Flugkörper über der Erdoberfläche bei
Herleitung im Appendix
erklären, dass eine niedrige Geschwindigkeit die Stab
senkt und
Bewegung zurück zur Erdoberfläche nimmt die Geschwindigkeit wieder zu und
das Projektil stabilisiert sich wieder.
Abbildung 2.5 Yaw of repose M80 bullet fired at 32°
Schwerkraft
Eine allgemein bekannte
die für das charakteristische Aussehen der
verantwortlich ist.
konstante Vektor
= -
0
0
G
F
g
nicht ausreichend präzise
Zentrifugalkraft
Vielmehr eignet sich
Flugkörper über der Erdoberfläche bei
Herleitung im Appendix
erklären, dass eine niedrige Geschwindigkeit die Stab
senkt und dieser so
Bewegung zurück zur Erdoberfläche nimmt die Geschwindigkeit wieder zu und
jektil stabilisiert sich wieder.
aw of repose M80 bullet fired at 32°
allgemein bekannte
die für das charakteristische Aussehen der
verantwortlich ist. Es ist zu beachten, dass die Erde nicht flach und somit der
konstante Vektor, bei einem erdfesten Koordinatensystem nach STANAG 4355,
reichend präzise
Zentrifugalkraft ist.
Vielmehr eignet sich folgende Formel
Flugkörper über der Erdoberfläche bei
Herleitung im Appendix
erklären, dass eine niedrige Geschwindigkeit die Stab
mehr ins ,,Taumeln" geraten kann.
Bewegung zurück zur Erdoberfläche nimmt die Geschwindigkeit wieder zu und
jektil stabilisiert sich wieder.
aw of repose M80 bullet fired at 32°
allgemein bekannte Kraft, die au
die für das charakteristische Aussehen der
ist zu beachten, dass die Erde nicht flach und somit der
bei einem erdfesten Koordinatensystem nach STANAG 4355,
reichend präzise für eine Appr
folgende Formel
Flugkörper über der Erdoberfläche bei
Herleitung im Appendix 12.1 zu finden ist.
erklären, dass eine niedrige Geschwindigkeit die Stab
mehr ins ,,Taumeln" geraten kann.
Bewegung zurück zur Erdoberfläche nimmt die Geschwindigkeit wieder zu und
jektil stabilisiert sich wieder.
aw of repose M80 bullet fired at 32° [1].
die auf das Geschoss wirkt ist
die für das charakteristische Aussehen der Flugbahn, in Form einer Parabel
ist zu beachten, dass die Erde nicht flach und somit der
bei einem erdfesten Koordinatensystem nach STANAG 4355,
für eine Approximation der
folgende Formel nach STANAG
Flugkörper über der Erdoberfläche bei Idealisierung der Erde als Kugel
zu finden ist.
erklären, dass eine niedrige Geschwindigkeit die Stabilität eines
mehr ins ,,Taumeln" geraten kann.
Bewegung zurück zur Erdoberfläche nimmt die Geschwindigkeit wieder zu und
das Geschoss wirkt ist
Flugbahn, in Form einer Parabel
ist zu beachten, dass die Erde nicht flach und somit der
bei einem erdfesten Koordinatensystem nach STANAG 4355,
oximation der
nach STANAG [9], für ,,erdnahe"
dealisierung der Erde als Kugel
lität eines Flugkörpers
mehr ins ,,Taumeln" geraten kann. Während
Bewegung zurück zur Erdoberfläche nimmt die Geschwindigkeit wieder zu und
das Geschoss wirkt ist die Schwerkraf
Flugbahn, in Form einer Parabel
ist zu beachten, dass die Erde nicht flach und somit der
bei einem erdfesten Koordinatensystem nach STANAG 4355,
oximation der Gravitation und die
, für ,,erdnahe"
dealisierung der Erde als Kugel
Grundlagen
19
Flugkörpers
Während der
Bewegung zurück zur Erdoberfläche nimmt die Geschwindigkeit wieder zu und
Schwerkraft,
Flugbahn, in Form einer Parabel,
ist zu beachten, dass die Erde nicht flach und somit der
bei einem erdfesten Koordinatensystem nach STANAG 4355,
Gravitation und die
, für ,,erdnahe"
dealisierung der Erde als Kugel, deren
Grundlagen
20
= -
-
1
2
0
3
( )
( )
1 2
( )
G
X t
R
X t
F
mg
R
X t
R
(2.4)
Hierbei wird die auftretende Zentrifugalkraft in
0
g
beachtet:
=
-
0
13
9.80665 1
cos(2
)
5000
g
lat
[m/s²]
(2.5)
lat
Breitengrad
[rad]
R
Radius der Erde
[m]
2.3.4
Corioliskraft
Durch die Erdrotation entsteht nicht nur die Zentrifugalkraft, sondern auch die
Corioliskraft. Diese Scheinkraft beeinflusst Flugbahnen mit einer hohen
Schussweite.
Für die Corioliskraft ergibt sich für das erdfeste Bezugssystem nach STANAG
4355 [9]:
(
)
2
( )
c
F
m
m
u t
= = -
×
(2.6)
Dabei bezeichnet
wie üblich die Kreisfrequenz der Erddrehung
cos(
)cos(
)
sin(
)
cos(
)sin(
)
lat
AZ
lat
lat
AZ
=
-
mit
5
2
7.292115 10
24 60 60
rad
s
-
=
=
AZ (engl. Azimuth)
Horizontaler Abschusswinkel [9]
[rad]
2.3.4.1
Koordinatentransformation zur analytischen Berechnung der Corioliskraft
Es ist möglich, die Corioliskraft in ein anderes dreidimensionales, kanonisches
Koordinatensystem zu transformieren.
Beispiel:
Grundlagen
21
Bezeichnung
nach
STANAG 4355
Definition
im
erdfesten
Koordinatensystem
nach STANAG 4355
Bemerkung
(AZ, engl. Azimuth)
Winkel zwischen der x-
Achse und Rohrmündung
(horizontaler
Abschusswinkel)
Positiv gezählt
(lat)
Breitengrad
Positiv gezählt
2
2
-
Komplementärwinkel
zu
Jeder Punkt im erdfesten System nach STANAG kann mit folgender
Transformation in das geozentrische Koordinatensystem (siehe Abschnitt 2.2.2)
abgebildet werden.
4
4
2
2
3
:
( , , )
( )
( )
1
1
Translation
Rotation
Rotation
um
um
Koordinaten im
erdfeste Koordinaten
Erdmittelpunkt
g
X
x
Y
y
g x y z
T
R
R
Z
z
=
=
R
R
2
2
2
2
1 0 0
cos( )
cos( )
sin( ) 0 0
cos( )
0
sin( )
0
0 1 0
0
sin( )
cos( )
0 0
0
1
0
0
0 0 1
sin( )
0
0
1 0
sin( ) 0 cos( ) 0
1
0 0 0
1
0
0
0 1
0
0
0
1 1
cos( ) c
1
X
R
x
Y
y
Z
R
z
X
Y
Z
-
=
-
=
2
2
2
2
2
2
2
2
os( )
cos( ) sin( )
sin( )
cos( )
sin( ) cos( )
sin( ) sin( )
cos( )
sin( )
cos( )
sin( )
1
cos( ) sin( )
cos( ) cos( )
sin( )
cos( )
sin( ) sin( )
sin(
1
x
z
y
R
x
z
y
x
z
R
X
x
z
y
R
Y
x
Z
= -
+
-
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
=
) cos( )
cos( )
cos( )
sin( )
sin( )
1
z
y
x
z
R
+
-
+
+
(2.7)
Grundlagen
22
Anwendung:
0,
0
=
=
Das erdfeste Koordinatensystem (rot) nach STANAG 4355 ist in folgender
Abildung einbeschrieben:
Mit Transformationssformel (2.7) werden folgende Formeln errechnet:
X
z
R
Y
y
Z
x
= +
=
= -
Offensichtlich kann mit Hilfe der obigen Formeln jeder Punkt im rotfarbige
Koordinatensystem in das blaue transformiert werden.
Bemerkung:
Die Inverse der gesamten Transformation berechnet sich durch Anwendung der
inversen Transformationsmatrizen in umgekehrter Reihenfolge [14], wobei:
1
( )
(
)
R
R
-
= -
1
T
-
entsteht durch das Einsetzen des negativen Translationsvektors.
1
1
1
2
( )
( )
x
X
y
R
R
T
Y
z
Z
-
-
-
=
Im Koordinatensystem, das seinen Ursprung im Erdmittelpunkt hat, gilt für die
Kraftkomponente der Corioliskraft nach Athen [15]
( 2
, 2
, 0)
T
Y
X
-
. Hierbei
sei
die Winkelgeschwindigkeit der Erde.
x
z
y
Y
Z
X
Abbildung 2.6 Beispiel einer Koordinatensystemtransformation.
Grundlagen
23
Wären zu jedem Zeitpunkt die parametrischen Kurven des Geschosses ohne
Corioliskraft
bekannt
mit
( ( ), ( ), ( ))
t
t
t
,
dann
beschreibt
das
Differentialgleichungssystem (2.8) die Bewegung des Projektils (nach Athen
[15]).
2
2
X
Y
Y
X
Z
= -
= +
=
(2.8)
Trivialerweise wird in Richtung der Erdachse durch die Corioliskraft keine
Veränderung herbeigeführt.
Wird die komplexe Variable
W
X
iY
= +
definiert, entsteht aus den ersten beiden Zeilen von (2.8): [15]
2
( )
W
iW
t
-
=
(2.9)
Mit
( )
( )
( )
t
t
i t
=
+
und der Lösung:
2
2
0
( )
t
it
i
W
e
e
d
-
=
(2.10)
Dieses Integral lässt sich leicht in Real- und Imaginärteil zerlegen.
Re( )
Im( )
X
W
Y
W
=
=
Somit ist es möglich, die Corioliskraft getrennt von anderen Kräften zu
betrachten. Leider ist diese Vorgehensweise kein Durchbruch für eine
analytische Lösung, da unser Flugbahnmodell auch ohne die Corioliskraft nicht
geschlossen lösbar ist. Auch für die numerische Behandlung ist diese Methode
Grundlagen
24
nicht geeignet, da zwei Koordinatentransformationen (in jedem Zeitschritt)
durchgeführt werden müssen.
2.3.5
Magnus-Kraft
Der Magnus-Effekt wurde 1852 von dem deutschen Physiker und Chemiker
Heinrich Gustav Magnus entdeckt. Dieser Effekt tritt in Erscheinung, wenn sich
ein rotierendes Objekt in einem strömenden Medium befindet. Dadurch
entsteht eine Kraft senkrecht zur Strömung.
Bei Geschossen entsteht der Magnus-Effekt dadurch, dass das Geschoss die
vorbeistreichenden Luftteilchen im Sinne seiner Rechtsrotation mitreißt. Die
Geschossachse liegt oberhalb der Flugbahntangente (Strömungsrichtung der
Luft). [...] Der so entstehende Druckunterschied auf beiden Seiten muß im
Allgemeinen in einer Linksabweichung des Geschosses in Erscheinung treten. Es
kann jedoch auch der Fall eintreten, dass die geschilderten Abweichungen nach
der entgegengesetzten Seite erfolgen, nämlich dann, wenn die Geschossspitze
unterhalb der Bahntangete liegt [15].
Dadurch kann das Projektil sich aber auch instabil verhalten:
The spin velocity required to stabilize the projectiles tends to
induce Magnus effects which can lead to dynamic instabilities
that influence the flight path [16].
Folgende Grafik macht den Magnus-Effekt in Abhängigkeit seiner
Kreisfrequenz
und die daraus resultierende Kraft deutlich. Dargestellt ist ein
Zylinder. Der Schnitt verläuft senkrecht zur Symmetrieachse. Die Rotation ist im
Uhrzeigersinn:
Grundlagen
25
Abbildung 2.7 Magnus-Kraft [17].
Nach STANAG 4355 geht die Magnus-Kraft mit folgender Formel in das
MPMM ein (siehe auch McCoy [5]):
(
)
(
)
3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
8
mag f
mag f
M
e
e
S d
h C
M
d
h C
M
F
mM
v t
v t
-
-
=
= -
×
= -
×
(2.11)
Mit der mittleren Querschnittsfläche S =
2
4
d
, die restlichen Größen wurden in
der Tabelle 2.2 und Gleichung (2.2) erklärt. Gleichung (2.11) zeigt, dass die
Magnus-Kraft zunemmt, je mehr die Geschossachse von der Flugbahntangente
abweicht. Mit Hilfe von (2.2) erkennt man noch eine direkte Proportionalität
zur Kreisfrequenz p und zum Trägheitsmoment.
2.3.6
Auftriebskraft
Durch das Luftpolster, dass auf der Vorderseite eines symmetrischen
Geschosses entsteht ein Druck auf das Projektil. Diese Kraft wird als die
Auftriebskraft bezeichnet. Die Auftriebskraft entsteht aufgrund der
Abweichung zwischen der Nase des Projektils und seiner Flugbahn (siehe
Abschnitt 2.3.2) [15, 18].
Resultierende Kraft
Strömung
Grundlagen
26
Für idealisierte symmetrische Geschosse deren Nase immer in Richtung der
Flugbahn zeigen fällt diese Kraft weg.
Durch den Auftrieb wird die Reichweite von Geschossen erhöht, dabei sei
vermerkt, dass eine Auftriebserhöhung auch immer eine Widerstandserhöhung
bewirkt [19]. Nach STANAG 4355 ist diese Kraft wie folgt definiert:
( )
( )
(
)
( )
3
3
2
2
( )
8
a
a
L
L
L
e
L
e
d
h f C
M
C
M
F
v t
+
=
(2.12)
Mit dem Fitting Faktor
L
f
, der von der Abgangsgeschwindigkeit und damit von
der Treibladung abhängt.
Im Anhang ist unter die Auftriebskraft für Flugzeuge und asymetrische
gewölbte Flugkörper erklärt, bei denen diese einfache Anschauung nicht
ausreicht.
2.3.7
Luftwiderstand
Eine Erklärung für die Form des Luftwiderstandes ist in Appendix 12.2 zu
finden. Nach STANAG 4355 wird folgende Gleichung verwendet:
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
0
2
2
2
2
2
2
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
2
( )
.
8
D
D
D
D
e
D
D
D
e
D
D
v t
F
mD
C
M
C
M
Q
v t
v t
v t
C
M
C
M
Q
v t
v t
S h f
d h f
=
= -
+
= -
+
mit dem dimensionslosen Fitting Factor
D
f
.
Hier fallen sofort die Unterschiede zu der Herleitung im Anhang auf:
u
Luftströmung
x
y
z
Abbildung 2.8 Auftriebskraft für symmetrische Geschosse im projektilfesten Koordinatensystem.
Grundlagen
27
Der
w
c
-Wert
wurde
offensichtlich
mit
dem
Ausdruck
(
)
(
)
0
2
2
(
)
(
)
+
D
D
D
e
d
f
C
M
C
M
Q
gleichgesetzt. Dieser hängt nun von der
Machzahl, dem Lieske-Vektor und dem konstanten yaw drag factor
D
Q
, der
einen Fitting Factor für die Machzahl darstellt (siehe STANAG 4355 [20]), ab.
2.3.8
Drallstabilisierung
Bei Glattrohrkanonen fällt diese Krafteinwirkung weg, da diese Projektile
flügelstabilisiert sind.
Der Gegensatz zur Glattrohrkanone sind bei der Zugrohrkanone die Geschosse
drallstabilisiert. Bei diesem Geschützt sind Nuten spiralförmig in den Lauf
eingefräst. Die geschossführenden Flächen nennt man "Felder", die Nuten
"Züge". Diese spiralförmig eingefrästen Züge geben dem Geschoss einen Drall
der zur Flugbahnstabilisierung dient.
Wie sich der Drall auf die Flugbahn eines Baseballs auswirkt wird in Abbildung
2.9 deutlich:
Abbildung 2.9 Drall bei einem Baseball [21].
Die durchgehende Linie, genzeichnet eine Flugbahn ohne Drall und einer
Abschlagsgeschwindigkeit von 100 mph. Die kurz gestrichelte Linie zeigt die
Reichweite des Baseballs bei 1000 Umdrehungen pro Minute. Die Kurve in der
Mitte der zwei anderen zeigt dagegen die Weite bei 2000 1/min.
Grundlagen
28
Dadurch wird deutlich, dass die Kreisfrequenz einen großen Einfluss auf die
Reichweite des Flugkörpers besitzt.
In STANAG 4355 wird für die Berechnung der Frequenz folgende Formel als
Rechnungsgrundlage genommen:
2
4
( )
2
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( ).
8
=
=
factor
Spin
x
Spin
x
p
t
S
h d v C
M
d
p t
p t
dt
I
h d v C
M
p t
I
(2.13)
2.4
Allgemeines zu Flugbahnen
Es gibt einige Eigenschaften, die sich über Flugbahnmodelle aussagen lassen,
ohne die Differentialgleichungen zu kennen.
2.4.1
Einhüllende einer Flugbahnschar
Eine Flugbahnschar besitzt unter gleichbleibenden Bedingungen und einer
konstanten Abschussgeschwindigkeit
0
0
>
v
für variable Schußwinkel
,
eine einhüllende Oberfläche. Die Einhüllende selbst ist eine eindeutige
Flugbahn. Innerhalb dieser Einhüllenden kann jeder Punkt von zwei Flugbahnen
und außerhalb von keiner getroffen werden (siehe Molitz und Strobel [22]).
Anmerkung:
Diese Eigenschaft wird verwendet, falls zwei Geschosse simultan auf ein Ziel
einschlagen sollen. Dafür wird zuerst ein Hochschuss (die Flugbahn mit dem
größeren Abschusswinkel) und danach der Direktschuss abgefeuert.
2.4.2
Flugzeitenbetrachtung
Eine weitere interessante Eigenschaft der klassischen Flugbahnmodelle ist, dass
die Flugbahndauer bis zur maximalen Höhe größer ist als die Zeit, die das
Geschoss von seinem höchsten Punkt zurück zur Erde benötigt. Es spielt nach F.
Bauer [23] keine Rolle welches Modell betrachtet wird, solange für die Force
Function des Geschosses
( )
f v
gilt:
>
( ) 0
f v
für
>
0
v
und
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2009
- ISBN (eBook)
- 9783836628822
- DOI
- 10.3239/9783836628822
- Dateigröße
- 2.2 MB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Fachhochschule Regensburg – Informatik / Mathematik
- Erscheinungsdatum
- 2009 (April)
- Note
- 1,0
- Schlagworte
- differentialgleichungen numerik ode-solver flugbahnen fehler
