Vergleich der Informationskonzepte von Blackwell und Kim
©2009
Bachelorarbeit
32 Seiten
Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Einleitung:
Die vorliegende Arbeit entstand im Wintersemester 2008/2009 im Rahmen des Seminars ''Wirtschaftstheorie'' am Lehrstuhl für Volkswirtschaftstheorie II der Universität Bielefeld. Sie beschäftigt sich mit den Konzepten, die Blackwell und Kim zum Bewerten und Ordnen von Informationssystemen entwickelt haben. Im Fokus steht vor allem der theoretische Vergleich beider Konzepte, das heißt der rein mathematisch-technische Vergleich (Garbling, verzerrte Wiedergabe der Umweltzustände) sowie der Vergleich unter dem Aspekt Wohlfahrt. Auf die praktische Anwendbarkeit wird notwendigerweise kurz eingegangen, da an einigen wenigen Stellen auch das Verständnis des zugrunde liegenden entscheidungstheoretischen Modells erforderlich ist, um die technischen Aspekte zufriedenstellend untersuchen zu können.
In Kapitel 2 werden kurz die wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen behandelt, die zum Verständnis des Konzepts der Informationssysteme wichtig sind. Viele Sachverhalte werden hier als gegeben angenommen und werden nicht näher erläutert. An entsprechender Stelle wird jedoch auf geeignete Literatur hingewiesen.
Kapitel 3 stellt das grundsätzliche Konzept der Informationssysteme, das heißt den mathematischen Rahmen für die Idee von unvollständiger Information, vor und führt Grundlagen und Begriffe ein, die in den folgenden Kapiteln immer wieder verwendet werden.
Die Kapitel 4 und 5 bilden einen zentralen Teil der Arbeit und beschäftigen sich mit den Informationskonzepten von Blackwell resp. Kim. Beide Modelle werden detailliert vorgestellt. Die jeweiligen Voraussetzungen und Implikationen (insbesondere rein technische und solche, die direkt mit dem Aspekt der Wohlfahrt zusammenhängen) werden vorgestellt. Auf die praktische Anwendung der Konzepte wird hier nicht näher eingegangen, lediglich im Kapitel 5 werden einige Grundlagen des Agency-Modells vorgestellt, die notwendig sind, um die Ordnung unter dem Wohlfahrtsaspekt verstehen zu können.
Kapitel 6 greift die beiden vorherigen Kapitel auf und bietet eine systematische Unterscheidung der relevanten Bedingungen und Implikationen beider Konzepte, wobei hier der Vergleich relativ streng auf die Abschnitte ''technischer Vergleich'' und ''ökonomischer Vergleich'' aufgeteilt wird. Vergleichsaspekte, die sowohl technischer als auch ökonomischer Natur sind, existieren jedoch natürlich aufgrund verschiedener Äquivalenzen in Aussagen zu beiden Konzepten auch. Auf die Anwendung (im […]
Die vorliegende Arbeit entstand im Wintersemester 2008/2009 im Rahmen des Seminars ''Wirtschaftstheorie'' am Lehrstuhl für Volkswirtschaftstheorie II der Universität Bielefeld. Sie beschäftigt sich mit den Konzepten, die Blackwell und Kim zum Bewerten und Ordnen von Informationssystemen entwickelt haben. Im Fokus steht vor allem der theoretische Vergleich beider Konzepte, das heißt der rein mathematisch-technische Vergleich (Garbling, verzerrte Wiedergabe der Umweltzustände) sowie der Vergleich unter dem Aspekt Wohlfahrt. Auf die praktische Anwendbarkeit wird notwendigerweise kurz eingegangen, da an einigen wenigen Stellen auch das Verständnis des zugrunde liegenden entscheidungstheoretischen Modells erforderlich ist, um die technischen Aspekte zufriedenstellend untersuchen zu können.
In Kapitel 2 werden kurz die wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen behandelt, die zum Verständnis des Konzepts der Informationssysteme wichtig sind. Viele Sachverhalte werden hier als gegeben angenommen und werden nicht näher erläutert. An entsprechender Stelle wird jedoch auf geeignete Literatur hingewiesen.
Kapitel 3 stellt das grundsätzliche Konzept der Informationssysteme, das heißt den mathematischen Rahmen für die Idee von unvollständiger Information, vor und führt Grundlagen und Begriffe ein, die in den folgenden Kapiteln immer wieder verwendet werden.
Die Kapitel 4 und 5 bilden einen zentralen Teil der Arbeit und beschäftigen sich mit den Informationskonzepten von Blackwell resp. Kim. Beide Modelle werden detailliert vorgestellt. Die jeweiligen Voraussetzungen und Implikationen (insbesondere rein technische und solche, die direkt mit dem Aspekt der Wohlfahrt zusammenhängen) werden vorgestellt. Auf die praktische Anwendung der Konzepte wird hier nicht näher eingegangen, lediglich im Kapitel 5 werden einige Grundlagen des Agency-Modells vorgestellt, die notwendig sind, um die Ordnung unter dem Wohlfahrtsaspekt verstehen zu können.
Kapitel 6 greift die beiden vorherigen Kapitel auf und bietet eine systematische Unterscheidung der relevanten Bedingungen und Implikationen beider Konzepte, wobei hier der Vergleich relativ streng auf die Abschnitte ''technischer Vergleich'' und ''ökonomischer Vergleich'' aufgeteilt wird. Vergleichsaspekte, die sowohl technischer als auch ökonomischer Natur sind, existieren jedoch natürlich aufgrund verschiedener Äquivalenzen in Aussagen zu beiden Konzepten auch. Auf die Anwendung (im […]
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Gero Brockschnieder
Vergleich der Informationskonzepte von Blackwell und Kim
ISBN: 978-3-8366-2815-0
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2009
Zugl. Universität Bielefeld, Bielefeld, Deutschland, Bachelorarbeit, 2009
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte,
insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von
Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der
Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen,
bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung
dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen
der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik
Deutschland in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich
vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des
Urheberrechtes.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in
diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme,
dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei
zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Die Informationen in diesem Werk wurden mit Sorgfalt erarbeitet. Dennoch können
Fehler nicht vollständig ausgeschlossen werden und der Verlag, die Autoren oder
Übersetzer übernehmen keine juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für evtl.
verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen.
© Diplomica Verlag GmbH
http://www.diplomica.de, Hamburg 2009
Inhaltsverzeichnis
i
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
1
2
Einige Grundlagen
3
2.1
Entscheidung unter Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Erwartungsnutzentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3
Informationssysteme
6
3.1
Was ist ein Informationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
Eigenschaften von Informationssystemen . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Der stetige Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4
Das Informationskonzept von Blackwell
9
4.1
Der Satz von Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
Der Satz von Blackwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5
Das Informationskonzept von Kim
14
5.1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.2
Das MPS-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
6
Vergleich der beiden Informationskonzepte
19
6.1
Der technische Vergleich - Globales vs. Lokales Garbling . . . . . .
19
6.2
Der ökonomische Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
6.3
Anwendung - Bayes'sches Entscheidungsmodell vs. Agency-Modell 23
7
Fazit
25
Literaturverzeichnis
28
1 Einleitung
1
1 Einleitung
Die vorliegende Arbeit entstand im Wintersemester 2008/2009 im Rahmen des
Seminars "Wirtschaftstheorie" am Lehrstuhl für Volkswirtschaftstheorie II der
Universität Bielefeld. Sie beschäftigt sich mit den Konzepten, die Blackwell (1951)
und Kim (1995) zum Bewerten und Ordnen von Informationssystemen entwi-
ckelt haben. Im Fokus steht vor allem der theoretische Vergleich beider Konzepte,
das heißt der rein mathematisch-technische Vergleich (Garbling, verzerrte Wie-
dergabe der Umweltzustände) sowie der Vergleich unter dem Aspekt Wohlfahrt.
Auf die praktische Anwendbarkeit wird notwendigerweise kurz eingegangen,
da an einigen wenigen Stellen auch das Verständnis des zugrunde liegenden ent-
scheidungstheoretischen Modells erforderlich ist, um die technischen Aspekte
zufriedenstellend untersuchen zu können.
In Kaptiel 2 werden kurz die wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen be-
handelt, die zum Verständis des Konzepts der Informationssysteme wichtig sind.
Viele Sachverhalte werden hier als gegeben angenommen und werden nicht näher
erläutert. An entsprechender Stelle wird jedoch auf geeignete Literatur hingewie-
sen.
Kapitel 3 stellt das grundsätzliche Konzept der Informationssysteme, das heißt
den mathematischen Rahmen für die Idee von unvollständiger Information, vor und
führt Grundlagen und Begriffe ein, die in den folgenden Kapiteln immer wieder
verwendet werden.
Die Kapitel 4 und 5 bilden einen zentralen Teil der Arbeit und beschäftigen sich
mit den Informationskonzepten von Blackwell resp. Kim. Beide Modelle werden
detailliert vorgestellt. Die jeweiligen Vorraussetzungen und Implikationen (ins-
besondere rein technische und solche, die direkt mit dem Aspekt der Wohlfahrt
zusammenhängen) werden vorgestellt. Auf die praktische Anwendung der Kon-
zepte wird hier nicht näher eingegangen, lediglich im Kapitel 5 werden einige
Grundlagen des Agency-Modells vorgestellt, die notwendig sind, um die Ordnung
unter dem Wohlfahrtsaspekt verstehen zu können.
1 Einleitung
2
Kapitel 6 greift die beiden vorherigen Kapitel auf und bietet eine systematische
Unterscheidung der relevanten Bedingungen und Implikationen beider Konzepte,
wobei hier der Vergleich relativ streng auf die Abschnitte "technischer Vergleich"
und "ökonomischer Vergleich" aufgeteilt wird. Vergleichsaspekte, die sowohl tech-
nischer als auch ökonomischer Natur sind, existieren jedoch natürlich aufgrund
verschiedener Äquivalenzen in Aussagen zu beiden Konzepten auch. Auf die
Anwedung (im Agency-Modell), die im Originalartikel von Kim die zentrale Rolle
spielt, wird hier kurz eingegangen.
Abschließend wird in Kapitel 7 zusammengefasst, was erarbeitet wurde und es
wird die Frage behandelt, was es heißt, dass ein Informationskonzept "besser" als
ein anderes ist und unter welchen Umständen ein Informationskonzept "besser"
als ein anderes genannt werden kann.
Die Beweise der meisten Propositionen und Lemmas werden im Rahmen dieser
Arbeit aus Platzgründen nicht angegeben, die entsprechenden Referenzen werden
jedoch jeweils genannt bzw. ergeben sich unmittelbar aus dem Text. Für das
Verständnis der in der Arbeit vorgestellten Ideen und Konzepte sind die Beweise
nicht von besonderer Bedeutung.
2 Einige Grundlagen
3
2 Einige Grundlagen
In diesem Kapitel werden die grundlegenden Konzepte, die für das Verständnis
von Informationssystemen und die Arbeit mit ihnen und resultierend daraus
auch für die Analyse der Konzepte von Blackwell und Kim von Bedeutung sind,
kurz vorgestellt. Auf eine Vorstellung und Analyse in allen Details wird verzichtet,
da für die folgenden Kapitel nur gewisse Grundlagen und Aspekte von Bedeu-
tung sind. Es werden jedoch an den entsprechenden Stellen Literaturhinweise
gegeben.
2.1 Entscheidung unter Unsicherheit
Eine wichtige Grundlage, um das Konzept der Informationssysteme zu verstehen,
ist das Prinzip der Entscheidung unter Unsicherheit, das in der Mikroökonomie eine
zentrale Rolle spielt und die Basis verschiedenster Modelle und Konzepte bildet.
Unter dem Begriff Entscheidung unter Unsicherheit fassen wir Entscheidungssitua-
tionen zusammen, in denen einem Entscheider der zukünftige Umweltzustand
(zum Beispiel morgen scheint die Sonne oder morgen regnet es) nicht mit Sicherheit
bekannt ist. Ebenso kann der künftige Umweltzustand vom Entscheider nicht
(ohne weitere Informationen) genau vorhergesagt werden. Die Menge dieser Um-
weltzustände nennen wir E, die Elemente e E repräsentieren die Zustände.
In der Entscheidungssituation wählt der Entscheider aus der Menge der für ihn
verfügbaren Aktionen A eine einzelne Aktion a aus (zum Beispiel morgen nehme
ich einen Regenschirm mit oder morgen nehme ich keinen Regenschirm mit). Jedem
Paar (a, e) ist eine Konsequenz c(a, e) zugeordnet (zum Beispiel der Entscheider
wird nass oder der Entscheider bleibt trocken), das heißt die Situation, in der sich der
Entscheider nach Wahl seiner Aktion und nach Eintreten eines Umweltzustandes
befindet (und die Wohlfahrt, die diese Situation für den Entscheider bringt), hängt
sowohl von seiner Entscheidung für eine Aktion a A als auch vom eintretenden
2 Einige Grundlagen
4
Umweltzustand e E (der als zufällige Entscheidung der Natur interpretiert
werden kann) ab.
Obwohl der Entscheider den zukünftigen Umweltzustand nicht kennt, sind ihm
jedoch sogenannte a-priori-Wahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeiten im Voraus)
(e)
für den Eintritt aller in der jeweiligen Entscheidungssituation zu betrach-
tenden Umweltzustände bekannt, die sowohl objektiver als auch subjektiver Art
sein können. Woher der Entscheider diese Wahrscheinlichkeiten kennt, ist also
nicht von Bedeutung. Sie können zum Beispiel auf empirischen, historischen oder
statistischen Daten beruhen oder einfach nur geschätzt sein.
Von großer Bedeutung für Entscheidungen unter Unsicherheit ist auch das Kon-
zept der (einfachen) Lotterien. Eine Lotterie L = (p(e))
eE
= (p
1
, . . . , p
|E|
) L
können wir als Vektor interpretieren, der eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über
E repräsentiert.
1
Mit L bezeichnen wir die Menge aller (einfachen) Lotterien. Eine
Lotterie ist also eine formale Darstellung der Handlungsalternativen der Natur. Sie
repräsentiert die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände e E, so dass
L = ((e))
eE
ist. Die Wahrscheinlichkeiten (e) sind natürlich unabhängig von
dem in der Entscheidungssituation gewählten a A, so dass L(a) = ((e))
eE
für alle a ist.
Für weitere Informationen zum Konzept der Lotterien siehe Mas-Colell et al. (1995,
Kap. 6).
2.2 Erwartungsnutzentheorie
Von besonderem Interesse für unsere Analyse der Informationskonzepte ist die
Erwartungsnutzentheorie von von Neumann und Morgenstern und das in diesem
Kontext bedeutsame Erwartungsnutzentheorem. Dazu benötigen wir als generelle
Grundlage die folgende Definition:
Definition 1.
Sei |E| = n. Eine Nutzenfunktion U auf dem Raum der Lotterien L
hat Erwartungsnutzenform, wenn zu den n Ausgängen der Lotterie (e
1
), . . . , (e
n
)
Zahlen v
1
, . . . , v
n
existieren, so dass für jede Lotterie L L gilt:
U(L) = v
1
p
1
+ · · · + v
n
p
n
1
Die Menge der (zu betrachtenden) Umweltzustände ist natürlich anhängig von der jeweiligen
Entscheidungssituation. Umweltzuständen, die nicht eintreten können, wird eine Wahrschein-
lichkeit (e) = 0 zugewiesen und man kann diese Zustände ohne Weiteres aus E entfernen.
2 Einige Grundlagen
5
Wir können eine Lotterie in Abhängigkeit einer Aktion a in einer Entscheidungs-
situation (unter Unsicherheit) betrachten, so dass mit der Nutzenfunktion des
Entscheiders u(a, e) := u(c(a, e)) gilt:
U(L) = v
1
p
1
+ · · · + v
n
p
n
U(L(a)) =
e
u(a, e)(e)
für alle a A. Wir bezeichnen mit u(a, e) den Nutzen der Konsequenz aus der
Kombination von Aktion a und tatsächlichem Umweltzustand e.
Um den im Fogenden zu betrachtenden Erwartungsnutzenmaximierer charakterisie-
ren zu können, benötigen wir das sogenannte Erwartungsnutzentheorem:
Proposition 1. Die Präferenzrelation
auf L sei stetig und genüge dem Unabhängig-
keitsaxiom. Dann lässt sich durch
der Nutzen in Erwartungsnutzenform darstellen.
Für zwei beliebige Lotterien L
1
= (p
1
1
, . . . , p
1
n
), L
2
= (p
2
1
, . . . , p
2
n
) lassen sich also Zahlen
u
1
, . . . , u
n
finden, so dass
L
1
L
2
n
i=1
u
i
p
1
i
n
i=1
u
i
p
2
i
Zu Informationen zur Stetigkeit von Präferenzrelationen, zum Unabhängigkeitsaxi-
om sowie zum Beweis der Proposition siehe Mas-Colell et al. (1995, Kap. 6).
Es ist uns nun möglich, einen Erwartungsnutzenmaximierer wie folgt zu charakteri-
sieren:
Definition 2.
Ein Entscheider, der das Problem
U
= max
a
U(L(a)) = max
a
e
u(a, e)(e)
löst, heißt Erwartungsnutzenmaximierer.
Ein solcher Entscheider wird in unserer Betrachtung der Grundlagen von Informa-
tionssystemen und der Informationskonzepte von besonderem Interesse sein. Wie
wir sehen werden, ist die Annahme, dass der Entscheider seinen zu erwartenden
Nutzen maximiert, an vielen Stellen eine notwendige Voraussetzung.
3 Informationssysteme
6
3 Informationssysteme
In diesem Kapitel wird das grundsätzliche Konzept der Informationssysteme
vorgestellt und es werden die für die anschließende Analyse der Konzepte von
Blackwell und Kim und deren Vergleich notwendigen Bezeichnungen eingeführt.
Wir beschränken uns in diesem Kapitel vorerst auf den diskreten Fall und werden
zum Schluss die "Brücke" zum stetigen Fall, der prinzipiell analog zum diskre-
ten Fall zu behandeln ist, schlagen. Alle hier verwendeten Bezeichnungen sind
angelehnt an Nermuth (1982).
3.1 Was ist ein Informationssystem
Als Ausgangssituation betrachten wir die folgende: Wie zuvor kennt ein Ent-
scheider den zukünftigen Umweltzustand e E nicht mit Sicherheit, er kann
also den tatsächlichen Umweltzustand in seiner Entscheidungssituation nicht
beobachten. Stattdessen kann er jedoch Signale s S beobachten, die in einer be-
stimmten Art und Weise vom zukünftigen Umweltzustand (oder von der Menge
der möglichen zukünftigen Umweltzustände) abhängen. Wie zuvor stehen dem
Entscheider gewisse Aktionen a A zur Verfügung. Auch die Nutzenfunktion u
des Entscheiders ist wie zuvor definiert auf A × E, ebenso sind dem Entscheider
a-priori-Wahrscheinlichkeiten für die möglichen künftigen Umweltzustände e E
bekannt, die wir mit = (
1
, . . . ,
|E|
) bezeichnen. repräsentiert natürlich eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung über E, das heißt dass 0
i
1 für alle i ist, und
dass
e
(e) =
1 ist.
Die Signale s, die abhängig sind von den möglichen zukünftigen Umweltzustän-
den e, werden aus diesen Umweltzuständen auf eine gewisse Art und Weise
generiert; dieser Vorgang kann so interpretiert werden, dass der wahren Verteilung
der Umweltzustände ein "Rauschen" hinzugefügt wird, so dass die beobachtbaren
Signale als ein verzerrtes Bild dieser wahren Verteilung über E aufgefasst werden
3 Informationssysteme
7
können. Eine solche Verzerrung kann im diskreten Fall durch eine Markoff-Matrix
(Transformationsmatrix) Q dargestellt werden, die eine Abbildung Q : E S
definiert. Die Einträge q(e, s) geben dann die Wahrscheinlichkeiten an, dass das
Signal s beobachtet wird, wenn der wahre Umweltzustand e ist.
2
Die Matrix erfüllt
dann natürlich die üblichen Eigenschaften einer Markoff-Matrix: q(e, s) 0 für
alle e E und alle s S sowie
s
q(e, s) = 1 für alle e E.
Wir nehmen an, dass dem Entscheider dieser "Mechanismus", der die Verzerrung
der wirklichen Zustände zu beobachtbaren Signalen vornimmt, in Form der Matrix
Q bekannt ist. Mit den nun geschaffenen Voraussetzungen können wir der Idee
von unvollständiger Information einen mathematischen Sinn geben:
Definition 3.
Das Tripel (Q, E, S) heißt Informationssystem mit Zustandsraum E und
Signalraum S. Sofern klar ist, welches E und welches S zugrunde liegen, schreiben
wir nur Q für das Informationssystem.
3.2 Eigenschaften von Informationssystemen
Mit der Definition eines Informationssystems im mathematischen Sinn kommt die
Frage auf, wann ein Informationssystem mehr Information bietet als ein anderes.
Unmittelbar damit zusammen hängt die Frage, wann ein Informationssystem für
den Entscheider mehr Wert hat als ein anderes. Wir definieren dazu zunächst:
Definition 4.
Ein Informationssystem bietet vollständige Information (perfekte In-
formation), falls S = E und
q(e, s) =
1
für s = e
0
sonst
Wir nennen ein solches Informationssystem Q
full
.
Ein Informationssystem bietet keine Information, falls |S| = 1, das heißt wenn zu
jedem möglichen e mit Sicherheit das gleiche Signal s beobachtet wird. Ein solches
Informationssystem, bezeichnet mit Q
null
, ist dann ein Spaltenvektor.
Wir werden im weiteren Verlauf der Arbeit sehen, dass vollständige Information
immer mehr Wert für den Entscheider hat als ein beliebiges anderes Maß an In-
formation und dass jedes beliebige Maß an Information immer mehr Wert hat als
2
Man schreibt daher oft auch q(s|e) statt q(e, s) q gibt die Wahrscheinlichkeit von s unter e an.
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2009
- ISBN (eBook)
- 9783836628150
- DOI
- 10.3239/9783836628150
- Dateigröße
- 392 KB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Universität Bielefeld – Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
- Erscheinungsdatum
- 2009 (April)
- Note
- 2,0
- Schlagworte
- informationssystem informationskonzept blackwell ranking