Volatilitätsprodukte - Eigenschaften, Arten und Bewertung

Inhaltsverzeichnis:

Abkürzungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Variablenverzeichnis

1. Einleitung

2. Volatilitätsbegriffe und ihre Messung
2.1 Historische (realisierte) Volatilität
2.2 Implizite Volatilität
2.2.1 Das Black-Scholes-Merton-Modell
2.2.1.1 Annahmen im BSM-Modell
2.2.1.2 Herleitung der BSM-Optionsformel
2.2.1.2.1 Modellierung des Prozesses für den Preis des Basistitels
2.2.1.2.2 Modellierung des Prozesses für den Preis einer europäischen Kaufoption
2.2.1.2.3 Arbitragefreie Herleitung von BSM-Formel
2.2.1.3 Das Konzept der impliziten Volatilität
2.2.2 Optionssensitivitäten
2.2.2.1 Optionssensitivitäten im BSM-Modell
2.2.2.1.1 Delta
2.2.2.1.2 Gamma
2.2.2.1.3 Theta
2.2.2.1.4 Vega
2.2.2.2 Minor Greeks

3. Eigenschaften der Volatilität
3.1 Volatilitäts-Clustering
3.2 Rückkehr zum Mittelwert
3.3 Negative Korrelation mit Aktien

4. Systematisierung von Volatilitätsprodukten
4.1 Pfadabhängige Strategien mittels Optionen
4.1.1 Delta-Hedging
4.1.2 Volatilitätsstrategien erster Ordnung
4.1.2.1 Einfaches Straddle
4.1.2.2 Zero-Beta-Straddle
4.1.3 Volatilitätsstrategien zweiter Ordnung
4.1.3.1 Schiefehandel mit deltaneutralen Optionen
4.1.3.2 Kurtosishandel mit deltaneutralen Optionen
4.1.4 Beurteilung von Volatilitätsstrategien
4.2 Reine Volatilitätsprodukte
4.2.1 Volatilität-Swap
4.2.2 Varianz-Swap
4.2.3 Beurteilung von reinen Volatilitätsprodukten

5. Bewertung von Varianz-Swaps
5.1 Modell für den Kursprozess
5.2 Alternative Herleitung der Varianz
5.3 Der Log-Kontrakt
5.3.1 Bewertung des Log-Kontraktes in der BSM-Welt
5.3.2 Carr-Madan-Zerlegungsformel
5.3.3 Beurteilung des Log-Kontraktes
5.4 Risikoneutraler Erwartungswert für die Varianz

6. Fazit und Ausblick

7. Anhang
7.1 Itô-Lemma
7.2 Erwartungswert und Varianz der Geometrischen Brownschen Bewegung

Literaturverzeichnis

Erklärung

Abkürzungsverzeichnis:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis:

Abbildung 1: Systematisierung von Volatilitätsbegriffen und -schätzern

Abbildung 2: Exemplarischer Verlauf eines Calls in Abhängigkeit von dem Basiswert und der Restlaufzeit

Abbildung 3: Volatility Smirk am Beispiel von IBM

Abbildung 4: Volatilitätsoberfläche im BSM-Modell

Abbildung 5: Volatilitätsoberfläche in der Realität am Beispiel von DAX

Abbildung 6: Exemplarischer Verlauf von Delta eines Calls

Abbildung 7: Exemplarischer Verlauf von Gamma eines Calls

Abbildung 8: Exemplarischer Verlauf von Theta eines Calls

Abbildung 9: Exemplarischer Verlauf von Vega eines Calls

Abbildung 10: Exemplarischer Verlauf von Vanna eines Calls

Abbildung 11: Exemplarischer Verlauf von Volga eines Calls

Abbildung 12: Korrelogramm der täglichen Renditen von S&P 500 (01.01.2000-31.12.2005)

Abbildung 13: Täglichen Log-Renditen von S&P 500 (01.01.2000-31.12.2005)

Abbildung 14: Korrelogramm der quadrierten täglichen Renditen von S&P 500 (01.01.2000-31.12.2005)

Abbildung 15: VDAX-NEW- und VDAX-Verlauf (01.01.1992-01.03.2008)

Abbildung 16: Forwardkurve der Volatilität

Abbildung 17: Negative Korrelation zwischen VDAX-NEW und DAX (01.01.1995-01.03.2008)

Abbildung 18: Systematisierung von Volatilitätsprodukten

Abbildung 19: Implizite vs. realisierte Volatilität S&P 500 (01.03.1994-01.04.2004)

Abbildung 20: Beispiel für ein Long- bzw. Short-Straddle

Abbildung 21: Entwicklung von Nikkei 225 (01.05.1994-01.05.1995) und Nick Leesons Straddle-Strategie

Abbildung 22: Risk-Reversal-Auszahlungsprofil

Abbildung 23: Pay-Off einer Short-Kurtosis Position mittels eines modifizierten Butterfly-Spread

Abbildung 24: Möglicher Ablauf eines Kurtosis-Trades

Abbildung 25: Zusammenhang zwischen Basispreis und Volatilität

Abbildung 26: Kapitalflüsse zwischen den Kontrahenten eines Volatilität-Swaps

Abbildung 27: Kapitalflüsse zwischen den Kontrahenten eines Varianz-Swaps

Abbildung 28: Varianz-Swap mit adjustiertem Nominalbetrag (blau) vs. Volatilität-Swap (grau)

Abbildung 29: Replikation des Leerverkaufes eines Log-Kontraktes

Tabellenverzeichnis:

Tabelle 1: Fiktive Optionsportfolio im Rahmen von dem modifizierten Vega

Tabelle 2: Korrelation zwischen CSFB/Tremont-Indizes und S&P 500 und Euro Stoxx 50 Rendite und Volatilität

Tabelle 3: Greeks eines Log-Kontraktes

Variablenverzeichnis:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Volatilität (lat. ,,volare“- eilen, fliegen) ist eine Risikokennzahl über die Variabilität von Vermögenspreisen um ihren Mittelwert. Die Idee ein solches statistisches Maß als Basiswert (,,Underlying“) zu verbriefen und darauf anschließend Finanzinstrumente zu emittieren, vermag auf den ersten Blick abstrakt erscheinen. Allerdings werden Derivate- und vor allem Optionsmärkte oft unter dem Namen ,,Volatilitätshandelsplätze“ subsumiert.^[1] Schon seit der Veröffentlichung der bahnbrechenden Arbeiten von Black/Scholes (1973) sowie Merton (1973) über Optionspreisbewertung war der Finanzöffentlichkeit nämlich bekannt, dass durch geschickte Delta-Hedging-Maßnahmen eine Volatilitätsposition eingenommen werden kann, die dem Investor die Möglichkeit eröffnet, von Schwankungen des Basisgutes zu profitieren.^[2] Solche dynamische Absicherungsstrategien sind aber pfadabhängig und räumen kein reines Volatilität-Exposure ein. Genau hier setzen die sogenannten Volatilitätsprodukte der ersten Generation bzw. ihre Vertreter, Volatilität- und Varianz-Swaps an: Sie sind invariant gegenüber Veränderungen des Underlyingkurses und somit ein geeignetes Anlagemedium zur Reduktion von Crash-Risiken bzw. Portfoliobeimischung.^[3] Der Vorteil dieser neuartigen Finanzierungstitel lässt sich auch durch ihren Beitrag zur Marktvervollständigung begründen.^[4] Durch ihre Existenz wird der Zugang zu Zahlungsströmen geschaffen, die ansonsten nicht realisierbar wären. Dass sich die Volatilität erfolgreich den Weg vom Zeichentisch hin zum Handelsparkett eingeebnet hat, ist nicht zuletzt auf ihre attraktiven Eigenschaften zurückzuführen. Zum einen weist die Wurzel aus der Varianz eine stark ausgeprägte negative Korrelation zu Aktienindizes auf, zum anderen kehrt sie zu ihrem langfristigen Mittelwert (,,Mean-Reversion“) zurück. Die Interpretation der ersten Eigenschaft ist relativ plausibel: Eine Aufnahme der Volatilität als Vermögenswert ins Portfolio eines Investors würde eine verbesserte Risikodiversifikation ermöglichen. Die Mean-Reversion sichert darüber hinaus einen Anhaltspunkt, wo die heutige Schwankungsbreite steht und welche Erwartungen bezüglich ihrer künftigen Entwicklung bestehen. Dadurch kommen auch Spekulanten auf ihre Kosten: Sie können auf eine Abweichung von dem Marktkonsens ,,wetten“.

Im Rahmen der vorliegenden Diplomarbeit sollen verschiedene Arten von Volatilitätsprodukten anhand grundlegender Merkmale systematisiert und bewertet werden. Zunächst werden zentrale Konzepte wie „historische Volatilität“ und „implizite Volatilität“ sowie „Optionspreismodelle“ einleitend vorgestellt. Darauf aufbauend sollen im dritten Abschnitt die Eigenschaften von Volatilität thematisiert werden. In Abhängigkeit davon, ob ein Investor an diesen konstitutiven Merkmalen in reiner Form partizipieren kann oder nicht, erfolgt im Kapitel 4 eine Systematisierung und Vorstellung ausgewählter Volatilitätsprodukte, die darauf abzielen, Volatilität handelbar zu machen. Insbesondere die Superiorität von Varianz-Swaps gegenüber herkömmlichen Optionsstrategien und Delta-Hedging wird an dieser Stelle erläutert. Das nachfolgende Kapitel befasst sich schließlich mit Fragen der Bewertung und der Replikation eines Varianz-Swaps und stellt einen intuitiven Brückenschlag zum vorherigen Abschnitt her. Die Arbeit schließt mit einem kurzen Fazit und Ausblick.

2. Volatilitätsbegriffe und ihre Messung

Volatilität ist nicht gleich Volatilität. In der Finanzliteratur hat sich mittlerweile eine Reihe von Begrifflichkeiten herausgebildet, die bedingt durch das verfolgte Ziel näher spezifiziert werden müssen. Grundsätzlich wird zwischen historischer (realisierter) und impliziter Volatilität unterschieden.^[5] Das Problem für einen Anleger endet aber nicht mit der Festlegung der passenden Volatilitätsdefinition. Vielmehr wird er mit der Fragestellung konfrontiert, wie man diese Größe schätzen kann, denn Volatilitätskennzahlen lassen sich auf verschiedene Wege herleiten und bestimmen.^[6] Auch die Beschaffung und die Verarbeitung der ,,richtigen“ Inputdaten erweist sich oft als eine schwierige Angelegenheit.^[7] Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird das Hauptaugenmerk auf den sogenannten Klassiker-Volatilitätsschätzer (historische Volatilität) und auf das wohl bekannteste Optionspreismodell: Black-Scholes-Merton-Modell (BSM-Modell), anhand dessen sich die implizite Volatilität ermitteln lässt, gesetzt.

Abbildung 1 : Systematisierung von Volatilitätsbegriffen und -schätzern

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung

2.1 Historische (realisierte) Volatilität

Eine präzise Analyse der historischen Volatilität erfordert an erster Stelle die Identifikation des zugrunde liegenden Renditenprozesses. Der relative Wertzuwachs einer Anlage lautet im diskreten Fall:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Ausdruck steht in einem engen Zusammenhang mit den kontinuierlichen (zeitstetigen) Renditen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diskret und stetig berechnete Renditen lassen sich ohne großen Aufwand ineinander überführen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Verwendung von (1) oder (2) wird häufig durch das betrachtete ökonomische Modell determiniert.^[8] Aus der Finanzstatistik ist bekannt, dass die Log-Renditen normalverteilt sind. Die zugehörige Dichtefunktion wird allein durch die Parameter μ (Erwartungswert) und σ (Standardabweichung) charakterisiert. Diese Eigenschaft, der eine herausragende Bedeutung in der Kapitalmarkttheorie zukommt, impliziert die Lognormalverteilung des Aktienkurses- eine wichtige Annahme, auf welcher sich das im Abschnitt 2.2 zu präsentierende BSM-Modell stützt. Für längere Beobachtungszeiträume wird die Normalitätsanforderung durchaus bestätigt. Das Gesetz der Großen Zahlen (Lindeberg, 1922) postuliert in diesem Kontext, dass die Summe von N unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen (Renditen) mit finiter Varianz zur Normalverteilung konvergiert, wenn N ausreichend groß ist.^[9]

Nun kann auch das Konzept der historischen Volatilität erläutert werden. Die realisierte Flatterigkeit eines Assets wird als die Standardabweichung der stetigen (diskreten) Vergangenheitspreisnotierungen ermittelt und drückt das Ausmaß historischer Kursschwankungen eines Basiswerts aus:^[10]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Verzichtet man auf die Korrektur um den Mittelwert, erfährt Formel (4) eine Vereinfachung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Einsatz von Gleichung (5) zur Berechnung der realisierten Volatilität ist vor allem dann gerechtfertigt, falls Tagesrenditen betrachtet werden und ein langer Beobachtungszeitraum vorliegt.^[11] Auch die I nternational S waps and D erivatives A ssociation (ISDA) schreibt diese Kalkulationsmethode vor im Rahmen der Festlegung der sogenannten Floating Legs von reinen Volatilitätsprodukten, auf die im Kapitel 4 nochmal zurückzukommen sein.^[12] Da bei der Bewertung von derivativen Instrumenten^[13] in der Regel Standardabweichungen auf jährlicher Basis untersucht werden, müssen die Tagesvolatilitäten mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]multipliziert werden.^[14]

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass trotz der guten theoretischen und empirischen Fundierung das Konzept der historischen Volatilität nur zum Teil für Fragen der Vorausschätzung der künftigen Volatilität geeignet ist.^[15] Sein Vorteil rührt daher, dass es sich allein Daten aus der Vergangenheit zu Nutze macht und eine leichte Umsetzungsmethodik aufweist. Der resultierende Wert dieses klassischen Schätzers impliziert, dass allen Observationen dasselbe Gewicht zugeordnet wird. Gestrige Renditewerte sind z.B. genau so wichtig wie solche vor 100 Tagen. Unter Risikoaspekten ergibt aber vielmehr Sinn, aktuelle Beobachtungen stärker in dem Volatilitätskalkül zu berücksichtigen. Schließlich benötigt man eine Methode, die eine Aussage über die in Zukunft vom Markt erwartete Variabilität des Basisgutes liefert.

2.2 Implizite Volatilität

Im Gegensatz zu der aus historischen Kursen extrahierten Volatilität wird die implizite Standardabweichung aus einem Optionspreismodell anhand sich am Markt ergebender Optionsprämien berechnet. Sie stellt eine Kennzahl über die von den Marktakteuren in der Zukunft erwartete Volatilität dar.^[16] Diese Definition verdeutlicht, dass die Auseinandersetzung mit Konstrukten zur Bewertung von derivativen Kontrakten eine unabdingbare Voraussetzung für die Findung der impliziten Volatilität ist. Das von Fisher Black, Myron Scholes und Robert Merton zur Bestimmung von Optionspreisen entwickelte Modell gilt als eine der größten Errungenschaften in der Finanzwirtschaft. Die Autoren boten zum ersten Mal eine geschlossene Formel zur Bewertung von Optionskontrakten auf dividendenlose Aktien. Der nächste Abschnitt widmet sich diesem Modell und stellt kurz die Verbindung zum Konzept der impliziten Volatilität her.

2.2.1 Das Black-Scholes-Merton-Modell

2.2.1.1 Annahmen im BSM-Modell

Ein Modell ist eine auf gewisse Anforderungen ausgerichtete vereinfachende Approximation der Realität. Inwiefern eine genaue Näherung der Wirklichkeit erreicht werden kann, hängt maßgeblich von den zugrunde gelegten Modellprämissen ab. Es ist daher ein natürlicher Schritt zunächst die Annahmen, auf denen die BSM-Optionsformel beruht, zu betrachten:^[17]

1) Das logarithmierte Verhältnis der Aktienkurse ist normalverteilt. Die Momentvarianz ist konstant.
2) Die Kapitalmärkte sind vollkommen^[18] und Aktien und Optionen werden in kontinuierlicher Art und Weise gehandelt. Die Vollkommenheit der Märkte hat weiterreichende Konsequenzen für die Ermittlung des Preises eines Derivates. Eine unmittelbare Implikation ist die Arbitragenfreiheit und das Gesetz des Einheitspreises: Ist es möglich ein derivatives Finanzinstrument aus bereits existierenden Wertpapieren zu replizieren, so muss der Preis des Derivates dem Preis des Duplikationsportfolios entsprechen, da ansonsten die Erzielung von beliebig hohen Gewinnen möglich wäre.^[19]
3) Optionen sind europäischer Art, d.h. ihre Ausübung ist nur an einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft möglich. Diese bedingten Termingeschäfte gewähren zusätzlich ihrem Inhaber, das Recht, aber nicht die Verpflichtung, eine bestimmte Menge eines Basiswertes zu einem bestimmten Preis zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Der Verkäufer einer Option (Stillhalter, Aussteller) erhält als Gegenleistung für seine Verpflichtung, bei Ausübung der Option durch den Käufer das betreffende Basisobjekt zu dem vereinbarten Preis anzunehmen oder zu liefern, die Optionsprämie.^[20]
4) Während der Laufzeit des Derivates fallen keine Dividendenzahlungen an. Zinsen sind konstant und bekannt.
5) Der Aktienkurs folgt einer Geometrischen Brownschen Bewegung (GBB).

2.2.1.2 Herleitung der BSM-Optionsformel

Es bieten sich grundsätzlich zwei Möglichkeiten, um die BSM-Formel herzuleiten. Zum einen lässt sich der faire Wert eines Derivates in der BSM-Welt allein aus Arbitragenfreiheitsüberlegungen herleiten, zum anderen kann von der sogenannten risikoneutralen Bewertung von Wertpapierpreisen Gebrauch gemacht werden.^[21] Hier wird der erste Weg eingeschlagen.

2.2.1.2.1 Modellierung des Prozesses für den Preis des Basistitels

Das BSM-Optionsbewertungsmodell basiert auf gewissen Verteilungsprämissen für den Preis des Basistitels. Auf diese Weise wird eine bestimmte zeitliche Reihenfolge von Zufallsereignissen vorausgesetzt.^[22] Die Geometrische Brownsche Bewegung bildet ein zentrales Konzept im Rahmen der Modellierung von Vermögenspreisen. Das Hauptmerkmal eines derartigen Diffusionsprozesses ist seine Stetigkeit. Ein Aktienkurs, der durch GBB beschreiben werden kann, weist also keine Sprünge im Zeitablauf auf. Seine Veränderungen sind proportional zur verstrichenen Zeit und genau diese Eigenschaft erlaubt es, den an den Finanzbörsen beobachteten diskreten Kurs als Stichprobe dieses stetigen Prozesses zu erfassen.^[23] Die logarithmierten Renditen dieser Gruppe stochastischer Prozesse sind nicht zuletzt normalverteilt.

Die Geometrische Brownsche Bewegung ist Lösung der folgenden stochastischen Differentialgleichung (SDG):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der erste Summand kann als eine deterministische, der zweite Teil dieser Summe dagegen als eine stochastische Komponente begriffen werden. St bezeichnet den Aktienkurs zum Zeitpunkt t. Das kleine d vor den einzelnen Variablen bringt zum Ausdruck, dass es sich um infinitesimal kleine Veränderungen derselben handelt. Die griechische Buchstabe μ kürzt das mittlere Wachstum des stochastischen Prozesses pro Zeiteinheit ab und wird auch Driftrate genannt.^[24] σ induziert mit welcher Schwankung dieser Drift im Mittel erreicht wird. Je höher Sigma ist, desto größer die Unsicherheit, dass μ realisiert wird. Wt ist ein Wiener Prozess und

ihm können die zufälligen Entwicklungen um dem Driftterm der GBB zugeschreiben werden.^[25]

2.2.1.2.2 Modellierung des Prozesses für den Preis einer europäischen Kaufoption

Der Preis einer Kaufoption Ct wird in erster Linie durch zwei Größen determiniert: Den Kurs des Basiswertes (stochastisch) und die Zeit (deterministisch).^[26] Da die GBB die Markov-Eigenschaft^[27] besitzt, lässt sich schreiben: Ct=C(t,St). Um die Dynamik des Calls dCt bei marginalen Veränderungen der obigen zwei Parameter erfassen zu können, bedient man sich des Lemmas von Itô:^[28]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird zusätzlich berücksichtigt, dass in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]alle dt-bezogenen Terme Null werden und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist, so erhält man:^[29]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.1.2.3 Arbitragefreie Herleitung von BSM-Formel

Die bahnbrechende Idee von Black, Scholes und Merton bestand darin, dass durch die Ausnutzung von Korrelationseffekten zwischen dem Basiswert und dem Derivat sowie ihre gegenseitige Verknüpfung in einem Portfolio, jegliches Risiko eliminiert wird. Um dieses Ergebnis schrittweise zu verdeutlichen, wird (6) in (8) eingesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus Übersichtlichkeitsgründen wird der erste Ausdruck in der Klammer als [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zusammengefasst, die zweite Klammer wird mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abgekürzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird aus Gleichung (10) ersichtlich, dass selbst wenn die Volatilität der Aktie keiner zeitlichen Variation unterliegt, ist die der Kaufoption von St abhängig und wird im Zeitablauf schwanken.^[30] Um dieses Problem zu eliminieren, wird eine Zusammensetzung Π von den folgenden Wertpapieren aufgebaut:^[31]

- Kauf einer Kaufoption Ct
- α Einheiten des Basiswertes St
- β Einheiten einer Nullkuponanleihe Bt

Da die Optionsprämie von der Entwicklung der Aktie positiv abhängt, lässt sich dieser Korrelationseffekt zur Konstruktion eines risikolosen Portfolios ausnutzen: Ist dem Investor bekannt, welche Veränderung der Kaufoptionspreis bei einer infinitesimalen Bewegung des Basiswertes erfahren wird, so lässt sich der Anteil α der (leer-) verkauften Aktien in einer Art und Weise festlegen, dass das Portfolio in jeder Periode kein Risiko (,,Delta Hedging“) aufweist. Durch geschickte Wahl der β Einheiten der Nullkuponanleihe ist zusätzlich eine dynamische selbstfinanzierende Strategie erreichbar: Die Kosten für den Erwerb dieses Portfolios liegen sowohl am Anfang der Positionseröffnung als auch am Ende einer Periode bei Null. Die Änderung des Portfolios über ein marginales Zeitintervall lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bildet man das totale Differential unter Verwendung von Itô´s Lemma, ergibt sich:^[32]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit ein Perfect-Hedge ermöglicht wird, muss jegliches Risiko, das durch den elementaren Wiener Prozess wiedergespiegelt wird, eliminiert werden. Dieser Einfluss lässt sich vollkommen ,,ausschalten“, wenn der Anteil des Basiswertes so gewählt wird:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Portfolio enthält nun keine Stochastizität mehr:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die so erhaltene Zusammensetzung von Wertpapieren ist sowohl risikolos als auch kostenfrei und erzielt unter Abwesenheit von Arbitrage den risikolosen Zinssatz:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Will man diese partielle Differentialgleichung (PDG) lösen, müssen die folgenden Randbedingungen mit ins Kalkül einfließen:

C(ST,T)=max.{ST-K,0} und C{0,T}=0 (17)

Der erste Ausdruck verdeutlicht, dass sich das Auszahlungsprofil (Abbildung 2) einer Call- Option bei Fälligkeit T als Differenz zwischen dem Kurs des Basiswertes in T und dem Ausübungspreis (,,Strike“) K ergibt. Liegt dagegen der Kassapreis unter dem Strike, so verfällt die Option wertlos. Die zweite Auszahlungsfunktion besagt, dass eine Kaufoption bei Aktienkurs von Null keinen Wert besitzt.

Die BSM-Bewertungsformel für einen Call auf eine dividendenlose Aktie lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Φ(x): Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariable

Abbildung 2: Exemplarischer Verlauf eines Calls in Abhängigkeit von dem Basiswert und der Restlaufzeit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung, K=100 GE, T-t=1 Jahr

Dieses Resultat ist bemerkenswert, da die erwartete Wachstumsrate μ für die Herleitung des fairen Preis eines Derivates keiner Bedeutung zukommt. Die BSM-Differentialgleichung (16) ist vollkommen unabhängig von den Risikopräferenzen und es lässt sich vereinfachend die Annahme treffen, dass alle Investoren risikoneutral sind, d.h. ihre Anlageentscheidungen allein an der Höhe der erwarteten Zahlungen ausrichten.^[33]

2.2.1.3 Das Konzept der impliziten Volatilität

Die BSM-Optionsformel in (18) ist offensichtlich eine Funktion von fünf Parametern: (I) Basiswertkurs (S), (II) Strike (K), (III) Zeit bis zur Fälligkeit (T-t), (IV) risikoloser Zinssatz (i), und (V) Volatilität (σ). Der erste und der vierte Faktor können direkt am Markt beobachtet werden, (II) und (III) sind im Optionskontrakt konkretisiert. In der Praxis muss die letzte Einflussgröße geschätzt werden oder man kann unter der Voraussetzung bekannter Optionsprämie durch Umstellung von (18) und Einsatz von nummerischen Verfahren (z.B. die Newton-Raphson-Methode) approximieren. Dieser unbekannte Inputparameter in der BSM-Gleichung wird auch als implizite Volatilität bezeichnet. Sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]der Marktwert einer europäischen Kaufoption mit K>0 und Maturität T am ZeitpunktAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, dann ist die implizite Standardabweichung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als diejenige Volatilität definiert, bei der den theoretischen BSM-Optionspreis gleich dem am Markt beobachteten Preis ist:^[34]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine der wichtigsten Prämissen des Optionspreismodells, die im Abschnitt 2.2.1.1 präsentiert wurden, war eine, unabhängig von den Ausstattungsmerkmalen der Option konstante Volatilität. Es besteht aber eine nicht zu vernachlässigende Diskrepanz zwischen Annahme (1) und der Realität: Die implizite Volatilität variiert mit dem Ausübungspreis. Dieses Phänomen wird Volatility Smile (Volatilitätsschiefe) benannt: Für jede fixierte Restlaufzeit T heißt die Funktion[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der impliziten Volatilität gegen den Ausübungspreis K, K>0, Volatility Smile am ZeitpunktAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[35] An dieser Stelle ist erwähnenswert, dass die Volatilitätsschiefe verschiedene Verläufe einnehmen kann. In manchen Aktienmärkten ist sie U-förmig, d.h., dass im (K<S, ITM) und aus dem Geld (K>S, OTM) liegenden Optionen höhere Schwankungsintensität aufweisen als solche, die am Geld (K=S, ATM) sind. Allerdings hat sich nach dem Börsenkrach 1987 ein fallendes Muster (,,Volatility Smirk“) herauskristallisiert: Das Volatilität-Smirk zeigt, dass weit im (aus dem) Geld liegenden Calls und weit aus (in) dem Geld liegenden Puts mehr (weniger) kosten als theoretisch vom BSM-Modell unterstellt. Dieser empirisch festgestellte Fakt bringt zum Ausdruck, dass Optionsstillhalter einer höheren Wahrscheinlichkeit eines Verlustes aus dem Verkauf von aus dem Geld Puts als aus dem Geld Calls beimessen.

Abbildung 3: Volatility Smirk am Beispiel von IBM

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Berechnung, http://finance.yahoo.com/

Eine weitere Beobachtung über die implizite Volatilität ist ihre Laufzeitabhängigkeit. Für jeden fixierten Basispreis K, K>0, heißt die Funktion[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der impliziten Volatilität gegen die Maturität T, Laufzeitstruktur der Volatilität (,,Volatility Term Structure“) am ZeitpunktAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[36] In Analogie zu der Terminologie, die an den Zinsmärkten angewendet wird, wird die Zeitstruktur der Volatilität als normal (invers) interpretiert, falls die implizite Standardabweichung von Optionen mit längerer Fälligkeit höher (geringer) ist als solche mit kürzerer Maturität.

Durch die Kombination von den beiden obigen Effekten, ergibt sich die dreidimensionale VolatilitätsoberflächeAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Jeder Punkt repräsentiert auf dieser Oberfläche eine Option – spezifiziert durch Laufzeit, Ausübungspreis und implizite Volatilität.^[37] Sie kann auch als eine Momentaufnahme der Stimmung der Marktakteure und ihre Risikowahrnehmung aufgefasst werden und unterliegt einer eigenen zeitlichen Dynamik als Ergebnis des Angebots und der Nachfrage nach Optionskontrakten.^[38] Im Gegensatz zu diesen in der Realität anzutreffenden Beobachtungen schließt das BSM-Modell von vorne rein die Volatilitätsschiefe aus. Händler sind sich aber der Unzulänglichkeiten der Black-Scholes-Welt durchaus bewusst und setzen weitere hochkomplexe Techniken ein, um einen noch ,,genaueren“ Volatilitätswert zu ermitteln. Auf diesem Gebiet sind u.a. das Jump-Diffusion-Modell von Merton (1976) und die stochastischen Volatilitätsmodelle von Heston (1993) und Dupire (1993) zu nennen, die sich in der Praxis einer großen Beliebtheit erfreuen.

Abbildung 4 : Volatilitätsoberfläche im BSM-Modell

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Lyons (2005)

Abbildung 5 : Volatilitätsoberfläche in der Realität am Beispiel von DAX

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Deutsche Börse (2006)

2.2.2 Optionssensitivitäten

Die Optionssensitivitäten (,,Greeks“) sind partielle Ableitung des Optionspreises bezüglich der einzelnen Inputparameter in der BSM-Formel. Jeder dieser Kennzahlen repräsentiert ein anderes Dimensionsrisiko und vermittelt dem Investor den Eindruck, welche Veränderung seinen Optionswert bei einer marginalen Veränderung der preistreibenden Faktoren in dem BSM-Modell erfährt. In der Finanzliteratur werden insbesondere Delta, Gamma, Theta und Vega (Lambda, Kappa) aufgrund ihrer hohen praktischen Relevanz ausführlich diskutiert. Nichtsdestotrotz bedienen sich Investmentbanken und Händler auch die sogenannten ,,Minor Greeks“ oder ,,High Order Greeks“, um die mit Optionskontrakten verbundenen Gefahren noch präziser steuern zu können. Man kann leicht dem Gedanken verfallen, dass aufgrund der Namensgebung diese Erweiterungen der traditionellen Optionskennzahlen vernachlässigt werden können. Eine solche pauschale Wertung ist aber nicht korrekt, da wie im Unterpunkt 2.2.1.3 zum Ausdruck gebracht wurde, ist das BSM-Modell nicht in der Lage, alle in der Realität auftretende Risiken adäquat zu erfassen. Dieser Abschnitt rekapituliert die wichtigsten Greeks und stellt kurz zwei ,,neue“ Sensitivitäten vor, die im weiteren Verlauf dieser Arbeit von Bedeutung sein werden.

2.2.2.1 Optionssensitivitäten im BSM-Modell

2.2.2.1.1 Delta

Delta (Δ) ist definiert als die erste partielle Ableitung des Optionspreises nach dem Basiswert. Es liegt zwischen 0 und 1 für Kaufoptionen und -1 und 0 für Verkaufsoptionen. Bei Optionen, die weit aus dem Geld liegen strebt das Delta gegen Null an. Notiert dagegen die Aktie deutlich über dem Strike, so nähert sich Delta dem Wert 1, ohne diesen zu überschreiten, an.^[39] Diese Zusammenhänge lassen sich durch Abbildung 6 visualisieren. Dabei handelt es sich hier um eine Call-Option mit K=100 GE, 1 Jahr Restlaufzeit bei einer Volatilität von 40% p.a. und eine Verzinsung von 5%.^[40] Befindet sich das Underlying weit unter dem Basispreis z.B. bei 65 GE, reagiert der Preis eines Calls kaum auf Veränderungen des Basiswertes, ganz anders stellt sich die Situation bei S=140 dar: Hier vollzieht das Derivat die Bewegungen des Basisobjektes fast 1:1 nach.^[41] In formaler Darstellung ergibt sich das Delta als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6 : Exemplarischer Verlauf von Delta eines Calls

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung

2.2.2.1.2 Gamma

Gamma (Γ) misst die Veränderung von Delta bei einer infinitesimalen Veränderung des Basiswertes und berechnet sich als die zweite Ableitung der BSM-Formel nach S.^[42] Diese Kennzahl ist identisch sowohl für Calls als auch für Puts:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7 : Exemplarischer Verlauf von Gamma eines Calls

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung

Gamma hat eine enorme Aussagekraft für Optionshändler, denn es gibt einen Aufschluss darüber, wie oft Anpassungen (,,Gamma-Risiko“) im Rahmen von dynamischen Delta-Hedging-Strategien vorgenommen werden müssen.^[43] Wenn Gamma betragsmäßig hoch ist, wird Delta hoch empfindlich auf Bewegungen von S reagieren. Solche Situationen stellen sich vor allem dann ein, wenn Unsicherheit darüber herrscht, ob die Option am letzten Tag im oder aus dem Geld liegen wird bzw. wenn die Option am Geld liegt und nur wenig Zeit bis zur Fälligkeit verbleibt (Abbildung 7).

2.2.2.1.3 Theta

Die Abhängigkeit einer Option von der Restlaufzeit wird Theta (Θ) genannt. Es gibt die Sensitivität des Optionspreises bei Fortschreiten der Zeit um eine Zeiteinheit (1 Tag) an.^[44]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da der Wert einer Option als Summe von Zeitwert und innerem Wert interpretiert werden kann, ist der Zeitverlust am höchsten für ATM-Optionen. Steigt das Underlying über den Ausübungspreis, so nähert sich Theta[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]an und weist einen monoton steigenden Verlauf auf. Liegt dagegen die Option aus dem Geld, so nimmt es zunächst leicht ab und konvergiert zur Fälligkeit hin gegen 0.

Abbildung 8 : Exemplarischer Verlauf von Theta eines Calls

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung

2.2.2.1.4 Vega

Vega (Λ) ist die erste partielle Ableitung der BSM-Formel nach der Volatilitätsrendite des Basiswertes. Die Betrachtung dieses Griechen^[45] ist auf den ersten Blick mit den Prämissen des BSM-Modells nicht konsistent (Verletzung von Annahme 1). Für praktische Fragestellungen ist aber die Auseinandersetzung mit dieser Kennzahl erforderlich. Zum einen steigt mit zunehmender Variabilität der Aktie auch die Wahrscheinlichkeit, dass die Option im Geld liegen wird und schließlich ausgeübt wird. Zum anderen kann Vega als Risikomanagementtool im Rahmen von Optionshandelsstrategien eingesetzt werden, die durch die Sicherstellung einer Deltaneutralität darauf abzielen, allein aus Volatilitätsbewegungen Profite zu schlagen. Vega ist stets positiv und ähnlich wie Gamma symmetrisch für Puts und Calls:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 9 verdeutlicht die Auswirkung von dieser Sensitivität auf eine europäische Option. Erneut muss nach Moneyness verfahren werden: Vega ist für ATM-Optionen deutlich höher als von ITM- und OTM-Optionen.^[46] Optionen mit langer Laufzeit bis zur Fälligkeit sind stärkeren Schwankungen ausgesetzt (hohes Vega) als solche mit kurzer.

Abbildung 9 : Exemplarischer Verlauf von Vega eines Calls

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung

2.2.2.2 Minor Greeks

Unter ,,Minor Greeks“ werden die Ableitungen der Black-Scholes-Merton-Greeks zum einen von den Bewertungsparametern (S, K, T-t, i, σ) verstanden. Vomma und Vanna sind zwei Sensitivitäten, die in den letzten Jahren vor allem in dem Zwischenbankenhandel mit Währungsderivaten eine breite Anerkennung gefunden haben.^[47] Sie lassen sich aber auch im Rahmen von Plain-Vanila-Produkten einsetzen und tragen für die in dem BSM-Modell ignorierte Schiefe und im Zeitablauf instabile Volatilität Rechnung.

Vanna (DDeltaDVol, DVegaDSpot) misst die Änderung des Optionsvegas aufgrund infinitesimal kleiner Änderung des Aktienkurses:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Option mit hohem Vanna wird also im Wert wachsen, wenn die Schiefe steiler (negativer) wird.^[48]

Abbildung 10 : Exemplarischer Verlauf von Vanna eines Calls

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung

Volga oder Volatilitätsgamma (Vomma, DVegaDVol) gibt die Änderung des Optionsvegas infolge infinitesimal kleiner Änderung der impliziten Volatilität an:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man kann hinsichtlich dieser Beziehung schließen, dass das Volga für das Vega das ist, was das Gamma für Delta ist. Eine Option gewinnt unter diesem Aspekt dann, wenn die Volatilität der Volatilität zunimmt.^[49] Wenn der Investor Long- (Short-) Position eröffnet hat, dann würde er ein möglichst hohes (niedriges) Vomma anstreben. Positives DVegaDVol besagt, dass er eine positive Vega-Konvexität besitzt und wird mehr und mehr (weniger und weniger) Gewinn (Verlust) generieren (erleiden) bei einer Volatilitätspunktzunahme (-abnahme).^[50] Volga ist oft von erfahreneren Optionshändlern als Wette auf die Veränderung des Preises der Unsicherheit (Volatilität) in den Optionsmärkten sowie Faktoren, die in der BSM-Welt vernachlässigt werden (z.B. Sprünge), angesehen. Abbildung 11 stellt diese Kennzahl für einen exemplarischen Call vor: ATM-Optionen weisen keine Konvexität auf (Vega ist hier ungefähr konstant bei Schwankungen der Volatilität), OTM- (ITM-) Optionen verhalten sich genau entgegengesetzt und sind sehr reagibel auf Bewegungen der Volatilität der Volatilität. Aufgrund dieser ausgeprägten Konvexität werden OTM- (ITM-) Optionen in höherer Volatilität quotiert als ATM-Optionen (bei Abwesenheit von Schiefe).^[51]

Abbildung 11 : Exemplarischer Verlauf von Volga eines Calls

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung

3. Eigenschaften der Volatilität

Im Kapitel 2 wurde der Begriff der Volatilität definiert und einige Berechnungswege dieser Risikokennzahl vorgestellt. Bevor Volatilitätsderivate und -strategien im Detail betrachtet werden, ist es zweckmäßig die Eigenschaften der Volatilität zu begründen. Ein großer Teil der Vorteilhaftigkeit von solchen Produkten leitet sich unmittelbar aus den Merkmalen der Schwankungsbreite selbst ab. In der Einleitung dieser Arbeit wurde schon darauf hingewiesen, dass die Variabilität von Vermögenspreisen gewisse empirische Charakteristika aufweist. Es wird von stilisierten Fakten der Volatilität gesprochen. Sie bilden statistische Regelmäßigkeiten ab, die nicht überall und zu jeder Zeit genau auftreten, aber wichtige Kennzeichen des untersuchten Phänomens gut zum Ausdruck bringen.^[52] Im Folgenden werden die drei wichtigsten kurz diskutiert und analysiert.

3.1 Volatilitäts-Clustering

Es ist ein gut dokumentierter Fakt,^[53] dass die Renditen von Asset-Preisen in hochorgansierten und liquiden Finanzmärkten keine signifikante zeitliche Korrelation besitzen: Die Autokorrelationsfunktion der Preisveränderungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

nähert sich sehr schnell, sogar innerhalb einigen Minuten (k ≥ 15 Minuten),^[54] Null an. Abbildung 12 veranschaulicht am Beispiel von S&P 500, der die Aktien von 500 der größten, US-amerikanischen Unternehmen abbildet, deutlich diese Zusammenhänge. Alle Autokorrelationswerte sind ungefähr 0 und nicht höher als 0,08 im Betrag. Die Argumente, die gegen die Existenz von Autokorrelation sprechen, sind intuitiv leicht nachvollziehbar: Bestünde eine positive oder negative Relation der Renditen im Zeitablauf, so könnten Vermögenszuwächsen durch das Ausrichten an dem entsprechenden Trend (,,Statistical Arbitrage“) realisiert werden. Die Abwesenheit eines solchen statistischen Musters wird oft als empirische Unterstützung für die Random-Walk-Theorie, bei der die Renditen als unabhängige Zufallsvariablen betrachtet werden, angesehen.^[55] Bereits Bachelier (1900) berichtet in seiner Dissertation, dass Wertpapierpreisen einem Zufallspfad folgen. Basierend darauf hat Fama (1970) seine bahnbrechende Markteffizienzhypothese entwickelt und nachgewiesen, dass wenn sich Märkte im Gleichgewicht befinden, die heutige Rendite der beste Schätzer für die Rendite von morgen ist. Das Nichtvorhandensein von serieller Korrelation impliziert aber nicht die Unabhängigkeit der Zuwächse. Unabhängigkeit bedeutet, dass jede nicht lineare Funktion der Preisen, wie etwa absolute oder quadrierte Renditen, keine Autokorrelation aufweist. Diese Eigenschaft hält aber in dem Fall nicht mehr. Es stellt sich vielmehr eine Persistenz (positive Autokorrelation) ein.^[56] Das Verhalten der Inkremente von Asset-Preisen wird als Volatilitäts-Clustering bezeichnet und es beschreibt ein Zeitmuster, bei dem auf Perioden mit stark (schwach) ausgeprägter Volatilität ebenso Phasen mit höherer (geringerer) Veränderung in der Volatilität folgen (Abbildung 13).^[57] Es kann daher, die Schlussfolgerung gezogen werden, dass Log-Renditen keine Random-Walks, wie im Rahmen der Theorie unterstellt wird, sind.

Abbildung 12 : Korrelogramm der täglichen Renditen von S&P 500 (01.01.2000-31.12.2005)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung/Berechnung in Anlehnung an Rouah/Vainberg (2007), Reuters EcoWin

Abbildung 13 : Täglichen Log-Renditen von S&P 500 (01.01.2000-31.12.2005)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung/Berechnung in Anlehnung an Rouah/Vainberg (2007), Reuters EcoWin

Eine Möglichkeit das Phänomen des Volatilitäts-Clustering zu quantifizieren, bietet die Autokorrelation der quadrierten Renditen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 14 illustriert, dass diese Ausprägung der Autokorellation über Tagen, sogar Wochen positiv bleibt, wobei sie langsam abnimmt.^[58]

Abbildung 14 : Korrelogramm der quadrierten täglichen Renditen von S&P 500 (01.01.2000-31.12.2005)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung/Berechnung in Anlehnung an Rouah/Vainberg (2007), Reuters EcoWin

Das Resultat lässt sich für höhere Potenzen übertragen und verallgemeinern:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch einen Vergleich des Zeitverfalls von ACFη für verschiedene Werte von η, haben Ding/Granger (1994) festgestellt, dass für gegebenes Lag k, die Autokorrelation am höchsten für η=1 ist.^[59] Dieses Ergebnis induziert, dass absolute Renditen einen guten Grad von Vorhersehbarkeit besitzen. Empirische Studien weisen nach, dass die Abnahme von ACFη (k) in k am besten durch ein Potenzgesetz mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und A=0.08 approximiert werden kann:^[60]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Persistenz der Autokorrelation (28) im Zeitablauf wird im Rahmen von ökonometrischen Finanzzeitreihenanalysen auch als Zeichen langfristiger Abhängigkeiten (,,Long-Range Depedence“, ,,Memory Effects“) gleichgesetzt und motiviert die Entwicklung von hochkomplexen stochastischen Modellen.

3.2 Rückkehr zum Mittelwert

Eine Implikation des Volatilitäts-Clustering ist der Rückkehr der Volatilität zu ihrem Mittel- wert (,,Mean Reversion“). Nach Perioden mit hohen und extremen Schwankungen (z.B. Börsencrashs, Bekanntgabe negativer makroökonomischen Daten, Finanzkrisen, etc.) wird sich eine Normalität an den Finanzmärkten einstellen und eine Reduktion der Volatilität bedingen. Diese Eigenheit der Quadratwurzel der Varianz lässt sich einfach durch die Betrachtung von Volatilitätsindizes feststellen. VDAX-NEW^[61] ist ein solcher Index und wird oft von vielen Investoren als Stimmungsbarometer und Angstgradmesser an der Börse wahrgenommen. Er misst die implizite Volatilität von DAX für die nächten 30 Tage und wird aus den Mittelkursen von am Geld und aus dem Geld stehenden Optionen an Eurex ermittelt.^[62] Ein genauer Blick in Abbildung 15 macht deutlich, dass der Index stets in einem Bereich zwischen 10 und 65 Punkte, ohne klaren Trend aufzuweisen, verharrt hat.

Abbildung 15 : VDAX-NEW- und VDAX-Verlauf (01.01.1992-01.03.2008)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung, Reuters EcoWin

Eine andere Möglichkeit den Mean-Reversion-Effekt zu visualisieren, bietet sich aus der Berechnungsmethodik von VDAX-NEW selbst an. Die Deutsche Börse kalkuliert nicht einen einzelnen VDAX-NEW, sondern setzt ihn durch das Aufeinanderlegen von verschiedenen Subindizes mit verschiedener Fälligkeit zusammen.^[63] Jeder dieser Subindizes (insgesamt 8) gibt die erwartete Volatilität bis zu einer bestimmten Maturität wieder. Durch eine Verbindung der einzelnen Subindizes lässt sich ähnlich wie bei Rohstoffen eine Forward-Kurve re-produzieren. Die Aussage dieses Konstrukts ist plausibel: Rechnen die Anleger mit Anstieg (Abnahme) der Volatilität, so verläuft die Kurve ausgehend von einem niedrigen (hohem) Volatilitätsniveau steigend (fallend) und wird sich langfristig einem Mittelwert näheren.

Abbildung 16 : Forwardkurve der Volatilität

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Goldman Sachs (2007)

3.3 Negative Korrelation mit Aktien

Der Aktienkurs hat einen asymmetrischen Verlauf zur seinen Volatilität (,,Leverage-Effekt“). Dieser stilisierte Fakt der Schwankungsbreite wurde zum ersten Mal von Black (1976) und Christie (1982) dokumentiert, auch wenn bereits in der Arbeit von Modigliani/Miller (1958) implizit beschrieben wird. Er geht auf den Umstand zurück, dass die Variabilität des Unternehmenswertes für unterschiedliche Einflüsse auf den Wert des Eigen- bzw. Fremdkapitals verantwortlich ist. Es ist wohl bekannt, dass die Aktionäre von den erwirtschafteten Zahlungsströmen zunächst ihren Verpflichtungen nachkommen müssen und vorrangig die Fremdkapitalgeber bedienen müssen. Allerdings haben Obligationäre nur einen fixen Anspruch und können an darüber hinausgehenden Cash-Flows nicht partizipieren. Aufgrund dieser Tatsache werden Veränderungen des Unternehmenswertes vor allem durch den Wert des Eigenkapitals aufgefasst. Dieser Effekt ist umso stärker ausgeprägt, je höher der Verschuldungsgrad (,,Leverage“) der Unternehmung ist. Man kann sich dieses Phänomen anhand eines Beispiels vor Augen führen:^[64] Werden konstante Schulden im Zeitablauf unterstellt und erfährt der Unternehmenswert einen Zuwachs, wird die Eigenkapitalrendite höher sein als die Gesamtkapitalrendite. Diese Situation bedingt, dass die Schwankungsintensität eines Beteiligungstitels stärker ausfallen wird als diejenige des gesamten Unternehmenswertes. Eine negative (positive) Aktienrendite ist mit einer Reduktion (Anstieg) des Eigenkapitalwertes und einer Erhöhung (Rückgang) des Fremdfinanzierungsgrades verbunden: Die Volatilität der Aktie wird eine Zunahme (Abnahme) erfahren.

Abbildung 17: Negative Korrelation zwischen VDAX-NEW und DAX (01.01.1995-01.03.2008)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Abbildung, Reuters EcoWin

Die Asymmetrie zwischen Volatilität und Aktienkurs kann aber auch auf andere Wegen erklärt werden. Pindyck (1984), French et al. (1987) und Bekaert/Wu (2000) führen dieses Phänomen neben dem Leverage-Effekt auf eine zeitvariierende Risikoprämie zurück. Sie sprechen von Volatility-Feedback-Hypothese und zeigen, dass Änderungen der Volatilität die Aktienrendite beeinflussen.^[65] Laut dieser Theorie zieht eine Volatilitätszunahme eine höhere geforderte Rendite mit sich. Dies wiederum hat zur Folge, dass der Aktienkurs fällt. Bekaert/Wu (2000) stützen sich in ihrer Untersuchung auf dem (bedingten) CAPM-Modell, das eine positive Beziehung zwischen Risiko und Rendite herstellt: Bei schlechten Nachrichten oder negativen Schocks muss der Investor für die gestiegene Marktvolatilität durch eine angemessene erwartete Rendite entschädigt werden. Der Kursrückgang wird so lange andauern, bis eine ausreichend hohe Renditekompensation erreicht wird.^[66] Nichtsdestotrotz führt die Aktienpreisabnahme zu einer Marktverschuldung und noch größerer Volatilität. Folglich bestehet eine Interaktion zwischen Leverage- und Volatility-Feedback-Effekt, wobei der Leverage-Effekt eine verstärkende Auswirkung auf den Volatility-Feedback-Effekt hat. Wenn gute Nachrichten dagegen auf den Markt kommen, steigt erneut die Volatilität, so dass die Aktienkurse wiederum sinken (Volatility-Feedback-Effekt). Der anfängliche Preisanstieg (positiver Schock) wird zum Teil gedämpft. Allerdings hat die ursprüngliche Markt-Rallye die Verschuldung (Leverage-Effekt) reduziert und auf diese Weise eine Volatilitätsabschwächung hervorgerufen. Daher ist die gesamte Volatilitätsbewegung in dem Fall nicht eindeutig.

[...]

^[1] Vgl. Shu/Zhang (2004), S. 83.

^[2] Vgl. Krügel (2007), S. 128 ff., Bossu et al. (2005), S. 11 ff.

^[3] Einen Überblick über verschiedene Einsatzmöglichkeiten von Volatilitätsprodukten bieten Grant et al. (2007), Krügel (2007), S. 126 ff. und Mougeot (2005), S. 19 ff.

^[4] Vgl. Breuer (1998), S. 3.

^[5] Auch weitere feinere Unterscheidungen sind nicht unüblich. Siehe genauer Derman et al. (1998), S. 4 ff.

^[6] Siehe z.B. Shu/Zhang (2004), S. 85 ff., Duque/Paxson (1997).

^[7] Vgl. Breuer et al. (2004), S. 240 ff.

^[8] Vgl. Henne/Reichling (2007), S. 331., Aas (2004), S. 2.

^[9] Vgl. Breuer et al. (2004), S. 242 ff.

^[10] Vgl. Rudolph/Schäfer (2005), S. 265.

^[11] Im Kapitel 3 wird empirisch begründet, wieso eine Mittlererendite von Null Sinn ergibt.

^[12] Siehe ISDA (2004).

^[13] Volatilitätsprodukte erfüllen die Definition eines Derivates, das ihr Auszahlungsprofil von der Entwicklung des Underlying (hier: Volatilität) abhängt.

^[14] Vgl. OeNB (1999), S. 27. Man spricht hier auch von Wurzel-Zeit-Gesetz.

^[15] Siehe Hull (2006), S. 352.

^[16] Vgl. Hull (2006), S. 367., Rudolph/Schäfer (2005), S. 266.

^[17] Vgl. Hull (2006), S. 346 ff., Rudolph/Schäfer (2005), S. 244.

^[18] Vollkommene Märkte besitzen drei Kerncharakteristika: Abwesenheit von Informations- und Transaktionskosten, Mengenanpasser- und Rationalverhalten der Marktteilnehmer. Siehe Breuer (2000), S. 29 ff.

^[19] Siehe genauer Krügel (2007), S. 34 ff.

^[20] Vgl. Breuer (2000), S. 168 ff.

^[21] Siehe Hull (2006), S. 706 ff., Rudolph/Schäfer (2005), S. 316-320.

^[22] Vgl. Kruschwitz/Stefanova (2007), S. 82., Rudolph/Schäfer (2005), S. 320.

^[23] Vgl. Krügel (2007), S. 46.

^[24] Vgl. Hull (2006), S. 330 ff.

^[25] In Hull (2006), S. 330 ff. können weitere Eigenschaften des Wiener Prozesses und seine Verbindung zu Random-Walks nachgeschlagen werden.

^[26] Die Ergebnisse dieses Abschnittes sind für beliebige Arten von Derivaten übertragbar, sofern ihre Preise allein eine Funktion der Zeit und des Kurses des Underlying sind.

^[27] Ein Markov-Prozess ist ein stochastischer Prozess, bei welchem nur der heutige Wert einer Variablen für die Prognose ihrer zukünftigen Entwicklung von Relevanz ist. Vgl. Hull (2006), S. 326.

^[28] Siehe Anhang über das Lemma von Itô.

^[29] Siehe Krügel (2007), S. 279.

^[30] Vgl. Krügel (2007), S. 280., Rebonato (2004), S. 33.

^[31] Siehe Krügel (2007), S. 280., Rudolph/Schäfer (2005), S. 325 ff., Bergmann (1985).

^[32] Beachte: dBt=iBtdt.

^[33] Vgl. Hull (2006), S. 360.

^[34] Vgl. Hafner (2004), S. 56.

^[35] Vgl. Ebenda.

^[36] Vgl. Krügel (2007), S. 25., Hafner (2004), S. 57.

^[37] Rosslenbroich/Ledencan (2005), S. 28.

^[38] Vgl. Cont (2002), S. 46 ff.

^[39] Ausnahmen davon sind möglich. Lässt man Nettofinanzierungskosten („Cost of Carry“) b mit b>i zu und liegt die Option tief im Geld, kann durchaus einen Wert höher 1 resultieren. Vgl. Haug (2007), S. 28.

^[40] Diese Werte werden für alle weiteren Griechen beibehalten.

^[41] Vgl. Goldman Sachs (2003), S. 3 ff.

^[42] Vgl. Rudolph/Schäfer (2005), S. 279.

^[43] Siehe Hull (2006), S. 433-436.

^[44] Vgl. Ebenda.

^[45] Auch wenn Vega kein griechischer Buchstabe ist, wird er den Griechen zugeordnet.

^[46] Vgl. Rudolph/Schäfer (2005), S. 288.

^[47] Vgl. Webb (1999).

^[48] Vgl. Krügel (2007), S. 70.

^[49] Vgl. Haug (2007), S. 58., Vgl. Krügel (2007), S. 71.

^[50] Vgl. Haug (2007) S. 58., Savery (2000).

^[51] Siehe genauer Savery (2000). Optionen werden oft in impliziten Volatilitäten statt in Preisen quotiert.

^[52] Vgl. Goldman Sachs (2007), S 14ff., Cont (2001), S. 224., Engle/Patton (2001), S. 238.

^[53] Vgl. z.B. Franke et al. (2004), S. 147 ff., Cont (2001), S. 229.

^[54] Vgl. Cont et al. (1997).

^[55] Der Prozess in (6) verkörpert z.B. ein Log-Random-Walk.

^[56] Cont (2001), S. 230.

^[57] Mandelbrot (1963) hat als erster dieses Merkmal der Volatilität dokumentiert.

^[58] Man spricht auch von ARCH-Effekt. Vgl. Cont (2001), S. 230.

^[59] Vgl. Ebenda.

^[60] Vgl. Ebenda, Cont et al. (1997), S. 7.

^[61] VDAX (Abbildung 15) wird anhand einer anderen Kalkulationsmethode berechnet. Die Unterschiede mit VDAX-NEW sind aber nicht gravierend.

^[62] Vgl. Deutsche Börse (2007), Goldman Sachs (2005).

^[63] Vgl. Ebenda.

^[64] Figlewski/Wang (2000), S. 6-7.

^[65] Bekaert/Wu (2000), S. 2. Bei Leverage-Effekt ist die Kausalität genau umgekehrt.

^[66] Ebenda, S. 7.