Volatilitätsderivate

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

I. Einleitung

II. Theoretische Grundlagen
II.1. Volatilität
II.1.1. Definition
II.1.2. Arten von Volatilität
II.1.3. Zukünftige Volatilität
II.1.4. Historische Volatilität
II.1.5. Implizite Volatilität
II.1.6. Derivate
II.1.7. Optionen
II.1.8. Futures
II.1.9. Forwards
II.2. Volatilität in der Optionsbewertung
II.3. Optionspreismodell mit konstanter Volatilität
II.3.1. Prämissen
II.3.2. Risikoneutrale Bewertung
II.3.3. Bestimmung der impliziten Volatilität
II.3.4. Schwächen des Modells
II.4. Optionspreismodell mit lokaler Volatilität
II.4.1. Bestimmung der lokalen Volatilität
II.4.2. Schwächen des Modells
II.5. Optionspreismodell mit stochastischer Volatilität
II.5.1. Risikoneutrale Bewertung
II.5.2. Schätzung der Volatilität
II.5.3. Schwächen des Modells
II.6. Volatilitätsrisiko

III. Gestaltung derivativer Instrumente auf Basis eines Volatilitätsindex
III.1. Darstellung eines Volatilitätsindex am Beispiel des VIX
III.1.1. Allgemein
III.1.2. Berechnung
III.1.3. Eigenschaften des VIX
III.1.4. Kritik
III.2. Volatilitätsstrategien
III.2.1. Short Straddle
III.2.2. Short Strangle
III.2.3. Ratio Call Spread
III.3. Volatilität-Swaps
III.4. Volatilitätsoptionen
III.5. Volatilitätsfutures am Beispiel des VIX Future
III.5.1. Verhältnis des VIX Future zum VIX
III.5.2. Gestaltung des VIX Futures
III.5.3. Schlussabrechnungspreis

IV. Bewertung von Derivaten auf Volatilität
IV.1. Bestimmung des Fair Value des VIX Futures
IV.1.1. Datengrundlage
IV.1.2. Berechnung der Forwardvarianz
IV.1.3. Berechnung der Konvexitätsadjustierung
IV.1.4. Bestimmung des Fair Values
IV.1.5. Bewertung des VIX Futures mit simulierten Marktpreisen anhand des Black-Scholes Modells
IV.1.6. Bewertung des VIX Futures mit simulierten Marktpreisen anhand des Local-Volatility Modells
IV.1.7. Bewertung des VIX Futures mit simulierten Marktpreisen anhand des Heston Modells
IV.1.8. Interpretation der Ergebnisse
IV.2. Bewertungsansätze für Volatilitätsoptionen

V. Anwendungsmöglichkeiten derivativer Instrumente auf Volatilität
V.1. Hedging
V.2. Spekulation
V.3. Arbitrage

VI. Schlussbetrachtung

Anhang A

Anhang B

Anhang C

Anhang D

Anhang E

Anhang F

Anhang G

Anhang H

Anhang I

Anhang J

Literaturverzeichnis

Eidesstattliche Erklärung

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Auszahlungsprofil eines Long Calls (a) und Puts (b)

Abbildung 2: Auszahlungsprofil eines Long (a) und Short Futures (b)

Abbildung 3: Volatility Smile

Abbildung 4: Knoten eines Trinomialbaums

Abbildung 5: Verhältnis des VIX zum SPX

Abbildung 6: Auszahlungsprofil eines Short Straddles

Abbildung 7: Auszahlungsprofil eines Short Strangles

Abbildung 8: Auszahlungsprofil eines 1:2 Ratio Call Spreads

Abbildung 9: Verlauf des VIX Futures gegenüber dem VIX

Abbildung 10: Risiko einer falschen Verteilungsannahme

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Kontrakspezifikation des VIX Futures

Tabelle 2: Renditen aus dem bedingungslosen Verkauf von Straddles

Tabelle 3: Renditen aus dem begrenzten Verkauf von Straddles

Tabelle 4: Arbitragestrategie falls der Preis des VIX Futures > Zeitwert der Optionsserien

Tabelle 5: Arbitragestrategie falls der Preis des VIX Futures < Zeitwert der Optionsserien

Tabelle C: Zusammenfassung des Einflusses der Sensitivitätskennzahlen

Tabelle E.1: Optionspreise der nächsten und übernächsten Laufzeit

Tabelle E.2: Ausgewählte Optionen

Tabelle F: Historische LIBOR Zinssätze

Tabelle G: Berechnung der historischen Varianz des VIX Futures

Tabelle H: Berechnung der historischen Varianz des VIX

Tabelle I: Berechnung der Forwardvolatilität

Tabelle J: Vergleich der Forwardvolatilitäten

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

I. Einleitung

Volatilität als die Kennzahl für das Ausmaß der Schwankungsintensität von Kursen an Finanzmärkten erfährt in den letzten Jahren eine immer größere Beachtung. Dies begründet sich hauptsächlich dadurch, dass sich Derivate, also Finanzinstrumente, deren Wert sich vom Kurs eines Basiswerts ableiten, zunehmender Beliebtheit erfreuen und auch die Volatilität selbst immer häufiger als Anlageklasse entdeckt wird. So machen beispielsweise Hedgefonds, die über die letzten Jahre einen starken Zuwachs an Anlegergeldern verzeichnen konnten, verstärkt Gebrauch von Derivaten. Durch die Einführung von Volatilitätsindizes und das Angebot börsennotierter Derivate auf diese Indizes erschließt sich diese Anlageklasse nun auch den privaten Anlegern. Die Volatilität ist ein wesentlicher Bestandteil eines jeden Preisberechnungsmodells und deshalb von großer Bedeutung. Veränderungen der Erwartungen, die zukünftige Volatilität betreffend, können großen Einfluss auf den Optionswert haben. Auch die Art und Weise wie diese geschätzt wird ist bedeutend für den Preis eines Derivats. Schon kleine Veränderungen der Volatilität haben oft große Auswirkungen, so trifft dies auch auf den Preis eines im Rahmen dieser Arbeit detaillierter betrachteten Derivats auf Volatilität zu. Der Begriff Volatilität wird dieser Tage zwar häufig verwendet, jedoch ist deren Definition nicht immer ganz eindeutig. Von allen Inputfaktoren bei der Optionsbewertung ist die Volatilität der am schwersten zu verstehende. Gleichzeitig spielt Volatilität oft, die wichtigste Rolle in tatsächlichen Handelssituationen.

Die Arbeit stellt verschiedene Preisberechnungsmodelle, die die Grundlage zur Bewertung von Derivaten bilden, dar und zeigt wie sich diese Verfahren anhand eines konkreten Volatilitätsderivats unterscheiden. Es werden die, den verschiedenen Derivaten zugrunde liegenden, theoretischen Konzepte präsentiert und die, dem Anleger zur Verfügung stehenden, Anwendungsbereiche gezeigt.

Der Hauptteil der Arbeit ist in vier Kapitel unterteilt. Im ersten Teil werden die theoretischen Grundlagen, auf denen die nachfolgenden Kapitel aufbauen, gelegt. Während zuerst auf die verschiedenen Volatilitätsbegriffe und Derivate im Allgemeinen eingegangen wird, wird anschließend, durch Darstellung verschiedener Optionspreismodelle die Bedeutung der Volatilität in der Optionspreistheorie verdeutlicht und zudem weitere Eigenschaften der Volatilität aufgezeigt. Die Modelle, die sich durch ihre Annahmen die Volatilität betreffend unterscheiden und den Schwerpunkt dieses Kapitels darstellen, werden detailliert vorgestellt und deren Schwächen herausgearbeitet. Angefangen beim Black-Scholes Modell, das noch von konstanter Volatilität ausgeht, und aufgrund seiner großen Bedeutung für die Finanzwelt besonders ausgiebig behandelt wird, werden des Weiteren alternative Modelle vorgestellt. Hierbei wird das, auf diesen ersten Ansatz aufbauende, weiterentwickelte Local-Volatility Modell betrachet, das der Volatilität erlaubt sich im Zeitablauf zu ändern. Zuletzt wird das Heston Modell, bei dem die Volatilität einem stochastischen Prozess folgt, beschrieben. Im diesem Zusammenhang soll zudem erläutert werden, wie sich aus den einzelnen Modellen die Volatilität ableiten lässt. Im Anschluss daran wird das mit der Volatilität verbundene Risiko dargestellt, welches sich durch die Kennzahl Vega, das die Sensitivität des Optionspreises hinsichtlich einer Veränderung der Volatilität abbildet, messen lässt.

Im zweiten Teil wird ein Volatilitätsindex, der ein beliebtes Maß für die zukünftig erwartete Volatilität und die Basis von Volatilitätsderivaten darstellt, vorgestellt und dessen Konstruktion nach verfolgt. Auf den Index aufbauend werden verschiedene Ausgestaltungen von Derivaten auf Volatilität behandelt, also Produkte und Strategien, die den Handel mit der Volatilität erlauben sollen. Hierbei werden die am weitesten verbreiteten Strategien näher betrachtet und nach Festlegung der Eigenschaften die diese aufweisen sollten, konkrete Optionsstrategien formuliert. Im Rahmen dieses Abschnitts steht besonders der Volatilitätsindex und der mit ihm verbundene Volatilitätsfuture im Vordergrund, da an dessen Beispiel im dritten Teil gezeigt wird, wie sich dieser mit den vorgestellten Modellen bewerten lässt.

Im dritten Teil, der den Schwerpunkt dieser Arbeit darstellt, erfolgt die Bewertung der Derivate im Hinblick auf ihre spätere praktische Anwendung. Dabei wird ersichtlich inwieweit sich die im zweiten Teil vorgestellten Derivate in ihrer Bewertung von konventionelleren Derivaten unterscheiden. Nach Darstellung des Ansatzes, der von der den Future veröffentlichenden Börse vorgeschlagen wird, werden die Optionspreise mit den beschrieben Modellen simuliert, wobei die Annahmen zur Volatilität Schritt um Schritt erweitert werden. Daran anschließend werden die Ergebnisse dieser Berechnungen interpretiert. Auch die Bewertung von Volatilitätsoptionen wird durch einen Überblick über die in der Literatur vertretenen Ansätze gezeigt.

Abschließend wird, aufbauend auf die vorangegangenen Kapitel, an jeweils einem Beispiel, geklärt welche verschiedenen Einsatzmöglichkeiten der vorgestellten Derivate möglich sind. Dabei sollen drei Kategorien unterschieden werden: Hedging, Spekulation und Arbitrage. Es wird gezeigt, wie ein Investor sich durch Hedging gegen eine im Rahmen des VaR Konzeptes falsch geschätzte Volatilität absichern kann. Daran anschließend wird dargestellt wie Händler gezielt auf Volatilitätsänderungen spekulieren können. Des Weiteren wird eine Möglichkeit der Arbitrage im Rahmen der Volatilitätsderivate aufgezeigt. Dabei lassen sich risikolose Gewinne durch das Ausnutzen von Fehlbewertungen durch Duplikationsportfolios identifizieren und realisieren.

II. Theoretische Grundlagen

II.1. Volatilität

Im folgenden Abschnitt wird definiert was unter Volatilität zu verstehen ist und welche Arten von Volatilität generell unterschieden werden. Auf deren Eigenschaften und weiter diversifizierte Arten der Volatilität wird im Rahmen der Optionspreismodelle näher eingegangen.

II.1.1. Definition

Unter Volatilität wird meist die Standardabweichung der Rendite eines Assets, wie etwa Zinsen, Aktienrenditen, Wechselkurse oder Rohstoffpreise, über einen bestimmten Zeitraum verstanden. Das Gesamtrisiko eines Assets während dieses Zeitraums wird nach Steiner/Bruns (2000) üblicherweise durch die Volatilität abgebildet.^[1] Sie ist ein Maß für beispielsweise die Schwankungsintensität eines Aktienkurses, die in der Optionspreistheorie im Allgemeinen zur besseren Vergleichbarkeit als die annualisierte Standardabweichung der Tagesrenditen dargestellt wird. Die Standardabweichung, die aus der Varianz errechnet wird, wiederum beschreibt die mittlere Abweichung der Tagesrendite von der durchschnittlichen Tagesrendite. Hierbei sind sowohl negative als auch positive Schwankungen um den Mittelwert miteinbezogen. Je höher diese Schwankungen ausfallen umso volatiler und somit riskanter, aber gleichzeitig auch chancenreicher ist eine Investition.

Historische Volatilität ist die Volatilität eines Assets basierend auf dessen historischen Renditen. Dieser Ausdruck wird besonders dann verwendet, wenn man zwischen der aktuellen Volatilität eines Assets in der Vergangenheit und der momentanen, vom Markt implizierten Volatilität unterscheiden möchte. Eine genaue Abgrenzung der beiden Ausdrücke erfolgt im folgenden Abschnitt.

II.1.2. Arten von Volatilität

Die Einordnung der verschiedenen Volatilitätsarten stellt laut Roth (1999) die Grundlage für die Erklärung der Volatilitätsrisiken dar und ist somit ein wesentlicher Ausgangspunkt zur Gestaltung von Volatilitätsderivaten. Im Finanzbereich werden zukünftige, historische und implizite Volatilität unterschieden. Die Arten von Volatilitäten lassen sich abgrenzen nach dem Zeitraum auf den sie sich beziehen und/oder der unterschiedlichen Art und Weise wie sie ermittelt werden.

II.1.3. Zukünftige Volatilität

In der Praxis ist die zukünftige Volatilität von großem Interesse. Sie bestimmt laut Dartsch (1999) den theoretischen Optionspreis zum Bewertungszeitpunkt und ist in der Lage die zukünftige Verteilung von Aktienkursen zu beschreiben. Sie muss jedoch, wie in Natenberg (1994) beschrieben, geschätzt oder mit Hilfe eines möglichst exakten Näherungswertes ermittelt werden, da davon ausgegangen werden muss, dass die richtige zukünftige Volatilität nicht bekannt ist. Hierbei bedient man sich generell der historischen oder impliziten Volatilität.

II.1.4. Historische Volatilität

Die historische, auch realisierte Volatilität genannt, wird basierend auf Renditen der Vergangenheit berechnet und als Kennzahl für einen bestimmten Zeitraum angegeben. Sie entspricht der Standardabweichung eines Assets für diesen Zeitraum. Herangezogen wird die historische Volatilität laut Kirmße (1996) als Ansatzpunkt zur Schätzung der zukünftigen Preisschwankungen bzw. zur Prognose der aktuellen Volatilität. Auch in Value-at-Risk Modellen zur Messung von Marktpreisrisiken findet die historische Volatilität Anwendung.

Im folgenden Abschnitt werden als Basiswerte Aktienrenditen verwendet. Laut Hill (1990) definiert sich die historische Volatilität als die Standardabweichung der Rendite. Die Standardabweichung σ entspricht der Quadratwurzel der Varianz, welche sich aus den quadrierten Abweichungen der Rendite im i-ten Zeitintervall Ri vom Mittelwert der Rendite Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten im betrachteten Zeitraum ableiten lässt. Die Volatilität ergibt sich somit für eine Anzahl von Beobachtungen n als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Viele Volatilitätsderivate basieren auf der Volatilität von Tagesrenditen. Da der Erwartungswert von Tagesrenditen relativ klein ist, wird in diesen Kontrakten die historische Volatilität auch häufig folgendermaßen definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Renditen Ri können entweder diskret oder kontinuierlich berechnet werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei Si dem Aktienkurs des i-ten Zeitintervalls entspricht.

Die annualisierte Volatilität ergibt sich durch die Multiplikation der Standardabweichung mit der Quadratwurzel aus der Anzahl der Berechnungszeiträume T. Im Fall von Tagesrenditen entspricht T der Anzahl von Handelstagen eines Jahres^[2], die im Allgemeinen mit 252 angegeben werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da Vergangenheitswerte jedoch keine sichere Aussage über die zukünftige Entwicklung geben, wird in Berechnungen wenn möglich auf die implizite Volatilität zurückgegriffen.

II.1.5. Implizite Volatilität

Im Gegensatz zur historischen Volatilität basiert die implizite Volatilität nicht auf historischen Daten sondern wird aus den Marktpreisen von Optionen auf ein bestimmtes Asset abgeleitet. Zu ihrer Ermittlung wird davon ausgegangen, dass der Preis für Optionen dem so genannten Fair Value, dem hypothetischen Marktpreis unter idealisierten Bedingungen, entspricht. Mit Hilfe eines theoretischen Preisberechnungsmodells kann so aus den aktuellen Optionspreisen die implizite Volatilität eines Assets errechnet werden. Doch auch die implizite Volatilität stellt keine Prognose für die zukünftige Volatilitätsentwicklung dar, sondern gibt nur an, welche Volatilität der Markt bei gegebenen Optionspreis bestimmenden Parametern erwartet. Auf die genaue Herleitung wird in Abschnitt 3.2 noch näher eingegangen.

Christensen und Hansen (2002) behaupteten, die implizite Volatilität sei der vom Markt erwartete Wert der zukünftigen Volatilität. Dies trifft jedoch nur eingeschränkt zu, da der Wert der impliziten Volatilität noch anderen Einflüssen unterliegt.

II.1.6. Derivate

Wie in Hull (2006) beschrieben sind Derivate gegenseitige Verträge deren Wert sich aus den Werten anderer grundlegender Variablen abgeleiten lässt. Solche Variablen, im Folgenden Underlying genannt, können Aktien, Anleihen, Indizes, Rohstoffe, andere Derivate, aber auch nicht-ökonomische Größen wie etwa Energie oder Versicherungen sein. In die Kategorie der Finanzderivate fallen Optionen, Termingeschäfte und Swaps. Zu den bedeutendsten Börsen für den Handel mit diesen Derivaten gehören die European Exchange (EUREX), die englische International Financial Futures Exchange (Liffe), die amerikanischen Chicago Board of Trade (CBoT) und Chicago Mercantile Exchange (CME). Im folgenden Abschnitt werden nun mit Terminkontrakten und Optionen zwei einfache Arten von Derivaten vorgestellt. Da Swapgeschäfte im Rahmen dieser Arbeit nur nebensächlich behandelt werden findet sich eine kurze Darstellung zu Volatilitätsswaps in Kapitel III, eine ausführliche Behandlung von allgemeinen Swapgeschäften erfolgt bei Steiner/Bruns (2000) und Hull (2006).

II.1.7. Optionen

Nach Steiner/Bruns (2000) ist eine Option ein bedingtes Termingeschäft, da ein Vertragspartner das Recht, aber nicht die Verpflichtung hat, ein bestimmtes Underlying, zu einem späteren Zeitpunkt (der Fälligkeit), zu einem vorher vereinbarten Preis (dem Basispreis), zu kaufen oder zu verkaufen. Die Gegenpartei, auch Stillhalter genannt, ist dagegen von der Entscheidung von diesem Recht Gebrauch zu machen abhängig. Bei Ausübung ist der Stillhalter verpflichtet, das Underlying zum vorher vereinbarten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Dafür erhält er den Kaufpreis der Option, die Optionsprämie. Der Käufer nimmt eine so genannte Long Position ein, der Verkäufer die Short Position.

Standardoptionen, so genannte Plain Vanilla Optionen, sind Verkaufsoptionen (Put) und Kaufoptionen (Call), wobei je nach Ausübungszeitpunkt, zwischen amerikanischer und europäischer Art unterschieden wird. Eine europäische Option darf nur zum Laufzeitende ausgeübt werden, eine amerikanische dagegen jederzeit. Im Folgenden wird bei Optionen davon ausgegangen, dass es sich, soweit nicht anders beschrieben, um den europäischen Typ handelt und somit das Problem einer vorzeitigen Ausübung umgangen.

Die Auszahlungsfunktion einer Long Position in eine Call Option C und einer Long Position in eine Put Option P auf ein dividendenloses^[3] Underlying gestaltet sich folgendermaßen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei entspricht ST dem Kurs des Underlyings zur Fälligkeit T und K dem Basispreis. Das zugehörige asymmetrische Auszahlungsprofil dieser Optionen ist in folgender Abbildung dargestellt.

Abbildung 1: Auszahlungsprofil eines Long Calls (a) und Puts (b)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: In Anlehnung an Hull (2006)

Eine Option wird nur dann ausgeübt wenn ihr innerer Wert, also die Differenz der beiden Größen ST und K, jeweils größer als Null ist. Je nachdem ob sich die Ausübung der Option lohnt, unterscheidet man in Optionen im Geld, am Geld und aus dem Geld. Eine Option ist am Geld (at the money (ATM)), wenn der Marktpreis des Basiswertes gleich oder nahezu gleich dem Basispreis ist. Vergleicht man den Basispreis dabei mit dem Kassakurs, so spricht man vom ATM-Punkt. Eine Option die sich lohnt, also einen innerem Wert besitzt, bezeichnet man als im Geld (in the money (ITM)). Dies trifft auf eine Call Option zu, deren Basispreis unterhalb des ATM-Punktes liegt, während eine Put Option im Geld ist, wenn deren Basispreis oberhalb des ATM-Punktes liegt. Genau das Gegenteil gilt für Optionen aus dem Geld (out of the money (OTM)), sie besitzen keinen inneren Wert.

Um jederzeit den Wert einer Option ermitteln zu können, was einen geregelten Handel gewährleistet, ist es nötig, dass ihr Underlying an liquiden Märkten gehandelt wird. Grundsätzlich ist es aber auch möglich das Underlying individuell zu gestalten. Diese Arten von Transaktionen werden dann aber nicht über eine Börse abgewickelt, sondern von zugelassenen Händlern im außerbörslichen Handel (over the counter (OTC)) angeboten.

Zur Bewertung von Optionen gibt es eine Vielzahl von Optionspreismodellen. Auf die wichtigsten Modelle wird in Abschnitt 3 dieses Kapitels näher eingegangen.

II.1.8. Futures

Ein Futures-Kontrakt ist ein standardisierter, also von einer Terminbörse eindeutig definierter Vertrag, ein Underlying zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft zu einem vorher vereinbarten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Eine detaillierte Darstellung von Futures-Geschäften findet sich auch bei Hull (2006) oder Steiner/Bruns (2000). Im Gegensatz zu Optionen tragen Käufer wie auch Verkäufer die gleichen Rechte und Pflichten. So müssen am Tag der Fälligkeit beide Parteien den Vertrag erfüllen. Dies kann entweder durch Lieferung des Underlying oder durch Barabwicklung geschehen. Da die Betrachtung des Futures-Handels auf physische Güter im Rahmen dieser Arbeit nicht relevant ist, wird im Folgenden davon ausgegangen, dass es sich beim Underlying stets um Finanzgüter handelt. Ein weiterer Unterschied zu Optionen besteht darin, dass für den Abschluss eines Futures keine Kosten in Form einer Prämie anfallen, jedoch müssen beide Vertragsparteien eine Vorauszahlung als Sicherheitsleistung, auch Initial Margin genannt, auf ein Margin Konto einzahlen. Sie beträgt allerdings nur wenige Prozentpunkte des Kontraktwertes und kann im Falle auftretender hoher Volatilität des Basiswerts jederzeit von der Terminbörse nach oben oder unten korrigiert werden. Im Rahmen des täglichen Mark-to-Market werden am Ende eines jeden Handelstages dem Konto des Anlegers Verluste oder Gewinne zugewiesen, diesen Zahlungsausgleich bezeichnet man als Settlement. Alle Transaktionen, sowie die Endabrechnung, erfolgen über eine der Börse angegliederte Clearingstelle. Der Wert des Kontraktes zur Schlussabrechnung setzt sich aus dem Kassakurs des Underlying und den Bestandhaltungskosten (Cost of Carry) zusammen. Diese beinhalten bei ertraglosen Finanzgütern, wie einer dividendenlosen Aktie, ausschließlich den Zins r. Der Preis eines Futures F0 mit Laufzeit T auf ein solches Finanzgut S0 gestaltet sich folgendermaßen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sei Ft der Wert einer Long-Position in einen Futures-Kontrakt zum Zeitpunkt t und K der Basispreis, so ergibt sich der Wert des Futures zum Zeitpunkt des Abschlusses als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da K, vertraglich bestimmt, über die gesamt Laufzeit konstant bleibt, F0 sich aber mit dem Wert des Underlying und veränderter Restlaufzeit t-T ändert, kann Ft einen positiven oder negativen Wert annehmen. Abbildung 2 zeigt das symmetrische Auszahlungsprofil eines Futures-Kontraktes.

Abbildung 2: Auszahlungsprofil eines Long (a) und Short Futures (b)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: In Anlehnung an Hull (2006)

Die wenigsten Futures-Kontrakte führen jedoch zur Lieferung, sondern werden noch vor dem Erfüllungszeitpunkt durch ein Gegengeschäft „glattgestellt“, der Inhaber einer Long Position erwirbt eine Short Position und umgekehrt. Dabei entspricht die Differenz zwischen den Preisen der beiden Kontrakte dem Spekulationsgewinn oder -verlust.

II.1.9. Forwards

Ein Forward-Kontrakt unterscheidet sich nur gering von dem eines Futures, weshalb hier nur auf die wesentlichen Unterschiede hingewiesen wird. Eine ausführlichere Darstellung dieser Art von Derivaten findet sich bei Hull (2006).

Forward-Kontrakte werden ausschließlich außerbörslich OTC gehandelt, da es sich hierbei nicht um standardisierte Verträge mit einheitlichen Lieferbedingungen handelt. Die Abrechnung erfolgt gewöhnlich erst zum Laufzeitende, so dass kein tägliches Mark-to-market erfolgt. Des Weiteren erfolgt zum Verfall meist tatsächlich die Lieferung des Underlying oder eine bare Abrechnung. In Hull (2006) erfolgt der Beweis, dass Forward- und Futures-Kurse bei gleichem Lieferdatum und konstantem risikolosem Zinssatz übereinstimmen. In der Realität ändern sich Zinssätze zwar unvorhersehbar, doch fallen die sich daraus ergebenden Kursunterschiede bei nur wenigen Monaten Laufzeit laut Hull (2006) meist vernachlässigbar gering aus, für längere Laufzeiten trifft dies allerdings nicht mehr zu. Da im Rahmen dieser Arbeit ausschließlich Laufzeiten von unter einem Jahr betrachtet werden, kann die Notation F für Forwards analog verwendet werden.

II.2. Volatilität in der Optionsbewertung

Es gibt eine Vielzahl von Optionspreismodellen, die sich bezüglich ihrer Annahmen, die Volatilität des Underlyings einer Option betreffend, unterscheiden lassen. So geht das Black-Scholes Modell von einer konstanten Volatilität des Underlying während der Laufzeit aus. Dessen Annahmen werden in den Local-Volatility Modellen von Dupire (1994), Derman und Kani (1994), Rubinstein (1994) sowie Derman et al. (1996) noch weitgehend aufrechterhalten, jedoch ist die Volatilität hier nun abhängig von Zeit und Kurs des Underlyings. Bei Modellen mit stochastischer Volatilität wie denen von Bollerslev (1986), Hull und White (1987), Stein und Stein (1991), Heston (1993) sowie Heston und Nandi (1997) folgen sowohl der Kurs des Underlying als auch dessen Volatilität einem stochastischen Prozess. Des Weiteren existieren Optionspreismodelle mit Jump-Diffusion, wie beispielsweise das von Merton (1976), bei dem nicht von einem kontinuierlichen Verlauf des Underlying und der Volatilität ausgegangen wird, sondern Sprünge auftreten können. Auch Kombinationen der vorab genannten Modelle wurden entwickelt. So kombinierten Bates (1996) Jump-Diffusion und Alexander und Noguiera (2004) Local-Volatility mit einem stochastischen Modell. Im folgenden Abschnitt wird ein Überblick über die wichtigsten drei Optionspreismodelle mit ihren Annahmen zur Volatilität des Underlying der Option anhand jeweils eines Vertreters gegeben und der Weg zur Ermittlung der Volatilität einer Option aus diesen Modellen erklärt. An die jeweiligen Darstellungen anschließend werden die Schwächen mit besonderem Fokus auf die Annahmen zur Volatilität herausgearbeitet. Aufgrund seiner besonderen Bedeutung für die Optionspreistheorie und seiner Verbreitung in der Finanzwelt wird das Black-Scholes Modell hier ausführlicher als die anderen Modelle behandelt.

II.3. Optionspreismodell mit konstanter Volatilität

Anfang 1973 gelang es Black und Scholes (1973) und Merton (1973) ein Modell zur Bepreisung von Optionen zu entwickeln, das als Meilenstein in die Finanzwirtschaft einging. Das heutzutage in der Praxis am weitesten verbreitete Verfahren zur Bewertung von Optionen baut auf den zwei fast gleichzeitig veröffentlichten Artikeln auf, für die Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton 1997 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet wurden.

Über die bereits genannten Originalquellen hinaus findet in Steiner/Bruns (2000) Fanke et al. (2001), und Hull (2006) eine ausführliche Darstellung statt.

II.3.1. Prämissen

Ausgangspunkt bei Verfahren zur Bewertung von Optionen sind Annahmen zur Entwicklung der Aktienkurse, also der Basiswerte, im Zeitablauf. Das Black-Scholes Modell geht von Aktien aus, deren Renditen normalverteilt sind. Dies bedeutet, dass der Aktienkurs einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt, wogegen die Volatilität während der Laufzeit konstant bleibt. Es wird zudem angenommen, dass die Renditen zweier sich nicht überschneidender Perioden dabei voneinander unabhängig sind. Bei diskreter Betrachtung über die Laufzeit Δt sind die Bestandteile der relativen Kursveränderung die Driftrate μ, die der in diesem Zeitraum durchschnittlich erwarteten Rendite entspricht, und eine normalverteilte Komponente mit Volatilität σ. Die Standardabweichung der Rendite entspricht σAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Für die Annahme des Black-Scholes Modells gilt somit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei ΔS die Veränderung des Aktienkurses S im Zeitablauf Δt darstellt.

Dem kontinuierlichen Zeitablauf der Aktienkurse entsprechend, wird die Aktienkursrendite dargestellt als geometrische Brownsche Bewegung, die sich als Lösung durch eine stochastische Differentialgleichung ergibt. Der Aktienkurs folgt also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei beschreibt der Begriff dW einen Wiener Prozess^[4] mit einem Mittelwert von 0 und identischer Varianz wie dt.

Die so beschriebene Aktienkursentwicklung bildet die Basis der Bewertung von Optionen. Formt man Gleichung II.11 mit dem Lemma von Itō (1951) um, so wird der logarithmierte Aktienkurs in eine Normalverteilung überführt und ermöglicht in einem späteren Schritt die Bepreisung von Optionen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus obiger Gleichung in Verbindung mit den Eigenschaften der Normalverteilung kann nun die Änderung des logarithmierten Kurses ln S zwischen den Zeitpunkten Null und T abgelesen werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ST entspricht dem Aktienkurs im zukünftigen Zeitpunkt T und S0 dem aktuellen Kurs. ø(m,s) stellt eine Normalverteilung mit Mittelwert m und Standardabweichung s dar.

Zur Bewertung von Optionen legten Black und Scholes (1973) und Merton (1973) allerdings noch zusätzlich weitere Prämissen fest:

- Der Kurs der zugrunde liegenden Aktie ist lognormalverteilt mit konstantem μ und σ.

- Es existiert ein vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt auf dem keine Transaktionskosten oder Steuern anfallen und alle Wertpapiere beliebig teilbar sind.
- Es werden Aktien betrachtet, die während ihrer Laufzeit keine Dividenden zahlen.
- Es gibt keine risikofreien Arbitragemöglichkeiten.
- Der Handel erfolgt ununterbrochen.
- Es existiert ein konstanter Zinssatz, zu dem jederzeit beliebig Geld geliehen und angelegt werden kann.

II.3.2. Risikoneutrale Bewertung

Bei der Bepreisung von Derivaten steht eine wesentliche Eigenschaft der Black-Scholes Differentialgleichung im Mittelpunkt. Da in dieser Gleichung keine Variable enthalten ist, die von den Risikopräferenzen des Anlegers abhängt, wird vereinfachend davon ausgegangen, dass alle Investoren risikoneutral sind. Dies ist eine fundamentale Erkenntnis, da in einer risikoneutralen Welt die erwartete Rendite auf alle Wertpapiere dem risikolosen Zinssatz r entspricht und dieser Zinssatz zudem der adäquate Diskontierungsfaktor für beliebige Auszahlungen des Derivats ist. Wendet man dies auf das Rückzahlungsprofil der in Abschnitt 2.1 beschriebenen Call und Put Option an, stellt sich die Bewertung folgendermaßen dar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wobei E dem Erwartungswert in der risikoneutralen Welt entspricht. Unter Einbeziehung obiger Gleichungen erhält man die Black-Scholes Bewertungsformel für Call C und Put P Optionen im Zeitpunkt Null:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier entspricht S0 Aktienkurs, K dem Basispreis, σ der Volatilität, T der Restlaufzeit, r dem risikolosen Zins und die Funktion N (.) der Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung.

[...]

^[1] Ausfall- und Erfüllungsrisiken werden hier vernachlässigt.

^[2] Die Verwendung von Handelstagen statt Kalendertagen wird durch empirische Studien von Fama (1965), French (1980) sowie French und Roll (1986) gestützt.

^[3] Im Rahmen dieser Arbeit werden Dividendenzahlungen vernachlässigt. Die Auszahlungsfunktion eines Underlyings, auf das Dividende gezahlt wird, findet sich bei Steiner/Bruns (2000) oder Hull (2006).

^[4] Eine ausführliche Darstellung und Herleitung des Wiener Prozesses findet sich bei Franke et. al. (2001)