Methoden zur Integration von Gewichtsrestriktionen bei Anwendung der Data Envelopment Analysis

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundidee der DEA und Gewichtsrestriktionen
2.1 Grundidee der DEA
2.2 DEA-Basismodelle
2.2.1 Formale Darstellung und Interpretation des CCR-Modells
2.2.2 Formale Darstellung und Interpretation des BCC-Modells
2.3 Interpretation der Gewichte
2.4 Gründe für Gewichtrestriktionen

3 Methoden zur Integration von Gewichtrestriktionen
3.1 Absolute Gewichtrestriktionen
3.1.1 Formale Darstellung und Interpretation
3.1.2 Beispiel aus der Praxis von Dyson/Thanassoulis (1988)
3.1.3 Kritische Würdigung
3.2 Assurance Region Typ I
3.2.1 Formale Darstellung und Interpretation
3.2.2 Beispiel aus der Praxis
3.2.3 Kritische Würdigung
3.3 Assurance Region Typ II
3.3.1 Formale Darstellung und Interpretation
3.3.2 Beispiel aus der Praxis
3.3.3 Kritische Würdigung
3.4 Einschränkung der virtuellen Aufwände und Erträge
3.4.1 Formale Darstellung und Interpretation
3.4.2 Beispiel aus der Praxis und kritische Würdigung

4 Festlegung der Bandbreite für Gewichte
4.1 Nutzung der Informationen außerhalb der Modelle
4.2 Nutzung der Informationen aus dem uneingeschränktem Modell
4.3 Erweiterte Methoden zur Festlegung der Bandbreite für virtulle Faktoren
4.3.1 Individuelle Restriktionen für virtuelle Faktoren
4.3.2 AR-I Modelle mit individuellen Restriktionen für virtuelle Faktoren

5 Zusammenfassung und Ausblick

6 Anhang

7 Literaturverzeichnis

8 Versicherung

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 2.1:Effizienzmaß in DEA

Abbildung 2.2: Referenzeinheiten beim BCC-Modellen

Abbildung 2.3: Skalenerträge

Abbildung 3.1: Grafische Darstellung der absoluten Gewichtsrestriktionen.

Abbildung 3.2: Veränderung des Ranges von Vergleichseinheiten bei unterschiedlichen unteren Schranken für Faktorgewichte

Abbildung 3.3: Gewichtsverteilung der Gewichte für PROM

Abbildung 3.4: Gewichtsverteilung der Gewichte für WMA

Abbildung 3.5: Grafische Darstellung der Aaaurance Region I Restriktionen

Abbildung 3.6: Änderung der virtuellen Faktoren bei der Variation von Unterschranken für PROM

Abbildung 3.7: Effizienzprofile der Vergleichseinheiten bei der Schrankenvariation

Tabellenverzeichnis

Tabelle 2.1: Klassifikation der DEA-Basismodelle

Tabelle 3.1: Normalisierte Ertragdaten.

Tabelle 3.2: Beispieldatensatz für AR-Modelle

Tabelle 3.3: Unter- und Obergrenze für Gewichte der Aufwände und Erträge

Tabelle 3.4: Untere und obere Schranken für Faktorgewichte

Tabelle 4.1: Bewertung der unterschiedlichen Publikationstypen

Tabelle 4.2: Einteilungsbedingungen für Aufwände.

Tabelle 4.3: Einteilungsbedingungen für Erträge

Tabelle 4.4: Verteilung der Gewichte

Tabelle 4.5: Unterschranken für virtuelle Aufwände nach Gruppen

Tabelle 4.6: Unterschranken für virtuelle Erträge nach Gruppen

Tabelle 6.1: Aufwands- und Ertragsarten unterschiedlicher Hochschulen

Tabelle 6.2: Ergebnisse des aufwandorientierten CCR-Modells

Tabelle 6.3: Ergebnisse des aufwandsorientierten Modells mit der unteren Schranke von 4%

Tabelle 6.4: Ergebnisse des aufwandsorientierten Modells mit der unteren Schranke von 5%

Tabelle 6.5: Ergebnisse des aufwandsorientierten Modells mit der oberen Schranke von 45%

Tabelle 6.6: Ergebnisse des aufwandsorientierten Modells mit der oberen Schranke von 46%

Tabelle 6.7: MPR- und mPR-Werte eines Beispiels aus Taylor et al. (1997) (Artikel) und eigene Berechnung (eigen)

Tabelle 6.8: Ergebnisse des CCR-Modells mit Restriktionen für virtuelle Faktoren aus der Tabelle 4.5 und Tabelle 4.6

Tabelle 6.9: Minimale und maximale virtuelle Faktoren nach Gruppen.

Tabelle 6.10: Unter- und Obergrenzen für Relation der virtuellen Aufwände und Erträge.

Tabelle 6.11: Ergebnisse des CCR-Modells mit Restriktionen aus der Tabelle 6.10

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Die Entwicklung eines geeigneten Instruments zur Beurteilung von Leistungseinheiten ist eine der Aufgaben der wirtschaftswissenschaftlichen Forschung. Eine ausschließliche Konzentration auf monetäre Aspekte reicht nicht aus, um Leistungseinheiten bezüglich der Effizienz der Prozesse zu vergleichen. Darüber hinaus ist die monetäre Information nicht immer vorhanden oder nur mit nicht vertretbarem Aufwand zu gewinnen, z.B. in nichtkommerziellen Einrichtungen wie z.B. Bildung, Gesundheitswesen, Armee, Stadtverwaltung, Polizei und Justiz^[1]. Aus diesem Grund muss dann die Effizienzmessung nach nicht-monetären Kriterien erfolgen, die zudem unterschiedliche Dimensionen aufweisen.

Die Effizienzmessung kann dann mit nichtparametrischen Ansätzen durchgeführt werden. Die Data Envelopment Analysis (DEA) gehört zu den nichtparametrischen Ansätzen. Sie wird für die Messung der relativen Effizienzen innerhalb einer Referenzgruppe herangezogen. Dabei wird die Beurteilung zu einem Maß, dem Effizienzmaß, zusammengefaßt. Die Faktoren müssen dann gewichtet werden, weil sie unterschiedliche Dimensionen aufweisen. Die Besonderheit der DEA ist, dass der Entscheider die Gewichte nicht vorab bestimmen muss. Sie werden von dem Modell selbst bestimmt. Die Gewichte werden dabei während der Bestimmung frei variiert.^[2] Die Freiheit der Gewichte führt dazu, dass sie unter Umständen extreme Ausprägungen annehmen können, die nicht auf die Realität übertragbar sind. Dieses Problem kann aber gelöst werden, indem die Freiheit der Gewichte Restriktionen unterworfen wird. Dafür wurden in der Literatur unterschiedliche Ansätze vorgeschlagen.

Das Ziel der Arbeit ist die kritische Analyse der Methoden zur Integration der Gewichtsrestriktionen in die DEA-Basismodelle. Gegenstand der Arbeit sind dabei folgende Fragen:

- Aus welchen Gründen müssen Gewichtsrestriktionen in die DEA-Basismodelle einbezogen werden?
- Mit welchen Ansätzen können Gewichtsrestriktionen in die DEA-Basismodelle implementiert werden, und wie zweckmäßig sind die einzelnen Ansätze?
- Welche Möglichkeiten gibt es zur Festlegung der Schranken für Gewichte?

Um die Fragen zu beantworten, wird einführend im Kapitel 2 die Grundidee der DEA vorgestellt und die Natur der Gewichte erklärt. Somit wird die Basis zum besseren Verständnis der Probleme geschaffen, die zum Abschluss von Kapitel 2 vorgestellt werden.

In Kapitel 3 werden drei grundlegende Methoden zur Gewichtsrestriktion dargestellt. Diese sind die absoluten Gewichtsrestriktionen, die Assurance Region Methoden und die Restriktionen der virtuellen Faktoren. Die Modelle werden sowohl formal dargestellt als auch anhand jeweils eines Beispiels aus der Praxis erklärt. Die kritische Analyse der Modelle schließt die Darstellung der Modelle jeweils ab.

Die Möglichkeiten der Festlegung von Gewichtsschranken werden in Kapitel 4 behandelt. Dabei wird zwischen zwei grundlegenden Typen der Bestimmung der Schranken unterschieden. Der erste Typ stützt sich auf Informationen, die außerhalb der Modelle stammen. Bei dem anderen wird die Schranke im Gegenteil auf der Basis der endogenen Informationen aus den uneingeschränkten Modellen festgelegt. Die Methoden werden präsentiert und kritisch beurteilt. Abschließend wird eine mögliche Modifikation der existierenden Ansätze diskutiert.

Abschließend werden im Kapitel 5 die Ergebnisse der Arbeit zusammengefasst und ein Ausblick vorgenommen.

2 Grundidee der DEA und Gewichtsrestriktionen

Eine ausführliche Darstellung der Grundlagen der DEA bildet nicht die Schwerpunkte dieser Arbeit. Für einführendes Verständnis werden die Leser auf die ausführlichen Lehrbücher z.B. von Cooper/Seiford/Tone^[3] verwiesen. Im deutschsprachigen Raum können unter anderem die Dissertationen von Allen (2002), Gilles (2005) oder Gutierrez (2005)^[4] für grundlegende Informationen über die DEA herangezogen werden. Im ersten Abschnitt dieses Kapitels wird die Grundidee der DEA kurz dargestellt. Anschließend werden im Abschnitt 2 DEA-Basismodelle präsentiert und erläutert. Schließlich werden im dritten Abschnitt Probleme der freien Gewichtung in den Basismodellen verständlich aufgezeigt und die Notwendigkeit der Einführung von Restriktionen diskutiert.

2.1 Grundidee der DEA

DEA ist ein Instrument zur Messung der relativen Effizienzen von Vergleichseinheiten innerhalb einer Referenzgruppe Gruppe. Dieser Ansatz wurde schon im 1978 von Charnes/Cooper/Rhodes (1978)^[5] vorgestellt. Populär ist die Methodik erst nach der Veröffentlichung von Charnes/Copper (1985)^[6] geworden, wo der Begriff Data Envelopment Analysis geprägt wurde. Die Idee der Messung mittels DEA ist mehrere Prozessfaktoren^[7] und deren Verhältnisse zu einem Effizienzmaß zusammenzufassen um die Aussagen über Effizienz der Prozesse treffen zu können. DEA gehört zu den nichtparametrischen Ansätzen und wird meist zur Effizienzmessung bei unbekannten Produktionsfunktionen oder bei fehlenden Marktpreisen für Faktoren herangezogen. Allgemein stellt Effizienzmaß in klassischen DEA-Modellen das Verhältnis der gewichteten Aufwände und Erträge dar. Dabei wird DEA durch die Besonderheit gekennzeichnet, dass die Gewichte nicht von Entscheidern oder von einer Gruppe vorab festgelegt, sondern objektiv von den DEA-Modellen vergeben werden.

Um die Idee zu greifbarer zu machen, wird ein einfaches Beispiel in der Abbildung 2.1 mit einem Aufwand und einem Ertrag eingeführt. Das Effizienzmaß wird dann als Verhältnis zwischen Ertrag zum Aufwand definiert. Somit ist Vergleichseinheit 4 effizient, weil sie den maximalen Ertrag pro Aufwandeinheit erzeugt. Bei der Annahme konstanter Skalenerträge wird eine mögliche Produktionstechnik mit der Aufwandsachse und der Gerade durch Koordinatenursprung und Vergleichseinheit 4 abgegrenzt. Alle Einheiten, die auf der zuletzt genannten Gerade liegen, gelten als effizient, weil sie genau so wie Vergleichseinheit 4 das maximale Ertrag-Aufwandverhältnis haben. Die relative Effizienz^[8] der übrigen Vergleichseinheiten in der Technik^[9] T wird durch das Verhältnis der Distanz von der Ertragsachse bis zum effizienten Rand zur Distanz von der Ertragsachse bis zur Vergleichseinheit ausgedruckt. Beispielsweise für Vergleichseinheit 5 beträgt relative Effizienz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Somit beträgt für diese Vergleichseinheit das Verbesserungspotenzial von 20%.^[10]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1:Effizienzmaß in DEA

Im zweidimensionalen Beispiel stellt die Effizienzmessung keine besonders schwierige Aufgabe dar, weil Dominanz und relative Effizienz im paarweisen Vergleich bestimmt werden können. Mit steigender Anzahl der Produktionsfaktoren entsteht die Notwendigkeit, die Wichtigkeit der einzelnen Faktoren zu definieren, z.B. durch die Einführung der Gewichte. Dann kann das Effizienzmaß durch Verhältnis des gewichteten aggregierten Ertrags Y zu dem gewichteten aggregiertem Aufwand X formal ausgedruckt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei μj der Gewichtungsfaktor für Ertrag j mit Mengen yj darstellt und νi der Gewichtungsfaktor für Aufwand i mit Mengen xi ist. Die Grundidee der DEA liegt in der Wahl der optimalen Aufwands- und Ertragsgewichte. Dabei wird für jede Vergleichseinheit und jeden Produktionsfaktor ein jeweils eigenes Gewicht so vergeben, dass zu bewertende Vergleichseinheit in das beste Licht gerückt wird^[11]. Somit muss der Entscheider keine Gewichte subjektiv vorab festlegen. Die werden vom DEA-Modell bestimmt. Die Idee wird in (2.2) widerspiegelt. Bei diesem Maximierungsproblem muss relative Effizienz der zur bewerteten Vergleichseinheit 0 durch die Variation der Faktorgewichte maximiert werden. Die anderen Vergleichseinheiten dürfen dabei mit dem Ansatz von Faktorgewichten von Vergleichseinheit 0 relative Effizienz von maximal 1 haben. Gelingt es der Vergleichseinheit 0 Effizienzmaß im Wert von 1 zu erreichen ist sie dann effizient. Gelingt es ihr nicht, dann steht der Zielfunktionswert für das Maß der Ineffizienz der Vergleichseinheit 0.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2 DEA-Basismodelle

Als DEA-Basismodelle werden CCR-Modelle^[12] mit konstanten Skalenerträgen und BCC-Modelle^[13] mit variablen Skalenerträgen bezeichnet, wobei mit der Variabilität oft nicht beliebige Variation gemeint ist, sondern nicht zunehmende Skalenerträge. Es gibt z.B. Modelle, die Skalenerträge in nicht zunehmende und nicht abnehmende unterscheiden.^[14] Ferner unterscheiden sich Basismodelle in ihrer Orientierung. Bei den aufwandsorientierten Modellen geht es um den minimal möglichen Einsatz von Aufwand zur Ertragserzeugung. Das entspricht dem Minimalprinzip, nach dem ein bestimmtes vorgegebenes Ziel unter dem Einsatz geringstmöglicher Mittel erreicht werden soll. Ertragsorientierung strebt dagegen größtmöglicher Erfolg, der mit den vorgegebenen Mittel erreicht werden soll, an. Ein Überblick für relevante klassische DEA-Modelle liefert Tabelle 2.1.^[15] Im Folgenden werden nur aufwandsorientierte Modelle präsentiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2.1: Klassifikation der DEA-Basismodelle^[16]

2.2.1 Formale Darstellung und Interpretation des CCR-Modells

In (2.2) dargestelltes Quotientenproblem ist nichtlinear und kann mit Methoden der linearen Programmierung nicht gelöst werden. Um die Methoden der linearen Programmierung auf dieses Problem anwenden zu können, eine Normierung der im Nenner stehenden gewichteten Aufwandsumme X0 notwendig. Nach der Charnes/Cooper-Umformung^[17] wird das Problem in ein lineares überführt.

Die dargestellte Form wird in der Literatur als Multiplier Modell bezeichnet^[18]. Bei diesem Modell wird der gewichtet Ertrag der Vergleichseinheit 0 mittels Variation von Gewichtsfaktoren solange maximiert, bis Differenz zwischen gewichtetem Ertrag und Aufwand für alle Einheiten kleine oder gleich als eins ist. Wobei Aufwand und Ertrag für alle Vergleichseinheiten mit Gewichten von Vergleichseinheit 0 versehen werden. So wird gewährleistet, dass Vergleichseinheit nicht schlechter als andere gestellt wird. Gelingt es einer Vergleichseinheit der Maß Y0 von eins zu erreichen, dann gilt diese als effizient im Sinne DEA.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da jedes lineares Problem eine duale Darstellung zulässt, kann oben genanntes Problem umgeformt werden^[19]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Form wird in der Literatur als Envelopmentmodell bezeichnet. Mit diesem Quotientproblem wird zum Ausdruck gebracht, dass Vergleichseinheit 0 mindestens so viel Ertrag wie Referenzeinheit ρ beim höchstens so großen Aufwandeinsatz erzeugen muss um effizient zu sein. In diesem Fall ist der Zielfunktionswert θ0 gleich Eins. Als Referenzeinheiten werden diejenigen mit höchsten Skalenerträgen herangezogen. Je kleiner θ0 ist, desto mehr muss Aufwand der Vergleichseinheit 0 herabgesetzt werden um effizient zu sein. Das Term λρ druckt aus, mit welchem Anteil ein Referenzeinheit herangezogen wird. Effizienzmaß im Modell mit konstanten Skalenerträgen wird oft in Literatur als technische Effizienz bezeichnet^[20].

Im einfachen Beispiel aus dem Kapitel 2.1 berechnet sich Effizienz der Vergleichseinheit 5 als Verhältnis zwischen der Distanz von 5’ bis zur Ertragsachse zur Distanz von 5 bis zur Ertragsachse und beträgt 0,75. In einem aufwandsorientiertem Modell bedeutet das, dass Vergleichseinheit 5 muss sein Aufwandeinsatz um 25% reduzieren um effizient zu sein. Virtuelle Vergleichseinheit 5’ stellt Referenzeinheit ρ für Vergleichseinheit 5 dar. Vergleichseinheit 5’ ist eine 1,25 fache Vergrößerung von der Vergleichseinheit 4 bei gleich bleibender höchsten Produktivität.

Oft haben Vergleichseinheiten unterschiedliche Umweltbedingungen, was der Annahme der konstanten Skalenerträge widerspricht. In diesem Fall ist ein Modell notwendig, das die ungleichen Umweltbedingungen berücksichtigen kann. Im nachfolgenden Kapitel wird ein solches Modell vorgestellt. das unter Annahme der variablen Skalenerträgen berechnet wird.

2.2.2 Formale Darstellung und Interpretation des BCC-Modells

Im Unterschied zu den CCR-Modellen, unterstellen die BCC-Modele variable Skalenerträge. In diesen Modelen hängt die Effizienz von der Orientierung ab, d.h. ertrag- und aufwandorientierte Effizienzmasse sind unterschiedlich.^[21] Formale Unterschiede zwischen zwei Modellen werden durch zusätzliche Nebenbedingung eingeführt, dass die Summe der Anteile der Benchmarks gleich Eins ist. Das entspricht dem Nebenbedingungen, dass Vergleichseinheiten unterschiedliche Umweltbedingungen haben können und müssen daher nur mit gleich großen verglichen werden.

Formal kann Envelopment BCC-Model folgendermaßen darstellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Unterschied zwischen BCC- und CCR-Modellen in Envelopmentform werden in der Abbildung 2.2 aufgezeigt. Für Vergleichseinheit 5 stellt jetzt die Referenzeinheit 5’’ ein Benchmark. Das bedeutet, dass Vergleichseinheit 5 genau so wenig Aufwand einsetzen und genau so viel Ertrag wie Referenzeinheit 5’’ erzeugen muss um effizient zu sein. Bei BCC-Modell liegt die Referenzeinheit 5’’ auf der Strecke zwischen 4 und 6und hat 4 Einheiten des Aufwandes. Dies deutet darauf hin, dass Referenzeinheit 5’’ aus 0,333 Teilen der Vergleichseinheit 4 und 0,667 Teilen der Vergleichseinheit 6 besteht. Durch die Änderung in der Referenzeinheit wird auch der Effizienzmaß der Vergleichseinheit 5 geändert. Der wird hetzt zu Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenberechnet.

In Multiplier Form (2.6) taucht eine neue Variable w0 auf. Diese zeigt, in welchem Skalenertragsbereich beobachtete Vergleichseinheit liegt. Positive Variable w0 druckt aus, dass Vergleichseinheit im Bereich der zunehmenden Skalenerträge und eine marginale Vergrößerung des Aufwands führt zu einem verhältnismäßig noch größerem Ertrag.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.2: Referenzeinheiten beim BCC-Modellen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.3: Skalenerträge

Effizienzmaß in BCC-Modell wird analog zu CCR-Modellen berechnet. In der Abbildung 2.3 wird die Bedeutung der freien Variable w0 veranschaulicht. Vergleichseinheit 4 ist effizient und ihre freie Variable ist gleich Null. Die Vergleichseinheiten auf der Strecke 24 haben Variable kleine als Null und von daher eine Ausweitung der Erzeugung würde sich lohnen. Die Einheiten, die auf dem Rand 4-6-8 liegen im Bereich der abnehmenden Skalenerträge und marginale Ausweitung der Produktion wäre nicht sinnvoll.

2.3 Interpretation der Gewichte

Zum Verständnis der Natur von Gewichten betrachten wir ein idealisiertes Beispiel mit mehreren Prozessfaktoren sowohl auf der Aufwands- als auch auf der Ertragsseite. Angenommen, dass Prozessfaktoren „bepreist“ werden können^[22]. Die Aufwände xi haben die Preise Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (i = 1,...,m) und Erträge yj haben dementsprechend Preise Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (j = m+1,...,m+n). Die Effizienz wird dann in DEA-Formulierung als Verhältnis der Erträge zu den Aufwänden verstanden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da eine Normierung des gewichteten Inputs für bessere Handhabung der Modelle vorgenommen werden muss, müssen rechte und linke Seiten in der Aufwandsgleichung durch gesamte Kosten dividiert werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gewichte werden dann als Verhältnis des jeweiligen Faktorpreises zu Gesamtkosten definiert.^[23]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach dem, diese Normierung durchgeführt wurde, kann gewichteen Aufwand wie folgt formal dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Seinerseits sieht der aggregierten Ertrag dem Effizienzmaß der Vergleichseinheit gleichgesetzt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

oder in der erweiterten Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Somit können die Ertragsgewichte analog zu den Aufwandsgewichten als Verhältnis der jeweiligen Preisen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenzum Produkt aus Erträgen und dem Effizienzwert definiert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auf den ersten Blick könnten Gewichte und Preise gleiche Bedeutung für Vergleichseinheiten haben. Dies kann allerdings nicht bestätigt werden, weil jeweilige Faktorpreise für alle Vergleichseinheiten gleich sind.^[24] Die Gewichte beziehen sich aber für jede Vergleichseinheit auf unterschiedliche Aufwands-, Ertrags- und Effizienzniveau.

2.4 Gründe für Gewichtrestriktionen

Bekanntlich sind die Gewichte in den DEA-Modellen frei variierbar. Diese Tatsache wird als Stäke der DEA angesehen. Bei einer großen Zahl der Aufwands- oder Ertragsfaktoren steigt gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit, dass einem oder mehreren Faktoren eine Gewichtung mit dem Wert Null zugeordnet wird. Diese Konstellation wird im Sinne der DEA als Bedeutungslosigkeit eines solchen Faktors in Bezug auf den Effizienzwert der Vergleichseinheit interpretiert. Diese Bedeutungslosigkeit widerspricht allerdings dem gesunden Menschenverstand und stimmt mit der Realität nicht überein. Ferner bilden sich unrealistische Substitutionsraten. Aus diesem Blinkwinkel wird die Gewichtsfreiheit als nachteilig angesehen, weil sie die Darstellung der realen Prozesse verzerrt. Dem Entscheider muss dann ein Werkzeug zur Verfügung gestellt werden, das diese Verzerrungen minimiert und die Einbindung der persönlichen Präferenzen erlaubt. Nachfolgend wird in diesem Kapitel versucht, die Einführung der Gewichtrestriktionen als Erweiterung der DEA zu begründen.

Vermeidung eines niedrigen Stellenwertes von Prozessfaktoren

Aufwandsgewichte im Wert von beinahe Null^[25] bedeuten in der DEA-Interpretation, dass die jeweiligen Prozessfaktoren ohne großen Aufwand angeschafft werden können. Eine Anschaffung dieser Art ist in Ausnahmefällen möglich, wenn ein Aufwand als Übel eines Prozesses in einen anderen Prozess einbezogen werden kann. Im Normalfall ist es nicht möglich, auf Dauer einen Prozessfaktor so zu beschaffen, dass kein Aufwand entsteht. Null-Gewichte bei den Ertragsfaktoren könnten sogar plausibel erscheinen, wenn ein Ertragsfaktor nach dem Erzeugungsprozess keinen Nutzen bringt. In solchen Fällen geht dann dieser Ertragsfaktor aus der Kategorie Ertrag in die Kategorie Aufwand über.

Abbildung von Substitutions- und Transformationsraten der Prozesse

In manchen Prozessen können wahlweise unterschiedliche Aufwandsfaktoren zur Erzeugung der Erträge eingesetzt werden. Bei Verzicht auf eine bestimmte Menge eines Aufwandsfaktors muss eine bestimmte Menge eines anderen Aufwandsfaktors in den Prozess einfließen. Das Verhältnis der Menge von dem Aufwandfaktor, auf den verzichtet wurde, zur Menge von dem Faktor, der stattdessen eingesetzt wurde, wird als Substitutionsrate verstanden. Unter der Transformationsrate wird die Menge eines Aufwandsfaktors zur Erzeugung einer Einheit des Ertrages verstanden. Die Verhältnisse von Faktorgewichten zueinander können als Substitutions- oder Transformationsraten interpretiert werden. Wenn ein Gewicht den Wert Null hat, dann sind die sich daraus ergebenden Raten entweder Null oder nicht definiert. Wenn die Gewichte extrem kleine Werte (>0) annehmen, können sie verzerrt dargestellt sein und entsprechen denen aus der Realität nicht. Wie in Thanassoulis (1995)^[26] gezeigt wird, können schwere Verbrechen wie Mord in manchen Fällen weniger gravierend als Diebstähle deklariert werden. Dies erfolgt durch Vergabe kleinerer Gewichte für Mordfälle. Solche Konstellationen widersprechen dem gesunden Menschenverstand und sollen durch Gewichtrestriktionen beseitigt werden.

Berücksichtigung der speziellen Abhängigkeiten von Aufwand und Ertrag im Erzeugungsprozess

In DEA-Basismodellen wird eine positive Relation zwischen Aufwand und Ertrag (mehr Aufwand führt zu mehr Ertrag) und eine perfekte Substituierbarkeit der Faktoren angenommen. In der Realität existieren allerdings gewisse Restriktionen, die diese Annahmen der DEA-Basismodelle in Frage stellen. Beispiele solcher Restriktionen sind die Nichtersetzbarkeit eines Faktors oder eine für den Entscheider unterschiedliche Wichtigkeit der Faktoren. Bei der Effizienzmessung von Universitäten von Beasley (1990)^[27] wurden bestimmte Relationsbeziehungen zwischen dem Ertrag und dem Aufwand festgestellt und in die Messung implementiert. Die Anzahl der postgraduierten Studenten schien den Universitäten wichtiger als die Zahl der anderen Studenten. In anderen Beispielen^[28] wurden Relationsbeziehungen zwischen Aufwänden oder Erträgen festgestellt und durch ordinale Verhältnis der Gewichte wiedergegeben.

Ermöglichung von Aussagen über die Gesamteffizienz

In manchen Fällen sind die Preisinformationen vorhanden. Dann können diese Preisinformationen in die Effizienzmessung einfließen. Dies ist möglich unter der Annahme, dass die Preise in den Gewichten wiedergegeben werden. Somit wird die Annahme wiedergegeben, dass Vergleichseinheiten nicht nur unter technischen Rahmenbedingungen (uneingeschränktes Modell), sondern auch ökonomischen und marktwirtschaftlichen Rahmenbedingungen (Modell mit Gewichtsrestriktionen) agieren.

Vermeidung der großen Variation von Faktorgewichten

Eine große Varianz der Gewichte bei der Effizienzmessung mit Hilfe der DEA-Basismodelle ist eher die Regel als die Ausnahme. Die Faktoren werden dabei mit extrem großen oder extrem kleinen Gewichten versehen. Solche Konstellationen widersprechen oft der Realität, in der die Faktoren eine ähnliche Bedeutung für die Vergleichseinheiten haben. Um die Effizienzmessung realitätsnah zu gestallten, wird die große Varianz der Wichtigkeit bestimmter Faktoren durch Gewichtrestriktionen eingeschränkt. In manchen Fällen sind allerdings solche Varianzen oder Schwankungen in bestimmten Grenzen erwünscht. Dies wird aber absichtlich festgelegt, wie etwa im Fall der Effizienzmessung von Professuren, die unterschiedliche Schwerpunkte in ihrer Tätigkeit haben. Für einzelne Professuren werden dann Schwerpunkte durch zusätzliche Restriktionen im DEA-Modell festgelegt.^[29]

Einführung einer Diskrimination zwischen effizienten Vergleichseinheiten

Bei der Effizienzmessung zwischen wenigen Vergleichseinheiten und wenigen Faktoren werden oft viele Vergleichseinheiten als effizient identifiziert. Dies ist möglich, weil eine Vergleichseinheit die höchste Effizienz dadurch erreichen kann, dass sie lediglich in einem der Faktoren dominiert. Nun kann es allerdings vorkommen, dass der Entscheider nur wenige Vergleichseinheiten aus der Masse von vielen effizienten auswählen muss. Die Auswahl wird leichter ausfallen, wenn zusätzliche Unterscheidungen (Diskriminationen) zwischen Faktoren eingeführt werden. Die Einführung dieser Diskriminationsbedingungen führt normalerweise zur Reduktion der Zahl von effizienten Vergleichseinheiten. Als mögliche Lösung bieten sich z.B. so genannte „assurance region“-Methoden an.^[30]

Diese Argumentation macht deutlich, dass persönliche Präferenzen und Umweltbedingungen in die DEA-Modelle implementiert werden müssen. Damit wird gewährleistet, dass kein Informationsverlust stattfindet. In dieser Arbeit erfolgt die Einbeziehung der o.g. Informationen durch Gewichtsrestriktionen. Im nachfolgenden Kapitel werden Möglichkeiten zur Gewichtsrestriktion präsentiert und kritisch analysiert.

3 Methoden zur Integration von Gewichtrestriktionen

Gewichtsrestriktion in der DEA-Modellen ist ein Instrument zur Implementierung der persönlichen Präferenzen oder a-priori Informationen bei der Effizienzmessung. Ferner gibt es andere Ansätze zur Einbeziehung der persönlichen Präferenzen, die ähnliche Ergebnisse wie Modelle mit Gewichtsrestriktion liefern. Dabei geht es um die Änderung der Ausgangsdaten für Effizienzmessung.^[31] In dieser Arbeit werden aber nur Methoden behandelt, die freie Variation der Faktorgewichte einschränken. Die Methoden zur Gewichtsrestriktion können in vier Kategorien sortiert werden:

- absolute Gewichtsrestriktion
- Assurance Region Methode I
- Assurance Region Methode I
- Restriktion der virtuellen Aufwände und Erträge

Der Aufbau dieses Kapitels basiert auf der oben dargestellten Struktur der Methoden zur Gewichtsrestriktionen. Dabei werde im ersten Schritt die Modelle^[32] formal dargestellt, anschließend wird jeweils ein Beispiel aus der Praxis präsentiert. Jeder Abschnitt wird dann kritische Würdigung abschließen.

3.1 Absolute Gewichtrestriktionen

In diesem Kapitel wird die Methode der absoluten Gewichtsrestriktion behandelt. Im ersten Abschnitt wird diese Methode anhand eines einfachen grafischen Beispiels erklärt und formal dargestellt. Anschließend folgt ein Beispiel aus der Praxis, das in Dyson/Thanassoulis (1988) präsentiert wurde. Die kritische Würdigung der absoluten Gewichtsrestriktionen mit der Analyse eines Datensets vom Lehrstuhl für Unternehmenstheorie schließt dieses Kapitel ab.

3.1.1 Formale Darstellung und Interpretation

Absolute Gewichtrestriktion ist eine Methode zur unmittelbaren Einschränkung der Gewichte. Dieser Typ der Restriktion wurde zuerst in Dyson/Thanassoulis (1988) in der Fachliteratur bei der Effizienzmessung von Finanzämtern präsentiert.^[33] Bei der Anwendung der absoluten Gewichtsrestriktion werden Aufwands- und Ertragsgewichte mit absoluten Werten eingeschränkt und als zusätzliche Nebenbedingung in die Multiplier-Modelle eingefügt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wo Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten nicht negative Zahlen sind. Absolute Gewichtrestriktion wird meistens entweder als untere Schranke oder als untere und obere Schranke eingeführt. Die Angabe nur der oberen Schranke macht wenig Sinn, da hauptsächlich angestrebt wird, Null-Gewichte bzw. sehr kleine Gewichte zu vermeiden.

Die Bedeutung der Integration der Gewichtseinschränkung wird im Folgenden anhand eines Beispiels^[34] mit einem Aufwand und zwei Erträgen verdeutlicht. Die Ertragsmenge wurde auf die Aufwandmenge normiert. (Siehe Tabelle 3.1.)

Ohne Gewichtsrestriktion bilden die Einheiten E, D und C den effizienten Rand und haben somit den Effizienzwert von Eins. Wenn für das Ertragsgewicht 1 eine untere Schranke in Höhe von 0,15 eingeführt wird, dann können beide Ertragsarten nicht beliebig substituiert werden, d.h. das Ertragsgewicht 1 kann nicht kleiner als 0,15 durch das Modell gewählt werden. Nach einer solchen Änderung wird Ertrag 2 besser als vorher gegenüber dem Ertrag 1 gestellt. Das liegt daran, dass nur 1/0,15=6,67 Einheiten von Ertrag 2 statt einer Einheit von Ertrag 1 ohne Effizienzverlust erzeugt werden können. Die Einbeziehung solcher Restriktionen in das Modell entspricht der Einführung des Punktes H für den neuen effizienten Rand auf der Achse „Ertrag 1“.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3.1: Normalisierte Ertragdaten.

Bei oberen Schranken geht es um den Versuch, einen Faktor nicht zu überbewerten. Wenn das Gewicht von Ertrag 1 auf 0,8 beschränkt wird, dann bedeutet das gleichzeitig in diesem Beispiel, dass das Gewicht von Ertrag 2 wenigstens den Wert von 0,2 annimmt. Analog zu Ertrag 1 kann jetzt ein neuer Punkt G für den effizienten Rand auf der Achse „Ertrag 2“ eingeführt werden und zwar bei 1/0,2=5. Durch die Einführung von Punkt G liegt die Einheit E außerhalb des effizienten Randes und ist somit nicht mehr effizient.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.1: Grafische Darstellung der absoluten Gewichtsrestriktionen.

Im Fall der Gewichtsrestriktionen nur für die untere Schranke wird das Modell nicht großartig geändert. Es wird praktisch nur die Untergrenze der existierenden Nebenbedingungen angehoben, die ohnehin in den DEA-Basismodellen in der Form von Null oder ε existiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Fall der Restriktion von unterer und oberer Schranke kann Nebenbedingung (3.1) nicht ohne weiteres in dieser Form in das lineare Programm übernommen werden, wie es allerdings in vielen Veröffentlichungen angegeben ist.^[35] In Roll/Cook/Golany^[36] wird das Modell zur besseren Handhabung wie folgt umformuliert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Podinovski und Athanassopoulus wiesen allerdings darauf hin, dass Modell XX keine maximale Effizienz für Vergleichseinheiten ermöglicht. Dabei wird relative Effizienz als Verhältnis des Zielfunktionswertes aus dem Modell (3.3) zu dem maximalen Effizienzwert, der mit den Gewichten der Vergleichseinheit berechnet wurde, definiert.^[37] Das Modell wurde dementsprechend geändert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In diesen Modellen wurden Variablen p und q zu besseren Operationalisierung des Ausgangsmodells eingeführt.^[38] Es ist leicht zu ahnen, dass die Zahl der effizienten Einheiten bei der Einführung der Gewichtsrestriktionen sinkt. Diese Tatsache wird später detaillierter betrachtet und diskutiert.

3.1.2 Beispiel aus der Praxis von Dyson/Thanassoulis (1988)

Die Autoren haben erkannt, dass Gewichte bei der vollen Freiheit oft Werte von Null annehmen. Das führt zur Bewertung der Faktoren mit Null-Gewichten als diejenige, die keinen Beitrag zu Effizienz einer Einheit leisten. Wie schon oben angedeutet wurde, widersprechen solche Ergebnisse häufig den realen Umweltbedingungen. Um solche Widersprüche zu beseitigen, haben die Autoren eine Untergrenze für Faktorgewichte in das DEA-Basismodell eingefügt.

Es wurde ein Fall mit einem Aufwands- und vier Ertragsarten betrachtet. Alle Faktoren waren in Geldeinheiten ausgedrückt. Die Tatsachen, dass es nur eine Aufwandsart gab und alle Faktoren in Geldeinheiten dargestellt wurden, führten zu der Annahme, dass Ertragsgewichte als Anteil des Aufwands zur Generierung des jeweiligen Ertrags definiert werden konnten. Demzufolge stellen die Untergrenzen der Gewichte den minimalen Anteil des Aufwands zur Generierung eines der Erträge dar. Zur Festlegung der Untergrenze wurde eine Regressionsanalyse durchgeführt.^[39] Die Vergleichseinheiten wurden mit Hilfe eines CCR-Modells – einmal uneingeschränkt und einmal mit einer unteren Schranke für Aufwandsgewichte – berechnet. Dabei stellte sich heraus, dass der Effizienzwert fast aller Vergleichseinheiten sank und sich die Reihenfolge änderte.

3.1.3 Kritische Würdigung

Die absolute Gewichtsrestriktion an sich stellt eine ungeeignete Maßnahme zur Erfassung der a priori Informationen, physikalischen und naturwissenschaftlichen Gesetze dar. Das Ausmaß der Gewichtseinschränkung hängt von den Maßeinheiten der gewählten Faktoren ab.^[40] Außerdem muss die Bandbreite der Faktoren berücksichtigt werden. Ein Gewicht von 0,1, das sich auf eine Bandbreite von z.B. 10 Faktoreinheiten bezogen wird, ist nicht gleich dem Gewicht von 0,1 bezogen auf eine Bandbreite von 100 Einheiten.^[41] Dieser Nachteil lässt sich durch eine Einschränkung von virtuellen Aufwand und Ertrag umgehen.

Im Folgenden wird ein Beispieldatensatz mit unterschiedlich großen Schranken berechnet. Der Datensatz besteht aus Informationen über 54 wirtschaftswissenschaftlichen Lehrstühlen an deutschen Hochschulen. Als Aufwände wurden Professorenstellen (PROF) und Stellen der wissenschaftlichen Mitarbeiter (WMA) herangezogen. Die Ertragsseite bestand aus drei Arten: Publikationszahl (PUBL), Promotionen (PROM) und Drittmittel (DM). Die Daten sind in der Tabelle 6.1 zusammengefasst.

Um die Sensibilität der DEA-Modelle bereits auf kleine Gewichtseinschränkungen zu zeigen, wurde der Datensatz mit unterschiedlich großen Schranken berechnet. Im unten dargestellten Beispiel wurde zuerst das uneingeschränkte Modell berechnet und dessen Gewichte als Basis angenommen. Für jeden Faktor wurde die maximale Gewichtung bestimmt und somit die maximal mögliche Gewichtsbandbreite von Null bis zum jeweiligen maximalen Wert. Dann wurde die relative untere Gewichtseinschränkung stufenweise mit der Schrittweite von 1% eingeführt und anschließend berechnet. Die relative Schranke bezog sich immer auf die maximale Gewichtsausprägung. Schon bei der unteren Schranke von 6% konnte keine zulässige Lösung für das aufgestellte Modell gefunden werden.

Gleichzeitig wurde der Rang der Vergleichseinheiten beobachtet. Mit steigender Restriktionsstärke stieg gleichzeitig die Zahl der Vergleichseinheiten mit geändertem Rang und lag bei einer Gewichtseinschränkung von 4% bei 38. Dabei ließ sich beobachten, dass die Vergleichseinheiten, die ihren Rang beibehalten konnten, entweder höchste oder niedrigste Effizienz hatten. Bei der 4%-gen unteren Schranke betrugen die Extrema der Rangverschlechterung 31 und bei der Rangverbesserung nur 7. Die Zahl der effizienten Einheiten fiel von 8 auf 4. Detaillierte Verläufe der Rangveränderung von Vergleichseinheiten ist in der Abbildung 3.2 dargestellt.

Bei der oberen Schranke konnte sogar eine 45%-Grenze für die relative Gewichtseinschränkung erreicht werden, bis aufgestellte Probleme unzulässige Lösungen lieferten. Eine solch hohe Schranke ist auf die Verteilung der Gewichte zurückzuführen. Gewichte mit maximaler Ausprägung besitzen recht wenige Vergleichseinheiten. Somit stellt die obere Schranke für zunächst nur wenige Vergleichseinheiten eine Einschränkung bei der Findung der optimalen Lösung dar. Die untere Schranke beeinflusst meistens ohne Ausnahmen alle Vergleichseinheiten, so dass viele Gewichte an der Untergrenze liegen. Die Ergebnisse der Berechnungen mit unteren und oberen Schranken sind in der Tabelle 6.2 bis der Tabelle 6.6.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3 . 2: Veränderung des Ranges von Vergleichseinheiten bei unterschiedlichen unteren Schranken für Faktorgewichte

Die 42%-Grenze resultiert sich daraus, dass exakt bei diesen Schranken VE 17 keine zulässige Lösung liefert. Das kann man damit begründen, dass VE 17 auch die mit Abstand höchsten Gewichte bei WMA und Promotionen hat. Die hohen Gewichte für letztgenannte Faktoren resultieren aus den niedrigen Faktormengen. Daraus kann eine Empfehlung zu einer differenzierten Behandlung verschiedener Faktoren abgeleitet werden.

Wenn die Gewichte für PROF, PUBL und DM mit einer oberen Schranke von nur 25% versehen werden, dann lassen sich Gewichte für WMA und PROM auf deutlich unter 50% senken.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.3: Gewichtsverteilung der Gewichte für PROM

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.4: Gewichtsverteilung der Gewichte für WMA

Die absolute Gewichtrestriktion hat sich als sehr sensible und gleichzeitig ungeeignete Methode erwiesen. Von daher ist es essentiell wichtig, die Bandbreite fest zu legen. Die Methoden zur Festlegung der Bandbreite werden i Kapitel 4 dargestellt.

[...]

^[1] Vgl. Wong/Beasley (1990), S.830 und Schefczuk (1996).

^[2] „Freie Variation“ bedeutet, dass als einzige Restriktion die Gewichte nicht negativ werden dürfen.

^[3] Vgl. Cooper/Seiford/Tone (2000).

^[4] Vgl. Allen (2002), Gilles (2005) und Gutierrez (2005).

^[5] Vgl. Charnes/Cooper/Rhodes (1978).

^[6] Vgl. Charnes/Cooper (1985).

^[7] In dieser Arbeit unter Prozessfaktoren wird ein Sammelbegriff für Gesamtheit der Aufwände und Erträge verstanden.

^[8] Hier wurde die Messung nur eines Effizientmaßes dargestellt. Ausführlicher siehe Scheel (2000).

^[9] Zur Anforderungen an Technik vgl. Dyckhoff (2006a), S. 177 und Dyckhoff (2006b), S. 182.

^[10] Diese Definition gilt nur für Ertragsorientierung

^[11] Vgl. Gilles (2005), S. 55.

^[12] Der Name „CCR“ geht auf Charnes, Cooper und Seiford zurück. Vgl. Charnes/Cooper/Rhodes (1978)

^[13] Die Buchstaben „BCC“ beziehen sich auf die Initialen der Schöpfer Banker, Charnes und Cooper. Vgl. Banker/Charnes/Cooper (1984)

^[14] Bei DEA-Solver Programm aus Cooper/Seiford/Tone (2000) können z.B. sowohl zunehmende als auch nicht zunehmende Skalenerträge für die Berechnung eingestellt werden

^[15] Die in der Tabelle 2.1 dargestellte additive Modelle gehen auf Charnes et al. (1985) zurück. Auf detaillierte Darstellung dieser Modelle wird wegen geringer Bedeutung für diese Arbeit verzichtet.

^[16] In Anlehnung an Gilles (2005), S. 63 und Schefczuck (1996), S. 170.

^[17] Es wird oft auf bessere Handhabung der multiplen Modelle gesprochen. Vgl. Cooper/Seiford/Tone (2000), S. 52.

^[18] Vgl. Charnes et al. (1994), S. 26.

^[19] Vgl. Zimmermann (2005), S.92ff.

^[20] Vgl. Podding/Varmaz (2005), S. 566ff

^[21] Vgl. Gutieres(2005), S.24.

^[22] In diesem idealisierten Beispiel wird Informationen über die Preise als bekannt angenommen. Mit Preisen sind nicht nur monetäre Einheiten gemeint. Denkbar sich Zeit-, Leistungseinheiten sowie andere.

^[23] Andere Herleitung der Gewichte siehe z.B. Cantner/Krüger/Hanush (2007), S. 92 ff.

^[24] Die gleichen Preise für alle Vergleichseinheiten sind für manche Faktoren in der Realität oft nicht gegeben. Für die Erklärung der Bedeutung von Gewichten spielen solche Annahmen allerdings keine Rolle.

^[25] Das Niveau der Gewichte hängt natürlich mit dem Faktorniveau zusammen. Bei gewissen Konstellationen sind Gewichte von 0,000001 (Niveau der üblichen ε) durchaus möglich. Mit kleinen Gewichten sind diejenigen gemeint, die um mehrere Nachkommastellen kleiner als die Mehrheit der Gewichte sind.

^[26] Vgl. Thanassoulis/Boussofiane/Dyson (1995), S. 588ff.

^[27] Beasley (1990), S. 176ff.

^[28] Ali et al. (1991), S. 734ff.

^[29] Vgl. Gutierrez (2005), S. 114ff.

^[30] Vgl. Thompson et al (1986)

^[31] Vgl. Thanassoulis/Portela/Allen (2004).

^[32] Um sich auf der Problematik der Gewichtsrestriktion zu konzentrieren werden in der Arbeit nur CCR-Modelle betrachtet.

^[33] Vgl. Dyson/Thanassopoulis (1988).

^[34] In Anlehnung an Roll/Cook/Golany (1991), S. 5

^[35] Vgl. Thanassoulis/Portella/Allen (2004), S.109 und Allen et al. (1997), S. 18f

^[36] Roll/Cook/Golany (1991), S.4

^[37] Podinovski/Athanassopoulus (1998), S.500ff

^[38] Vgl. Podinovski/Athanassoupoulos (1998), S. 501.

^[39] für Details siehe Kapitel 4

^[40] Vgl. Allen (2002), S. 216

^[41] Vgl. Eisenführ/Weber (2003), S.139ff.