Stabile Integrationsverfahren für Darcy-Strömungen mit Abfluss-Randbedingungen

Siehl, Matthias

Stabile Integrationsverfahren für Darcy-Strömungen mit Abfluss-Randbedingungen

Zusammenfassung

Inhaltsangabe:Einleitung:
In der Landwirtschaft sowie in der Landschaftsplanung hängen viele Probleme mit dem Zu- und Abfluss von Wasser zusammen. Beim Bau von Straßen oder betonierten Flächen, die keine Versickerung zulassen, muss garantiert sein, dass große Wassermengen, die z.B. durch einen Platzregen entstehen, ablaufen können.
Dazu ist es wichtig zu wissen, wie und wie schnell das Wasser abläuft und wo es sich sammelt. Wenn es zur Versickerung kommt, ist es auch von Interesse, wie sich das versickerte Wasser im Boden verteilt, um die Verteilung von Nährstoffen im Boden vorhersagen zu können. Auf einem völlig ebenen Acker verteilt sich der Dünger gleichmäßiger als auf einem unebenen.
Um diese Vorgänge verstehen und simulieren zu können, bedient man sich der physikalischen Gesetze der Hydrodynamik und Hydrogeologie und koppelt diese miteinander.
Die Prozesse im Boden beeinflussen das an der Oberfläche abfließende Wasser und umgekehrt. In dieser Arbeit werden die Flachwassergleichung aus der Hydrodynamik und das empirische Gesetz von Darcy aus der Hydrogeologie miteinander gekoppelt und numerisch gelöst. Es werden beide Probleme zeitgleich mit voneinander abhängigen Daten gelöst.
Wie viele andere physikalische Gesetze führen diese auf die Lösung von partiellen Diferentialgleichungen, deren Lösung analytisch, außer in Spezialfällen, nicht zugänglich ist.
Numerische Verfahren, die in den letzten Jahrzehnten entwickelt wurden und besonders von der Verfügbarkeit schneller Computer proftieren, sollen hier vorgestellt und implementiert werden.
Das Anliegen dieser Arbeit wird dabei sein diese Verfahren so zu implementieren dass sie stabil ablaufen und mit vertretbarem Rechenaufwand physikalisch sinnvolle Ergebnisse liefern. Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einleitung5
2.Mathematische Grundlagen6
2.1Mathematische Hilfsmittel6
2.2Partielle Diferentialgleichungen7
2.3Herleitung von Erhaltungsgleichungen10
3.Physikalische Grundlagen12
3.1Die Flachwassergleichungen12
3.2Strömung in porösen Medien, das Gesetz von Darcy14
4.Diskretisierung16
4.1Flachwassergleichung16
4.1.1Allgemeines Vorgehen16
4.1.2Das Lax-Friedrich-Verfahren18
4.1.3Das Lax-Wendroff-Verfahren18
4.1.4Ein explizites Prediktor-Korrektor-Verfahren21
4.1.5Numerisches Beispiel, ein Dammbruch22
4.1.6Schrittweitensteuerung beim LF-Verfahren26
4.2Grundwasser28
4.2.1Diferenzenverfahren für die Laplace-Gleichung mit gemischten Randbedingungen28
4.2.2Lösen des LGS mit […]

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Matthias Siehl

Stabile Integrationsverfahren für Darcy-Strömungen mit Abfluss-Randbedingungen

ISBN: 978-3-8366-1628-7

Druck Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2008

Zugl. Universität Rostock, Rostock, Deutschland, Diplomarbeit, 2008

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http://www.diplom.de, Hamburg 2008

Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung

5

2

Mathematische Grundlagen

6

2.1

Mathematische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3

Herleitung von Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3

Physikalische Grundlagen

12

3.1

Die Flachwassergleichungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2

Strömung in porösen Medien, das Gesetz von Darcy . . . . . . . .

14

4

Diskretisierung

16

4.1

Flachwassergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4.1.1

Allgemeines Vorgehen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4.1.2

Das Lax-Friedrich-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.1.3

Das Lax-Wendroff-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.1.4

Ein explizites Prediktor-Korrektor-Verfahren . . . . . . . .

21

4.1.5

Numerisches Beispiel, ein Dammbruch . . . . . . . . . . .

22

4.1.6

Schrittweitensteuerung beim LF-Verfahren . . . . . . . . .

26

4.2

Grundwasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.2.1

Differenzenverfahren für die Laplace-Gleichung mit gemisch-

ten Randbedingungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.2.2

Lösen des LGS mit SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.2.3

SOR und Matlab-Löser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

5

Kopplung

35

6

Numerische Beispiele

37

6.1

Abflussrandbedingungen am Hang . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

6.2

Regen auf Ackersenke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

6.3

Gekoppeltes Extrembeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

6.4

Regen und Versickerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

7

Fazit

49

3

Inhaltsverzeichnis

8

Anhang

50

8.1

Matlab-Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

8.1.1

LF05ab.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

8.1.2

LF05rsp.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

8.1.3

Druck.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

8.1.4

bauen.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

8.1.5

Kopplungdamm.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

8.1.6

Kopplung.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Literaturverzeichnis

71

4

1 Einleitung

In der Landwirtschaft sowie in der Landschaftsplanung hängen viele Probleme mit

dem Zu- und Abfluss von Wasser zusammen. Beim Bau von Straßen oder beto-

nierten Flächen, die keine Versickerung zulassen, muss garantiert sein, dass große

Wassermengen, die z.B. durch einen Platzregen entstehen, ablaufen können. Dazu

ist es wichtig zu wissen, wie und wie schnell das Wasser abläuft und wo es sich

sammelt. Wenn es zur Versickerung kommt, ist es auch von Interesse, wie sich das

versickerte Wasser im Boden verteilt, um die Verteilung von Nährstoffen im Boden

vorhersagen zu können. Auf einem völlig ebenen Acker verteilt sich der Dünger

gleichmäßiger als auf einem unebenen. Um diese Vorgänge verstehen und simulie-

ren zu können, bedient man sich der physikalischen Gesetze der Hydrodynamik

und Hydrogeologie und koppelt diese miteinander. Die Prozesse im Boden beein-

flussen das an der Oberfläche abfließende Wasser und umgekehrt. In dieser Arbeit

werden die Flachwassergleichung aus der Hydrodynamik und das empirische Ge-

setz von Darcy aus der Hydrogeologie miteinander gekoppelt und numerisch gelöst.

Es werden beide Probleme zeitgleich mit voneinander abhängigen Daten gelöst.

Wie viele andere physikalische Gesetze führen diese auf die Lösung von partiel-

len Differentialgleichungen, deren Lösung analytisch, außer in Spezialfällen, nicht

zugänglich ist. Numerische Verfahren, die in den letzten Jahrzehnten entwickelt

wurden und besonders von der Verfügbarkeit schneller Computer profitieren, sol-

len hier vorgestellt und implementiert werden. Das Anliegen dieser Arbeit wird

dabei sein diese Verfahren so zu implementieren dass sie stabil ablaufen und mit

vertretbarem Rechenaufwand physikalisch sinnvolle Ergebnisse liefern.

5

2 Mathematische Grundlagen

2.1 Mathematische Hilfsmittel

In diesem Kapitel werden die partiellen Ableitungen (wie in [4]) und auf ihr be-

ruhende Operatoren vorgestellt, die in den späteren Kapiteln benötigt werden.

Zuerst bezeichnen wir mit R die Menge der reelen Zahlen und schreiben

R

n

= {x = (x

1

, ..., x

d

) : x

i

R, i = 1, ..., n} ,

R

+

= {x R : x 0} . (2.1)

Wir betrachten offene und zusammenhängende echte Teilmengen des R

n

die wir

mit

bezeichnen. Den Rand von bezeichnen wir mit .

Sei

R

n

offen und f

: R eine reele Funktion. f heißt nun im Punkt x

partiell differenzierbar bezüglich der i-ten Koordinatenrichtung, falls der Limes

f

x

i

:= lim

h

0

f

(x + he

i

) - f(x)

h

.

existiert. Dabei ist e

i

der i-te Einheitsvektor.

f

x

i

heißt die i-te partielle Ableitung

von f in x. Wir schreiben auch f

x

für

f

x

.

Mithilfe der partiellen Ableitung definieren wir den Gradienten (2.2), die Diver-

genz (2.3) und den Laplace-Operator (2.4). Dazu sei v wieder eine skalare Funk-

tionen v

: R und w eine vektorwertige Funktion w(x) = (w

1

, ...w

n

) für

x

.

v = grad v =

v

x

1

, ...,

v

x

n

(2.2)

· w = div w =

n

i

=1

w

i

x

i

(2.3)

v = · v =

n

i

=1

2

v

i

x

2

i

(2.4)

Wir beschränken uns im Zuge dieser Arbeit auf kartesische Koordinatensysteme.

Bei physikalischen Vorgängen auf einem kompaktem Gebiet

mit abschnittsweise

glattem Rand

, die durch Vektorfelder beschrieben werden, die stetig und stetig

differenzierbar sind, kann man den Gaußschen Integralsatz anwenden [5]:

6

2 Mathematische Grundlagen

div v dx

=

n

· v ds

Dabei ist n die nach außen gerichtete Einheitsnormale auf dem Rand

. An-

schaulich sagt dieser Satz aus, dass alles, was innerhalb des Gebietes erzeugt wird,

gleich dem ist, was es durch den Rand verlässt.

Der Laplace-Operator vereinigt die Divergenz und den Gradienten, mit

v = 0

erhält man eine partielle Differentialgleichung, die Laplace-Gleichung. Die Lösun-

gen dieser Gleichung werden auch als harmonische Funktionen bezeichnet. Für die

Laplace-Gleichung gilt das Maximum-Prinzip [14]:

Für

-f = 0 auf mit der Lösung u C

2

auf

gilt:

max u

() = max {u(x) : x }

Der maximale Wert der Lösung liegt also immer auf dem Rand.

Die Laplace-Gleichung gehört zu den elliptischen partiellen Differentialgleichun-

gen. Im nächsten Abschnitt werden partielle Differentialgleichungen etwas allge-

meiner vorgestellt und klassifiziert.

2.2 Partielle Differentialgleichungen

Sei u

: R eine Funktion von mehreren Variablen, also R

n

, deren

partiellen Ableitungen hinreichend oft existieren, so nennt man:

F

(x

1

, ..., x

n

,

x

i

u, ...,

2

x

2

i

u, ...

) = 0

(2.5)

eine partielle Differentialgleichung (abgekürzt PDE) n-ter Ordnung, wenn n die

Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung in F ist.

Physikalische Vorgänge lassen sich mit partiellen Differentialgleichungen beschrei-

ben, wie z.B. der Erhalt der Masse oder der Energie. Dies wird im nächsten Ab-

schnitt am Beispiel der Masseerhaltung vorgeführt. Partielle Differentialgleichun-

gen lassen sich in verschiedene Typen einteilen. Dies wird hier anhand folgender

PDE (2.6) vorgenommen. Die gesuchte Funktion u über

R

2

hängt dabei von

x und y ab.

7

2 Mathematische Grundlagen

a

(x, t)

2

x

2

u

(x, y) + b(x, y)

2

xy

u

(x, y) + c(x, y)

2

y

2

u

(x, y)

+f(x, y) = 0

(2.6)

Dabei sind a, b, c und f bekannte Funktionen über

. Wir nennen die PDE quasili-

near wenn die Funktionen a, b und c höchsten von den ersten partiellen Ableitun-

gen von u abhängen. Sie ist halblinear, falls a, b und c nur von den Ortskoordinaten

x und y abhängen und linear, wenn weiterhin auch f nur von den Raumkoordina-

ten abhängt. Weiterhin unterscheidet man zwischen elliptischen, parabolischen und

hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen. Um diese Einteilung vorzuneh-

men betrachtet man die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichungen.

Diese sind ein Begriff aus der Analysis von partiellen Differentialgleichungen und

die Grundidee soll hier kurz (wie in [9]) vorgestellt werden.

Auf dem Punkt

(x, y) einer Kurve K auf sind der Funktionswert u(x, y) und

die ersten Ableitungen u

x

, u

y

der Lösung von (2.6) bekannt. Wir möchten jetzt

daraus die Werte der zweiten Ableitungen gewinnen, um die Lösung in einer

Umgebung dieses Punktes fortzusetzten. Wir wollen also den Funktionswert von

u

(x+ dx, y + dy) für beliebig dx und dy bestimmen. Die Kettenregel liefert hierfür

folgende Gleichungen :

du

x

= u

xx

dx

+ u

xy

dy

(2.7)

du

y

= u

xy

dx

+ u

yy

dy.

(2.8)

Zusammen mit (2.6) ergibt sich dieses Gleichungssystem:

D

a

(x, y) b(x, y) c(x, y)

dx

dy

0

dx

dy

u

xx

u

xy

u

yy

=

f

(x, y)

du

x

du

y

.

Ist Det

(D) = 0 so ist das System lösbar und die Lösung lässt sich in der Umge-

bung von K fortsetzen. Ist Det

(D) = 0 im Punkt (x, y) so lassen sich die zweiten

Ableitungen nicht eindeutig bestimmen. Die Kurven K, entlang derer die Bedin-

gung Det

(D) = 0 in jedem Punkt erfüllt ist, nennt man Charakteristiken. Entlang

dieser Kurven lässt sich die partielle Differentialgleichung in eine gewöhnliche um-

wandeln. Die Anzahl der Charakteristiken im Punkt

(x, y) bestimmt den Typ der

partiellen Differentialgleichung in diesem Punkt. Um die Anzahl der Charakteris-

tiken zu bestimmen betrachten wir die charakteristische Gleichung:

8

2 Mathematische Grundlagen

Det

(D) = a(x, y)(

dy

dx

)

2

- b(x, y)

dy

dx

+ c = 0.

(2.9)

Im Punkt

(x, y) nennen wir die partielle Differentialglecihung elliptisch falls

b

(x, y)

2

- 4a(x, y)c(x, y) < 0, es also keine charakteristische Richtung gibt. Wir

nennen sie parabolisch, falls sie eine charakteristische Richtung hat, also b

(x, y)

2

-

4a(x, y)c(x, y) = 0 und hyperbolisch falls b(x, y)

2

- 4a(x, y)c(x, y) > 0, es also in

diesem Punkt zwei charakteristische Richtungen gibt. Erfüllt die PDE diese Be-

dingung für jeden Punkt auf

, so ist sie vom entsprechenden Typ.

Hyperbolische PDE`s beschreiben dabei dynamische Prozesse. Daher übernimmt

eine der Variablen die Funktion der Zeit t

R

+

. Dadurch, dass diese PDE zwei

reellwertige Charakteristiken hat kann man die Lösung in der Zeit zurückverfol-

gen und die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Information ist endlich. Typische

Vertreter dieses Typs sind die eindimensionale Advektionsgleichung (2.10) und die

eindimensionale Wellengleichung (2.11).

t

u

(x, t) + a

x

u

(x, t) = 0

(2.10)

2

t

2

u

(x, t) + c

2

x

2

u

(x, t) = 0

(2.11)

Dabei bestimmen a und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Information oder

Störung.

Bei einer reellwertigen Charakteristik ist die PDE parabolisch. Diese PDE beschrei-

ben wieder dynamische Prozesse, die sich jedoch nicht in der Zeit zurückverfolgen

lassen. Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung (2.12), welche zum Beispiel

die Temperaturverteilung in einem Stab über die Zeit beschreibt, gehört zu diesem

Typ. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Information kann bei diesen PDE`s

unendlich sein.

t

u

(x, t) + a

2

x

2

u

(x, t) = 0

(2.12)

Lösungen von elliptischen PDE`s hängen nicht von der Zeit ab. Typischer Ver-

treter ist die schon bekannte Laplace-Gleichung (2.13). Diese beschreibt Gleich-

gewichtszustände wie z.B. die Temperaturverteilung in einem homogenen Körper

bei bekannten Randtemperaturen.

2

x

2

u

(x, y) +

2

y

2

u

(x, y) = 0

(2.13)

9

2 Mathematische Grundlagen

Der Typ der PDE entscheidet darüber, welche Anfangs- oder Randbedingungen

vorgegeben werden müssen, um eine Lösung zu erhalten. In den folgenden Ka-

piteln wird dies am Beispiel der hyperbolischen Flachwassergleichungen und der

elliptischen Laplacegleichung erläutert.

2.3 Herleitung von Erhaltungsgleichungen

In diesem Kapitel wird die differentielle Form der Masseerhaltung, wie in [6],

hergeleitet. Wir betrachten ein Gebiet

[a, b] R zum Zeitpunkt t, in dem z.B. ein

Gas mit der Dichte

(x, t) vorhanden ist. Die Dichte (x, t) wird dabei so definiert,

dass sich die Gesamtmasse M

ges

im Intervall

[a, b] folgendermaßen ergibt:

M

ges

=

b

a

(x, t)dx.

(2.14)

Wenn wir annehmen, dass keine Masse erzeugt oder vernichtet wird, kann sich die

Gesamtmasse nur ändern, wenn die Masse durch die Ränder a oder b fließt. Mit

v

(x, t) als Geschwindigkeit der Masse ergibt sich der Fluss zu (x, t)v(x, t) am Ort

x zum Zeitpunkt t. Damit ergibt sich die Gesamtbilanz der Masse zu:

t

b

a

(x, t)dx = (a, t)v(a, t) - (b, t)v(b, t).

(2.15)

Dies lässt sich als eindimensionaler Gaußscher Integralsatz interpretieren und wird

integrale Form der Bilanzgleichung genannt. Integrieren wir diese Gleichung in der

Zeit von t

1

bis t

2

, erhalten wir folgende Gleichung:

b

a

(x, t

2

)dx =

b

a

(x, t

1

)dx +

t

2

t

1

(a, t)v(a, t)dx -

t

2

t

1

(b, t)v(b, t)dx. (2.16)

Hier wird über die Masseflüsse durch a und b integriert, um die Gesamtmasse zum

Zeitpunkt t

2

zu erhalten. Wir nehmen nun an, dass

(x, t) und v(x, t) differenzier-

bare Funktion sind. Damit haben wir:

(x, t

1

) - (x, t

2

) =

t

2

t

1

t

(x, t)dt

(2.17)

(b, t)v(b, t) - (a, t)v(a, t) =

b

a

x

((x, t)v(x, t))dx,

(2.18)

eingesetzt in 6.11 ergibt sich:

t

2

t

1

b

a

t

(x, t) +

x

((x, t)v(x, t)) dxdt = 0.

10

2 Mathematische Grundlagen

Da diese Gleichung für jedes Intervall

[a, b] und [t

1

, t

2

] gilt, muss der Integrant

identisch Null sein. So ergibt sich die differentielle Form der Erhaltungsgleichung

für die Masse:

t

(x, t) +

x

((x, t)v(x, t)) = 0

So erhalten wir eine partielle Differentialgleichung. Bilanzgleichung für den Impuls

und die Energie lassen sich ebenfalls herleiten und in Systemen von partiellen

Differentialgleichungen vereinen. Dies wird im nächsten Abschnitt getan, um die

Flachwassergleichungen herzuleiten.

11

3 Physikalische Grundlagen

3.1 Die Flachwassergleichungen

Die eindimensionalen Flachwassergleichungen für ein Gebiet

[a, b] R und t R

+

werden hier über die Masse- und Impulserhaltung hergeleitet. Man nimmt an, dass

sich die Flüssigkeit nur in horizontaler Richtung mit der Geschwindigkeit u

(x, t)

bewegt. Mit h

(x, t) als Höhe über Grund ergibt sich die Gesamtmasse, mit als

konstanter Dichte, auf dem abgeschlossenem Intervall

[a, b] R zu:

M

ges

:=

b

a

h

(x, t) dx.

(3.1)

Des Weiteren erzwingt der Erhalt der Masse folgende Gleichung:

x

h

(x, t) +

t

[u(x, t)h(x, t)] = 0,

(3.2)

u

(x, t)h(x, t) ist der Massefluss am Ort x.

Weiterhin betrachtet man die Impulserhaltung:

t

h

(x, t)u(x, t) +

x

(u

2

(x, t)h(x, t) + p(x, t)) = 0.

(3.3)

Der Druck p

(x, t) ergibt sich dabei als Gewichtskraft auf die Flüssigkeitssäule am

Ort x. Mit g als Erdbeschleunigung ergibt sich also:

p

(x, t) =

h

(x,t)

0

g

(h(x, t) - y)dy =

1

2

gh

2

(x, t).

(3.4)

Einsetzen von (3.4) in (3.3) ergibt:

t

h

(x, t)u(x, t) +

x

(u

2

(x, t)h(x, t) +

1

2

gh

2

) = 0

(3.5)

Kombiniert mit (3.2) ergibt sich dieses System:

12

3 Physikalische Grundlagen

t

U

+

x

F

= 0,

(3.6)

h

uh

= U,

(3.7)

uh

hu

2

+

1

2

gh

2

= F.

(3.8)

Die Eindimensionalen Flachwassergleichungen. Da nur horizontale Bewe-

gungen des Wassers berücksichtigt werden, sollte das betrachtete Gebiet

[a, b] R

groß sein im Vergleich zur Wasserhöhe h. Die Flachwassergleichungen stellen eine

Erhaltungsgleichung für die Masse und den Impuls dar, durch Quellenterme in der

ersten (für die Masse) oder zweiten Komponente (für den Impuls) lassen sich, im

inhomogenen Fall, eine Veränderung der Masse (z.B. durch Regen oder Versicke-

rung) oder eine Veränderung des Impulses (z.B durch die Hangabtriebskraft, wie

in [1] beschrieben ) erreichen. Mit R als Regenterm und I als Infiltrationsterm

sowie j

(x) als Funktion der Bodenkontur über [a, b] stellt sich das System so dar:

t

U

+

x

F

= S

(3.9)

R

- I

-gh

x

j

= S.

(3.10)

0

10

20

30

40

50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Regen

Versickerung

Hangabtriebskraft

Bodenkontur j(x)

13

3 Physikalische Grundlagen

Diese Gleichungen bilden ein System von nichtlinearen partiellen Differentialglei-

chungen. Es werden noch Anfangswerte zum Startzeitpunkt t

0

sowie Randwerte

benötigt.

h

(x, t

0

) = Start

h

(x) und uh(x, t

0

) = Start

uh

(x)

h

(x

rand

, t

) = h

rand

(t) und uh(x

rand

, t

) = uh

rand

(t)

Die Randwerte werden dabei so bestimmt, dass physikalische Vorgänge wie z.B.

Abfluss simuliert werden können.

Um den Typ der partiellen Differentialgleichung zu bestimmen betrachten wir die

Eigenwerte der Jacobimatrix des Systems:

J

=

F

U

= 0

1

uh

h

+ gh 2gh

.

Damit wird die Determinate von

(J - E) genau dann Null wenn:

1,2

=

uh

h

±

gh.

Da g

9.81 und h 0 erhält man zwei reelle Eigenwerte, damit ist das System

hyperbolisch [6]. Beim numerischen Lösen von hyperbolischen partiellen Differenti-

algleichungen ergeben sich oft ungewollte Oszillationen, dies muss bei der Auswahl

von Lösern für das jeweilige Problem berücksichtigt werden.

3.2 Strömung in porösen Medien, das Gesetz von

Darcy

Zur numerischen Berechnung von Grundwasserströmungen kann man das Gesetz

von Darcy [7], welches eine empirische Aussage über die Fließgeschwindigkeit

von Flüssigkeiten in porösen Medien macht, benutzen. Für ein zweidimensionales

Gebiet

= ([0, a] × [0, b]) R

+

× R

+

stellt es sich folgendermaßen dar:

V

(x, y) = -Kgrad(P (x, y)).

(3.11)

Dabei ist K der Durchlässigkeitsbeiwert, welcher nichtlinear vom Medium und

dessen Sättigung abhängt. Im Zuge dieser Arbeit wird von gesättigten Medien

ausgegangen. P ist der statische Druck im Medium. Die Größe und Richtung der

Fließgeschwindigkeit hängt demnach von der Druckverteilung und der Beschaf-

fenheit des Mediums ab. Mit dem Gesetz von der Erhaltung der Masse und den

Fließgeschwindigkeiten V

x

V

y

in x- und y-Richtung gilt in

:

x

V

x

(x, y) +

y

V

y

(x, y) = 0.

(3.12)

14

3 Physikalische Grundlagen

div

(V ) = 0

(3.13)

Schreibt man (3.11) in Komponenten:

V

x

(x, y) = -K

x

(P (x, y))

(3.14)

V

y

(x, y) = -K

y

(P (x, y))

(3.15)

und setzt es in (3.12) ein, so erhält man:

0 = -K

2

x

2

P

(x, y) - K

2

y

2

P

(x, y)

= -Kdiv (gradP )

= -KP

Die Laplace-Gleichung lässt sich mit numerischen Verfahren und entsprechenden

Randbedingungen lösen. Als Lösung erhält man die Druckverteilung im Gebiet

. Die Flüssigkeit fließt nun entsprechend dem Druckgefälle von Gebieten hohen

Drucks zu Gebieten niedrigeren Drucks.

15

4 Diskretisierung

4.1 Flachwassergleichung

4.1.1 Allgemeines Vorgehen

Zur numerischen Berechnung der allgemeinen Erhaltungsgleichung in einer Orts-

dimension

U

t

+

F

(U)

x

= 0

(4.1)

mit Differenzenverfahren überzieht man das betrachtete Gebiet zuerst mit einem

Gitter der Maschenweite dx in Orts- und dt in Zeit-Richtung wie in Abbildung 4.1.

Die diskreten Werte an den Schnittpunkten des Gitters bezeichnen wir mit U

n

j

, für

den diskreten Zeitwert ndt und den Ortswert bei jdx. Vor Beginn der Berechnung

t

U

n

j 1

U

n

j

U

n

j+1

U

n+1

j+1

U

n+1

j

U

n+1

j 1

U

n+2

j 1

U

n+2

j

U

n+2

j+1

Abbildung 4.1: Diskretes Gitter

sind die Werte für die erste Zeitschicht durch die Startwerte vorgegeben. Aus

16

Details

Seiten
Erscheinungsform: Originalausgabe
Jahr: 2008
ISBN (eBook): 9783836616287
DOI: 10.3239/9783836616287
Dateigröße: 2.2 MB
Sprache: Deutsch
Institution / Hochschule: Universität Rostock – Mathematik
Erscheinungsdatum: 2008 (Juli)
Note: 2,6
Schlagworte: mathematik flachwassergleichung differentialgleichung gesetz darcy lax-friedrich-verfahren

Autor

Matthias Siehl (Autor:in)

Stabile Integrationsverfahren für Darcy-Strömungen mit Abfluss-Randbedingungen

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Autor

Matthias Siehl (Autor:in)