Mathematische Analyse der Eignung quantilbasierter Risikomaße zur Definition der Mindestkapitalanforderungen unter Berücksichtigung der Ziele von Solvency II

Nallin, Verena

Titel: Mathematische Analyse der Eignung quantilbasierter Risikomaße zur Definition der Mindestkapitalanforderungen unter Berücksichtigung der Ziele von Solvency II

Mathematische Analyse der Eignung quantilbasierter Risikomaße zur Definition der Mindestkapitalanforderungen unter Berücksichtigung der Ziele von Solvency II

Zusammenfassung

Inhaltsangabe:Einleitung:
Parallel zum etwas bekannteren Regelwerk Basel II, das die Aufsicht von Banken und Kreditinstituten in rund 100 Staaten regelt, arbeitet die Europäische Kommission seit 1999 am Projekt Solvency II, durch das die Aufsicht von Versicherungsunternehmen weitläufig reformiert werden soll. Analog zu Basel II werden die Anforderungen der Aufsicht künftig in einer Drei-Säulen-Struktur gegliedert:
- Säule I Eigenmittelanforderungen.
- Säule II Aufsichtsrechtliches Überprüfungsverfahren.
- Säule III Marktdisziplin.
Im Rahmen der Säule I werden quantitative Vorgaben bezüglich der Höhe und der Berechnungsverfahren des vorzuhaltenden Risikokapitals formuliert. Risikokapital stellt dabei das Kapital dar, das von einem Versicherungsunternehmen vorgehalten werden muss, um dessen Fortbestand mit hoher Sicherheit gewährleisten zu können.
Die Säule II beinhaltet qualitative Regelungen bezüglich dem zukünftigen Überprüfungsverfahren durch die Aufsichtsbehörde. In Säule III sollen schließlich Publikationspflichten vorgegeben werden, die die Transparenz und Vergleichbarkeit der einzelnen Versicherungsunternehmen für die Versicherungsnehmer erhöhen. Damit sind die Versicherungsunternehmen auch aufgrund des Wettbewerbs zu einem effektiven Risikomanagement gezwungen.
Problemstellung:
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer Fragestellung der Säule I. Das Risikokapital soll in Zukunft durch Risikomaße berechnet werden. Unter Basel II ist derzeit die Verwendung des Risikomaßes Value-at-Risk zu einem Konfidenzniveau von 99% vorgeschrieben. Es stellt sich nun die Frage, welches Risikomaß am besten geeignet ist, um der Aufgabe der Risikokapitalberechnung unter Solvency II gerecht zu werden.
Es muss geklärt werden, nach welchen Kriterien ein Risikomaß als geeignet betrachtet werden kann, welche Eigenschaften es notwendigerweise erfüllen muss, ob unter diesen Vorgaben der Value-at-Risk ein geeignetes Risikomaß ist und welche Alternativen zum Value-at-Risk existieren. Der Fokus liegt dabei auf den Risikomaßen, die auf der Basis von Quantilen definiert werden.
Gang der Untersuchung:
Im ersten Kapitel werden die Grundlagen der Arbeit erarbeitet. Es werden die Begriffe Risiko, Risikokapital und Risikomaß sowie die Grundidee der Solvabilität erklärt und weitere Informationen zum Solvency II-Projekt gegeben.
In Kapitel 2 werden die Eigenschaften von Risikomaßen untersucht. Insbesondere werden Kohärenz und Konvexität, Verteilungsinvarianz […]

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Verena Nallin

Mathematische Analyse der Eignung quantilbasierter Risikomaße zur Definition der

Mindestkapitalanforderungen unter Berücksichtigung der Ziele von Solvency II

ISBN: 978-3-8366-0604-2

Druck Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2008

Zugl. Universität Trier, Trier, Deutschland, Diplomarbeit, 2007

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http://www.diplom.de, Hamburg 2008

Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Kapitel 1 Grundlagen

1.1 Risiko als Zufallsvariable

1.2 Risikokapital

Kapitel 2 Eigenschaften von Risikomaßen

2.1 Anforderungen an Risikomaße aus praktischer Sicht 14

2.2 Kohärenz und Konvexität

2.3 Charakterisierung von Risikomaßen durch ihre Akzeptanzmengen 21

2.4 Robuste Darstellung kohärenter Risikomaße

2.5 Verteilungsinvarianz 31

Kapitel 3 Risikomaße

3.1 Value-at-Risk

- Definition und Eigenschaften

- Der Value-at-Risk und die Subadditivität

- Kritik des Value-at-Risk

3.2 Expected Exceedence Measures

- Definition und Eigenschaften von WCE und AVaR

- Beziehungen zwischen den Risikomaßen VaR, WCE und AVaR

- Value-at-Risk und Average Value-at-Risk im GDV-Modell

III

3.3 Spektralrisikomaße

- Herleitung und Definition der Klasse der Spektralrisikomaße

- Die Bedeutung der Risikoaversionsfunktion

- Weitere Eigenschaften der Spektralrisikomaße

- Der Einsatz von Spektralrisikomaßen bei der Risikokapitalberechnung

Kapitel 4 Schlussbemerkung

Anhang 89

Quellenverzeichnis

Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 98

Einleitung

Parallel zum etwas bekannteren Regelwerk Basel II, das die Aufsicht von Banken und

Kreditinstituten in rund 100 Staaten regelt, arbeitet die Europäische Kommission seit

1999 am Projekt Solvency II, durch das die Aufsicht von Versicherungsunternehmen

weitläufig reformiert werden soll. Analog zu Basel II werden die Anforderungen der

Aufsicht künftig in einer Drei-Säulen-Struktur gegliedert:

Säule I

Eigenmittelanforderungen

Säule II

Aufsichtsrechtliches Überprüfungsverfahren

Säule III Marktdisziplin

Im Rahmen der Säule I werden quantitative Vorgaben bezüglich der Höhe und der Be-

rechnungsverfahren des vorzuhaltenden Risikokapitals formuliert. Risikokapital stellt

dabei das Kapital dar, das von einem Versicherungsunternehmen vorgehalten werden

muss, um dessen Fortbestand mit hoher Sicherheit gewährleisten zu können.

Die Säule II beinhaltet qualitative Regelungen bezüglich dem zukünftigen Überprü-

fungsverfahren durch die Aufsichtsbehörde. In Säule III sollen schließlich Publikations-

pflichten vorgegeben werden, die die Transparenz und Vergleichbarkeit der einzelnen

Versicherungsunternehmen für die Versicherungsnehmer erhöhen. Damit sind die Ver-

sicherungsunternehmen auch aufgrund des Wettbewerbs zu einem effektiven Risikoma-

nagement gezwungen.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer Fragestellung der Säule I. Das Risikokapi-

tal soll in Zukunft durch Risikomaße berechnet werden. Unter Basel II ist derzeit die

Verwendung des Risikomaßes Value-at-Risk zu einem Konfidenzniveau von 99% vor-

geschrieben. Es stellt sich nun die Frage, welches Risikomaß am besten geeignet ist, um

der Aufgabe der Risikokapitalberechnung unter Solvency II gerecht zu werden. Es muss

geklärt werden, nach welchen Kriterien ein Risikomaß als geeignet betrachtet werden

kann, welche Eigenschaften es notwendigerweise erfüllen muss, ob unter diesen Vorga-

ben der Value-at-Risk ein geeignetes Risikomaß ist und welche Alternativen zum Va-

lue-at-Risk existieren. Der Fokus liegt dabei auf den Risikomaßen, die auf der Basis von

Quantilen definiert werden.

Im ersten Kapitel werden die Grundlagen der Arbeit erarbeitet. Es werden die Begriffe

Risiko, Risikokapital und Risikomaß sowie die Grundidee der Solvabilität erklärt und

weitere Informationen zum Solvency II-Projekt gegeben.

In Kapitel 2 werden die Eigenschaften von Risikomaßen untersucht. Insbesondere wer-

den Kohärenz und Konvexität, Verteilungsinvarianz und Konsistenz zur stochastischen

Dominanz erster und zweiter Ordnung behandelt.

Im dritten Kapitel werden schließlich verschiedene Risikomaße untersucht. Der

Schwerpunkt liegt auf dem Value-at-Risk, dem Average Value-at-Risk und den kohären-

ten Spektralrisikomaßen.

Kapitel 4 rundet die Arbeit mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse und einer eige-

nen Stellungnahme ab.

Kapitel 1 Grundlagen

Im ersten Kapitel werden grundlegende Überlegungen angestellt, die bei der Suche nach

einem geeigneten Risikomaß für die Versicherungsbranche zu beachten sind.

Zunächst wird der Begriff Risiko aus (versicherungs-)betriebswirtschaftlicher Sicht

definiert und erklärt, welche Risiken in Versicherungsunternehmen existieren. Eine wei-

tere Frage ist, ob und inwiefern sich die Risiken des Versicherungsunternehmens von

denen einer Bank unterscheiden. Da die Unterschiede nicht unerheblich sind, können

die Regelungen von Basel II nicht auf Solvency II übertragen werden. Anschließend

wird die mathematische Definition eines Risikos formuliert. Ein finanzielles Risiko

wird dann interpretiert Zufallsvariable, deren positive Werte als Gewinn und deren ne-

gative Werte als Verlust interpretiert werden. Risiken werden gemessen durch Risiko-

maße. Diese werden ebenfalls mathematisch definiert und mögliche Anwendungen er-

läutert.

Im zweiten Abschnitt wird der Begriff des Risikokapitals behandelt. Es werden drei

wichtige Verwendungsmöglichkeiten für Risikokapital vorgestellt. Weiterhin wird der

Frage nachgegangen, welchen Zweck die Solvabilität im Versicherungsunternehmen er-

füllt und welche Anforderungen im Rahmen von Solvency II an die Solvabilität eines

Versicherungsunternehmens gestellt werden.

1.1 Risiko als Zufallsvariable

Bevor Risiko gemessen werden kann, muss zunächst geklärt werden, was Risiko genau

ist. In der Literatur finden sich zahlreiche Ansätze zur Erklärung von Risiko, die von

RÜNDL

/ W

INTER

([20]) wie folgt zusammengefasst sind: Risiko kann verstanden werden

als

die Gefahr einer Fehlentscheidung

die Unsicherheit über die Ergebnisse wirtschaftlichen Handelns

die Gefahr, einen Verlust zu erleiden

die mögliche Abweichung zwischen Plandaten und faktischen Daten

die auf wahrscheinlichkeitstheoretischer Basis kalkulierbare Unsicherheit zu-

künftiger Entwicklungen als Gegensatz zur Ungewissheit.

Ein Versicherungsunternehmen nimmt Prämien ein und bildet daraus Reserven (Rück-

stellungen, Rücklagen), um im Schadensfall die vertraglich vereinbarten Leistungen ge-

genüber den Versicherungsnehmern erbringen zu können. Das Versicherungsunterneh-

men unterliegt dem Risiko, dass die Einnahmen aus den Prämien (insbesondere auch die

Zinserträge der Kapitalanlage) nicht ausreichen, um die Reserven in der notwendigen

Höhe bilden zu können und noch vielmehr dem Risiko, dass die Schäden größer ausfal-

len als angenommen und die Reserven übersteigen.

Hierzu passend findet sich bei W

ENNINGER

([33], S. 13) folgende Definition:

,,Risiko ist die Gefahr der Abweichung der Vermögenswerte und Schäden von der Er-

wartung."

An Stelle des Erwartungswerts kann als Vergleichsmaßstab auch eine beliebige Vorga-

be (Planwert) gewählt werden. In der Definition kann man dann ,,Erwartung" durch

,,Vorgabe" ersetzen. Es sei an dieser Stelle ausdrücklich betont, dass somit unter Risiko

nicht nur die Möglichkeit einer negativen Abweichung von einer Vorgabe oder der Er-

wartung verstanden wird, sondern auch die Möglichkeit einer positiven Abweichung.

Die Versicherungsnehmer begeben sich mit Abschluss eines Versicherungsvertrags in

die Risikosituation, dass der Versicherer nicht dazu in der Lage sein könnte, sein Leis-

tungsversprechen vollständig zu erfüllen. Dies ist aus Sicht der Versicherten und somit

auch aus Sicht der Aufsicht zu verhindern. Das Insolvenzrisiko stellt aus Sicht der Ver-

sicherungsnehmer und der Aufsicht das zu regulierende Risiko dar. Ein Unternehmen ist

insolvent, wenn es zahlungsunfähig oder überschuldet ist (vgl. § 88 Abs. 2 VAG).

Wenn das Insolvenzrisiko reguliert werden soll, dann muss vor allem die Gefahr einer

negativen Abweichung der Vermögenswerte und Schäden von der Erwartung (Downsi-

de Risk) gemessen werden. Positive Abweichungen sind dennoch möglich. Dies macht

Sinn, wenn man das Gesamtrisiko eines Unternehmens auf der Basis von Einzelrisiken

berechnet, wie es im Rahmen von Solvency II vorgesehen ist. Positive Abweichungen

mindern dann das Gesamtrisiko.

LBRECHT

/ K

ORYCIORZ

([8]) unterteilen die Risiken eines Versicherungsunternehmens in

Performancerisiken, die die Erfolgsebene des Unternehmens betreffen, und in Liquidi-

tätsrisiken, die die Zahlungsebene des Unternehmens betreffen. Im Versicherungsunter-

nehmen sind die Performancerisiken dominant. Sie können unterteilt werden in Über-

schuldungsrisiken, die insbesondere die Gefahr des Verzehrs des vorhandenen Eigenka-

pitals betreffen und in Profitabilitätsrisiken, also der Gefahr, dass die angestrebte Min-

destkapitalrendite nicht erreicht wird. Die Performance eines Versicherungsunterneh-

mens wird in zwei Bereichen erwirtschaft: im versicherungstechnischen Bereich (Pas-

sivseite) und im Bereich der Kapitalanlage (Aktivseite). Die wichtigsten Risiken im

versicherungstechnischen Bereich liegen darin, dass die kalkulierten Prämien für das

Neugeschäft nicht ausreichen, um den daraus entstehenden Schaden zu decken, und

dass die Rückstellungen aus dem Geschäft früherer Perioden für die daraus entstehen-

den Verpflichtungen nicht ausreichen. Auf der Aktivseite besteht die Gefahr, dass

Markt- oder Buchwertverluste der Kapitalanlagen auftreten und aus den Kapitalanlagen

zu wenig Einkommen in Gestalt von Zinsen, Dividenden und realisierten Kursgewinnen

erzielt wird. In beiden Bereichen bestehen ferner Bonitätsrisken; diese betreffen zum

Beispiel das Risiko, dass die Zahlungen aus Rückversicherungsbeziehungen nicht ge-

leistet werden oder einen möglichen Kontrahentenausfall.

Auf der Passivseite unterscheiden sich die Risiken eines Versicherungsunternehmens

ganz erheblich von denen einer Bank. Der Kalkulation der Prämien und Rückstellungen

liegen insbesondere Annahmen über die Schadenwahrscheinlichkeiten und die Schaden-

höhe zugrunde, wobei Schäden etwa im Bereich der Schadenversicherung durch Natur-

katastrophen oder Unfälle entstehen oder im Bereich der Lebens- und Rentenversiche-

rung durch den sehr frühen oder sehr späten Tod eines Versicherungsnehmers. Der Kal-

kulation liegen also Ereignisse zugrunde, die den Bankensektor - wenn überhaupt nur

indirekt betreffen. Dahingegen könnte man annehmen, dass die Risiken auf der Aktiv-

seite bei Versicherungsunternehmen und Banken gleicher Natur sind. Dies ist jedoch im

Allgemeinen nicht der Fall. Nach A

LBRECHT

. ([7]) liegt ein wesentlicher Unter-

schied darin, dass für ein Versicherungsunternehmen die Kapitalanlage nicht das Kern-

geschäft bildet, sondern sie betreiben die Kapitalanlage, um den eingegangen Ver-

pflichtungen gegenüber den Versicherungsnehmern Genüge leisten zu können. Der

Handel mit Kapitalanlagen tritt also in den Hintergrund, der zeitliche Rahmen ist nicht

kurz- sondern mittel- bis langfristig ausgelegt.

Die Risiken im versicherungstechnischen Bereich spielen in Versicherungsunternehmen

die entscheidende Rolle. Da sich die Risiken eines Versicherungsunternehmens stark

von denen einer Bank unterscheiden können, können auch die Regelungen unter Basel

II nicht ohne Weiteres auf die Versicherungsbranche übertragen werden.

Mathematisch gesehen versteht man unter Risiko den zukünftigen und zufälligen Wert

einer finanziellen Position (vgl. B

ÄUERLE

/ M

UNDT

([10])). Eine solche Finanzposition

kann zum Beispiel sein

- die Höhe eines aus einem Finanzinvestment resultierenden Endvermögen

- der Periodenerfolg eines Unternehmens

- die Veränderung der anfänglich gestellten Schadenreserve für einen Versicherungsbe-

stand über eine Periode (vgl. A

LBRECHT

([6])).

Wie in diesen drei Beispielen gegeben, werden auch im Folgenden nur solche Finanzpo-

sitionen betrachtet, deren positive Werte einen Gewinn und deren negative Werte einen

Verlust für das VU darstellen. Dies entspricht der Notation bei B

ÄUERLE

/ M

UNDT

([10])

und A

RTZNER

. ([9]).

Insgesamt ergibt sich die folgende Definition (vgl. B

ÄUERLE

/ M

UNDT

([10])).

Definition 1.1 :

Risiko

A ist ein Messraum. Eine reellwertige Zufallsvariable X auf , A

heißt Risiko , wenn X den zukünftigen Wert einer finanziellen Position am Ende

einer Betrachtungsperiode

0, T darstellt.

Der Raum aller interessierenden Risiken wird mit X bezeichnet . X sei ein

Vektorraum , der die konstanten Funktionen enthält. Alle X

X seien reellwertig

und beschränkt.

Im betrachteten Kontext ist die Betrachtungsperiode im Allgemeinen ein Jahr. Um das

Risiko quantifizieren zu können, werden Funktionen Risikomaße definiert, die ei-

nem Risiko eine reelle Zahl zuordnen (vgl. A

RTZNER

. ([9])).

Definition 1.2 :

Risikomaß

Eine Abbildung

: X heißt Risikomaß.

Die Messung des Risikos als reelle Zahl ermöglicht einen Vergleich verschiedener Fi-

nanzpositionen (Investments) hinsichtlich ihres Risiko-Werts. Die Finanzpositionen

können hinsichtlich ihres Risiko-Werts geordnet werden (vgl. S

ZEGÖ

([30])). Allerdings

gehen bei der Abbildung auf die reellen Zahlen viele Informationen verloren, insbeson-

dere können sehr unterschiedlich beschaffene Risiken den gleichen Wert zugewiesen

bekommen. Aus diesem Grund ist es notwendig, zusätzliche Eigenschaften für Risiko-

maße zu definieren (vgl. B

ÄUERLE

MUNDT

([10])).

Es sei noch bemerkt, dass gemäß B

ÄUERLE

/ M

UNDT

([10]) der Einfachheit halber ange-

nommen wird, dass alle Beträge bereits diskontiert sind. Die Berücksichtigung einer

Diskontierungsrate ist durch eine einfache Transformation des Risikomaßes möglich

(siehe F

ÖLLMER

/ S

CHIED

([17], S. 154)).

Es gibt zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten für Risikomaße (vgl. B

ÄUERLE

/ M

UNDT

([10])), von denen drei im Folgenden kurz erläutert werden sollen.

Optimale Portfolio-Selektion. Risikomaße können in der Portfoliotheorie im Modell von

Markowitz anstatt der Varianz bzw. Standardabweichung eingesetzt werden. Im Modell

von Markowitz entscheiden Investoren auf der Basis des Erwartungswerts und der Stan-

dardabweichung der Renditen von verschiedenen Wertpapieren, wie ihr Portfolio zu-

sammengesetzt sein soll. Dabei gibt der Erwartungswert den Ertrag an und die Stan-

dardabweichung misst das Risiko. Das Modell von Markowitz ist also ein Risiko-Wert-

Modell. Dabei gilt die Annahme, dass ein Investor aus zwei Portfolios mit identischem

Risiko dasjenige mit dem größeren Ertrag wählt (Nutzenmaximierung) und aus zwei

Portfolios mit identischem Ertrag dasjenige mit dem geringsten Risiko wählt (Risiko-

aversion). Da die Standardabweichung jedoch einen sehr einfachen Ansatz zur Risiko-

messung darstellt und insbesondere nicht das Downside Risk misst, sondern ein Streu-

ungsmaß darstellt, kann sie durch neuere Risikomaße ersetzt werden.

Bestimmung von Risikokapital. Risikokapital gibt denjenigen Kapitalbetrag an, der an-

gelegt werden muss, um das Risiko einer Finanzposition im Rahmen von gewissen Vor-

gaben (z.B. betrachteter Zeitraum, Konfidenzniveau, angenomme Verteilung) zu elimi-

nieren. Die Anwendung von Risikomaßen zur Berechnung von Risikokapital ist das

Hauptthema dieser Arbeit, und der Begriff ,,Risikokapital" wird im folgenden Abschnitt

noch näher erklärt.

Verfahren der Risikokapitalallokation. Wird für ein Unternehmen der Gesamtbedarf an

Risikokapital berechnet, so stellt sich anschließend die Frage, wie dieses Gesamtkapital

auf die einzelnen Unternehmensbereiche aufzuteilen ist. Damit lässt sich feststellen,

welche Bereiche besonders risikobehaftet sind und welchen Betrag jeder Bereich erwirt-

schaften muss, um seinen Anteil am Gesamtbedarf an Risikokapital zu decken. Dazu

werden Allokationsprinzipien definiert, dies sind Funktionen

: J

, ... , K

Dabei ist

ein gegebenes kohärentes Risikomaß, X der Gesamtkapitalbedarf

des Unternehmens, J die Indexmenge der einzelnen Unternehmensbereiche und es gilt

= X . Für Allokationsprinzipien existiert - ähnlich wie in Abschnitt 2.2 für

Risikomaße ein Axiomensystem, das ein kohärentes Allokationsprinzip definiert und

gewährleisten soll, dass eine faire Verteilung des Gesamtkapitalbedarfs auf die einzel-

nen Bereiche stattfindet. Ein kohärentes Risikokapitalallokationsverfahren ist zum Bei-

spiel die Kovarianzbasierte Kapitalallokation.

1.2 Risikokapital

Risikokapital wird berechnet, um den möglichen Verlust einer risikobehafteten Finanz-

position oder (Unternehmens-)Aktivität auszugleichen. Im Wesentlichen gibt es drei Si-

tuationen für den Einsatz von Risikokapital:

1. Im Rahmen einer Budgetlimitierung können Risikokapitalbeträge als Vorgaben für

einzelne Geschäftseinheiten, die risikobehaftete Aktivitäten durchführen, angegeben

werden. Zum Beispiel kann eine Bank, die mehrere Händler beschäftigt, die für sie mit

Wertpapieren handeln, diesen Händlern die Vorgabe machen, dass die gehandelten Pa-

piere bzw. ein Portfolio nicht mehr als eine bestimmte Höhe von Risikokapital erfordern

dürfen.

2. Um an einem organisierten Exchange (z.B. Eurex, CBOT Chicago Board of Trade)

Wertpapiere (insbesondere Derivate) handeln zu können, muss ein Händler dort ein

Konto eröffnen und eine Margin hinterlegen, um eventuelle Verluste absichern zu kön-

nen. Die Margin Requirements werden immer wieder angepasst und werden in Form

von Risikokapital berechnet, abhängig davon, welche Wertpapiere sich gerade im Port-

folio befinden.

3. Die Aufsichtsbehörde macht Vorschriften für ein Mindestkapital, das Banken oder

Versicherungen vorhalten müssen, um sich gegen Insolvenz zu schützen.

In dieser Arbeit interessiert insbesondere der dritte Punkt. Im Rahmen von Solvency II

soll die Berechnung der Mindestkapitalanforderungen mit einem sogenannten Risk-Ba-

sed Capital Modell für Erstversicherungsunternehmen vorgeschrieben werden. Ob

und inwiefern solche Kapitalanforderungen auch für Rückversicherungsunternehmen

gelten werden, steht derzeit noch nicht fest, deshalb wird in dieser Arbeit nur auf Erst-

versicherungsunternehmen eingegangen, die sich im Wesentlichen in die drei Sparten

Lebensversicherung, Krankenversicherung und Schadenversicherung einteilen lassen.

In diesem Zusammenhang wird Risikokapital gebildet, um die Insolvenz eines Versi-

cherungsunternehmens mit großer Wahrscheinlichkeit zu verhindern. Die Begriffe ,,Ri-

sikokapital" und ,,Sicherheitskapital" sind Synonyme (vgl. K

ORYCIORZ

([26])). Das Risi-

kokapital ist jedoch nicht identisch mit dem Eigenkapital. In Bezug auf Versicherungs-

unternehmen wird häufig der Begriff ,,Solvabilität" (englisch: ,,solvency requirement",

,,solvency margin") verwendet.

Nach F

ARNY

([16], S. 778-779) beruht die ,,Grundidee der Solvabilität" auf drei Aspek-

ten:

- Die Gesamtrisikolage eines Versicherungsunternehmens wird auf der Basis von Grö-

ßen aus dem Jahresabschluss (soweit ausreichend) geschätzt.

- Daraus wird die erforderliche Mindestausstattung mit Solvabilitätsmitteln abgeleitet.

Es gilt die Hypothese, dass die Mindestausstattung mit Solvabilitätsmitteln eine Min-

destsicherheit des Versicherungsunternehmens bewirkt.

- Falls die vorhandenen Solvabilitätsmittel die erforderliche Mindestausstattung unter-

decken, schreitet die Aufsichtsbehörde mit Sanktionen ein.

Das allgemeine Ziel der Berechnung der Solvabilität bzw. des Risikokapitals ist also si-

cherzustellen, dass genügend Eigenmittel vorhanden sind, um Verluste decken und da-

mit die Existenz des Versicherungsunternehmens sichern zu können. Nach K

RIELE

([27]) haben regulatorische Solvabilitätsanforderungen in der Versicherungswirtschaft

die Hauptfunktionen Schutz der Versicherten und Erhalt der Versicherungsunterneh-

men. Die Insolvenz eines Versicherungsunternehmens kann wegen des typischerweise

hohen Kapitalanlagevolumens die Stabilität der Kapitalmärkte und die gesamtwirt-

schaftliche Stabilität einer Volkswirtschaft gefährden. Bei Solvency II kommt ein quali-

tativer Aspekt hinzu, da die Risikoorientierung und Risikoeinschätzung gefördert und

gestärkt werden soll.

Bisher wurde die Solvabilität mithilfe einfacher Formeln auf der Basis der technischen

Reserven (im Lebensversicherungsbereich) und Prämien oder historischen Schäden (im

Sachversicherungsbereich) berechnet (vgl. K

RIELE

. ([27]), G

RÄWERT

. ([19]);

Details zum derzeit gültigen Berechnungsverfahren finden sich bei M

ÜLLER

([28])).

Die Ziele des Solvency II-Projekts sind insbesondere:

die Vereinheitlichung des Versicherungsaufsichtsrechts auf EU-Ebene,

eine unternehmensspezifische und damit risikogerechtere Ermittlung der Eigenmit-

telanforderungen,

die Erfassung aller Risiken mit ihren gleichzeitigen Wirkungen auf das Gesamtunter-

nehmen,

die Kompatibilität des neuen Aufsichtsrechts und der neuen Eigenmittelanforderun-

gen mit den Rechnungslegungsvorschriften IAS/IFRS,

eine Bewertung der Aktiva und Passiva aus Marktwertsicht (im Gegensatz zur Buch-

wertsicht),

die Vermeidung der Insolvenz eines Versicherungsunternehmens mit der besonderen

Motivation, die Versicherungsnehmer zu schützen.

Unter Solvency II wird künftig zwischen einem Mindestkapital (Absolute Minimum

Margin) und einem ökonomischen Kapital (Solvency Capital Requirement, SCR) unter-

schieden. Das Mindestkapital stellt dabei das Eigenkapital dar, das notwendigerweise

zur Aufrechterhaltung des Geschäftsbetriebs vorhanden sein muss. Das ökonomische

Kapital stellt das ökonomisch wünschenswerte Kapital dar, das einen sinnvollen Ge-

schäftsbetrieb ermöglicht und wird daher auch Zielkapital genannt. Bei Unterschreitung

des Mindestkapitals ist der Geschäftsbetrieb einzustellen, bei Unterschreitung des öko-

nomischen Kapitals greift die Aufsicht in den Geschäftsbetrieb ein. Ein Versicherungs-

unternehmen erfüllt die Eigenmittelanforderungen der Aufsicht somit nur dann vollstän-

dig, wenn mindestens ein Eigenkapital in Höhe des SCR vorgehalten wird.

Der Nachweis, dass die Eigenmittelanforderungen erfüllt sind, soll in Zukunft auf zwei

verschiedene Arten erbracht werden können: durch Verwendung eines Standardmodells

oder durch Verwendung eines internen Risikomodells. Das Standardmodell wird von

der Aufsicht einheitlich bereitgestellt, während das interne Modell im Unternehmen in-

dividuell entwickelt wird. Ein internes Risikomanagement gilt nach vorherrschender

Meinung als beste Absicherung gegen Insolvenz, die Entwicklung eines solchen Mo-

dells ist jedoch sehr kostspielig. Deshalb wird erwartet, dass vor allem kleine und mit-

telständische Versicherungsunternehmen das Standardmodell vorziehen werden.

Gleichzeitig soll das Standardmodell durch einfache Modellbildung und konservative

Parameterschätzung Anreize zur Einführung eines internen Risikomanagements enthal-

ten. Durch ein unternehmensindividuelles Modell ist es möglich, niedrigere Eigenmit-

telanforderungen auszuweisen.

Der Gesamtverband der deutschen Versicherungswirtschaft (GDV) hat im Sommer

2005 einen Vorschlag für ein europaweites Standardmodell veröffentlicht, mit dem ins-

besondere das SCR berechnet werden kann. Weiterhin werden Prinzipien zur Bestim-

mung des vorhandenen Solvenzkapitals (Available Solvency Margin, ASM) im Unter-

nehmen formuliert. Der Vorschlag stellt eine Weiterentwicklung des vorherigen GDV-

Standardmodells dar und folgt insbesondere den Vorschlägen der International Actuari-

al Association (IAA). Die Eigenmittel, die ein Versicherungsunternehmen vorhalten

muss, werden so errechnet, dass das Versicherungsunternehmen mit einer Ruinwahr-

scheinlichkeit von 0,5% innerhalb des nächsten Jahres nicht insolvent wird. Ziel war die

Entwicklung eines Modells, das risikotheoretischen Erkenntnissen gerecht wird. Sol-

vency II verfolgt dabei insbesondere den Anspruch, dass alle Risiken, die das Versiche-

rungsunternehmen betreffen sowohl auf der Aktiv- als auch auf der Passivseite - mit

ihren gleichzeitigen Wirkungen (aggregiert) auf das Gesamtunternehmen erfasst wer-

den.

Kapitel 2 Eigenschaften von Risikomaßen

In diesem Kapitel soll untersucht werden, welche Eigenschaften ein mögliches Risiko-

maß zur Risikokapitalberechnung auszeichnen können. Zunächst stellt sich die Frage,

welche Anforderungen aus praktischer Sicht notwendig sind. Anschließend wird das

Axiomensystem von A

RTZNER

. ([9]) vorgestellt, das kohärente Risikomaße defi-

niert. F

ÖLLMER

/ S

CHIED

([17]) wählen ein etwas schwächeres Axiomensystem, mit dem

konvexe Risikomaße definiert werden. Konvexität steht jedoch nicht in Konkurrenz zur

Kohärenz, da sich Konvexität von Kohärenz nur durch das Fehlen der positiven Homo-

genität unterscheidet. Beide Eigenschaften können durch die Akzeptanzmenge eines Ri-

sikomaßes und durch die Darstellungssätze näher charakterisiert werden. Das Kapitel

schließt ab mit einem Abschnitt über die Eigenschaft der Verteilungsinvarianz, die es

ermöglicht, Risikomaße in Zusammenhang zur Erwartungsnutzentheorie zu stellen.

Im Folgenden ist ,

A ein beliebiger Messraum bzw. ,A , P ein beliebiger

Wahrscheinlichkeitsraum mit Wahrscheinlichkeitsmaß P, sofern keine zusätzlichen Be-

dingungen an

A oder ,A , P formuliert werden. X bezeichnet nach

Definition 1.1 den Raum der interessierenden Zufallsvariablen.

2.1 Anforderungen an Risikomaße aus praktischer Sicht

Um im Folgenden geeignete Güteeigenschaften formulieren zu können und geeignete

Risikomaße vorstellen zu können, muss zunächst überlegt werden, welche Anforderun-

gen ein Risikomaß aus praktischer Sicht erfüllen sollte, wenn es zur Bestimmung des

Risikokapitals eines Versicherungsunternehmens verwendet wird. G

RÜNDL

/ W

INTER

(vgl.

[20], S. 186) nennen die folgenden fünf Kriterien:

1) Alle wesentlichen Aspekte der Risikoposition eines Versicherungsunternehmens sol-

len vollständig erfasst werden.

2) Das Risiko soll in Geldeinheiten gemessen werden.

3) Es sollte eine ökonomisch verständliche Interpretation des Risikomaßes möglich

sein.

4) Das Verfahren der Risikomessung soll besonders praktikabel sein, d.h. das verwen-

dete Risikomaß sollte leicht zu ermitteln sein und keine speziellen Anforderungen an

die zugrunde liegenden Daten oder eine spezielle Verteilungsfunktion voraussetzen.

5) Die Determinanten der Risikomessung sollen objektiv bestimmbar sein, um den Ver-

gleich zwischen mehreren Versicherungsunternehmen zu ermöglichen.

Nach K

NOBLOCH

([25]) stellt die mögliche Insolvenz eines Versicherungsunternehmens

die größte Gefahr dar. Denn wenn ein Versicherer insolvent wird, bedeutet dies einen

Vermögensverlust für die versicherten Personen und einen Vertrauensverlust für die ge-

samte Branche. Zudem entstehen für das gesamte soziale System Kosten, wenn Verluste

durch einen Fonds o. ä. aufgefangen werden sollen. Deshalb sollte ein Risikomaß die

Wahrscheinlichkeit einer Insolvenz kontrollieren und eine Aussage über die Höhe des

möglichen Überschadens machen. K

NOBLOCH

([25]) führt außerdem an, dass die Unter-

nehmensleitung eines Insolvenz-gefährdeten Unternehmens empfänglich sein kann für

eine ,,all-or-nothing"-Strategie, die das Risiko für die Branche und das Finanzsystem

zusätzlich erhöht. Deshalb sollte ein Risikomaß ein Indikator dafür sein, ob das Risiko-

profil eines Unternehmens einen kritischen Punkt überschreitet.

In der Diskussion um die Eignung eines Risikomaßes wird außerdem häufig geprüft, ob

es zu der Finanztheorie im traditionellen Sinne passt, also etwa ob es Diversifikationsef-

fekte abbildet und mit der Erwartungsnutzentheorie im Sinne von Neumann / Morgens-

tern bzw. dem Bernoulli-Prinzip (,,Maximiere deinen Erwartungsnutzen!") in Einklang

steht, siehe hierzu z. B. D

OWD

([14]). Auch wenn es keinen Anforderungskatalog gibt, in

dem dies explizit für Risikomaße zur Bestimmung eines regulatorischen Mindestkapi-

tals gefordert wird, werden im Folgenden Risikomaße auch unter diesen Aspekten un-

tersucht. Denn die Inkonsistenz mit diesen Prinzipien schafft Anreize zu einem Verhal-

ten, das Risiken zusätzlich erhöhen kann.

2.2 Kohärenz und Konvexitä

Da in dieser Arbeit Risikomaße im Hinblick auf eine Verwendung bei Solvency II be-

handelt werden sollen, werden im weiteren Verlauf vor allem Risikomaße untersucht,

deren Wert in Geldeinheiten gemessen werden und als Kapitalanforderung interpretiert

werden kann. F

ÖLLMER

/ S

CHIED

([17], S. 153) formulieren dazu den Begriff eines mone-

tären Risikomaßes.

Definition 2.1 :

monetäres Risikomaß

Eine Abbildung

: X heißt monetäres Risikomaß , wenn für alle X , X

, X

die folgenden Bedingungenerfüllt sind :

-Monotonie : Wenn X

ist , dann gilt

-Translationsequivarianz: Für m gilt X m = X -m.

Die Eigenschaft der Monotonie fordert, dass das Verlustrisiko einer Position X

höchstens so groß ist wie das Verlustrisiko einer Position X

, wenn die Auszahlung

von X

in jedem Zustand mindestens so groß ist wie die von X

Die Eigenschaft der Translationsequivarianz ermöglicht die Interpretation von

als regulatorische Kapitalanforderung.

X ist der Betrag, der zur Position X hinzu-

gefügt werden soll, um das Risiko der Position im Sinne der Aufsicht akzeptabel zu ma-

chen. Wenn der Betrag m zusätzlich zur riskanten Finanzposition X risikofrei angelegt

wird, dann reduziert sich die Kapitalanforderung gerade um den Betrag m. Aus der

Translationsequivarianz folgt

X X = X - X = 0 . Durch Hinzufü-

gen des Betrags

X zur Position X ergibt sich also eine risikoneutrale Position mit

Risikowert 0. Zu beachten ist allerdings, dass diese Position nur im mathematischen

Sinn risikoneutral ist. Mathematische Risikoneutralität und Risikoneutralität in der rea-

len Welt stimmen nicht überein, da es sich nur um ein Modell handelt.

Es wird nun gezeigt, dass monetäre Risikomaße Lipschitz-stetig sind (vgl. F

ÖLLMER

CHIED

([17], S. 154). Für X

X ist die Supremumsnorm definiert durch

X sup

{X } .

Lemma 2.2 :

Lipschitz-Bedingung

Ein monetäres Risikomaß

erfüllt eine Lipschitz-Bedingung bezüglich der

Supremumsnorm

X - Y X -Y .

Insbesondere sind monetäre Risikomaße stetig.

Beweis :

Offensichtlich gilt für X , Y

YX-Y

X YX-Y

TEqu

X Y-X-Y

Y- X X-Y

Durch Vertauschen von X und Y gilt gleichermaßen

X- Y X-Y.

Damit folgt

X-Y X-Y.

Um die Güte eines Risikomaßes beurteilen zu können, hat sich die Eigenschaft der Ko-

härenz von A

RTZNER

. ([9]) durchgesetzt. A

RTZNER

. ([9]) haben ein Axiomen-

system eingeführt für Risikomaße, die zur Feststellung einer Kapitalanforderung ver-

wendet werden. Da sich ein monetäres Risikomaß bereits durch Monotonie und Trans-

lationsequivarianz auszeichnet, fehlen zur Kohärenz nur noch zwei Eigenschaften.

RTZNER

. ([9]) definieren ein Risikomaß als kohärent, wenn es monoton, translati-

onsequivariant, positiv homogen und subadditiv ist. Der Begriff des monetären Risiko-

maßes wird vor allem von F

ÖLLMER

/ S

CHIED

([17]) verwendet. Die folgende Definition

entspricht also derjenigen von F

ÖLLMER

/ S

CHIED

([17], S. 155).

Definition 2.3 :

Kohärenz

Ein monetäres Risikomaß heißt kohärent , wenn esdie folgenden Bedingungenerfüllt :

-Subadditivität : Es ist X

für alle X

, X

X und

-Positive Homogenität : X = X für 0.

Ein äquivalentes Axiomensystem für Kohärenz ist gegeben, wenn man die Eigenschaft

der Monotonie durch die Eigenschaft der Positivität ersetzt.

heißt positiv, wenn für

alle X

X mit X 0 gilt, dass X 0 ist (vgl. A

CERBI

([1])). Um zu zeigen,

dass die Monotonie durch die Positivität ersetzt werden kann, werden zwei Fälle unter-

schieden. Es seien zunächst X

0 und Y 0 gegeben. Dann folgt aus der Positivi-

tät, dass

X 0 und Y 0 ist. Insgesamt ist also X

Y und X Y .

Im zweiten Fall seien X , Y

0 gegeben mit X Y . Dann gilt X 0 und

Y 0 . Mit der Supremumsnorm folgt aus der Positivität

-Y

0 und

Y -Y

0 . Mit der Translationsequivarianz von folgt insbesondere

X Y .

Bei positiver Homogenität besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Größe ei-

ner Finanzposition und ihrem Risikowert. Insbesondere ist ein positiv homogenes Risi-

komaß auch normiert, d.h.

0=0 , denn es gilt 0 = 0X = 0 X = 0 .

Die Notwendigkeit der positiven Homogenität ist umstritten, da insbesondere beim Auf-

treten von Liquiditätsrisiken nicht von einem linearen Zusammenhang zwischen der

Größe einer Finanzposition und ihrem Risiko ausgegangen werden kann. Wenn man

zum Beispiel eine große Menge von Aktien von einem einzigen Unternehmen besitzt,

kann man diese Aktien nicht alle auf einmal wieder verkaufen, da sonst das Angebot zu

groß wird und der Preis stark abfällt. Ab einer gewissen Menge von Aktien entsteht also

ein zusätzliches Liquiditätsrisiko, da man nicht alle Aktien jederzeit wieder verkaufen

kann (siehe hierzu auch A

CERBI

([2], Remark 1.3)). Daher verzichten F

ÖLLMER

/ S

CHIED

([17]) auf diese Eigenschaft und fordern statt Kohärenz die Eigenschaft der Konvexität.

Definition 2.4 :

Konvexität

Ein monetäres Risikomaß heißt konvex , wenn für X

, X

X und 01 gilt

1- X

Wenn ein Risikomaß positiv homogen ist, dann ist die Eigenschaft der Konvexität äqui-

valent zur Eigenschaft der Subadditivität, denn wenn

konvex ist, so gilt für =

dass

ist. Durch Multiplikation mit 2 ergibt sich

. Aufgrund der positiven Homogenität von er-

gibt sich

, und damit ist subadditiv. Deshalb kann

man auch sagen, ein monetäres Risikomaß ist kohärent, wenn es positiv homogen und

konvex ist. Konvexität unterscheidet sich von Kohärenz also nur durch das Fehlen der

positiven Homogenität. Daher kann man bei Konvexität auch von ,,schwacher Kohä-

renz" sprechen (vgl. S

ZEGÖ

([30])).

Wenn man ein Portfolio aus zwei Finanzpositionen bildet, indem man den Anteil

seines Vermögens in X

investiert und den Anteil

1- in X

, erhält man die

Position

1- X

. Aufgrund der Eigenschaft der Konvexität verringert Di-

versifikation das Risiko der Gesamtposition (vgl. F

ÖLLMER

/ S

CHIED

([17], S. 154)).

Ist ein Risikomaß subadditiv, so wird das Gesamtrisiko der zusammengefassten Positio-

nen höchstens so hoch bewertet wie die Summe der Einzelrisiken. Unter Bezugnahme

auf die in Abschnitt 1.2 genannten drei Einsatzmöglichkeiten für Risikomaße kann das

Fehlen von Subadditivität folgende Konsequenzen haben (vgl. D

OWD

([14], S. 33-34)):

1. Wenn das Risikomaß genutzt wird, um Vorgaben an einzelne Geschäftseinheiten

oder Händler zu machen, dann dient bei Subadditivität die Summe der einzelnen Vorga-

ben als konservative obere Schranke für den möglichen gesamten Verlust. Bei Nicht-

subadditivität hingegen ist aufgrund der einzelnen Vorgaben keine Aussage über das

Gesamtrisiko möglich.

2. An einem organisierten Exchange, an dem die Margins mit einem nicht-subadditiven

Risikomaß berechnet werden, werden Händler versuchen, ihre Positionen auf mehrere

Konten zu verteilen, um ihre Margin Requirements zu senken. Damit wäre die Summe

der Margins auf den einzelnen Konten nicht mehr ausreichend, um das Gesamtrisiko zu

tragen und damit ist der Exchange der Gefahr eines Verlusts ausgesetzt.

3. Wenn eine Aufsichtsbehörde ein Risikomaß verwendet, das nicht subadditiv ist, um

damit Mindestkapitalanforderungen festzulegen, dann besteht ein Anreiz, ein Unterneh-

men in mehrere rechtlich selbständige Einheiten aufzusplitten, um die Kapitalanforde-

rungen zu senken.

Ist ein Risikomaß nicht subadditiv, so entsteht durch die Addition von Risiken gewisser-

maßen ein zusätzliches Risiko, da die Summe der Risiken als riskanter bewertet wird als

die Einzelrisiken zusammen. Dies widerspricht jedoch dem allgemeinen Konsens in der

Finanzierungstheorie. Hierzu D

OWD

([14], S. 33): ,,For example, non-subadditivity is

treacherous because it suggests that diversification is a bad thing, which would suggest

the laughable conclusion that putting all your eggs into one basket might be good risk

management practice!"

Ferner spielt die Konvexität einer Funktion eine wichtige Rolle bei der Formulierung

und Lösung von Optimierungsproblemen. Ein nicht-konvexes Risikomaß besitzt kein

eindeutiges Minimum und ist damit zur praktischen Implementierung und Anwendung

nicht zu gebrauchen.

Das entscheidende Argument für die Notwendigkeit der Subadditivität oder wenigstens

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Erscheinungsform: Originalausgabe
Jahr: 2007
ISBN (eBook): 9783836606042
DOI: 10.3239/9783836606042
Dateigröße: 853 KB
Sprache: Deutsch
Institution / Hochschule: Universität Trier – IV Mathematik, Diplomstudiengang Wirtschaftsmathematik
Erscheinungsdatum: 2007 (Oktober)
Note: 2,0
Schlagworte: versicherungsmathematik risikokapital value-at-risk mathematik basel

Autor

Verena Nallin (Autor:in)

Mathematische Analyse der Eignung quantilbasierter Risikomaße zur Definition der Mindestkapitalanforderungen unter Berücksichtigung der Ziele von Solvency II

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Leseprobe

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Autor

Verena Nallin (Autor:in)