Knock-Out-Optionsscheine am deutschen Markt

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Problemstellung und themenadäquate Abgrenzung
1.2 Aufbau der Arbeit

2 Funktionsweise und Zahlungsprofil
2.1 Down-and-Out Calls
2.2 Up-and-Out Puts

3 Bewertungsmethoden
3.1 Bewertung in stetiger Zeit (BLACK/SCHOLES (1973))
3.1.1 Direkte Lösung der partiellen Differentialgleichung
3.1.2 Das Modell von RUBINSTEIN/REINER (1991)
3.1.2.1 Die Barriere
3.1.2.1.1 Absorbierende Barrieren
3.1.2.1.2 Reflektierende Barrieren
3.1.2.2 Die Dichtefunktion
3.1.2.2.1 Die unbeschränkte Dichtefunktion
3.1.2.2.2 Defective Density
3.1.2.3 Die Bewertungsformel
3.1.3 Kritische Würdigung
3.2 Bewertung in diskreter Zeit
3.2.1 Duplikation in einem Binomialbaum
3.2.2 Duplikation bei einem Zinssatz > 0
3.2.3 Ansätze zur Berücksichtigung der inkonstanten Volatilität
3.3 Kritische Würdigung

4 Sensitivitätsanalyse („Die Griechen“)
4.1 Wertverlauf
4.2 Das Delta
4.3 Das Gamma
4.4 Das Omega
4.5 Das Vega
4.6 Das Theta
4.7 Das Rho
4.8 Zusammenfassung

5 Einsatzmöglichkeiten
5.1 Knock-Out-Optionen als Absicherungsinstrumente
5.2 Knock-Out-Optionen als Spekulationsinstrumente
5.3 Knock-Out-Optionen als Hilfskonstrukte

6 Exkurs in die Praxis
6.1 Slippage Costs
6.2 Das Gap -Risiko
6.3 Open End -Produkte

7 Fazit

Anhang A

Anhang A

Anhang B

Anhang C

Anhang D

Anhang E

Anhang F

Literaturverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Analysis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Funktionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Logische Symbole

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Operatoren

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Relationssymbole

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Variablen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Szenario-Vergleich für den Underlying-Kursverlauf

Abbildung 2: Das Reflexionsprinzip

Abbildung 3: Binomialbaum der Aktienkurse

Abbildung 4: Die Werte des DOC

Abbildung 5: Duplikationsportfolio nach dem ersten Schritt

Abbildung 6: Duplikationsportfolio nach dem zweiten Schritt

Abbildung 7: Wertverlauf DOC und Vanilla Call

Abbildung 8: Delta

Abbildung 9: Gamma

Abbildung 10: Omega

Abbildung 11: Vega

Abbildung 12: Theta

Abbildung 13: Rho

Abbildung 14: Vertikaler Bull Spread

Abbildung 15: Alternatives Duplikationsportfolio nach dem zweiten Schritt C

Abbildung 16: Alternatives Duplikationsportfolio nach dem dritten Schritt C

Abbildung 17: Vanilla-Berechnungen als Bildschirmkopie ("Print Screen") D

Abbildung 18: DOC- Berechnungen als Bildschirmkopie ("Print Screen") E

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Kontraktspezifische Daten des exemplarischen DOC

Tabelle 2: Kontraktspezifische Daten des exemplarischen UOP

Tabelle 3: Portfolio 1

Tabelle 4: Portfolio 2

Tabelle 5: Portfolio 3

Tabelle 6: Open End-Produkt nach einem Tag

Tabelle 7: Die Anpassung des Finanzierungslevels und der Stop Loss-Marke

1 Einleitung

Im November 2001 stellte BNP Paribas ein neuartiges Finanzprodukt vor: Es wurde ein verbrieftes Derivat als Alternative zu herkömmlichen Optionsscheinen (sog. Plain Vanillas^[1] ) aus der Taufe gehoben, um eine einfache und vor allem transparente Preisbildung kommunizieren zu können. Diese Generation von Derivaten sollte ihre Existenzberechtigung vor allem dadurch erhalten, dass die den Plain Vanillas inhärenten Risiken wie der Einfluss der Volatilität und der Zeitwertverfall auf ein vernachlässigbar geringes Ausmaß minimiert werden. Die absoluten Kursbewegungen des Basiswertes sollen somit nahezu ‚eins zu eins’ umgesetzt werden, um die Hebelwirkung zu verstärken. Diese Vorteile werden jedoch durch eine eingebaute Knock-Out-Barriere erkauft, bei deren Verletzung das Produkt vorzeitig und endgültig wertlos verfällt.^[2]

Der Zeitpunkt der erstmaligen Emission wurde nicht zufällig ausgewählt, sondern vielmehr durch einen exogenen Schock begünstigt: Als Folge der Terroranschläge vom 11.September 2001 hatten die impliziten Volatilitäten^[3] der Plain Vanillas weltweit ein Rekordhoch erreicht.^[4] So kann ein Engagement in Zeiten relativ hoher Volatilitäten trotz richtiger Prognose des zukünftigen Underlying- Kursverlaufs mit einem Verlust enden. Dies ist immer dann der Fall, wenn anschließend sinkende Volatilitäten mehr am Zeitwert zehren, als am inneren Wert hinzu gewonnen wird.^[5]

Das Konzept führte zu einer solch immensen Nachfrage, dass die übrigen Banken innerhalb von wenigen Monaten mit ihren eigenen Versionen des Knock-Out-Produkts reagierten. Mit den unterschiedlichsten Produktbezeichnungen der Emittenten entstand so ein eigenständiges Marktsegment, das nach nur einem knappen Jahr mehr Prämieneinnahmen (in Euro) erzielte als die Plain Vanillas, die sich seit 1989 in Deutschland fest etablieren konnten und bis zu diesem Zeitpunkt kontinuierlich Umsatzzuwächse verzeichneten.^[6] Allein im ersten Halbjahr 2005 wurde in diesem Marktsegment (börslich und außerbörslich) mit 29,06 Milliarden € mehr Prämienvolumen generiert als mit Plain Vanillas, die für Einnahmen von 15,4 Mrd. € sorgten.^[7] Die Deutsche Börse AG berichtet in ihrem Rundschreiben vom Februar 2005 von dem Phänomen, dass trotz eines historischen Tiefs der impliziten Volatilitäten, das die Plain Vanillas vergleichsweise preiswert macht, die Beliebtheit der Knock-Out-Produkte ungebrochen ist.^[8]

Als Basiswert dienten zunächst Aktienindizes und einzelne Aktien. Inzwischen werden jedoch auch Devisen, Rohstoffe und Zinsen bedient.^[9] In der Long-Variante, die von steigenden Kursen des Basiswertes profitiert, entspricht das Produkt einem Down-and-Out Call und in der Short-Variante, die entsprechend bei Kursrückgängen Gewinne erzielt, einem Up-and-Out Put.^[10] Bei beiden Varianten handelt es sich um sog. Barrier-Optionen, die zu den pfadabhängigen Exotischen^[11] Optionen zählen.^[12] Im Vergleich zu Plain Vanillas zeichnen sich die ‚Exoten’ dadurch aus, dass sie eine günstigere und flexiblere Absicherungsmöglichkeit gegenüber ungewollten Entwicklungen bieten.^[13] Für pfadabhängige Optionen ist nicht nur der Basiswert-Kurs zum Fälligkeitszeitpunkt relevant, sondern auch der historische Kursverlauf. Barrier-Optionen verdanken ihren Namen der Barriere, bei deren Erreichen das Optionsrecht entweder auflebt (In-Option) oder erlischt (Out-Option); die Barriere kann bei Emission entweder unter dem aktuellen Underlying-Kurs liegen (Down-Option) oder aber darüber (Up-Option). Da man als drittes Ausstattungsmerkmal zwischen einer Kaufoption (Call) und einer Verkaufsoption (Put) unterscheiden kann, ergeben sich somit mindestens 8 (=23) Permutationen, die in der angelsächsischen Literatur erschöpfend behandelt werden.^[14]

Die in Deutschland als `Finanzinnovation´ zelebrierten Produkte werden dieser Auszeichnung allerdings nur national gerecht. Bereits im Jahre 1969, vier Jahre vor der Eröffnung der Chicago Board Options Exchange (CBOE), wird nämlich in einem Aufsatz über alternative Optionen ein Finanzderivat im US-amerikanischen außerbörslichen Handel beschrieben, das man heute als Down-and-Out Call bezeichnen würde.^[15] In den späten Achtzigern des letzten Jahrhunderts traten in den USA erstmals auch Up-and-Out Puts in Erscheinung, die an den japanischen Nikkei-Index gekoppelt waren.^[16] In Deutschland wurden auch vereinzelt Barrier-Optionen emittiert, bis Mitte der Neunziger Jahre horrende Verluste von großen Unternehmen wie Procter & Gamble und sogar ganzer Kommunen wie Orange County durch falschen Einsatz von Exotischen Optionen das gesamte Marktsegment in ein schlechtes Licht rückten.^[17]

1.1 Problemstellung und themenadäquate Abgrenzung

Angesichts der Erfolgsgeschichte dieses Produkts und der rasanten Entwicklung in diesem Marktsegment erscheint eine kritische, analytische Auseinandersetzung mit der Materie gerechtfertigt. Die zentralen Ziele der vorliegenden Arbeit bestehen deshalb darin, dieses Finanzinstrument aus der Sicht der Optionspreistheorie zu bewerten und zu analysieren. Diese Arbeit stellt einen Versuch dar, das als innovatives Nonplusultra propagierte Produkt in den theoretisch sachlichen Kontext einzuordnen und somit gewissermaßen zu „entmystifizieren“.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich ausschließlich mit Down-and-Out Calls und Up-and-Out Puts, da nur diese Varianten für den deutschen Kapitalmarkt relevant sind. Die Letzteren werden allerdings zur Vermeidung von Redundanz durch bloße spiegelbildliche Reproduktion nur da explizit behandelt, wo sie sich durch ihren Eigencharakter hierfür qualifizieren.^[18] Die In-Option wird nur in einem komplementären Sinne in Paritätsbeziehungen berücksichtigt. Soweit nicht explizit modifiziert, soll die Knock-Out-Barriere identisch mit dem Basispreis sein. Dies trägt nicht nur der deutschen Usance in der Praxis Rechnung, sondern dient auch der Vereinfachung der Analyse. Es existiert nur eine Barriere und diese wird kontinuierlich überwacht. Die Barriere und der Basispreis beziehen sich beide auf den Kursverlauf desselben Underlyings. Die Ausübung der Option erfolgt Europäisch. Es wird grundsätzlich unterstellt, dass das Underlying keine Dividenden zahlt. Eine explizite Berücksichtigung würde zu Lasten der Übersichtlichkeit gehen, ohne das Lösungsprinzip zu tangieren.^[19] Zweck dieser definitorischen Abgrenzung ist ein einheitlich verwendetes und eindeutig definiertes Begriffsinstrumentarium.

In der angelsächsischen Theorie und Praxis wurden in den letzten Jahren Weiterentwicklungen der Grundform vorgestellt, die bspw. zwei Barrieren^[20] beinhalten oder eine diskrete Überwachung^[21] vorsehen. Eine zweidimensionale Variante knüpft die Knock-Out-Bedingung und die Endauszahlung jeweils an unterschiedliche Basiswerte.^[22] Darüber hinaus existieren auch Versionen mit einer Amerikanischen^[23] Ausübung und solche, die ein sog. Rebate^[24] (etwa: Rückvergütung) im Falle einer Barriere-Verletzung auszahlen.

Eine Berücksichtigung all dieser Weiterentwicklungen würde den Umfang dieser Arbeit sprengen, deshalb sollen diese nicht behandelt werden. Außerdem würde ein solcher Versuch mit dem Ziel kollidieren, sich dem deutschen Kapitalmarkt zu widmen.

1.2 Aufbau der Arbeit

In Kapitel 2 wird zunächst die grundsätzliche Funktionsweise der Knock-Out-Optionsscheine dargestellt. Anschließend folgt in Kapitel 3 ein systematischer Überblick über die Bewertungsmethoden. In Kapitel 4 soll im Rahmen einer Sensitivitätsanalyse untersucht werden, wie sensibel der Optionswert jeweils auf die Veränderung der Einflussfaktoren reagiert. Kapitel 5 widmet sich den verschiedenen Einsatzmöglichkeiten dieser Produkte, bevor in Kapitel 6 ein Exkurs in die Praxis vorgenommen wird. Hierbei sollen die in praxi anzutreffenden Probleme beleuchtet und eine neue Produktgeneration vorgestellt werden. Kapitel 7 fasst die Erkenntnisse der Arbeit zusammen.

Kapitel 3 und Kapitel 4 bilden den Kern der vorliegenden Arbeit, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf der systematischen Herleitung der Bewertungsformel von RUBINSTEIN/REINER (1991) in Abschnitt 3.1.2 liegt.

2 Funktionsweise und Zahlungsprofil

Nur wenige Emittenten kommunizieren die ökonomisch korrekte Interpretation der Knock-Out-Produkte als Barrier-Optionen. Dies dürfte weniger einer definitorischen Fahrlässigkeit zuzuschreiben sein als einem Marketing-Kalkül, da eine Assoziation mit Exotischen Optionen sich nur schwer mit der propagierten Nachvollziehbarkeit der Preisbildung vereinbaren lässt.^[25] Daraus resultiert die Notwendigkeit, unabhängig von den unterschiedlichen Produktbezeichnungen der Emittenten, die wesentlichen gemeinsamen Spezifika dieser Produkte herauszuarbeiten, um die gedanklichen Fundamente für die Bewertung zu legen. Dies ist Gegenstand der folgenden Erläuterungen. Die Darstellungen werden mit exemplarischen, real existenten Produkten unterlegt, um ein hohes Maß an Nachvollziehbarkeit und Veranschaulichung zu gewährleisten.

2.1 Down-and-Out Calls

Die nachstehenden Ausführungen erfolgen anhand eines Down-and-Out Calls (im Folgenden: DOC) mit kontraktspezifischen Ausstattungsmerkmalen, die in Tabelle 1 wiedergegeben sind. Dieser DOC verbrieft dem Anleger das Recht, am Fälligkeitstag die betragsmäßige (positive) Differenz zwischen dem dann aktuellen Stand des DAX und dem Basispreis bar ausgezahlt zu bekommen (Cash Settlement). Die Voraussetzung dafür ist, dass der DAX während der gesamten Laufzeit immer über der Barriere notierte. Sollte diese vor Endfälligkeit erreicht oder unterschritten werden, wird der DOC automatisch ausgeübt. Da die Barriere kontraktgemäß genau dem Basispreis entspricht, ergibt sich in diesem Fall ein innerer Wert von Null. Dies führt dazu, dass der DOC sofort und endgültig wertlos verfällt.^[26]

Ein Anstieg des DAX nach dem Knock-Out^[27] über die Barriere lässt das Optionsrecht nicht wieder aufleben.^[28] In Deutschland ist es üblich, dass der Emittent ein „ausgeknocktes“ Produkt symbolisch für 0,001 € (= 0,1 Eurocent) zurückkauft, damit der Anleger bei unterjähriger Haltedauer seinen Verlust im Sinne der Steuergesetzgebung realisieren kann.^[29] Dies soll jedoch im Folgenden als faktischer Totalverlust behandelt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[30]

Tabelle 1 : Kontraktspezifische Daten des exemplarischen DOC^[31]

Allgemein lässt sich der Rückzahlungsbetrag eines DOC mit einem Basispreis, der der Barriere entspricht, bei Endfälligkeit folgendermaßen formalisieren:^[32]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Ähnlichkeit mit einem Europäischen Standard-Call ist offensichtlich: Für den Fall, dass es nie zu einem Knock-Out kommt, führen sowohl der Vanilla Call als auch der DOC zum Fälligkeitszeitpunkt exakt zu derselben Zahlung in Höhe des dann geltenden inneren Wertes. Für den exemplarischen DOC entspricht dies einem Rückzahlungsbetrag von ST – 4.000. Da der DOC jedoch per definitionem mit einem potentiellen Knock-Out behaftet ist, kann dieser während der Laufzeit niemals einen größeren Wert aufweisen als sein c.p. gleich ausgestatteter klassischer Kontrahent.^[33]

Abbildung 1 soll diese Zusammenhänge graphisch veranschaulichen: Dazu werden zwei mögliche Szenarien für den Kursverlauf des DAX skizziert. Der blaue Pfad und der grüne Pfad haben jeweils denselben Startpunkt und denselben Endpunkt. Würde der DAX als Basiswert einem Plain Vanilla zugrunde liegen, hätte der vorangegangene Kursverlauf keine Bedeutung für die Endauszahlung. Diese wäre für beide Szenarien identisch und würde exakt dem inneren Wert in T entsprechen:^[34] “It is as if it did not matter whether you travelled from Paris to London by air or by the Channel Tunnel, as long as you arrived on time.”^[35]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 : Szenario-Vergleich für den Underlying-Kursverlauf^[36]

Fungiert der DAX jedoch als Basiswert für einen DOC, so gewinnt die Pfadabhängigkeit an Bedeutung. Der grüne Pfad führt zu dem identischen Rückzahlungsbetrag wie der Plain Vanilla, da die Barriere während der gesamten Laufzeit nicht berührt bzw. durchbrochen wurde. Der blaue Pfad führt hingegen bei der ersten Verletzung der Barriere zur vorzeitigen und endgültigen Wertlosigkeit des DOC. Eine spätere Bewegung in die Gewinnzone ist unerheblich.^[37]

2.2 Up-and-Out Puts

Den nachstehenden Darstellungen liegt ein Up-and-Out Put (im Folgenden: UOP) mit den Daten zugrunde, die in Tabelle 2 wiedergegeben sind.

Dieser UOP verbrieft dem Anleger das Recht, am Fälligkeitstag die betragsmäßige (positive) Differenz zwischen dem Basispreis und dem dann aktuellen Stand des DAX bar ausgezahlt zu bekommen (Cash Settlement). Die Voraussetzung dafür ist, dass der DAX während der gesamten Laufzeit immer unter der Barriere notierte. Sollte diese vor Endfälligkeit erreicht oder überschritten werden, wird der UOP automatisch ausgeübt. Da die Barriere kontraktgemäß genau dem Basispreis entspricht, ergibt sich in diesem Fall ein innerer Wert von Null.^[38] Dies führt dazu, dass der UOP sofort und endgültig wertlos verfällt.^[39]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[40]

Tabelle 2 : Kontraktspezifische Daten des exemplarischen UOP^[41]

Nun soll der Vollständigkeit halber lediglich der Rückzahlungsbetrag bei Endfälligkeit formal dargestellt werden, da die übrigen Erläuterungen bezüglich des DOC in spiegelbildlicher Weise auf den UOP übertragen werden können^[42]:^[43]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den exemplarischen UOP ergibt dies einen Rückzahlungsbetrag in T in Höhe von 4.500 – ST, wenn es in der gesamten Laufzeit nicht zu einem Knock-Out gekommen ist.^[44]

3 Bewertungsmethoden

Nach der Illustration der Funktionsweise drängt sich für die Intuition eines jeden Ökonomen die Frage nach dem Wert der Barrier-Optionen auf. Nach dem überraschend frühen Debüt in der Fachliteratur durch SNYDER (1969)^[45] war es kein Geringerer als MERTON (1973), der in seinem viel beachteten Aufsatz einen Down-and-Out Call nicht nur explizit als solchen bezeichnete, sondern auch eine Lösungsformel für die Scientific Community präsentierte^[46]. Nach einer zwölfjährigen Absenz in der finanzmathematischen Literatur behandelten COX/RUBINSTEIN (1985) Down-and-Out Calls als eine kontraktspezifische Komponente einer speziellen Anleihe.^[47] Die Arbeit von RUBINSTEIN/REINER (1991), die über die In-Out-Parität^[48] zu geschlossenen Formeln für 32 Permutationen gelangen, markierte den wichtigsten Meilenstein in der Bewertung von Barrier-Optionen.^[49] In bester `Kochbuchmanier´ wird eine Modellwelt präsentiert, in der je nach gewünschter Produktvariante die richtigen `Zutaten´ zusammengestellt werden können.

Der Materie widmeten sich seit jeher zahlreiche Arbeiten, die sich jedoch methodisch unter drei Konzepte subsumieren lassen. Die erste Methode orientiert sich an MERTON (1973) und sieht eine direkte Lösung der partiellen Differentialgleichung von BLACK/SCHOLES (1973) unter Berücksichtigung der Rand- und Nebenbedingungen vor. Alternativ hierzu nutzen RUBINSTEIN/REINER (1991) die ökonomische Struktur des Problems und stützen ihre Ausführungen auf den risikoneutralen Bewertungsansatz von COX/ROSS (1976)^[50].^[51] In jüngerer Zeit ist eine Strömung zu Tage getreten, die sich kategorisch von dem zeitstetigen Modellrahmen dieser beiden Methoden distanziert und die Erwägung einer statischen Duplikation befürwortet.^[52]

Da den ersteren beiden Vorgehensweisen die Modellwelt von BLACK/SCHOLES (1973) zugrunde liegt, soll zunächst dieser Bewertungsrahmen in Grundzügen bis zu dem methodischen Scheideweg dargestellt werden.

3.1 Bewertung in stetiger Zeit (BLACK/SCHOLES (1973))

Der Ansatz von BLACK/SCHOLES (1973) basiert auf der Idee, den Wert eines Portfolios, das die interessierende Option enthält, auf einem vollständigen Markt durch ein anderes, dynamisch angepasstes und sich selbst finanzierendes Portfolio zu duplizieren. Dieses Duplikationsportfolio enthält ausschließlich Finanzinstrumente mit bekanntem Preis und wird so gewählt, dass beide Portfolios (typischerweise) zum Fälligkeitstermin denselben Wert haben.^[53] Aus der Annahme eines perfekten Marktes und vor allem aus der Arbitragefreiheit folgt gemäß Law of One Price, dass auch zu jedem früheren Zeitpunkt eine Wertgleichheit gegeben ist.^[54] Diese Überlegungen beruhen auf Annahmen, die ideale Marktbedingungen repräsentieren:^[55]

(a) Der risikofreie Zinssatz und die Volatilität des Basiswertes sind bekannt und über die Optionslaufzeit konstant.
(b) Die möglichen Kurse des Basiswertes am Ende eines finiten Intervalls sind lognormalverteilt.
(c) Der Basiswert zahlt keine Dividende aus; die Ausübung erfolgt ausschließlich Europäisch, d.h. nur am Fälligkeitstag.
(d) Es liegen perfekte Märkte vor: Steuern und Transaktionskosten fallen nicht an; Geldanlage und Kreditaufnahme zum risikofreien Zinssatz sowie Leerverkäufe sind in jedem gewünschten Umfang möglich.
(e) Wertpapiere sind kontinuierlich in Zeit und Menge handelbar.

Mit diesen Annahmen wird erreicht, dass der Wert einer Option nur vom Kurs des Basiswertes, von der Zeit und von Parametern abhängt, die bekannt und konstant sind.^[56] Die Annahme (b) ist der Ausgangspunkt der weiteren Analyse. Die unterstellte Lognormalverteilung der zukünftigen Underlying-Kurse ist äquivalent zu der Annahme, dass diese einer geometrischen Brownschen Bewegung folgen.^[57]

Die Rendite des Underlyings wird in der Literatur üblicherweise in eine deterministische und eine stochastische Komponente zerlegt. Die deterministische Komponente entspricht der erwarteten Rendite (der sog. Drift) des Basiswertes in der betrachteten Zeitspanne und der stochastische Anteil steht für zufällige Schwankungen der Rendite um ihren Erwartungswert.^[58] Diese Informationen erlauben eine Zusammenfassung der Rendite in Form einer stochastischen Differentialgleichung:^[59]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^{[60] [61]}

Durch die Eliminierung der stochastischen Komponente (sog. Delta Hedging) ergibt sich bei Arbitragefreiheit schließlich für den Wert eines Standard-Calls C (S,t) die partielle Differentialgleichung von BLACK/SCHOLES (1973):^[62],^[63]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Frage, wie mit dieser Differentialgleichung weiter verfahren wird, ist Gegenstand der nachstehenden Erläuterungen.

3.1.1 Direkte Lösung der partiellen Differentialgleichung

Wie in der Einleitung zu Kapitel^[64] 3 angedeutet, nahm bereits MERTON (1973) die Bewertung eines DOC vor. Dazu löst er die Gleichung (4) unter Verwendung von geeigneten Rand- und Nebenbedingungen direkt.^[65],^[66] Diese werden vorgegeben, um zum Ausschluss etwaiger Arbitragemöglichkeiten einen eindeutigen Wert zu erhalten, da die partielle Differentialgleichung (4) per se mehrere Lösungen hat.^[67] Für einen DOC lassen sich diese Bedingungen folgendermaßen formulieren:

Da Gleichung (4) ein Endwertproblem^[68] ist, wird zunächst die Endbedingung für den Fall definiert, dass es nie zu einem Knock-Out gekommen ist:^[69]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit steigenden Underlying-Kursen wird ein Knock-Out immer unwahrscheinlicher; gleichzeitig verliert der Basispreis als absolute Größe immer mehr an Bedeutung, so dass folgende Randbedingung gilt^[70]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Limes für den Grenzübergang der Variablen S gegen ∞ (Unendlich).

Die Bedingungen entsprechen soweit exakt denen eines Vanilla-Calls. Das Charakteristikum eines DOC findet nun in einer zweiten Randbedingung Berücksichtigung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine interessante Interpretation liefert in diesem Kontext MERTON (1973): Er betrachtet einen Standard-Call als einen Spezialfall eines DOC, d.h. ein DOC mit einer Barriere B = 0 entspricht seinem c.p. gleich ausgestatteten Vanilla-Pendant.^[71] Diese Auffassung lässt sich einfach bestätigen, wenn man Gleichung (3) auf beiden Seiten mit S multipliziert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erreicht der Basiswert einmal S = 0, ist auch dS gleich Null; gemäß der geometrischen Brownschen Bewegung kann sich der Kurs also nie wieder ändern und somit verfällt der Vanilla-Call selbst bei verbleibender Restlaufzeit wie ein DOC sofort wertlos.^[72]

Mit diesen Rand- und Nebenbedingungen wird die Differentialgleichung (4) analytisch gelöst. Dazu wird sie anhand einer geeigneten Variablensubstitution in die aus der Physik bekannte Wärmeleitgleichung transformiert, für die eine geschlossene Lösung existiert.^[73] Anschließend kann diese Transformation rückgängig gemacht werden, um die folgende Bewertungsformel für einen DOC zu erhalten:^[74],^[75]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und C (S; X; t) für den Wert eines c.p. identisch ausgestatteten Vanilla-Calls (per definitionem ohne Barriere) steht. Der Korrekturterm kann als ‚Rabatt’ auf einen Standard-Call aufgrund des den Barrier-Optionen inhärenten Risikos der sofortigen und endgültigen Wertlosigkeit verstanden werden.^[76] Dieser Korrekturterm wird, soviel sei vorweggenommen, später in einer anderen Identität behandelt. Nun interessiert die Frage, ob Gleichung (9) die Bedingungen (5) bis (7) erfüllt. Der Wert des DOC soll im Folgenden der Reihe nach zum Fälligkeitszeitpunkt T, für S→∞ und für S = B geprüft werden.

Die Erläuterungen in Abschnitt 2.1 lassen erwarten, dass in T der Wert eines DOC exakt dem eines Vanilla Calls entspricht, wenn es vorher nicht zu einem Knock-Out gekommen ist. Dies impliziert für Gleichung (9), dass für T der Korrekturterm einen Wert von genau Null annehmen muss. Das ist nur dann möglich, wenn der zweite Faktor des Korrekturterms gleich Null ist.^[77] Technisch gesprochen muss der betrachtete Call bei Endfälligkeit bei einem (fiktiven) Kurs von B2/ST aus dem Geld sein; d.h. es muss gelten:^[78]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine simple Umstellung zeigt, dass X = B < ST gelten muss. Das trifft auch zu, da sonst ein Knock-Out als Trivialfall resultieren würde. Somit erfüllt Gleichung (9) die Endbedingung (5).^[79]

Als zweiter Grenzfall soll geprüft werden, ob der Wert eines DOC für S→∞ gegen S konvergiert. Es resultiert unter Anwendung eines bekannten Grenzwertsatzes^[80]:^[81]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Somit wird auch die Randbedingung (6) erfüllt. Ökonomisch bedeutet dies, dass mit steigendem S die Wahrscheinlichkeit eines Knock-Out sinkt und die Wahrscheinlichkeit einer Ausübung der Option steigt. Angesichts des immer mehr an Bedeutung verlierenden Basispreises konvergiert der Optionswert gegen den Underlying-Kurs.^[82]

Der dritte Grenzfall betrifft ein Knock-Out. Eine Berücksichtigung der Konstellation S = B (=X) in Gleichung (9) ergibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

woraus erwartungsgemäß ein Wert von Null resultiert.^[83] Somit erfüllt Gleichung (9) alle drei Bedingungen.

Abschließend bleibt noch zu prüfen, ob Gleichung (9) per se die Gleichung (4) erfüllt. Da es sich bei Gleichung (4) um eine lineare partielle Differentialgleichung handelt, ergibt die Summe von zwei (evtl. mit Konstanten multiplizierten) Lösungen dieser Gleichung selbst eine Lösung.^[84] BLACK/SCHOLES (1973) haben gezeigt, dass C (S; X; t) und analog hierzu C (B2/S; X; t) jeweils eine Lösung der partiellen Differentialgleichung sind.^[85] Mit einer konstant bleibenden Barriere B ergibt sich, dass Gleichung (9) mit dem Ausdruck

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für jedes beliebige K ≥ 0 eine Lösung der partiellen Differentialgleichung (4) darstellt.^[86]

Die oben beschriebene Vorgehensweise enthält jedoch einen kritischen Schritt: Die Transformation in die Wärmeleitgleichung, deren Lösung aus der Physik bereits bekannt ist, ist einer ökonomischen Interpretation kaum zugänglich. Da analytische Transformationen nur für die wenigsten partiellen Differential-gleichungen existieren, wird diese Methode in praxi selten eingesetzt.^[87]

3.1.2 Das Modell von RUBINSTEIN/REINER (1991)

Die Beobachtung, dass die erwartete Rendite des Basiswertes α nicht in die Differentialgleichung von BLACK/SCHOLES (1973) (Gleichung (4)) eingeht, nahmen COX/ROSS (1976) zum Anlass, im Gegensatz zu der Vorgehensweise im letzten Abschnitt die ökonomische Struktur des Problems aufzugreifen und die sog. risikoneutrale Bewertung zu entwickeln. Unter der Voraussetzung der geometrischen Brownschen Bewegung für den Basiswert muss eine Option zum Ausschluss etwaiger Arbitragemöglichkeiten exakt den Wert haben, den die Gleichung (4) `vorschreibt´.^[88] Diese Gleichung darf jedoch (nicht direkt) von (Risiko-) Präferenzen der Anleger abhängen, da das einzige Maß hierfür die erwartete Rendite α ist und dieses nicht in die partielle Differentialgleichung eingeht.^[89] Der Begriff der Risikoneutralität beschreibt eine Welt, in der die erwartete Rendite α für alle Wertpapiere genau dem risikofreien Zinssatz entspricht, weil Investoren für ihre Anlagen keine Risikoprämie verlangen.^[90] Unter diesen Umständen kann o.B.d.A. auch Risikoneutralität der Wirtschaftssubjekte unterstellt werden.^[91] So stellt die Fiktion einer risikoneutralen Welt keine Beeinträchtigung des Ergebnisses dar, so dass das Ergebnis auch in der realen Welt gilt.^[92] Außerdem erscheint eine risikoneutrale Bewertung insofern unproblematisch, als die Option mit dem Basiswert gehedged werden kann.^[93] Mit der risikoneutralen Bewertung wird der Wert einer Option schließlich ermittelt, indem der Erwartungswert der Fälligkeitsauszahlung auf Basis des risikofreien Zinssatzes diskontiert wird.^[94]

Auf diese Fundamente stützt sich die Modellwelt von RUBINSTEIN/REINER (1991).^[95],^[96] Die einzelnen gedanklichen Bausteine, die dem Original-Aufsatz implizit zugrunde liegen, jedoch in diesem nicht explizit behandelt werden, wurden von RICH (1994)^[97] systematisiert und für alle erdenklichen Variationen von Barrier-Optionen verallgemeinert. Im Folgenden soll nun diese Modellwelt vorgestellt werden.

3.1.2.1 Die Barriere

Das wesentliche Charakteristikum einer Barrier-Option ist - nomen est omen - die Barriere. Im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen und in der Physik werden häufig absorbierende und reflektierende Barrieren diskutiert, die auch im Kontext der Barrier-Optionen relevant sind, da sie dem besseren Verständnis der anschließenden Analyse dienen.^[98],^[99] Deshalb sollen diese zunächst erläutert werden.

3.1.2.1.1 Absorbierende Barrieren

Ein spieltheoretisches Szenario könnte folgendermaßen aussehen: Man stelle sich einen Spieler vor, der einen Euro gewinnt bzw. verliert mit den Wahrscheinlichkeiten p bzw. q. Sein Startkapital betrage m Euro und sein Gegner verfüge über n – m Euro, so dass sich das gesamte Guthaben auf n summiert. Das Spiel läuft nur solange, bis der erste Spieler ein Kapital von Null oder n erreicht hat, d.h. einer der Spieler finanziellen Ruin erleidet. Nun interessiert die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ruins. Visualisiert bedeutet dies, dass ein `Partikel´ einer Irrfahrt (Random Walk) mit absorbierenden Barrieren bei 0 und n folgt. Somit ist diese Irrfahrt auf mögliche Positionen bei 1, 2,…, n –1 beschränkt. Bei Nicht-Existenz von Absorption spricht man von einer unbeschränkten Irrfahrt.^[100]

Diese Unterscheidung zwischen beschränkten und unbeschränkten Prozessen wird im Kontext der Dichtefunktionen eine wichtige Rolle spielen.

3.1.2.1.2 Reflektierende Barrieren

Das oben beschriebene Spiel sei nun folgendermaßen modifiziert: Jedes Mal, wenn ein Spieler nur noch 1 € zur Verfügung hat, wird dieser in dem nächsten Durchlauf mit Wahrscheinlichkeit p 2 € besitzen und mit Wahrscheinlichkeit q bei 1 € bleiben. Als Spielkonvention kann man sich vorstellen, dass für den Fall, dass einer der Spieler seinen letzten Euro verliert, der (hilfsbereite) Gegner einen Euro schenkt, so dass das Spiel immer fortgesetzt werden kann. Graphisch entspricht diese Konvention einem Spiegel, der parallel zur x-Achse verläuft und ein Partikel, das sich von der Position 1 in Richtung 0 bewegt, wieder zu 1 reflektiert.^[101]

Dieses Reflexionsprinzip^[102] wird in der Literatur häufig als Hilfsmittel zur Bestimmung komplexer Wahrscheinlichkeiten herangezogen.^[103] Abbildung 2 soll die anschließenden Überlegungen veranschaulichen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2 : Das Reflexionsprinzip^[104]

Der Basiswert folge einem lognormalen Prozess, wie er durch eine geringfügige Umstellung der Gleichung (3) formalisiert werden kann:^[105]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Kurs des Basiswertes zum Fälligkeitszeitpunkt ST lässt sich mit dem Renditeprozess Z des Underlyings folgendermaßen ausdrücken:^[106]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei sich der Zeitpunkt 0 auf den Betrachtungszeitpunkt bezieht.^[107] Außerdem ist die folgende Unterscheidung hilfreich: St stehe für den beschränkten lognormalen Kursprozess des Basiswertes mit einer absorbierenden Barriere B und St* sei der c.p. gleiche, aber unbeschränkte Prozess ohne die Barriere B. In Abbildung 2 entspricht b der Barriere ln (B/S0) und ZT* ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit einem Erwartungswert E von:^[108],^[109]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und einer Varianz (var) von:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

T–t 0 steht hierbei für die Restlaufzeit in Jahren und rd für den diskreten Zinssatz.^[110] Nun interessiert jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Pfade in Abbildung 2 realisiert wird. Formal ist die Wahrscheinlichkeit W, dass der in T über 2b – z endende Pfad realisiert wird und die größte untere Schranke (infimum (inf)) nach dem Zeitpunkt t unter b liegt, folgendermaßen darstellbar:^[111]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Analog gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass der in T unter z endende Pfad realisiert wird und die kleinste obere Schranke (supremum (sup)) nach t über b liegt:^[112]

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Für jeden Pfad, der im Ursprung beginnt, vor dem Zeitpunkt T den Punkt b erreicht und anschließend mindestens b – z Einheiten sinkt (und unter b – (b – z) = z endet,) existiert gemäß dem Reflexionsprinzip ein gleich wahrscheinlicher Pfad, der auch im Ursprung beginnt, den Punkt b zum selben Zeitpunkt erreicht, aber dann mindestens b – z Einheiten steigt, um über (b + (b – z) =) 2 b – z zu enden. Dieser Ansatz ist allerdings heuristischer Natur, da die Wahrscheinlichkeit für die Realisation eines spezifischen Pfades Null beträgt. Nichtsdestotrotz führt das Reflexionsprinzip zur folgenden Beziehung:^[113],^[114]

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Die Ungleichung innerhalb der Klammern auf der rechten Seite kann aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Normalverteilung `umgedreht´ werden, so dass:^[115]

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mit N (.) als univariater kumulativer Standard-Normalverteilungsfunktion resultiert. Die Gleichungen (23) und (24) gelten allerdings nur für eine Drift µ = 0; in dem eingangs dargestellten Spiel würde dies implizieren, dass p = q = 1/2. Dies entspricht einer symmetrischen Irrfahrt, da `Schocks´ von einer Seite gleich wahrscheinlich sind wie von der Gegenseite.^[116]

Für eine Drift µ ≠ 0, also für einen Brownschen Prozess, der nicht symmetrisch verläuft, erscheint das Reflexionsargument nicht zweckmäßig.^[117] In einer Welt mit einem risikofreien Zinssatz ≠ 0 ist eine Diskontierung nicht zielführend, da für die Barriere der aktuell geltende Underlying-Kurs relevant ist und nicht der diskontierte Kurs. Die übliche Vorgehensweise bei einem Wechsel des Maßes (hier: der Drift) ist die Anwendung des Girsanov-Theorems^[118].^[119] Anhand dieses Theorems lässt sich eine neue, fiktive Wahrscheinlichkeitsdichte kreieren, die risikoneutral ist und die ursprüngliche Dichte ersetzt.^[120] So ergibt sich für den Ausdruck (22):^[121]

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Dies zeigt zum einen, dass der für den Null-Drift-Fall mit dem Reflexionsargument bestimmte Ausdruck (24) die Überlegungen nicht ad absurdum führt, da dieser (abgesehen von der Anpassung im Zähler der Normalverteilungsfunktion) ein Bestandteil bleibt.^[122] Zum anderen wird die Aussage bestätigt, dass ein Maßwechsel eine Neugewichtung der Wahrscheinlichkeiten auslöst (hier mit dem Exponentialausdruck als Gewichtungsfaktor).^[123]

Abschließend zum Reflexionsprinzip soll eine weitere Verknüpfung mit der Optionspreistheorie erläutert werden. Unter der Annahme einer Drift µ = 0 soll ein Portfolio betrachtet werden, das aus einer Long-Position in einem am Geld notierenden Europäischen Call und aus einer Short-Position in einem am Geld notierenden Europäischen Put besteht, wobei beide Papiere c.p. gleich ausgestattet sind^[124]. Da beide Optionen am Geld notieren, soll der Basiskurs X die Funktion einer Barriere übernehmen. Gemäß dem Reflexionsprinzip müssen nun die Werte der Optionen übereinstimmen, da zu jedem Pfad, der bei Fälligkeit zu einem positiven inneren Wert für den Put führt, ein gleich wahrscheinlicher Pfad existiert, der dies für den Call tut. Die bekannte Put-Call-Parität^[125]

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mit P als dem Wert des Put eignet sich in diesem Kontext sehr gut für einen Beweis. Die vorangegangenen Überlegungen erfordern, dass die rechte Seite Null ergeben muss. Dies ist der Fall, da annahmegemäß r = 1. Die Bedingung St = X ist auch erfüllt, da beide Optionen am Geld notieren.^[126]

Diese Diskussion der Barrieren bildet die Grundlage bei der Ermittlung der Dichtefunktionen.

3.1.2.2 Die Dichtefunktion

Die risikoneutrale Bewertung sieht eine Diskontierung des Erwartungswertes der Fälligkeitsauszahlung auf der Basis des risikofreien Zinssatzes vor.^[127] Im Falle der Barrier-Optionen kommt jedoch die Komplikation hinzu, dass sowohl die Wahrscheinlichkeit eines Knock-Out als auch die Verteilung des Underlying-Kurses in T für die `überlebenden´ Pfade bestimmt werden müssen.^[128] Deshalb sollen im Folgenden die relevanten Dichtefunktionen ermittelt werden.

3.1.2.2.1 Die unbeschränkte Dichtefunktion

Zunächst soll die Dichtefunktion für den unbeschränkten Prozess Z* bestimmt werden. Dazu wird in einem ersten Schritt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Fall bestimmt, dass Z* in T über z endet. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft^[129] der (Standard-) Normalverteilung und in Analogie zu Beziehung (24) ergibt sich:^[130]

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Die Dichtefunktion f (z) einer stetigen Zufallsvariable z ist grundsätzlich definiert als:^[131]

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Der Ausdruck im Zähler lässt sich aufgrund der ersten Zeile der Beziehung (27) umstellen zu:

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Eine Berücksichtigung der zweiten Zeile von Gleichung (27) für den Zähler ergibt:

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Dies führt in der Notation von RICH (1994) zu:^[132],^[133]

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für die Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung steht.^[134] Gleichung (31) lässt sich somit folgendermaßen ausdrücken:^[135]

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Dies ist die Dichtefunktion, die bei der Bewertung von Plain Vanillas herangezogen wird. In diesem Kontext wird sie als „unbeschränkt“ bezeichnet, da außer der Anfangsbedingung (16) keine Bedingungen daran geknüpft sind.^[136]

Für den Fall, dass Z* in T unter z endet, resultiert aufgrund der Definition (28) dieselbe Dichtefunktion.^{[137] [138]}

3.1.2.2.2 Defective Density

Die den Barrier-Optionen inhärente Knock-Out-Gefahr impliziert bereits die Notwendigkeit, einen Modellrahmen zu schaffen, der es erlaubt, genau dieses Charakteristikum in Form einer speziellen Dichtefunktion zu berücksichtigen.^[139] Für diese spezielle Dichte sollen im Folgenden vorbereitend Beziehungen herausgearbeitet werden, die anschließend eine systematische Vorgehensweise ermöglichen.

Zwischen dem beschränkten und unbeschränkten Prozess muss grundsätzlich folgende Beziehung gelten, wenn der Prozess über der Barriere startet und diese in der Restlaufzeit nicht berührt:^[140]

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Folgende Argumentation bekräftigt die Gültigkeit dieser Beziehung: Sollte der unbeschränkte Prozess, der annahmegemäß über der Barriere b beginnt, zu irgendeinem Zeitpunkt vor T diese berühren bzw. durchbrechen, würde der beschränkte Prozess `absorbiert´ und könnte niemals über der Barriere enden.^[141] Somit wäre der Ausdruck ZT ein Widerspruch per se, da der beschränkte Prozess nicht mehr existiert.^[142]

Analog gelangt man für den Fall, dass der Prozess unter der Barriere startet, zur folgenden Beziehung:^[143]

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Gemäß dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit^[144] ergibt sich folgende Beziehung für Gleichung (34):^[145]

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analog gilt für Gleichung (35):^[146]

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Der Minuend auf der rechten Seite der Gleichungen (36) und (37) ist jeweils identisch mit der unbeschränkten Dichtefunktion f (z), die im letzten Abschnitt ermittelt wurde.^[147] Nun interessiert jeweils der Subtrahend in beiden Gleichungen.

Für den Subtrahenden der Gleichung (36) ist das Reflexionsargument in einem erweiterten Sinne anzuwenden: Es ist offensichtlich, dass die Barriere durchbrochen wird, da der Prozess annahmegemäß über der Barriere beginnt. Da dem Reflexionsprinzip per definitionem eine symmetrische Irrfahrt zugrunde liegt, ist ein Fall nach der Berührung der Barriere gleich wahrscheinlich wie ein Anstieg, so dass für z folgende Beziehung zum von der Barriere äquidistanten Punkt 2 b – z gelten muss:^[148]

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da die zweite Bedingung aufgrund der offensichtlich durchbrochenen Barriere redundant ist.^[149] Für den Ausdruck (38) gilt in Analogie zu (25):^[150]

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In Analogie zu den Definitionen (29) und (30) resultiert für die zweite Dichtefunktion g (z):^[151]

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In der Darstellungsform (33) entspricht g (z):^[152]

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Für den Subtrahenden der Gleichung (37) münden die oberen Überlegungen ebenfalls in den Zähler der Gleichung (40), da:

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so dass auch für den Prozess, der unter der Barriere beginnt, dieselbe Dichtefunktion g (z) in (40) bzw. (41) resultiert.^[153]

Die Defective Density (DD) wird schließlich definiert als die Differenz zwischen den beiden hergeleiteten Dichtefunktionen:^[154]

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Die Intuition, die sich hinter diesem Ausdruck verbirgt, ist von essentieller Bedeutung für die Natur der Barrier-Optionen: f (z) repräsentiert die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Ereignis, dass sich Z* zum Zeitpunkt T auf dem Punkt z befindet. Mit g (z) wird die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Ereignis beschrieben, dass der Prozess zu irgendeinem Zeitpunkt während der Laufzeit die Barriere b durchbricht und in T auf dem Punkt z liegt. Somit beschreibt Defective Density die Dichtefunktion für das Ereignis, dass der Prozess sich in T auf dem Punkt z befindet, ohne vorher die Barriere durchschritten zu haben. Diese spezielle Funktion stellt gewissermaßen die `Überlebenschance´ einer Barrier-Option dar.^[155],^[156]

3.1.2.3 Die Bewertungsformel

Nach der Darstellung der theoretischen Bausteine stellt sich die Frage, wie sich diese zur Ermittlung einer kompakten Bewertungsformel zu einem Gesamtbild zusammenfügen.^[157] Wie in der Einleitung zu Abschnitt 3.1.2.2 erläutert, sieht die risikoneutrale Bewertung eine Diskontierung des Erwartungswertes der Fälligkeitsauszahlung

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auf der Basis des risikofreien Zinssatzes

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und im Falle eines DOC unter Berücksichtigung der `Überlebenswahrscheinlichkeit´

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vor. Daraus folgt, dass die gesuchte Formel für einen DOC sich aus dem Term^[158]

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ergeben muss. Nun ist es offensichtlich, dass der rechte Term in eckigen Klammern genau der bereits ermittelten Defective Density entspricht.^[159] So lässt sich der Ausdruck (47) in Verbindung mit Definition (28) wie folgt darstellen:^[160]

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Um den Ausdruck „max“ aus dem Integral zu eliminieren, wird die Untergrenze des Integrals geändert. Dies ist möglich, da folgende Bedingung bei Fälligkeit gelten muss, um den Trivialfall auszuschließen:^[161]

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Somit gilt für Gleichung (48):

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Die Additionsregel für integrierbare Funktionen und einfaches Ausmultiplizieren erlauben zusammen die folgende Schreibweise:^[162],^[163]

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wobei die Integrale I 1 bis I 4 im Folgenden der Reihe nach separat bestimmt werden sollen.

Das Integral I 1 lautet nach Einsetzen der Gleichung (31) für f (z):

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Dieses Integral bedarf insofern einer gesonderten Behandlung, als es die Lognormal-Verteilung eZ als Faktor beinhaltet.^[164] Eine Variable ist lognormalverteilt, wenn ihr natürlicher Logarithmus normalverteilt ist.^[165] In diesem Kontext ist dies der Fall, da Z annahmegemäß normalverteilt ist.^[166] Dieser Besonderheit wird mit dem sog. getrimmten Mittel (truncated mean)^[167] Rechnung getragen, so dass sich die obige Gleichung wie folgt darstellen lässt:^[168]

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Der Multiplikator auf der rechten Seite vor dem Integral entspricht dem Erwartungswert einer beliebigen Lognormal-Verteilung.^[169] Mit der Symmetrieeigenschaft^[170] der (Standard-) Normalverteilung ergibt sich:^[171]

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Für das Integral I 2 erfolgt die Vorgehensweise ähnlich; so dass zunächst in Analogie zu Gleichung (52) durch Einsetzen von Beziehung (40) folgender Term resultiert:

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Mit dem getrimmten Mittel ergibt sich analog zu (54):^[172]

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Die Ermittlung der Integrale I 3 und I 4 gestaltet sich einfacher, da das getrimmte Mittel nicht mehr benötigt wird. So erfolgt für I 3:^[173]

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entsprechend gilt für I 4:

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Bevor diese Integrale in Gleichung (51) eingesetzt werden, sollen in einem letzten Schritt Substitutionen vorgenommen werden, um die Konsistenz mit der Notation von RICH (1994) zu gewährleisten und eine übersichtliche Bewertungsformel zu ermitteln:^[174]

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Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und

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Da in dieser Arbeit ausschließlich Produkte betrachtet werden, die eine mit dem Basispreis identische Barriere haben (B = X), gilt x = x 1 und y = y 1. Die Berücksichtigung der Ergebnisse für die einzelnen Integrale in Gleichung (51) führt zu:^[175]

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Für die erste Zeile von Gleichung (65) ist das Einsetzen von Gleichung (18) für µ sehr sinnvoll, da als Faktor von N (.) lediglich S0 übrig bleibt. Dies gilt auch für die zweite Zeile; hier ist noch die folgende, weitere Vereinfachung opportun:

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Außerdem bietet sich in der zweiten Zeile wegen B = X folgende Addition im Zähler der Verteilungsfunktion an:

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Darüber hinaus ist für jede Zeile von Gleichung (65) folgende Beziehung nützlich:

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Mit diesen Vereinfachungen ergibt sich für Gleichung (65) unter Berücksichtigung der vereinbarten Substitutionen von RICH (1994):

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Die Formel (69) lässt sich nach einer geringfügigen Umstellung wie folgt darstellen:^[176],^[177]

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Hinter dieser Formel verbirgt sich zunächst derselbe Gedanke wie in der Gleichung (9): Ein DOC lässt sich interpretieren als ein Vanilla-Call mit einem „Rabatt“ aufgrund des Knock-Out-Risikos.^[178] Wie bereits in Abschnitt 3.1.1 antizipiert, handelt es sich hier jedoch um eine spezielle Identität: Der Korrekturterm entspricht exakt der Bewertungsformel für einen Down-and-In Call (im Folgenden: DIC).^[179] Diese Option stellt das logische Gegenstück zu einem Down-and-Out Call dar, da sie zwar vom Emissionszeitpunkt an eine Prämie kostet, jedoch erst durch die Berührung der Barriere aktiviert wird und einen c.p. gleich ausgestatteten Europäischen Plain Vanilla-Call liefert.^[180] Bei Nicht-Berühren verfällt diese am Fälligkeitstag wertlos.^[181] So liefert Gleichung (70) gleichzeitig einen Beweis für die sog. In-Out-Parität:^[182]

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Diese Parität besagt, dass der Wert eines Vanilla-Calls sich genau aus einem DIC und einem DOC zusammensetzt, wenn alle drei Instrumente dieselbe Restlaufzeit sowie denselben Basispreis aufweisen. Außerdem müssen die beiden Barrier-Optionen dieselbe Barriere haben. Der Besitz beider Barrier-Optionen garantiert, dass nur eine der beiden zu einer Auszahlung führen wird: Sollte während der Laufzeit die Barriere berührt werden, wird die Out-Option deaktiviert und die In-Option aktiviert. So liefert die letztere Option am Fälligkeitstag die identische Auszahlung wie ein Standard-Call. Sollte es jedoch niemals zu einem Kontakt mit der Barriere kommen, wird die In-Option nicht aktiviert; die Out-Option bleibt aktiv und führt am Fälligkeitstag zu derselben Zahlung wie sein Vanilla-Gegenstück. Gängigen Arbitrageargumenten zufolge muss diese Paritätsbeziehung auch während der Laufzeit der Optionen gelten. Die Parität gilt natürlich nur für Barrier-Optionen ohne Rebates und nur für Europäische Ausübung, da eine vorzeitige Ausübung dem Konzept die Argumentationsgrundlage entziehen würde.^[183]

Bezüglich der Werte von Barrier-Optionen lassen sich aus der In-Out-Parität zwei wichtige ökonomische Schlussfolgerungen ziehen: Einerseits muss eine Barrier-Option (für Out-Optionen: zu Lebzeiten) grundsätzlich einen positiven Wert haben, da sie aufgrund des Optionscharakters per definitionem mit einer nicht-negativen, aber einer potentiellen, positiven Auszahlung verbunden ist.^[184] Andererseits muss eine Barrier-Option billiger am Markt zu bekommen sein als ihr Plain Vanilla-Pendant, da eine positive Anzahl von Szenarien denkbar ist, in denen eine Barrier-Option wertlos verfällt, die Standard-Option jedoch zu einer positiven Auszahlung führt.^[185]

3.1.3 Kritische Würdigung

Da die beiden vorgestellten Modelle nur in der Welt von BLACK/SCHOLES (1973) ihre Geltung haben, sind diese auch den Prämissen dieser Modellwelt unterworfen.^[186] Zwei Annahmen stoßen in praxi besonders auf Kritik:^[187]

Aufgrund der als über die gesamte Laufzeit konstant angenommenen Volatilität müsste die implizite Volatilität, die auch als die kollektive Prognose des Marktes bezüglich der Volatilität gesehen werden kann, für alle Optionen auf ein Underlying gleich sein. Diese variiert jedoch sowohl mit Restlaufzeit als auch mit Basispreis.^[188] Darüber hinaus zeigen empirische Studien, die die implizite mit der realisierten Volatilität vergleichen, große Diskrepanzen zwischen den beiden Größen.^[189] Dies hat zur Folge, dass die unterstellte Lognormal-Verteilung für den Basiswert nicht dem Marktkonsens entspricht.^[190]

Die zweite Annahme, die Praktikern regelmäßig Implementierungsprobleme bereitet, betrifft das kontinuierliche, dynamische Hedging.^[191] In der Modellwelt von BLACK/SCHOLES (1973) lässt sich eine Option auf eine Aktie mit einem gewichteten Portfolio aus der risikobehafteten Aktie und risikolosen Zero-Bonds^[192] imitieren. Statt eines direkten Kaufs der Option kann man als Besitzer dieses Portfolios exakt dieselbe Rendite erzielen, indem man kontinuierlich bei abnehmender Restlaufzeit und/oder bei Kursbewegungen des Underlyings die Gewichtung anpasst; dieses Portfolio ist bekannt als das dynamische Duplikationsportfolio.^[193] Das dynamische „Hedging“ einer Long-Position in einer Option bedeutet schließlich, dass eine Short-Position in dem entsprechenden dynamischen Duplikationsportfolio eingenommen wird.^[194] Da ein kontinuierlicher Handel im Underlying - abgesehen von der praktischen Unmöglichkeit - jedoch ruinöse Transaktionskosten verursachen würde, findet dynamisches Hedging üblicherweise in diskreter Zeit statt.^[195]

[...]

^[1] In dieser Arbeit werden die Begriffe „Standard-Optionsschein“ und „(Plain) Vanilla“ synonym im Sinne eines herkömmlichen Optionsscheines angewandt.

^[2] Vgl. zu diesem Absatz (sofern nicht anders vermerkt) BNP PARIBAS (2005a), S. 3f.

^[3] Die implizite Volatilität ist der Wert für die Volatilität, für den die Bewertungsformel mit dem beobachtbaren Marktpreis der Option übereinstimmt. Siehe bspw. JARROW (1995), S. 248.

^[4] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen (sofern nicht anders vermerkt) GOLDMAN SACHS (2004), S. 2.

^[5] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 69.

^[6] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen GOLDMAN SACHS (2003), S. 2.

^[7] Vgl. DEUTSCHE BANK (2005), S. 1.

^[8] Vgl. DEUTSCHE BÖRSE (2005a).

^[9] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 70.

^[10] Vgl. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 37.

^[11] Die Namensgebung geht auf RUBINSTEIN/REINER (1992) zurück. Davor waren Bezeichnungen wie Boutique - oder Designer -Optionen üblich. Siehe hierzu ONG (1996), S. 4.

^[12] Vgl. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 37.

^[13] Vgl. ONG (1996), S. 4.

^[14] Vgl. zu den letzten drei Sätzen HULL (2003), S. 439f.

^[15] Vgl. SNYDER (1969), S. 94f. Der Autor spricht von einer Limited Risk Special Option.

^[16] Vgl. ONG (1996), S. 4.

^[17] Vgl. OBLAK/MESTEL (1999), S. 883.

^[18] Die in den letzten zwei Sätzen beschriebene Vorgehensweise entspricht dem Usus in der relevanten Literatur. Siehe bspw. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 36.

^[19] Diese Vorgehensweise findet sich ebenfalls in der relevanten Literatur wieder. Außerdem ist damit die Konsistenz mit den Annahmen im Original-Aufsatz von BLACK/SCHOLES (1973) gewährleistet. Siehe zu diesen Erläuterungen NEFTCI (2004), S. 299. Bei Performance-Indizes (wie dem DAX) gehen Dividenden aufgrund der fiktiven Reinvestition implizit in die Berechnung ein. Siehe hierzu DEUTSCHE BÖRSE (2005b).

^[20] Siehe bspw. ZHANG (2001), S. 309.

^[21] Siehe bspw. KOU (2003), S. 955-964.

^[22] Siehe bspw. HEYNEN/KAT (1995), S. 179-182.

^[23] Siehe bspw. GAO/HUANG/SUBRAHMANYAM (2000), S. 1783-1827.

^[24] Siehe bspw. HAUG (2004), S. 70f.

^[25] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 39.

^[26] Vgl. zu diesem Absatz HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 71f.

^[27] „Knock-Out“ wird ab hier als Synonym für „Eintreten des Knock-Out-Ereignisses“ verwendet.

^[28] Vgl. HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 85.

^[29] Siehe hierzu bspw. HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 72.

^[30] Ein Bezugsverhältnis von 0,01 bedeutet, dass ein DOC sich auf 0,01 Einheiten des DAX bezieht. Siehe hierzu HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S.28. Das Bezugsverhältnis soll zunächst zur besseren Verdeutlichung der Zusammenhänge vernachlässigt werden.

^[31] Es handelt sich hierbei um den DOC der Deutschen Bank mit der Wertpapierkennnummer (WKN) „DB4000“.

^[32] Vgl. zur formalen Darstellung auch JARROW/TURNBULL (2000), S. 636f. Da B = X, ist die Darstellung max(ST – X,0) hier trivial; ein Wert von Null würde ein Knock-Out implizieren. So bspw. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 36. Für noch folgende Erläuterungen soll diese Darstellung jedoch trotzdem zunächst beibehalten werden.

^[33] Vgl. zu diesem Absatz JARROW/TURNBULL (2000), S. 637.

^[34] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen BOYLE/BOYLE (2001), S. 31f. Aus diesem Grund werden Plain Vanillas in der angelsächsischen Literatur im Kontext der Exotischen Optionen häufig als „pfadunabhängig“ kategorisiert. Siehe hierzu bspw. CARR/ELLIS/GUPTA (1998), S. 1169

^[35] RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 28.

^[36] Eigene Darstellung in Anlehnung an WILMOTT (2000), S. 181.

^[37] Vgl. zu diesem Absatz NEFTCI (2004), S. 216.

^[38] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen HSBC TRINKAUS & BURKHARDT (2005), S. 72.

^[39] Vgl. zu diesem Absatz (sofern nicht anders vermerkt) BAULE/SCHOLZ/WILKENS (2004), S. 323.

^[40] Siehe Fußnote 30.

^[41] Es handelt sich hierbei um den UOP der BNP Paribas mit der WKN „BNP21A“.

^[42] Vgl. SCHOLZ/AMMANN/BAULE (2003), S. 36.

^[43] Vgl. zur formalen Darstellung BAULE/SCHOLZ/WILKENS (2004), S. 323. Siehe auch die Erläuterungen in Fußnote 32.

^[44] Vgl. BAULE/SCHOLZ/WILKENS (2004), S. 323.

^[45] Vgl. SNYDER (1969), S. 94f.

^[46] Vgl. MERTON (1973), S. 175f.

^[47] Hier wird die analytische Lösung erst im Binomialmodell ermittelt und anschließend deren Grenzwert im kontinuierlichen Fall bestimmt. Auf eine Herleitung der Bewertungsformel verzichten die Autoren jedoch „aus Platzgründen“ gänzlich. Siehe zu diesen Erläuterungen COX/RUBINSTEIN (1985), S. 410.

^[48] Diese Beziehung wird in Abschnitt 3.1.2.3 erläutert.

^[49] Dem Verfasser ist keine (seriöse) wissenschaftliche Arbeit bekannt, die diese Quelle nicht zitiert.

^[50] Vgl. COX/ROSS (1976), S. 153.

^[51] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen BUCHEN (2001), S. 127.

^[52] Vgl. ANDERSEN/ANDREASEN/ELIEZER (2002), S. 1.

^[53] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen RUBINSTEIN (1999), S. 181-185. Siehe hierzu auch FRANKE/ HÄRDLE/HAFNER (2004), S. 70.

^[54] Vgl. HAHNENSTEIN/WILKENS/RÖDER (2001), S. 358.

^[55] Siehe zu den Annahmen BLACK/SCHOLES (1973), S. 640f. Die Annahmen im Original-Aufsatz wurden hier teilweise für eine bessere Übersicht zusammengefasst. Siehe zu den Annahmen über die bekannte Volatilität, die Nicht-Existenz von Steuern, den identischen (risikofreien) Zinssatz für Geldanlage und Kreditaufnahme und die kontinuierliche Handelbarkeit MERTON (1973), S. 162f.

^[56] Vgl. BLACK/SCHOLES (1973), S. 641.

^[57] Vgl. CHRISS (1997), S. 111f.

^[58] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen HULL (2003), S. 222f.

^[59] Siehe hierzu und zu der Gleichung WILMOTT (2005), S. 115.

^[60] Hier weicht die Variablendefinition von der Konvention µ ab, da diese für die Notation von RICH (1994) reserviert ist, die im weiteren Verlauf der Darstellungen eine wichtige Rolle spielt.

^[61] Da die Vergangenheit vollständig in dem aktuellen Kurs widergespiegelt wird, der keine weiteren Informationen enthält und die Märkte unverzüglich auf jede neue Information reagieren, die den Basiswert betrifft, entsprechen Kursänderungen des Basiswertes einem Markow-Prozess. Siehe hierzu WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 19. Der Wiener Prozess ist ein Spezialfall des Markow-Prozesses. Eine Variable z folgt einem Wiener-Prozess, wenn dz eine normalverteilte Zufallsvariable mit einem Erwartungswert von Null und einer Varianz von dt ist. In der Literatur wird synonym zu diesem Prozess häufig der Terminus „Brownsche Bewegung“ benutzt. Siehe zu diesen Ausführungen HULL (2003), S. 218f. und JARROW/RUDD (1983), S. 96.

^[62] Siehe zu Delta Hedging und dem Arbitrage-Argument WILMOTT (2005), S. 142.

^[63] Siehe zu dieser Gleichung BLACK/SCHOLES (1973), S. 643, Gleichung Nr. 7 mit einer anderen Notation. Eine ausführliche Herleitung dieser Gleichung findet sich in Anhang A.

^[64] Vgl. zu diesem Abschnitt (sofern nicht anders vermerkt) WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 206-209.

^[65] Vgl. MERTON (1973), S. 175f.

^[66] Eine direkte Lösung der partiellen Differentialgleichung wird überhaupt dadurch ermöglicht, dass Barrier-Optionen eine „schwache Pfadabhängigkeit“ aufweisen und somit nur zwei unabhängige Variablen (S und t) besitzen. Ein Beispiel für „stark pfadabhängige“ Optionen ist die sog. Asiatische Option, deren Wert vom Durchschnitt des Basiswert-Kurses während der gesamten Laufzeit abhängt, was die Bewertung auf die dritte Dimension ausweitet. Siehe zu diesen Ausführungen WILMOTT (2000), S. 182f.

^[67] Vgl. WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 45.

^[68] Endwertprobleme sind in der angelsächsischen Literatur als Backward Equations bekannt; im Gegensatz zu Forward Equations erkennt man diese daran, dass die erste partielle Ableitung nach t und die zweite partielle Ableitung nach S dasselbe Vorzeichen haben, wenn diese auf derselben Seite der partiellen Differentialgleichung stehen. Siehe hierzu WILMOTT (2005), S. 157.

^[69] Siehe zu dieser Bedingung auch KWOK (1998), S. 248.

^[70] Siehe hierzu ergänzend WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 46.

^[71] Vgl. MERTON (1973), S. 175.

^[72] Vgl. WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 46.

^[73] Diese Vorgehensweise erfolgt in Analogie zu BLACK/SCHOLES (1973), die diese Methode auf einen Vanilla-Call angewandt haben. Vgl. ebenda, S. 644.

^[74] Für die Herleitung der folgenden Gleichung siehe auch KWOK (1998), S. 247-250. Da MERTON (1973) die Bewertung nur approximativ über eine Option mit unbestimmter Restlaufzeit (sog. Perpetual Option) vornimmt, um die Gleichung (4) auf eine gewöhnliche Differentialgleichung zu reduzieren, und außerdem die Erläuterungen zu seiner Vorgehensweise äußerst minimalistisch gestaltet (siehe MERTON (1973), S. 176), wird hier für die spätere Analyse zweckmäßigerweise die Notation von WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002) herangezogen. Siehe zu der Approximation durch Perpetual Options auch INGERSOLL (1987), S. 371-373.

^[75] Es sei vorweggenommen, dass in Anhang B die Identität dieser Gleichung mit der (noch herzuleitenden) Bewertungsformel von RUBINSTEIN/REINER (1991) bewiesen wird.

^[76] Vgl. MERTON (1973), S. 176.

^[77] Der erste Faktor des Korrekturterms würde nur einen Wert von Null annehmen, wenn S t = 0. Dies ist jedoch in diesem Kontext der Trivialfall.

^[78] Siehe zu dieser Ungleichung auch KWOK (1998), S. 250.

^[79] Siehe hierzu auch KWOK (1998), S. 250.

^[80] Siehe zu dem Grenzwertsatz OPITZ (2004), S. 338.

^[81] Vgl. zu dieser Beziehung FRANKE/ HÄRDLE/HAFNER (2004), S. 77.

^[82] Vgl. WILMOTT/HOWISON/DEWYNNE (2002), S. 46.

^[83] Vgl. hierzu auch KWOK (1998), S. 250.

^[84] Vgl. WILMOTT (2005), S. 143.

^[85] Vgl. BLACK/SCHOLES (1973), S. 644.

^[86] Vgl. WILMOTT (2000), S. 192.

^[87] Vgl. zu diesem Absatz ZHANG (2001), S. 39. Für eine numerische Lösung der partiellen Differentialgleichungen wird häufig das Verfahren der sog. „Finiten Differenzen“ eingesetzt. Siehe hierzu BRENNAN/SCHWARTZ (1978), S. 461-474.

^[88] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen COX/ROSS (1976), S. 152f.

^[89] Vgl. CHRISS (1997), S. 191. Der Optionswert darf nicht direkt von Präferenzen der Anleger abhängen; indirekt gehen diese jedoch in die Bewertung ein, da Präferenzen den Kurs des Basiswertes beeinflussen. Siehe hierzu DERMAN/TALEB (2005), S. 2.

^[90] Vgl. HULL (2003), S. 245.

^[91] Vgl. COX/ROSS (1976), S. 153.

^[92] Vgl. HULL (2003), S. 245.

^[93] Vgl. DERMAN/KANI (1994), S. 32.

^[94] Vgl. HULL (2003), S. 245.

^[95] Vgl. RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 28.

^[96] In der angelsächsischen Literatur ist die Methode von RUBINSTEIN/REINER (1991) auch als the expectations method bekannt. Vgl. hierzu bspw. BUCHEN (2001), S. 127.

^[97] Vgl. RICH (1994), S. 267-311.

^[98] Vgl. ZHANG (2001), S. 208.

^[99] Anhand der beiden Barriere-Typen lässt sich bspw. der optimale Zeitpunkt für ein Engagement auf dem Kapitalmarkt analysieren. Vgl. hierzu GOLDMAN/SOSIN/SHEPP (1979), S.401-413.

^[100] Vgl. zu diesem Absatz FELLER (1970), S. 342.

^[101] Vgl. zu diesem Absatz FELLER (1970), S. 343.

^[102] Das Reflexionsprinzip wird aufgrund der Spiegeleigenschaft häufig auch method of images genannt. Vgl. bspw. COX/MILLER (1996), S. 221.

^[103] Vgl. RICH (1994), S. 271.

^[104] Eigene Darstellung in Anlehnung an HARRISON (1985), S. 8.

^[105] Siehe zu dieser Annahme für den Kursprozess RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 28. Siehe zu der folgenden Formalisierung NEFTCI (2004), S. 213.

^[106] Diese Umformung ist nicht willkürlich gewählt. Zu einer ökonomisch intuitiven Zerlegung des Ausdrucks siehe JARROW/TURNBULL (2000), S. 92.

^[107] Der Zeitpunkt 0 steht nicht (ausschließlich) für das Emissionsdatum der Option; diese Notation ist konsistent mit der in RICH (1994).

^[108] Siehe zu den letzten drei Sätzen RICH (1994), S. 269-271.

^[109] Vgl. zum Erwartungswert und zur Varianz der Zufallsvariable BAZ/CHACKO (2004), S. 72.

^[110] Vgl. RICH (1994), S. 269.

^[111] Siehe zu den letzten zwei Sätzen und der folgenden Darstellung JOSHI (2003), S. 197.

^[112] Siehe hierzu und der folgenden Darstellung HARRISON (1985), S. 8.

^[113] Vgl. zu den letzten drei Sätzen KARATZAS/SHREVE (2005), S. 80.

^[114] Siehe zu der folgenden Beziehung HARRISON (1985), S. 8.

^[115] Vgl. hierzu und zu der folgenden Beziehung BAZ/CHACKO (2004), S. 73.

^[116] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen FELLER (1970), S. 342.

^[117] Vgl. KARLIN/TAYLOR (1998), S. 356.

^[118] Ein Beweis des Theorems findet sich in LIPTSER/SHIRYAEV (2001), S. 238-250. Für eine ausführliche Diskussion des Theorems siehe bspw. NEFTCI (2003), S. 312-342 oder KARATZAS/SHREVE (2005), S. 190-201.

^[119] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen JOSHI (2003), S. 194.

^[120] Vgl. TALEB (1997), S. 469.

^[121] Siehe zu der folgenden Beziehung COX/MILLER (1996), S. 220f. Für die Herleitung siehe alternativ JOSHI (2003), S. 198f.

^[122] Vgl. RICH (1994), S. 272.

^[123] Vgl. JOSHI (2003), S. 194.

^[124] Vgl. WILMOTT (2000), S. 32f.

^[125] Vgl. zur Put-Call-Parität und der folgenden Beziehung COX/RUBINSTEIN (1985), S. 41f.

^[126] Vgl. zu diesem Absatz (sofern nicht anders vermerkt) RICH (1994), S. 272.

^[127] Vgl. HULL (2003), S. 245.

^[128] Vgl. JOSHI (2003), S. 191.

^[129] Zu der Symmetrieeigenschaft der Normalverteilung siehe HOGG/CRAIG (1995), S. 140f.

^[130] Siehe zu den letzten zwei Sätzen und der folgenden Beziehung ABRAMOWITZ/STEGUN (1972), S. 931.

^[131] Vgl. ABRAMOWITZ/STEGUN (1972), S. 927.

^[132] Vgl. RICH (1994), S. 273.

^[133] Siehe hierzu auch ABRAMOWITZ/STEGUN (1972), S. 931.

^[134] Vgl. bspw. HOGG/CRAIG (1995), S. 142f.

^[135] Vgl. zu der folgenden Beziehung RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 28; die Autoren benutzen die Variablen t bzw. u, die in der vorliegenden Arbeit (T–t0) bzw. z entsprechen.

^[136] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen ZHANG (2001), S. 211.

^[137] Vgl. RICH (1994), S. 273.

^[138] Die Nomenklatur geht zurück auf INGERSOLL (1987), S. 369.

^[139] Vgl. ZHANG (2001), S. 211.

^[140] Siehe hierzu und der folgenden Beziehung INGERSOLL (1987), S. 352, Gleichung (26) mit Null als absorbierender Barriere.

^[141] Vgl. zu den letzten drei Sätzen INGERSOLL (1987), S. 352. Siehe hierzu ergänzend die Erläuterungen in ZHANG (2001), S. 213.

^[142] Vgl. RICH (1994), S. 273.

^[143] Vgl. zur folgenden Beziehung RICH (1994), S. 273.

^[144] Wenn die Ereignisse G 1 , …, G h eine disjunkte Zerlegung des Ergebnisraums Ω darstellen, so gilt gemäß dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit für jedes beliebige Ereignis Y Ω:

siehe hierzu COX/MILLER (1996), S. 16.

^[145] Vgl. zur folgenden Gleichung INGERSOLL (1987), S. 352, Gleichung (27).

^[146] Vgl. zur folgenden Beziehung RICH (1994), S. 273.

^[147] Vgl. RICH (1994), S. 273.

^[148] Vgl. zu diesem Absatz und der folgenden Beziehung INGERSOLL (1987), S. 352.

^[149] Vgl. INGERSOLL (1987), S. 352.

^[150] Siehe zu der letzten Zeile der folgenden Beziehung JOSHI (2003), S. 200, Gleichung (8.44).

^[151] Vgl. zur folgenden Gleichung BERGER (1996), S. 222.

^[152] Vgl. RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 28; α entspricht in der vorliegenden Arbeit b.

^[153] Siehe zu dieser Aussage und der letzten Beziehung auch BERGER (1996), S. 237.

^[154] Für eine Herleitung mit jeweils (geringfügig) abweichenden Notationen, jedoch demselben Esprit siehe COX/MILLER (1996), S. 220f., Gleichung (71); HARRISON (1985), S. 13, Gleichung (8) oder JOSHI (2003), S.198-200, Gleichung (8.45)

^[155] Siehe zu diesem Absatz RICH (1994), S. 274.

^[156] In der Literatur wird im Anschluss an die Defective Density üblicherweise die First Passage Time Density diskutiert, die den (ungewissen) Zeitpunkt des erstmaligen Durchbrechens der Barriere betrifft. Diese Dichte ist allerdings nur für die Diskontierung des sog. Rebate (Rückvergütung) im Falle eines Knock-Out relevant. Vgl. hierzu RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 35. Dem Verfasser ist kein Produkt in Deutschland bekannt, das eine derartige Zahlung vorsieht. Es soll darauf verwiesen werden, dass der übliche Rückkauf von ausgeknockten Produkten zu einem Kurs von 0,001 € lediglich aus steuerrechtlichen Gründen erfolgt und nicht mit einem Rebate zu verwechseln ist. In den USA sind Rebates in Höhe von 3 US-Dollar nicht unüblich, was selbst bei einem Bezugsverhältnis von 0,01 immerhin 0,03 US-Dollar ausmacht. Siehe hierzu HAUG (2004), S.72.

^[157] Die Herleitung in diesem Abschnitt stammt vom Verfasser. Geeignete Zwischenergebnisse sowie das Endresultat werden selbstverständlich mit Quellen belegt.

^[158] Siehe zum folgenden Term auch RICH (1994), S. 299.

^[159] Siehe hierzu auch INGERSOLL (1987), S. 369.

^[160] Vgl. auch NEFTCI (2003), S. 355.

^[161] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen und der folgenden Bedingung auch NEFTCI (2003), S. 355.

^[162] Vgl. zur folgenden Gleichung auch BERGER (1996), S. 224.

^[163] Siehe zu Rechenregeln für bestimmte Integrale OPITZ (2004), S. 559.

^[164] Vgl. INGERSOLL (1987), S. 14.

^[165] Vgl. HULL (2003), S. 228.

^[166] Siehe hierzu die Erläuterungen in Abschnitt 3.1.2.1.2.

^[167] Das getrimmte Mittel wird durch Vernachlässigung der Ausreißer ermittelt. Siehe hierzu FAHRMEIR et al. (2003), S. 63.

^[168] Für einen simplen Beweis der folgenden Beziehung siehe INGERSOLL (1987), S. 14f.

^[169] Für einen Beweis dieser Aussage siehe JARROW/TURNBULL (2000), S. 112f.

^[170] Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Dichtefunktion n (Z) der (Standard-) Normalverteilungsfunktion N (Z) gilt für eine beliebige Konstante a:

Siehe zu diesen Ausführungen NEFTCI (2003), S. 357.

^[171] Vgl. zum folgenden Ergebnis auch BERGER (1996), S. 241.

^[172] Vgl. zum folgenden Ergebnis auch BERGER (1996), S. 241.

^[173] Siehe zu den folgenden zwei Gleichungen ebenfalls BERGER (1996), S. 241.

^[174] Siehe zu den folgenden Substitutionen RICH (1994), S. 269f.

^[175] Nur für diese Gleichung soll aus Platzgründen ausnahmsweise die Abkürzung DOC die Notation DOC (S; X=B; t) ersetzen.

^[176] Vgl. zu dieser Formel RUBINSTEIN/REINER (1991), S. 35. Hierbei sei darauf verwiesen, dass die obige Formel eigentlich für einen Basispreis X > B gilt. Da allerdings aufgrund X = B sowohl x = x1, als auch y = y1 gilt, resultiert für X < B dieselbe Gleichung. Siehe hierzu auch RICH (1994), S. 300, Gleichung (A6).

^[177] In Anhang B wird gezeigt, dass diese hergeleitete Bewertungsformel mit der aus der partiellen Differentialgleichung direkt ermittelten Formel (9) identisch ist.

^[178] Vgl. NEFTCI (2004), S. 217.

^[179] Vgl. NEFTCI (2004), S. 299.

^[180] Vgl. HAUG (2004), S. 70.

^[181] Vgl. WILMOTT (2005), S. 231.

^[182] Vgl. zu dieser Parität bspw. JOSHI (2003), S. 186.

^[183] Vgl. zu diesem Absatz CHRISS (1997), S. 436-438.

^[184] Vgl. JOSHI (2003), S. 186.

^[185] Vgl. GLASSERMAN/STAUM (2001), S. 923.

^[186] Vgl. NEFTCI (2004), S. 299. Siehe zu diesen Annahmen auch Abschnitt 3.1.

^[187] Vgl. GUPTA (1998), S. 63.

^[188] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen SAID (2003), S. 143.

^[189] Vgl. GUPTA (1998), S. 64.

^[190] Vgl. SAID (2003), S. 143. Veröffentlichungen von einigen Autoren, die sich mit alternativen Kursprozessen im speziellen Kontext der Barrier-Optionen beschäftigen, werden hier nicht behandelt, da selbst deren oberflächlichste Darstellung den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde. Siehe zu dem sog. CEV (Constant Elasticity of Variance)-Prozess BOYLE/TIAN (1999), S. 249-254 und DAVYDOV/LINETSKY (2001), S. 949-965. Für eine Diskussion von Kurssprüngen (Jumps) siehe LEISEN (1999), S. 319-342.

^[191] Vgl. GUPTA (1998), S. 63.

^[192] Zero(-Coupon)-Bonds sind Anleihen, die über die Laufzeit keine Zinszahlungen vorsehen. Die Verzinsung wird nur durch die Auszahlung bei Fälligkeit determiniert. Siehe bspw. JARROW/ TURNBULL (2000), S, 23.

^[193] Vgl. zu den letzten zwei Sätzen DERMAN/ERGENER/KANI (1994b), S. 1.

^[194] Vgl. WILMOTT (2005), S. 177.

^[195] Vgl. WILMOTT (2005), S. 188.