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Implementierung eines geometrisch nichtlinearen isotropen viskoplastischen Materialmodells zur Beschreibung des Portevin-Le Chatelier-Effektes in das Finite-Elemente-System ABAQUS

©2004 Diplomarbeit 66 Seiten

Zusammenfassung

Inhaltsangabe:Einleitung:
In der Arbeit wird die Implementierung eines geometrisch nichtlinearen, deviatorisch-viskoplastischen, isotropen Materialmodells zur Beschreibung des Portevin-Le Chatelier-Effektes in das Finite-Elemente-System ABAQUS beschrieben. Das Modell wird aus dem geometrisch linearen elasto-viskoplastischen Materialmodell von Zhang, McCormick und Estrin (2001) abgeleitet. Das Modell kommt mit 2 inneren Variablen aus, einer Vergleichsdehnung und der aging-time, die angibt, wie viel Zeit die gelösten Atome hatten, sich an den Versetzungen zu sammeln. Dabei wird ausführlich auf das Folgende eingegangen:
- Klassifizierung des PLC-Effektes nach der Spannungs-Dehnungskurve und den Oberflächenerscheinungen.
- Vorstellung des Originalmodells von Zhang, McCormick und Estrin mit Diskussion.
- Modifikation des Modells für große Verformungen (geometrisch nichtlinear) und deviatorisch viskoplastisch.
- Implementierung des neuen Modells.
Dabei wird ausführlich auf die folgende numerische Aufgaben und Schwierigkeiten eingegangen:
- Die Berechnung der vom Finite-Elemente-System ABAQUS verlangten algorithmisch konsistenten Ableitung des Spannungsinkrementes nach dem Dehnungsinkrement.
- Die Regularisierung der Vergleichsspannung.
- Die numerische Integration der Differentialgleichung der aging time.
Es werden FE-Rechnungen mit dem neuen Modell gemacht und Vergleiche angestellt mit:
- dem Originalmodell.
- den Experimenten.
Bei beiden Modellen wird der Einfluss der Zeitschrittweite im Inkrement auf die Ergebnisse untersucht. Es wird der Einfluss der algorithmisch konsistenten Ableitung auf das Ergebnis und Lösungsverhalten untersucht.
Es wird eine einseitige Zusammenfassung gegeben.


Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einleitung5
2.Die physikalischen Hintergründe des PLC-Effektes6
3.Die verschiedenen Erscheinungsformen des PLC-Effektes7
4.Verwendete kinematische Grundgrößen und Annahmen11
5.Das Zhang-McCormick-Estrin-Modell13
5.1Geometrisch lineare Formulierung des Zhang-McCormick-Estrin-Modells13
5.2Diskussion des Zhang-McCormick-Estrin-Modells16
6.Modifkationen am Originalmodell20
6.1Übergang zum starr-viskoplastischen Modell20
6.2Geometrisch nichtlineare Formulierung des Modells20
7.Implementierung des modifzierten Modells23
7.1Berechnung von D (sym. Anteil des Geschwindgkeitsgraienten)24
7.2Formulierung des Fließpotentials24
7.3Berechnung des deviatorischen Anteils der algorithmischen […]

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis


ID 8171
Glüge, Rainer: Implementierung eines geometrisch nichtlinearen isotropen viskoplastischen
Materialmodells zur Beschreibung des Portevin-Le Chatelier-Effektes in das Finite-Elemente-
System ABAQUS
Hamburg: Diplomica GmbH, 2004
Zugl.: Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Diplomarbeit, 2004
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Diplomica GmbH
http://www.diplom.de, Hamburg 2004
Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
5
2
Die physikalischen Hintergr¨
unde des PLC-Effektes
6
3
Die verschiedenen Erscheinungsformen des PLC-Effektes
7
4
Verwendete kinematische Grundgr¨
oßen und Annahmen
11
5
Das Zhang-McCormick-Estrin-Modell
13
5.1
Geometrisch lineare Formulierung des Zhang-McCormick-Estrin-
Modells
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
5.2
Diskussion des Zhang-McCormick-Estrin-Modells
. . . . . . . . .
16
6
Modifikationen am Originalmodell
20
6.1
¨
Ubergang zum starr-viskoplastischen Modell . . . . . . . . . . . .
20
6.2
Geometrisch nichtlineare Formulierung des Modells . . . . . . . .
20
7
Implementierung des modifizierten Modells
23
7.1
Berechnung von D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
7.2
Formulierung des Fließpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
7.3
Berechnung von
/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.4
Berechnung von
/D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
7.5
Nachweis des Potentials (
II
D
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
7.6
Regularisierung der von Mises'schen Fließregel . . . . . . . . . . .
27
7.7
Die algorithmische Ableitung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
8
Die Integration der aging-time
31
8.1
osung der Differentialgleichung der aging-time f¨
ur = 1 . . . . .
31
8.2
Integration der Differentialgleichung der aging time: das -Schema
33
8.3
Integration der Differentialgleichung der aging-time mit dem im-
pliziten Eulerverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
8.4
Genauigkeitssteigerung der Zeitintegration . . . . . . . . . . . . .
35
8.5
Extrapolation zur Genauigkeitssteigerung . . . . . . . . . . . . . .
35
8.5.1
Extrapolation h¨
oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . .
38
9
FE-Rechnungen mit dem neuen Modell
39
9.1
Das Testmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
9.2
Integration der aging-time in der Praxis
. . . . . . . . . . . . . .
40
9.3
Untersuchung der Annahme = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
9.4
Beobachtungen am Testmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1

9.5
Beobachtungen bei der der FE-L¨
osung
. . . . . . . . . . . . . . .
41
9.6
Vergleich mit dem Originalmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
9.6.1
Rechenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
9.6.2
Kritische Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
10 Vergleich mit Experimenten
45
10.1 Parametervariation am modifizierten Modell . . . . . . . . . . . .
45
10.1.1 Oberfl¨
achenerscheinungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
10.1.2 Variation der Dehnrate und Gesamtdehnung . . . . . . . .
47
10.1.3 Kritische Dehnung in Abh¨
angigkeit von der Nenndehnrate
48
10.1.4 Untersuchung der Abh¨
angigkeit der kritischen Dehnung
von der Zeitintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
10.1.5 Einfluss der Probengeometrie
. . . . . . . . . . . . . . . .
53
11 Zusammenfassung
61
12 Quellen
62
Abbildungsverzeichnis
1
Einteilung in die Typen A bis E aus Rodriguez, P., 1988. . . . . .
8
2
Skizze der Oberfl¨
achenerscheinungen a und b . . . . . . . . . . . .
9
3
Oberfl¨
achenerscheinungen vom Typ a und b, V. A. Phillips, A. J.
Swain, und R. Eborall, J. Inst. Metals, vol. 81, p. 625, 1952 . . . .
10
4
osung des DGL-Systems (20) und (21) mit den Anfangs- und
Nebenbedingungen (22) f¨
ur t
a
und . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5
osung des DGL-Systems (20) und (21) mit den Anfangs- und
Nebenbedingungen (22) f¨
ur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
6
eine Regularisierung f¨
ur die Vergleichsspannung . . . . . . . . . .
28
7
Richardson-Extrapolation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
8
Ausweichm¨
oglichkeit auf eine Exponentialfunktion, wenn die
Richardson-Extrapolation ein negatives Ergebnis liefert . . . . . .
37
9
Randbedingungen am FE-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
10
Ein wanderndes PLC-Band wird ,,reflektiert". Zu sehen ist die pla-
stische Dissipation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
11
Die kritische Dehnung in % ¨
uber der maximal zul¨
assigen Zeit-
schrittweite in s aufgetragen (Tabelle 2). . . . . . . . . . . . . . .
44
12
Eine Oberfl¨
achenerscheinung vom Typ a (farblich gekennzeichnet
ist die plastische Dissipation)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
13
Eine Oberfl¨
achenerscheinung vom Typ b (farblich gekennzeichnet
ist die plastische Dissipation)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2

14
Numerisch (a) und experimentell (b) ermittelte Abh¨
angigkeit der
kritischen Dehnung von der Dehnrate. Abbildung b wurde ,,Locali-
zed deformation bands in Portevin-LeCh^
atelier plastic instabilities
at a constant stress rate", Zs. Kov´
acs, J. Lendvai, G. V¨
or¨
os, Ma-
terials Science and Engineering A279 (2000) 179-184) entnommen.
49
15
Abh¨
angigkeit der kritischen Dehnung in % (y-Achse) von der ma-
ximal zul¨
assigen Zeitschrittweite t in s (x-Achse) bei einer hohen
und einer niedrigen Dehnrate (16% Dehnung in 10 und 3100 Se-
kunden). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
16
Spannungs-Dehnungsdiagramm f¨
ur 2 und 3 mm dicke Zugproben
bei einer Nenndehnrate von 2.5 10
-4
s
-1
. . . . . . . . . . . . . . .
54
17
Spannungs-Dehnungsdiagramm f¨
ur 1 mm dicke Zugproben bei ei-
ner Nenndehnrate von 2.5 10
-4
s
-1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
18
Histogram der Spannungsabf¨
alle f¨
ur 3 Zugversuche mit verschie-
denen Dicken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
19
Eine Zugprobe nach dem Durchlauf mehrere PLC-B¨
ander. (Die
Skalierfaktoren sind in der Querschnittsebene auf 8 gesetzt.) . . .
58
20
Ein PLC-Band l¨
auft durch die Probe. Es ist deutlich eine
Verj¨
ungung der Zugprobe zu erkennen, die nach Durchlauf des
PLC-Bandes bleibt. Die farbliche Kennzeichnung entspricht der
plastischen Dissipation. (Der Skalierfaktor in Dickenrichtung ist
zur besseren Veranschaulischung auf 20 gesetzt.) . . . . . . . . . .
59
21
Eine Zugprobe kurz vor dem Bruch. Es wurde keine Skalierung
vorgenommen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Tabellenverzeichnis
1
Parameter aus [S. Zhang, P.G. McCormick, Y. Estrin, 2001] des
Zhang-McCormick-Estrin-Modells f¨
ur eine Al-Mg-Si-Legierung . .
15
2
Vergleich kritische Dehnung modifiziertes- und Originalmodell
(16% Dehnung in 100 Sekunden, 100x20 inc.-mode-Elemente,
12.5x2.5x0.25 mm Zugprobe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3
Schema zur Variation von Dehnrate und Gesamtdehnung . . . . .
47
4
Ergebnisse der Variation der Dehnrate (Versuch Nr. 1 bis 6) . . .
48
5
Ergebnisse der Variation der Enddehnung (Versuch Nr. 7 bis 12) .
48
6
Abh¨
angigkeit der kritischen Dehnung von der maximal zul¨
assigen
Zeitschrittweite t bei einer hohen und einer niedrigen Dehnrate.
(16% Dehnung in 10 und 3100 Sekunden) . . . . . . . . . . . . . .
51
7
Auswertung der Spannungsabf¨
alle f¨
ur 3 Zugversuche mit verschie-
denen Dicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3

Danksagung
Mein Dank gilt Juniorprof. Dr.-Ing. Thomas B¨
ohlke f¨
ur die sehr gute Betreuung
ahrend der Arbeit. Ebenso m¨
ochte ich Prof. Dr.-Ing. Albrecht Bertram f¨
ur die
Bereitschaft der Zweitbetreuung danken. Die von Prof. Dr.-Ing. Albrecht Bert-
ram, Juniorprof. Dr.-Ing. T. B¨
ohlke und Dipl.-Ing. Michael Schurig gehaltenen
Vorlesungen und ¨
Ubungen vermittelten mir die der Arbeit zugrunde liegenden
mathematischen und mechanischen Sachverhalte. Das jederzeit ein Gespr¨
ach
oglich war, war sehr hilfreich. Allgemein war das Arbeiten im Institut f¨
ur
Mechanik an der Otto von Guericke-Universit¨
at sehr angenehm, da ein gutes
Arbeitsklima und jederzeit freundliche Unterst¨
utzung vorhanden waren.
Die Arbeit ist Annika Ziolkowski gewidmed. Danke f¨
ur deine Liebe.
4

1
Einleitung
Ein Metall, das einer gleichm¨
aßigen Belastung unterworfen ist, muss sich nicht
zwangsweise gleichm¨
aßig deformieren. Aufgrund von Wechselwirkungen zwischen
Fehlern im Kristallgitter und gel¨
osten Fremdatomen k¨
onnen Deformationsb¨
ander
entstehen, die mit einer bestimmten Geschwindigkeit durch das Material laufen.
unne Metallstreifen beziehungsweise Bleche sind hierf¨
ur besonders anf¨
allig. Die-
ses Ph¨
anomen wurde von Portevin und Le Chatelier untersucht, und ist daher
unter der Bezeichnung Portevin-LeChatelier-Effekt (PLC-Effekt) bekannt.
Bei der Umformung von Blechen f¨
ur Flugzeuge ist das Auftreten dieses Effek-
tes beispielsweise unerw¨
unscht, da die Oberfl¨
acheng¨
ute unter den Deformati-
onsb¨
andern leidet.
Von S. Zhang, P.G. McCormick und Y. Estrin wurde 2001 ein elasto-
viskoplastisches Materialmodell [S. Zhang, P.G. McCormick, Y. Estrin, 2001] zur
Beschreibung dieses Effektes vorgeschlagen. Dabei handelt es sich um ein geo-
metrisch lineares, isotropes elasto-viskoplastisches Materialmodell. In [Gl¨
uge, R.,
2004] wurde dieses Modell in das FE-System ,,ABAQUS" implementiert. Sowohl
in [S. Zhang, P.G. McCormick, Y. Estrin, 2001] als auch in [Gl¨
uge, R., 2004]
konnten PLC-B¨
ander simuliert werden. Die zu diesem Modell durchgef¨
uhrte li-
neare Stabilit¨
atsanalyse von C. Br¨
uggemann [Br¨
uggemann, C., 2003] detektier-
te ebenfalls die durch das Materialmodell induzierten Instabilit¨
aten, die f¨
ur die
Entstehung und Ausbreitung der PLC-B¨
ander verantwortlich sind. Ein wichti-
ges Ergebnis der linearen Stabilit¨
atsanalyse war, dass die elastischen Dehnungen
nur einen geringen Einfluss auf die Instabilit¨
aten haben. Die FE-Rechnungen mit
dem Originalmodell sind aufgrund der numerischen Integration der elastischen
oder der plastischen Dehnungen sehr aufw¨
andig, da immerhin 5 gew¨
ohnliche Dif-
ferentialgleichungen auf die Entwicklung des Tensors der plastischen Dehnungen
entfallen. F¨
ur einen Zugstab, in dem nur ein einachsiger Spannungszustand auf-
tritt, sind je nach Vernetzung Rechenzeiten von bis zu mehreren Tagen m¨
oglich.
Sollte es m¨
oglich sein, die elastischen Dehnungen zu vernachl¨
assigen, verspricht
dies eine wesentliche Reduktion an Rechenaufwand.
Außerdem arbeitet das Originalmodell mit dem klassischen Dehnungstensor. Bei
typischen Umformprozessen f¨
ur Bleche, bei denen die PLC-Problematik interes-
sant wird, treten jedoch große Drehungen und große Dehnungen auf, f¨
ur welche
ein geometrisch linearisiertes Modell ungeeignet ist. Daher soll das Modell auch
geometrisch nichtlinear formuliert werden.
Anschließend soll das modifizierte Modell in das Finite-Elemente-System
,,ABAQUS" implementiert werden.
5

2
Die physikalischen Hintergr¨
unde des PLC-
Effektes
Es ist inzwischen allgemein akzeptiert, das im Werkstoff gel¨
oste Fremdatome f¨
ur
die Instabilit¨
aten im plastischen Fließen verantwortlich sind. Man geht davon
aus, dass diese sich, um ein m¨
oglicht geringes Energieniveau zu haben, an den
beweglichen Versetzungen, also den Fehlern im Kristallgitter, aufhalten. Durch
die Anwesenheit einer Wolke von Fremdatomen wird das Wandern dieser Ver-
setzungen, und somit das plastische Fließen erschwert. Wird die kritische Kraft,
die zum Wandern einer Versetzung n¨
otig ist erreicht, reisst sich die Versetzung
von der Atomwolke los und beeinflusst beim Wandern durch den Kristall die
Atomwolken, die an anderen Versetzungen h¨
angen. Dadurch reißen sich auch an-
dere Versetzungen los, und es entsteht ein sprunghafter Zuwachs an Deformation.
Dieser wird sogar makroskopisch sichtbar. Im Gegensatz zu den L¨
udersb¨
andern,
welche sich einmal beim Beginn des plastischen Fließens ausbilden, kann sich die
beschriebene Wechselwirkung zwischen Fremdatomen und Versetzungen oft wie-
derholen, da die Fremdatome sich nach dem zur Ruhe kommen der Versetzungen
erneut an den Versetzungen sammeln.
6

3
Die verschiedenen Erscheinungsformen des
PLC-Effektes
Der PLC-Effekt kann sehr unterschiedlich in Erscheinung treten. Daher wurde
1988 von P. Rodriguez ein Klassifizierungssystem vorgeschlagen [Rodriguez,
P. und W. Chan, 1988]. Hierf¨
ur wurden die Charakteristika der Spannungs-
Dehnungskurve und die Erscheinungen an der Oberfl¨
ache der Zugprobe zum
Maßstab genommen. Bemerkenswert ist, dass einige stark gezackte Spannungs-
Dehnungskurven ohne sichtbare Effekte an der Oberfl¨
ache bleiben.
Im Folgenden ist eine ¨
Ubersicht ¨
uber die verschiedenen Typen, die nach ihrer
Erscheinung im Spannungs-Dehnungsdiagramm eingeteilt sind, gegeben (siehe
auch Abbildung 1):
· Typ A: Die Typen A und B werden beide als PLC-B¨ander bezeichnet
[Robinson, J. M. und M. P. Shaw, 1992]. Im Spannungs-Dehnungsdiagramm
erscheint in regelm¨
assigen Abst¨
anden ein Zacken (kurzer Anstieg, schlagartiger
Abfall unter mittleres Niveau und Anstieg mit ¨
Ubergang in eine glatte Kurve
auf vorheriges Level) auf in einer sonst ungest¨
orten Kurve.
· Typ B: Diese St¨orung erscheint im Spannungs-Dehnungsdiagramm als
Oszillation um eine bestimmtes Niveau. Die Kurve enth¨
alt im Gegensatz zu
derjenigen von Typ A keine ungest¨
orten Abschnitte mehr. Sie bildet sich laut
P. Rodriguez und W. Chan oft mit steigender Dehnrate aus Typ A heraus, was
auch von Robinson, J. M. und M. P. Shaw, 1992, festgestellt wurde.
· Typ C: Dabei handelt es sich um pl¨otzliche Abf¨alle mit anschließendem
Anstieg und ¨
Ubergang auf das urspr¨
ungliche Niveau. Diese sind so dicht
aneinandergereiht, dass im Spannungs-Dehnungsdiagramm eine S¨
agezahnkurve
entsteht.
· Typ D: Diese St¨orungen machen sich als treppenartige Kurve im Spannungs-
Dehnungsdiagramm bemerkbar. Die Spannung bleibt eine Weile konstant, bis
pl¨
otzlich ein Sprung auf ein h¨
oheres Niveau erfolgt.
· Typ E: Diese St¨orungen gehen bei h¨oheren Dehnungen aus dem Typ A
hervor. Die Spannungs-Dehnungskurve wird glatter, und die Verfestigung des
Werkstoffes sinkt nahezu auf Null.
7

Abbildung 1: Einteilung in die Typen A bis E aus Rodriguez, P., 1988.
Oberfl¨
achenerscheinungen am Werkst¨
uck:
Hier wird in Typ a und b
unterschieden. Beide haben nichts mit der Klassifizierung nach [Rodriguez, P.
und W. Chan, 1988] zu tun:
· Typ a: erscheint laut [Robinson, J. M. und M. P. Shaw, 1992] als keilar-
tige St¨
orung auf einer flachen Zugprobe (Abbildungen 2, 3 und 12). Diese gehen
mit einem leichten Einknicken der Probenoberfl¨
ache von maximal einem Grad
einher und erscheinen immer gleichzeitig auf beiden Seiten der Zugprobe. Typ a
wandert nicht ¨
uber die Probenl¨
ange.
· Typ b: Es handelt sich hierbei um B¨ander, die wirklich als Streifen auf einer
flachen Zugproben sichtbar sind. Sie treten in einem Winkel von 55 bis 60 Grad
zur Zugachse in der Ebene der Zugprobe auf. Sie k¨
onnen wandern, was als
Ursache die st¨
andige Neubildung eines Bandes nah bei dem Vorherigen hat,
oder zuf¨
allig verteilt ¨
uber die gesamte Probenl¨
ange auftreten. Es kann passieren,
dass eine Richtung (+55..60 Grad) die Erscheinungsform dominierte, oder das
beide Richtungen (
±55..60 Grad) mit der gleichen H¨aufigkeit beteiligt sind.
8

Abbildung 2: Skizze der Oberfl¨
achenerscheinungen a und b
(Abbildungen 2, 3 und 13)
In der Literatur ist auch eine Klassifizierung in die Typen A bis C zu finden,
bei welcher A die wandernden und C die stochastisch auftretenden St¨
orungen
repr¨
asentiert. B liegt dazwischen. Auch hier gehen die Typen ineinander ¨
uber.
Diese Klassifizierung ist von grundlegend anderer Natur, da sie am Werkst¨
uck
auftretende Erscheinungen als Klassifizierungskriterium nimmt. M¨
oglicherweise
passen beide Typen A und a so zusammen (in Abst¨
anden gezackte Spannungs-
Dehnungskurve), dass zwischen den Zacken das Wandern der B¨
ander stattfindet,
und jeder Zacken die durch Bildung eines neuen Bandes entsteht.
Wenn im Folgenden von den verschiedenen Typen A..E die Rede ist, ist die Klas-
sifizierung nach Rodriguez [Rodriguez, P. und W. Chan, 1988] gemeint. Die Be-
zeichnungen Typ a und b beziehen sich auf die oben beschriebenen Oberfl¨
achen-
erscheinungen.
9

Abbildung 3: Oberfl¨
achenerscheinungen vom Typ a und b, V. A. Phillips, A. J.
Swain, und R. Eborall, J. Inst. Metals, vol. 81, p. 625, 1952
10

4
Verwendete kinematische Grundgr¨
oßen und
Annahmen
Ausgehend von der Bewegung eines Kontinuums in Lagrangschen Betrachtungs-
weise wird der Deformationsgradient bestimmt, indem das Platzierungsfeld x =
f (x
0
, t) nach den materiellen Koordinaten abgeleitet wird:
F =
f (x
0
, t)
x
0
(1)
F bildet dann die Linienelemente der Platzierung x
0
in die Linienelemente zum
Zeitpunkt t ab. Der Verschiebungsgradient H ergibt sich durch Ableiten der Ver-
schiebungen u = x
- x
0
H =
(f (x
0
, t)
- x
0
)
x
0
= F
- I
(2)
Es k¨
onnen nun verschiedene Verzerrungsmaße aus F bestimmt werden. Mit dem
rechten Cauchy-Green-Tensor C = F
T
F werden nach dem Satz der polaren Zer-
legung in lagrangescher Betrachtung die Drehungen, die keinen Beitrag zu den
Verzerrungen leisten, eliminiert. Der greensche Verzerrungstensor wird zum Bei-
spiel
E
G
=
1
2
(C
- I)
(3)
berechnet. Man erh¨
alt den klassischen oder geometrisch linearisierten Verzer-
rungstensor, wenn man in (3) alle Terme von quadratischer Ordnung im Ver-
schiebungsgradienten vernachl¨
assigt:
F = H + I, E
G
=
1
2
((H + I)
T
(H + I)
- I) =
1
2
(H
T
H + H + H
T
)
1
2
(H + H
T
) = sym(H) =
Der Verzerrungstensor
wird im Originalmodell von Zhang, McCormick und
Estrin verwandt [S. Zhang, P.G. McCormick, Y. Estrin, 2001]. Der Verzerrungs-
geschwindigkeitstensor ist dort
= d/dt. F¨ur die geometrisch nichtlineare For-
mulierung ergibt sich der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor D aus dem symme-
trischen Anteil des r¨
aumlichen Geschwindigkeitsgradienten.
L =
FF
-1
D = sym(L) =
1
2
(L + L
T
)
Desweiteren wird f¨
ur das Originalmodell der Cauchysche Spannungstensor
ver-
wandt. F¨
ur das modifizierte Modell werden die Kirchhoffspannungen
= J = det(F)
(4)
11

ben¨
otigt. Außerdem werden alle Prozesse als quasistatisch angesehen. Das bedeu-
tet, dass in der lokalen Impulsbilanz
div(
) = (a - b)
(5)
der Term der Impuls¨
anderung a vernachl¨
assigt wird. Weiterhin wird b ver-
nachl¨
assigt. Dieser Term repr¨
asentiert Massenkr¨
afte wie zum Beispiel die Schwer-
kraft. Von der Impulsbilanz bleibt noch
div(
) = 0
(6)
stehen.
Bei der FEM wird aufgrund der parametrischen Ans¨
atze f¨
ur das Verschiebungs-
und Geschwindigkeitsfeld die schwache Form von (6) erf¨
ullt:
V
· Lda =
A
t
· vdv
(7)
Dabei ist t =
n der Spannungsvektor in einem Punkt auf einer Fl¨ache, die
durch den Normalenvektor n definiert ist.
12

5
Das Zhang-McCormick-Estrin-Modell
5.1
Geometrisch
lineare
Formulierung
des
Zhang-
McCormick-Estrin-Modells
Das Zhang-McCormick-Estrin-Modell ist ein elasto-viskoplastisches Modell, um
den PLC-Effekt zu beschreiben. Im Folgenden soll abk¨
urzend die Rede vom
McCormic-Modell sein. Dabei handelt es sich um einen elasto-viskoplastischen
Ansatz. Die beschreibenden Gleichungen sowie die Materialparameter in Tabelle
1 sind S. Zhang et al. 2001 entnommen.
Zerlegungsannahme: Die Gesamtdehnung l¨
asst sich als Summe der plasti-
schen und der elastischen Dehnung auffassen:
=
e
+
p
.
(8)
ist der symmetrische Anteil des Verschiebungsgradienten und dient der
linearen Approximation des Verzerrungszustandes. Daher ist das Modell auf
kleine Deformationen beschr¨
ankt. F¨
ur die elastische Dehnung soll das isotrope
Hookesche Gesetz verwendet werden:
= C[
e
];
C = I I + 2µI
(9)
mit den Lame'schen Konstanten
µ = G =
E
2(1 + )
und =
E
(1 + )(1
- 2)
,
(10)
dem Einstensor 2. Stufe I, der alle Vektoren in sich selbst abbildet, und dem
Einstensor 4. Stufe
I, der alle Tensoren 2. Stufe in sich selbst abbildet.
Um die Anzahl der beschreibenden Gleichungen zu reduzieren, werden Vergleichs-
gr¨
oßen ben¨
otigt. Hierf¨
ur soll die Vergleichsspannung nach Mises verwendet wer-
den:
v
=
3
2
· ;
(11)
uhrt man noch eine plastische Vergleichsdehnung
p
ein, kann ¨
uber die der
Prandtl-Reuss-Gleichung ¨
ahnlichen Gleichung (12) ein Zusammenhang zwischen
dem Spannungstensor und dem Tensor der plastischen Dehnrate hergestellt wer-
den. Dabei interessiert nur der Spannungsdeviator, da plastische Deformationen
isochor erfolgen
p
=
3
p
2
v
.
(12)
13

Details

Seiten
Erscheinungsform
Originalausgabe
Jahr
2004
ISBN (eBook)
9783832481711
ISBN (Paperback)
9783838681719
DOI
10.3239/9783832481711
Dateigröße
1.5 MB
Sprache
Deutsch
Institution / Hochschule
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg – Fakultät für Maschinenbau, Mechanik
Erscheinungsdatum
2004 (August)
Note
1,0
Schlagworte
mechanik kontinuumsmechanik
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Titel: Implementierung eines geometrisch nichtlinearen isotropen viskoplastischen Materialmodells zur Beschreibung des Portevin-Le Chatelier-Effektes in das Finite-Elemente-System ABAQUS
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