Untersuchung der Flugeigenschaften von Flugzeugen anhand der Phygoidbewegung
©2004
Diplomarbeit
159 Seiten
Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Zusammenfassung:
Ein Flugzeug benötigt zufrieden stellende Flugeigenschaften, sowie Flugleistungen. Bei der Betrachtung der Flugeigenschaften befasst man sich mit Fragestellungen zur Stabilität und Steuerbarkeit des Flugzeugs. Um die Belastung des Piloten so weit wie möglich zu reduzieren, muss das Flugzeug eine angemessene Stabilität besitzen. Das heißt, wenn ein Flugzeug durch eine Störung aus seinem Gleichgewichtszustand gebracht wird, sollte es die Tendenz haben, wieder ins Gleichgewicht zurückzukehren, ohne dass der Pilot einen großen Teil seiner Aufmerksamkeit der Stabilisierung widmen muss.
Ein besonderes Interesse gilt dabei dem Schwingungsverhalten des Flugzeugs. Hier unterscheidet man langperiodische Schwingungsbewegungen wie die Phygoidbewegung und hochfrequente Bewegungen wie die Anstellwinkelschwingung.
Die Phygoide tritt bei jedem Flugzeug auf und soll deshalb im Rahmen dieser Arbeit detailliert untersucht werden.
Die Untersuchung umfasst zunächst den physikalischen bzw. flugmechanischen Hintergrund und die mathematische Beschreibung der Bewegung (Kapitel 2-7). Zur Berechnung und Darstellung wird ein MATLAB-Modell erstellt, dessen Ergebnisse zunächst mit den Resultaten eines praktischen Flugversuchs verglichen werden (Kapitel 8,9). Danach wird mithilfe des Modells der Einfluss des Flugzustandes auf die Phygoide anhand zweier Beispielflugzeuge untersucht (Kapitel 10). Dazu werden verschiedene wichtige Parameter variiert. Im Folgenden wird dann, ebenfalls unter Anwendung des entwickelten MATLAB-Modells, die Phygoidbewegung verschiedener Passagierflugzeuge in speziellen Flugphasen untersucht (Kapitel 11) und bezüglich ihrer Flugeigenschaften bewertet. Im Anschluss werden die Handhabung des Schwingungsverhaltens beim Flugzeugentwurf und die Möglichkeit der Beeinflussung durch Flugregler beschrieben (Kapitel 12).
Die detaillierte Untersuchung der Phygoidbewegung im allgemeinen und im Speziellen für verschiedene Flugzeuge und Parametereinflüsse, sowie im modernen Flugzeugentwurf stellt das Ziel dieser Arbeit dar.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einführung1
2.Stabilität3
2.1Statische Stabilität3
2.2Dynamische Stabilität4
3.Die Eigenbewegungen6
3.1Die Anstellwinkelschwingung6
3.2Die Phygoidbewegung7
4.Aerodynamische Nomenklatur9
5.Statische Längsstabilität12
5.1Nickmoment des Flügels14
5.2Nickmoment des Rumpfs und der Gondeln15
5.3Nickmoment des Höhenleitwerks16
5.4Beitrag des […]
Ein Flugzeug benötigt zufrieden stellende Flugeigenschaften, sowie Flugleistungen. Bei der Betrachtung der Flugeigenschaften befasst man sich mit Fragestellungen zur Stabilität und Steuerbarkeit des Flugzeugs. Um die Belastung des Piloten so weit wie möglich zu reduzieren, muss das Flugzeug eine angemessene Stabilität besitzen. Das heißt, wenn ein Flugzeug durch eine Störung aus seinem Gleichgewichtszustand gebracht wird, sollte es die Tendenz haben, wieder ins Gleichgewicht zurückzukehren, ohne dass der Pilot einen großen Teil seiner Aufmerksamkeit der Stabilisierung widmen muss.
Ein besonderes Interesse gilt dabei dem Schwingungsverhalten des Flugzeugs. Hier unterscheidet man langperiodische Schwingungsbewegungen wie die Phygoidbewegung und hochfrequente Bewegungen wie die Anstellwinkelschwingung.
Die Phygoide tritt bei jedem Flugzeug auf und soll deshalb im Rahmen dieser Arbeit detailliert untersucht werden.
Die Untersuchung umfasst zunächst den physikalischen bzw. flugmechanischen Hintergrund und die mathematische Beschreibung der Bewegung (Kapitel 2-7). Zur Berechnung und Darstellung wird ein MATLAB-Modell erstellt, dessen Ergebnisse zunächst mit den Resultaten eines praktischen Flugversuchs verglichen werden (Kapitel 8,9). Danach wird mithilfe des Modells der Einfluss des Flugzustandes auf die Phygoide anhand zweier Beispielflugzeuge untersucht (Kapitel 10). Dazu werden verschiedene wichtige Parameter variiert. Im Folgenden wird dann, ebenfalls unter Anwendung des entwickelten MATLAB-Modells, die Phygoidbewegung verschiedener Passagierflugzeuge in speziellen Flugphasen untersucht (Kapitel 11) und bezüglich ihrer Flugeigenschaften bewertet. Im Anschluss werden die Handhabung des Schwingungsverhaltens beim Flugzeugentwurf und die Möglichkeit der Beeinflussung durch Flugregler beschrieben (Kapitel 12).
Die detaillierte Untersuchung der Phygoidbewegung im allgemeinen und im Speziellen für verschiedene Flugzeuge und Parametereinflüsse, sowie im modernen Flugzeugentwurf stellt das Ziel dieser Arbeit dar.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einführung1
2.Stabilität3
2.1Statische Stabilität3
2.2Dynamische Stabilität4
3.Die Eigenbewegungen6
3.1Die Anstellwinkelschwingung6
3.2Die Phygoidbewegung7
4.Aerodynamische Nomenklatur9
5.Statische Längsstabilität12
5.1Nickmoment des Flügels14
5.2Nickmoment des Rumpfs und der Gondeln15
5.3Nickmoment des Höhenleitwerks16
5.4Beitrag des […]
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
ID 8462
Gatting, Michael: Untersuchung der Flugeigenschaften von Flugzeugen anhand der
Phygoidbewegung
Hamburg: Diplomica GmbH, 2004
Zugl.: Hochschule Bremen (FH), Diplomarbeit, 2004
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Printed in Germany
i
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung... 1
2 Stabilität ... 3
2.1 Statische Stabilität ... 3
2.2 Dynamische Stabilität ... 4
3 Die Eigenbewegungen... 6
3.1 Die Anstellwinkelschwingung ... 6
3.2 Die Phygoidbewegung ... 7
4 Aerodynamische Nomenklatur... 9
5 Statische Längsstabilität... 12
5.1 Nickmoment des Flügels... 14
5.2 Nickmoment des Rumpfs und der Gondeln ... 15
5.3 Nickmoment des Höhenleitwerks ... 16
5.4 Beitrag des Triebwerks... 18
5.5 Gesamtflugzeug... 18
6 Die Gleichungen der Längsbewegung ... 20
6.1 Die allgemeinen Bewegungsgleichungen des starren Körpers ... 20
6.2 Die ungesteuerte Längsbewegung... 25
... 25
6.2.1 Exakte Phygoidberechnung und Darstellung mit Stabilitätsbeiwerten
... 32
6.2.2 Prüfung der Stabilität anhand der charakteristischen Gleichung
... 33
6.2.3 Näherungslösung für die Phygoidbewegung
7 Flugeigenschaftsforderungen und Vorschriften ... 35
7.1 Vorschriften für die Phygoidbewegung ... 35
7.2 Flugeigenschaftsforderungen ... 35
8 MATLAB-Modell zur Berechnung der Phygoide ... 38
8.1 Programmbeschreibung... 38
8.2 Schematische Darstellung der Ein- und Ausgabedaten... 39
9 Vergleich der MATLAB-Ergebnisse mit realen Schwingungsdaten... 41
9.1 Beschreibung des Flugzeugmusters Cessna F172 M ... 41
9.2 Flugversuch ... 42
... 42
9.2.1 Versuchsbeschreibung
... 42
9.2.2 Versuchsdaten
... 43
9.2.3 Auswertung der Messdaten
ii
Inhaltsverzeichnis
... 44
9.2.4 Versuchsergebnisse
9.3 Berechnung mit dem MATLAB-Programm ... 44
... 44
9.3.1 Näherungsberechnung
... 45
9.3.2 Exakte Berechnung
9.4 Ergebnis... 46
10 Einfluss des Flugzustandes auf die Phygoidbewegung... 47
10.1 Beschreibung der Flugzeugmuster ... 47
... 47
10.1.1 Boeing 747-100
... 48
10.1.2 Lockheed Jetstar
10.2 Einfluss der Flughöhe und geschwindigkeit ... 49
10.3 Einfluss der Schwerpunktlage... 53
10.4 Einfluss des Flugbahnwinkels... 57
11 Die Phygoidbewegung verschiedener Flugzeuge in speziellen Flugzuständen ... 60
11.1 North American Navion ... 60
11.2 Beech M99 ... 64
11.3 Fairchild / Dornier 328... 68
11.4 Lockheed Jetstar... 72
11.5 Lear Jet 24 ... 75
11.6 McDonnell Douglas DC-8 ... 79
11.7 Boeing 707 ... 82
11.8 Airbus A300 ... 85
11.9 Convair 880 ... 88
11.10 Boeing 747-100 ... 91
11.11 Aerospatiale - Britisch Aerospace Concorde ... 94
12 Handhabung des Schwingungsverhaltens bei der Auslegung von modernen
Verkehrsflugzeugen ... 98
12.1 Leitwerksauslegung... 99
... 99
12.1.1 Leitwerksauslegung bei natürlicher Stabilität
... 102
12.1.2 Leitwerksauslegung bei Verzicht auf natürliche Stabilität
12.2 Flugreglerauslegung ... 105
... 106
12.2.1 Modifikation der Phygoidbewegung durch Regelung
... 109
12.2.2 Nicklageregelung
... 111
12.2.3 Fahrtregelung mit Hilfe des Schubes (Vortriebsregler)
12.3 Zusammenfassung... 112
iii
Inhaltsverzeichnis
13 Fazit... 113
14 Anhang ... 115
14.1 Geometrische und aerodynamische Daten der untersuchten Flugzeuge... 116
... 116
14.1.1 Cessna 172
... 117
14.1.2 North American Navion
... 118
14.1.3 Beech M99
... 119
14.1.4 Fairchild / Dornier 328
... 120
14.1.5 Lockheed Jetstar
... 123
14.1.6 Lear Jet 24
... 124
14.1.7 McDonnell Douglas DC-8
... 125
14.1.8 Boeing 707
... 126
14.1.9 Airbus A300
... 127
14.1.10 Convair 880
... 128
14.1.11 Boeing 747-100
... 131
14.1.12 Aerospatiale - Britisch Aerospace Concorde
14.2 MATLAB-Modell ... 132
... 132
14.2.1 Quelltext
... 136
14.2.2 Ausgabedatei
... 138
14.2.3 Darstellungen
... 139
14.2.4 Modell zur Schwerpunktvariation
15 Zeichenerklärung... 140
16 Literaturverzeichnis... 148
17 Abbildungsverzeichnis ... 151
18 Versicherung ... 155
1
1 Einführung
1 Einführung
Ein Flugzeug benötigt zufrieden stellende Flugeigenschaften, sowie Flugleistungen. ,,Bei der
Betrachtung der Flugeigenschaften befasst man sich mit Fragestellungen zur Stabilität und
Steuerbarkeit des Flugzeugs."
1
Um die Belastung des Piloten so weit wie möglich zu
reduzieren, muss das Flugzeug eine angemessene Stabilität besitzen. Das heißt, wenn ein
Flugzeug durch eine Störung aus seinem Gleichgewichtszustand gebracht wird, sollte es die
Tendenz haben, wieder ins Gleichgewicht zurückzukehren, ohne dass der Pilot einen großen
Teil seiner Aufmerksamkeit der Stabilisierung widmen muss.
,,Ein besonderes Interesse gilt dabei dem Schwingungsverhalten des Flugzeugs. Hier
unterscheidet man langperiodische Schwingungsbewegungen wie die Phygoidbewegung und
hochfrequente Bewegungen wie die Anstellwinkelschwingung."
2
,,Die Phygoide tritt bei jedem Flugzeug auf und soll deshalb im Rahmen dieser Arbeit
detailliert untersucht werden."
3
Die Untersuchung umfasst zunächst den physikalischen bzw. flugmechanischen Hintergrund
und die mathematische Beschreibung der Bewegung (Kapitel 2-7). Zur Berechnung und
Darstellung wird ein MATLAB-Modell erstellt, dessen Ergebnisse zunächst mit den
Resultaten eines praktischen Flugversuchs verglichen werden (Kapitel 8,9). Danach wird
mithilfe des Modells der Einfluss des Flugzustandes auf die Phygoide anhand zweier
Beispielflugzeuge untersucht (Kapitel 10). Dazu werden verschiedene wichtige Parameter
variiert. Im Folgenden wird dann, ebenfalls unter Anwendung des entwickelten MATLAB-
Modells, die Phygoidbewegung verschiedener Passagierflugzeuge in speziellen Flugphasen
untersucht (Kapitel 11) und bezüglich ihrer Flugeigenschaften bewertet. Im Anschluss werden
die Handhabung des Schwingungsverhaltens beim Flugzeugentwurf und die Möglichkeit der
Beeinflussung durch Flugregler beschrieben (Kapitel 12).
1
Steckemetz, Bernd: Aufgabenstellung zur Diplomarbeit, Untersuchung der Flugeigenschaften von Flugzeugen
anhand der Phygoid-Bewegung.
2
Ebenda.
3
Ebenda.
2
1 Einführung
Die detaillierte Untersuchung der Phygoidbewegung im allgemeinen und im Speziellen für
verschiedene Flugzeuge und Parametereinflüsse, sowie im modernen Flugzeugentwurf stellt
das Ziel dieser Arbeit dar.
3
2 Stabilität
2 Stabilität
Unter der Stabilität eines Flugzeugs versteht man dessen Fähigkeit nach einer Störung zum
Ausgangsflugzustand zurückzukehren, ohne dass der Pilot darauf Einfluss nehmen muss
4
.
,,Als Störungen ergeben sich z.B. kurze Steuerausschläge oder der Einfluss von
atmosphärischen Störungen, wie Böen."
5
Um einen sicheren und sowohl für die Passagiere
wie auch für den Piloten akzeptablen Flug zu gewährleisten, muss das Flugzeug also eine
ausreichende Stabilität innehaben.
Auf der anderen Seite muss ein Flugzeug eine geeignete Reaktion auf Steuerbetätigungen
zeigen. Der Begriff der Steuerbarkeit bezieht sich daher auf die Fähigkeit eines Flugzeugs, auf
Steuereingaben zu reagieren, um die gewünschte Bewegung aus dem bisherigen zu einem
neuen Flugzustand zu ermöglichen. Stabilität steht also im Gegensatz zur Steuerbarkeit.
6
Es
ist zwar möglich, Flugzeuge ohne natürliche Stabilität zu fliegen, so ist dies jedoch unsicher
oder erhöht die Arbeitsbelastung des Piloten, wenn kein System zur Erlangung künstlicher
Stabilität vorhanden ist.
7
Man unterscheidet zwischen statischer und dynamischer Stabilität:
2.1 Statische Stabilität
Stabilität ist eine Eigenschaft des Gleichgewichtszustandes. Um Stabilität zu diskutieren,
muss zuerst Gleichgewicht definiert werden. Wenn sich ein Flugzeug in einem
gleichförmigen Flugzustand befindet, sind die resultierende Kraft und das resultierende
Moment um den Schwerpunkt gleich Null. Ein Flugzeug, das diese Voraussetzungen erfüllt,
befindet sich im Gleichgewicht bzw. in einem ausgetrimmten Flugzustand.
8
Statische Stabilität ist die Tendenz des Fluggerätes nach einer Störung in den
Gleichgewichtszustand zurückzukehren (positive statische Stabilität). Negative statische
Stabilität oder statische Instabilität ist vorhanden, wenn das Fluggerät die Tendenz hat sich in
Richtung der Störung und weg vom Gleichgewichtszustand zu bewegen. Neutrale statische
Stabilität bedeutet, dass das Flugzeug weder die Tendenz hat, sich in Richtung der Störung
4
Vgl. Kermode, A.C.: Mechanics of Flight. Harlow, England
10
1996, S. 274.
5
Steckemetz, Bernd: Umdruck zur Lehrveranstaltung Flugmechanik. Bremen 2000, S. 114.
6
Vgl. LFT BRE OS1/T: Principles of Flight 1 Handout. Bremen 1985, S. 60.
7
Vgl. Nelson, Robert C.: Flight Stability and Automatic Control. Boston, Burr Ridge, Dubuque, u.a.
USA
2
1998, S. 39.
8
Vgl. Ebenda, S. 40.
4
2 Stabilität
noch sich zurück ins Gleichgewicht zu bewegen.
9
Ein Beispiel der verschiedenen Arten
statischer Stabilität ist in Abbildung 2.1 zu sehen.
Abbildung 2.1 Statische Stabilität
2.2 Dynamische Stabilität
Bei der Betrachtung der dynamischen Stabilität muss man das Flugverhalten in Abhängigkeit
der Zeit untersuchen, nachdem das Flugzeug durch eine Störung aus dem Gleichgewicht
gebracht wurde. Die Art der dynamischen Stabilität wird durch die resultierende Bewegung
bestimmt. Eine Reduzierung der Amplitude der Bewegung deutet darauf hin, dass ein
Widerstand gegen diese Bewegung besteht und dafür Energie aufgewendet wird. Dies wird
positive Dämpfung genannt und die Bewegung ist dynamisch stabil. Wird dem System
Energie zugeführt, so vergrößert sich die Amplitude, und die Dämpfung, sowie die
dynamische Stabilität sind negativ. Das Fluggerät ist dynamisch instabil. Bleibt die
Bewegung gleich, spricht man von neutraler dynamischer Stabilität. Positive Dämpfung eines
Flugzeuges wird durch Kräfte und Momente ermöglicht, die infolge der Bewegung entstehen
und dieser entgegengerichtet sind. So wird die Bewegung mit der Zeit ausgedämpft.
10
Abb.
2.2 zeigt die verschiedenen Arten dynamischer Stabilität.
9
Vgl. LFT BRE OS1/T: Principles Of Flight 1, S. 61.
10
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 41f.
5
2 Stabilität
Von besonderem Interesse ist der Grad der dynamischen Stabilität. Dieser wird üblicherweise
durch die Zeit bestimmt, die notwendig ist, um die Störung bis zum halben Wert der
ursprünglichen Amplitude zu dämpfen. Liegt negative dynamische Stabilität vor ist dies die
Zeit bis zur Verdoppelung der Ursprungsamplitude. Bei einer Schwingungsbewegung sind
außerdem die Periode und die Frequenz von großer Wichtigkeit.
11
Abbildung 2.2 Dynamische Stabilität
Ein Flugzeug, das statisch stabil ist, muss also nicht gleichzeitig dynamisch stabil sein. Ist es
allerdings dynamisch stabil, so ist die statische Stabilität in jedem Falle auch positiv.
11
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 42.
6
3 Die Eigenbewegungen
3 Die Eigenbewegungen
Es gibt zwei verschiedene Eigenbewegungsformen in der Symmetrieebene: die hochfrequente
Anstellwinkelschwingung und die langperiodische Bahnschwingung, die Phygoidbewegung.
3.1 Die Anstellwinkelschwingung
Die Anstellwinkelschwingung wird durch eine Änderung des Anstellwinkels z.B. durch eine
Bö oder einer Steuereingabe erzeugt. Das Flugzeug reagiert mit einem schnellen
Überschießen der Flugbahn und pendelt sich auf dem ursprünglichen Winkel wieder ein,
sofern nicht durch Steuereingaben vom Piloten ein neuer Anstellwinkel gewählt wird (Abb.
3.1). Der Grad der statischen Stabilität bestimmt die Reaktion eines Flugzeugs auf eine
Anstellwinkeländerung. Je höher der Grad der statischen Stabilität, desto kürzer die Periode
und desto größer die Dämpfung.
12
Abbildung 3.1 Die Anstellwinkelschwingung
Bei dieser Schwingung variiert hauptsächlich der Anstellwinkel, wobei die Höhe und die
Geschwindigkeit nahezu konstant bleiben. Positive Dämpfung dieser Bewegung ist sehr
wichtig, da bei einer divergierenden Schwingung sehr schnell hohe Fliehkräfte auftreten
können. Die Anstellwinkelschwingung ist vom Piloten sehr schwer zu kontrollieren, da die
Frequenz in einem Bereich liegt, in dem so genannte Pilot Induced Oscillations (PIO)
entstehen können.
13
Das sind vom Piloten angefachte Schwingungen des Flugzeugs, die
unbeabsichtigt durch das Bemühen entstehen, das Flugzeug zu steuern. Ein solches Verhalten
12
Vgl. Crawford, Bill: Flightlab Ground School, 7. Longitudinal Dynamic Stability. 2003.
URL: http://www.flightlab.net/pdf/7_LongitudinalDynamicStability.pdf. Stand: 7.6.2004. S. 3.
13
Vgl. Ebenda.
7
3 Die Eigenbewegungen
kann zu gefährlichen Flugzuständen führen und muss deshalb vermieden werden. Die
Anstellwinkelschwingung wird hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt, da in dieser
Arbeit nur die Phygoidbewegung detailliert untersucht wird.
3.2 Die Phygoidbewegung
Während der Phygoidbewegung bleibt der Anstellwinkel nahezu konstant, während sich
Geschwindigkeit und Flughöhe periodisch ändern. Potenzielle Energie (Höhe) und kinetische
Energie (Geschwindigkeit) werden hier zyklisch gegeneinander ausgetauscht.
14
Die
Bewegung kann z.B. durch ein Aufnicken ausgelöst werden, mit dem eine Reduktion der
Geschwindigkeit und eine Flughöhenzunahme einhergeht. Durch die geringere
Geschwindigkeit wird das Verhältnis von Auftrieb zu Gewicht kleiner und bei positiver
statischer Stabilität senkt sich die Flugzeugnase und die Geschwindigkeit nimmt wieder zu,
während die Flughöhe abnimmt. Danach wiederholt sich die Bewegung. Bei positiver
Dämpfung, bzw. positiver dynamischer Stabilität werden die Abweichungen vom
ursprünglichen Flugzustand immer geringer und die Schwingung wird ausgedämpft. Dies
kann bis zu einigen Minuten dauern. Die niedrigste Geschwindigkeit hat das Flugzeug am
höchsten Punkt und die höchste Geschwindigkeit am tiefsten Punkt der Flugbahn. Die
Phygoidbewegung ist im Gegensatz zur Anstellwinkelschwingung vom Piloten leicht zu
kontrollieren, da hier die Periodendauer groß genug ist, um darauf zu reagieren. Im
Normalfall ist die Schwingung konvergent, kann aber auch neutral oder sogar leicht divergent
sein, wobei das Flugzeug immer noch kontrollierbar bleibt. Wird das Flugzeug von Hand
geflogen, so kann bei zu leichter oder sogar negativer Dämpfung die Arbeitsbelastung des
Piloten zunehmen, da es schwieriger wird, das Flugzeug auszutrimmen. So können
Abweichungen von Geschwindigkeit und Höhe häufiger auftreten.
15
Ein Beispiel einer
Phygoidbewegung ist in Abb. 3.2
dargestellt.
14
Vgl. LFT BRE OS1/T: Principles of Flight 2 Handout. Bremen 1985, S. 27.
15
Vgl. Crawford: Flightlab Ground School, S. 4.
8
3 Die Eigenbewegungen
Abbildung 3.2 Die Phygoidbewegung
9
4 Aerodynamische Nomenklatur
4 Aerodynamische Nomenklatur
Um das Verhalten oder die Bewegung eines Flugzeuges zu beschreiben und um die
Bewegungsgleichungen aufzustellen, ist es notwendig ein geeignetes Koordinatensystem zu
definieren. Für die in dieser Arbeit untersuchten Flugzeugbewegungen werden zwei
Koordinatensysteme verwendet: das geodätische und das flugzeugfeste Koordinatensystem. In
Abb. 4.1
sind diese dargestellt. Die Indizes beziehen sich, wie alle in dieser Arbeit
verwendeten Formelzeichen, auf die englische Schreibweise.
Abbildung 4.1 geodätisches und flugzeugfestes Koordinatensystem
Die auf ein Flugzeug wirkenden Kräfte bestehen aus aerodynamischen, Schub- und
Gravitationskräften. Diese Kräfte können in die jeweils entlang der Achsen wirkenden Kräfte
zerlegt werden. Die aerodynamischen Kräfte werden jeweils entlang der x-, y- oder z-Achse
mit X, Y und Z, die Schubkräfte mit
,
und die Gravitationskräfte mit
,
und
bezeichnet.
y
x
T
T ,
z
T
x
W
y
W
z
W
16
Die aerodynamischen Kräfte werden durch dimensionslose Beiwerte, den dynamischen Druck
Q, sowie der Bezugsflügelfläche S wie folgt definiert:
Axial-Kraft
(4.1)
QS
C
X
x
=
Seiten-Kraft
(4.2)
QS
C
Y
y
=
Normal-Kraft
(4.3)
QS
C
Z
z
=
16
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 19.
10
4 Aerodynamische Nomenklatur
In gleicher Weise können die Momente eines Flugzeugs in die verschiedenen Komponenten
zerlegt werden. Auch diese bestehen aus den dimensionslosen Beiwerten, dem dynamischen
Druck, der Bezugsflügelfläche sowie einer charakteristischen Länge:
Roll-Moment
(4.4)
Nickmoment
(4.5)
QSl
C
L
l
=
QSl
C
M
m
=
Gier-Moment
QSl
C
N
n
=
17
(4.6)
Abbildung 4.2 Definition der Kräfte, Momente und Geschwindigkeitskomponenten im flugzeugfesten
Koordinatensystem
Die Spannweite wird als die charakteristische Länge l für das Roll- und das Giermoment
benutzt. Für das Nickmoment wird hierfür die mittlere aerodynamische Flügeltiefe c
verwendet. Die aerodynamischen Beiwerte
und
sind hauptsächlich
Funktionen der Machzahl, der Reynoldszahl, des Anstellwinkels und des Schiebewinkels. Sie
sind weiter Funktionen der zeitlichen Veränderung des Anstellwinkels, des Schiebewinkels
und der Winkelgeschwindigkeit des Flugzeugs. Die aerodynamischen Kräfte und Momente,
m
l
z
y
x
C
C
C
C
C
,
,
,
,
n
C
17
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 20.
11
4 Aerodynamische Nomenklatur
sowie die translatorischen und Winkelgeschwindigkeiten sind in Abb. 4.2 zu sehen. Die x-
und die y-Achse befinden sich in der Symmetrieebene, wobei die x-Achse nach vorn entlang
des Rumpfes und die positive y-Achse entlang des rechten Flügels liegt. Sowohl die
resultierenden Kräfte und Momente, als auch die Geschwindigkeiten können mit diesen
Achsen zerlegt werden.
18
18
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 21.
12
5
Statische
Längsstabilität
5 Statische Längsstabilität
Die Untersuchung der Phygoidbewegung eines Flugzeugs ist eine Untersuchung des
dynamischen Flugverhaltens. Dynamische Stabilität setzt eine positive statische Stabilität
voraus. Aus diesem Grund wird in diesem Kapitel die statische Stabilität näher erläutert.
Viele nützliche Informationen zur Stabilität und Steuerbarkeit von Flugzeugen kann man
erhalten, wenn man nicht die Bewegungen, sondern nur die Gleichgewichtszustände
betrachtet. Man nennt dies statische Stabilitäts- und Steuerbarkeitsuntersuchung. Zur
Vereinfachung kann man die nichtstationären Bewegungen eines Flugzeuges in zwei Teile
aufspalten. Ein Teil umfasst die Längs- bzw. symmetrischen Bewegungen, bei denen die
Flügel horizontal bleiben und sich der Schwerpunkt in einer vertikalen Ebene bewegt. Der
andere Teil besteht aus den Seiten- oder asymmetrischen Bewegungen. Diese enthalten
Rollen, Gieren und Schieben, wobei der Anstellwinkel, die Geschwindigkeit und der
Längsneigungswinkel konstant bleiben. Diese Trennung kann sowohl für die statischen als
auch für die dynamischen Betrachtungen vorgenommen werden.
19
Für die Untersuchung der Phygoidbewegung, die ausschließlich in der Symmetrieebene
abläuft, können die Bewegungen um die Hoch- und Längsachse vernachlässigt werden. Aus
diesem Grund wird in diesem Kapitel nur die statische Längsstabilität behandelt.
,,Für Stabilitätsbetrachtungen ist es zweckmäßig, das Nickmoment auf den Schwerpunkt des
Flugzeuges zu beziehen, da in diesem Fall vom Gewicht des Flugzeugs kein Moment erzeugt
wird. Im Gleichgewichtszustand muss die Summe aller Luftkräfte gerade gleich dem Gewicht
und das Nickmoment der Luftkräfte um den Schwerpunkt Null sein. Tritt eine Störung des
Gleichgewichtszustandes ein, z.B. durch eine Bö, so wird ein Nickmoment um den
Schwerpunkt entstehen, welches das Flugzeug entweder noch weiter vom
Gleichgewichtszustand entfernt (Instabilität) oder aber in Richtung auf eine
19
Vgl. Etkin, Bernard / übersetzt und bearbeitet von: Mewes, Ernst: Flugmechanik und Flugregelung.
Stuttgart
1
1966, S. 33.
13
5
Statische
Längsstabilität
Wiederherstellung des Gleichgewichtszustandes wirkt (Stabilität). Welche dieser beiden
Verhaltensweisen vorliegt, wird durch die Steigung der Nickmomentenkurve bestimmt."
20
Eine Störung, die den Anstellwinkel und damit auch den Auftriebsbeiwert erhöht, erzeugt bei
einer positiven Steigung der Nickmomentenkurve (
0
C
/
C
L
m
<
) ein positives, also
schwanzlastiges Nickmoment, welches auf die Abweichung vom Gleichgewichtszustand
vergrößernd wirkt (Abb. 5.1). Dies ist ein Kennzeichen für instabiles Verhalten. Hat die
Kurve eine negative Steigung (
0
C
/
C
L
m
<
), so kehrt sich dieses Verhalten um und das
Flugzeug ist statisch stabil. Der Schnittpunkt der Nickmomentenkurve mit der C
L
-Achse bei
C
m
= 0 kennzeichnet den Gleichgewichtszustand. In der stabilen Momentenkurve liegt dieser
Schnittpunkt nur dann bei positiven C
L
-Werten, wenn ein positives Nullmoment vorhanden
ist. Für einen statisch stabilen Gleichgewichtszustand gelten somit zwei Voraussetzungen:
21
0
<
L
m
C
C
(5.1)
(5.2)
0
0
>
m
C
Abbildung 5.1 Instabiler und stabiler Nickmomentenverlauf
Bisher wurde bei der Betrachtung der statischen Stabilität nur die Nickmomentenkurve des
Gesamtflugzeuges berücksichtigt. Von Interesse, vor allem für den Flugzeugentwurf, ist aber
20
Wilhelm K. / Kindel W. / Schmidt O. u.a.: Flugmechanik 1, Grundlagen und stationäre Flugzustände. Material
zur Vorlesung, Berlin 2000, S.93f. Abrufbar im Internet. URL: http://fmr.ilr.tu-
berlin.de/Lehre/Flugmechanik_1/Skript. Stand: 25.5.2004.
21
Vgl. Ebenda, S. 94.
14
5
Statische
Längsstabilität
auch der jeweilige Beitrag von Flügel, Rumpf, Leitwerk und Antrieb. Deshalb werden
Flugzeuge zur Stabilitäts- und Steuerbarkeitsuntersuchung in diese Hauptgruppen unterteilt.
22
5.1 Nickmoment des Flügels
Der Beitrag des Flügels zur statischen Stabilität eines Flugzeugs kann mit Hilfe von Abb. 5.2
veranschaulicht werden. Hier wurde der Flügel durch seine mittlere aerodynamische
Flügeltiefe
c
ersetzt. Werden alle Momente um den Schwerpunkt addiert, erhält man folgende
Gleichung für das Nickmoment des Flügels:
(
)
(
)
(
)
z
D
L
c
h
h
D
L
M
M
w
w
w
w
n
w
w
w
w
ac
w
w
w
cos
sin
sin
cos
-
+
-
+
+
=
(5.1.1)
Abbildung 5.2 Nickmoment des Flügels um den Schwerpunkt in der Symmetrieebene
Wir nehmen an, dass der Anstellwinkel klein genug ist für:
1
cos
=
w
,
w
w
=
sin
.
Gleichung (5.1.1) wird dimensionslos gemacht durch Division durch
c
S
V
2
2
1
:
(
)(
) (
)
z
C
C
h
h
C
C
C
C
w
w
w
w
w
w
ac
w
D
w
L
n
w
D
L
m
m
-
+
-
+
+
=
(5.1.2)
Erfahrungswerte haben gezeigt, dass das letzte Glied der Gleichung vernachlässigt werden
kann und dass auch
w
D
w
C
im Vergleich zu
vernachlässigbar klein ist. Mit diesen
Vereinfachungen erhält man:
w
L
C
22
Vgl. Etkin, Bernard / Reid, Lloyd Duff: Dynamics Of Flight, Stability And Control. New York
3
1996, S. 44.
15
5
Statische
Längsstabilität
(
)
(
)
w
w
ac
w
w
w
ac
w
n
w
w
m
n
L
m
m
h
h
a
C
h
h
C
C
C
-
+
=
-
+
=
(5.1.3)
wobei
der Auftriebsanstieg des Flügels ist.
w
L
w
C
a
=
23
Soll der Flügel alleine statisch stabil sein, muss also der Neutralpunkt hinter dem
Schwerpunkt liegen und das Nullmoment positiv sein. Der Abstand zwischen Schwerpunkt
und Neutralpunkt ist ein Maß für die statische Stabilität. Für ein positives Flügelnullmoment
muss das Profil eine negative Profilwölbung aufweisen. Normalerweise haben konventionelle
Flugzeuge allerdings ein positiv gewölbtes Profil, wobei der Flügel alleine dann statisch
instabil ist.
24
5.2 Nickmoment des Rumpfs und der Gondeln
Die Einflüsse von Rumpf und Gondeln sind sehr komplex. Bei kleinen Anstellwinkeln an
einem isolierten Rumpf können auch hier die Luftkräfte durch eine Kombination von Auftrieb
und Widerstand an einem Neutralpunkt und von einem Nickmomentenkräftepaar, das von
unabhängig ist, dargestellt werden. Die Beziehung zwischen Auftriebsbeiwert und
Anstellwinkel verläuft, wie bei einem Flügel alleine, nahezu linear. Flügel und Rumpf können
allerdings nicht einfach zusammengefügt werden. Da sich die Umströmung von Flügel und
Rumpf in hohem Maße beeinflussen, ergibt eine einfache Superposition der Luftkräfte kein
korrektes Resultat. Der Neutralpunkt wird durch den Rumpf und die Gondeln normalerweise
nach vorn verschoben und es ergibt sich eine Zunahme des Auftriebsgradienten sowie einen
negativen Zuschlag zu
. Die Form von Gleichung (5.1.3) bleibt erhalten, allerdings mit
unterschiedlichen Werten der Parameter. Diese werden mit dem Indize wb gekennzeichnet.
ac
m
C
25
(
)
(
)
wb
wb
ac
wb
wb
wb
ac
wb
n
wb
wb
m
n
L
m
m
h
h
a
C
h
h
C
C
C
-
+
=
-
+
=
(5.2.1)
23
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 24f.
24
Vgl. Ebenda, S. 46.
25
Vgl. Etkin / Reid: Dynamics Of Flight, S. 25.
16
5
Statische
Längsstabilität
5.3 Nickmoment des Höhenleitwerks
An einem isolierten Höhenleitwerk stellen sich die Kräfte genauso dar wie an einem isolierten
Flügel. Es treten aber bedeutende Wechselwirkungen auf, wenn es am Flugzeug installiert ist.
Die bedeutendste ist die Ablenkung der Strömung nach unten. Diese Ablenkung wird vom
Flügel verursacht und durch den mittleren Abwindwinkel
charakterisiert. Ein weiterer
Effekt ist das Wegfallen eines Teils der Leitwerksfläche an der Stelle des Rumpfs. Außerdem
wird die Anströmgeschwindigkeit vermindert, wenn das Leitwerk in der Nachströmung des
Flügels liegt.
26
Abbildung 5.3 Kräfte am Höhenleitwerk
Abb. 5.3 zeigt alle auf das Höhenleitwerk einwirkenden Kräfte. V ist die
Relativgeschwindigkeit des Flugzeuges und V ist die um den mittleren Abwindwinkel
abgelenkte durchschnittliche Anströmgeschwindigkeit am Höhenleitwerk. Die Auftriebs- und
Widerstandskräfte am Leitwerk wirken senkrecht und parallel zu V . Der Flugzeugauftrieb ist
definitionsgemäß senkrecht zu V . Der Wert von
ist klein genug, damit der
Widerstandsanteil des Leitwerks zum Flugzeugauftrieb vernachlässigt werden kann. Der
Auftriebsbeiwert des Höhenleitwerks wird dann
t
t
L
S
V
L
C
t
2
2
1
=
(5.3.1)
und der gesamte Auftrieb des Flugzeugs
t
wb
L
L
L
+
=
(5.3.2)
26
Vgl. Etkin / Reid: Dynamics Of Flight, S. 26.
17
5
Statische
Längsstabilität
oder in dimensionsloser Form
t
wb
L
t
L
L
C
S
S
C
C
+
=
.
(5.3.3)
Für das Nickmoment des Höhenleitwerks erhalten wir nach Abb. 5.3
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
t
ac
wb
t
wb
t
t
wb
t
wb
t
t
t
M
L
D
z
D
L
l
M
+
-
-
-
-
-
+
-
-
=
sin
cos
sin
cos
. (5.3.4)
Im Allgemeinen kann man alle Glieder im Vergleich zum ersten vernachlässigen. Mit dieser
Vereinfachung und für kleine Winkel gilt
t
L
t
t
t
t
S
V
C
l
L
l
M
t
2
2
1
-
=
-
=
.
(5.3.5)
In der dimensionslosen Form ergibt sich
t
t
L
t
t
t
m
C
S
S
c
l
c
S
V
M
C
-
=
=
2
2
1
.
(5.3.6)
Das Verhältnis
c
S
S
l
t
t
ist charakteristisch für die Flugzeugabmessungen und wird als
Leitwerkfaktor
bezeichnet. Es folgt, dass
H
V
.
(5.3.7)
t
t
L
H
m
C
V
C
-
=
Da sich die Schwerpunktlage aufgrund von Beladung und Kraftstoffverbrauch verändert, ist
nicht konstant. Es ist praktischer, das Nickmoment um einen festen Punkt zu berechnen,
den Neutralpunkt der Flügel-Rumpf-Kombination. Im Folgenden wird dieses Moment
verwendet und es wird angesetzt
H
V
S
c
S
l
V
t
t
H
=
.
(5.3.8)
Mit
(
)
wb
n
t
H
H
h
h
S
S
V
V
-
-
=
(5.3.9)
ergibt sich für das Höhenleitwerksmoment um den Neutralpunkt der Flügel-Rumpf-
Kombination
t
t
L
H
m
C
V
C
-
=
(5.3.10)
und durch Substitution für das Moment um den Schwerpunkt
27
(
)
wb
t
t
t
n
t
L
L
H
m
h
h
S
S
C
C
V
C
-
+
-
=
.
(5.3.11)
27
Vgl. Etkin / Reid: Dynamics of Flight, S. 27f.
18
5
Statische
Längsstabilität
5.4 Beitrag des Triebwerks
Der Einfluss des Triebwerks auf die Stabilität kann bedeutend sein, er ist aber auch sehr
komplex. Der Bereich der Faktoren, die hier in Betracht zu ziehen sind, geht außerordentlich
weit. Dies liegt zum einen daran, dass unterschiedliche Typen von Triebwerken im
allgemeinen Gebrauch sind. In der zivilen Luftfahrt sind dies Kolbenmotoren mit Propellern,
Turboprop-Triebwerke, und verschiedene Strahltriebwerke. Zum anderen streuen die
Einsatzbedingungen über große Geschwindigkeits- und Aufgabenbereiche. Auch die
Variationen im Aufbau des Flugzeugs mit dem Triebwerk sind sehr groß. Aufgrund der
Komplexität dieses Gebiets ist eine umfassende Behandlung nicht durchführbar. Es existieren
nicht genügend theoretische und experimentelle Unterlagen, um zu allen erwähnten
Verhältnissen zuverlässige Voraussagen machen zu können. Der Beitrag des Triebwerks auf
die Flugzeugstabilität wird normalerweise durch Windkanalversuche abgeschätzt.
28
Es soll an dieser Stelle genügen, dass man das Moment des Triebwerks in zwei Teile
aufgliedern kann. Das Moment resultiert einerseits aus Kräften, die auf das Triebwerk selbst
einwirken (z.B. die Schubkraft und die Kräfte in der Propellerebene) und zum anderen aus
Wechselwirkungen des Triebwerkstrahls mit anderen Teilen des Flugzeugs. Beispielsweise
kann der Strahl den Abwindwinkel im Nachlauf des Flügels beeinflussen. Es wird
angenommen, dass diese Wechselwirkungen bereits im Nickmoment von Flügel, Rumpf und
Leitwerk enthalten sind. Das verbleibende Moment wird mit
gekennzeichnet.
p
m
C
29
5.5 Gesamtflugzeug
Summiert man den ersten Teil von Gleichung (5.2.1) und (5.3.11), verwendet Gleichung
(5.3.3) und addiert
für das Triebwerk, erhält man das Gesamtmoment des Flugzeugs um
den Schwerpunkt
p
m
C
(
)
p
t
wb
wb
ac
m
L
H
n
L
m
m
C
C
V
h
h
C
C
C
+
-
-
+
=
.
(5.5.1)
Aus dieser Gleichung erhalten wir den Anstieg von
mit
m
C
. Die Neutralpunkte von Flügel-
Rumpf-Kombination und Leitwerk sind fest, also folgt
(
)
+
-
-
+
=
p
t
wb
wb
ac
m
L
H
n
L
m
m
C
C
V
h
h
C
C
C
.
(5.5.2)
28
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 55f.
29
Vgl. Etkin / Reid: Dynamics Of Flight, S. 28.
19
5
Statische
Längsstabilität
m
C
hängt linear mit der Schwerpunktlage h zusammen. Da
normalerweise groß ist, wird
Wert und Vorzeichen von
hauptsächlich von der Schwerpunktlage bestimmt.
kann
also immer negativ gemacht werden, wenn eine geeignete Position des Schwerpunkts gewählt
wird. Der Neutralpunkt des Flugzeugs stellt die Grenze zwischen positiver und negativer
statischer Stabilität dar. Liegt der Schwerpunkt im Neutralpunkt, wird
gleich Null und das
Flugzeug ist statisch neutral. Wie beim isolierten Flügel, gilt auch für das Gesamtflugzeug,
dass statische Stabilität vorliegt, wenn der Schwerpunkt vor dem Neutralpunkt liegt. Je größer
dieser Abstand, desto größer wird auch die stabilisierende Wirkung.
L
C
m
C
m
C
m
C
Das Ausmaß der Stabilität ist ebenfalls von Interesse. Liegt der Schwerpunkt nur wenig vor
dem Neutralpunkt, so sind die bei einer Störung auftretenden rückführenden Momente gering
und bei großer Vorlage entsprechend groß. Dieser Abstand zwischen Schwerpunkt und
Neutralpunkt wird als Stabilitätsmaß bezeichnet.
30
Dementsprechend wirkt sich der Abstand zwischen Schwerpunkt und Neutralpunkt auch auf
die Phygoidbewegung aus, wie in den folgenden Kapiteln noch näher erläutert wird.
Bei einem großen Stabilitätsmaß sind entsprechend große Änderungen des
Höhenruderausschlags notwendig, um in einen anderen Gleichgewichtszustand zu steuern.
Ein zu großes Stabilitätsmaß ist wegen des damit verbundenen hohen Widerstands des
Leitwerks und eventuell zu großer Steuerkräfte unerwünscht. Aus Sicherheitsgründen muss
auch ein gewisses Mindeststabilitätsmaß vorhanden sein, damit nicht bereits kleine
Änderungen in der Zuladung den Schwerpunkt in eine kritische Position verschieben.
31
30
Vgl. Etkin / Reid: Dynamics of Flight, S. 29f.
31
Vgl. Wilhelm / Kindel / Schmidt u.a.: Flugmechanik 1, S. 111.
20
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
Im vorhergehenden Kapitel wurden die Voraussetzungen für statische Stabilität untersucht
und gezeigt, dass statische Stabilität die Tendenz des Flugzeugs ist, in den
Gleichgewichtszustand zurückzukehren. Zusätzlich muss ein Flugzeug auch dynamisch stabil
sein. Ein Flugzeug wird als dynamisch stabil betrachtet, wenn sich die nach einer Störung,
welche das Flugzeug aus dem Gleichgewichtszustand bringt, entstehende Bewegung mit der
Zeit verringert. Von besonderem Interesse ist der Grad der dynamischen Stabilität. Der
erforderliche Grad wird normalerweise durch die Zeit bestimmt, die vergeht, bis die
Bewegung bis zur Hälfte der ursprünglichen Amplitude ausgedämpft wurde, bzw. im Falle
einer instabilen Bewegung, die Zeit bis zur Verdoppelung der Ursprungsamplitude.
Außerdem interessieren die Frequenz oder die Periode der Schwingung. Das Verständnis des
dynamischen Flugverhaltens ist von Bedeutung bei der Abschätzung der Stabilität und
Steuerbarkeit eines Flugzeugs sowie bei der Auslegung von Autopiloten.
32
Die Störbewegungen von Flugzeugen, wie z.B. die Phygoidbewegung, werden mit
Gleichungen untersucht, die aus den allgemeinen Bewegungsgleichungen des Flugzeuges
abgeleitet werden. Die Aufstellung der allgemeinen Bewegungsgleichungen würde den
Rahmen dieser Arbeit sprengen. Der Leser wird daher auf entsprechende Literatur verwiesen.
Im Folgenden wird die abkürzende Schreibweise
...
sin
,
cos
,
sin
S
C
S
angewendet.
6.1 Die allgemeinen Bewegungsgleichungen des starren Körpers
Die Kräftegleichungen:
(
)
rv
qw
u
m
mgS
X
-
+
=
-
&
(6.1.1)
(
)
pw
ru
v
m
S
mgC
Y
-
+
=
+
&
(6.1.2)
(
)
qu
pv
w
m
S
mgC
Z
-
+
=
+
&
(6.1.3)
32
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 96.
21
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
Die Momentengleichungen:
(
)
pq
I
I
I
qr
r
I
p
I
L
xz
y
z
xz
x
-
-
+
-
=
&
&
(6.1.4)
(
)
(
)
2
2
r
p
I
I
I
rq
q
I
M
xz
z
x
y
-
+
-
+
= &
(6.1.5)
(
)
qr
I
I
I
pq
r
I
p
I
N
xz
x
y
z
xz
-
-
+
+
-
=
&
&
(6.1.6)
Winkelgeschwindigkeiten in Euler-Winkeln und deren Ableitungen:
(6.1.7)
S
p
&
& -
=
(6.1.8)
+
=
S
C
C
q
&
&
(6.1.9)
-
=
S
C
C
r
&
&
Ableitungen der Euler-Winkel und Winkelgeschwindigkeiten des Flugzeuges:
(6.1.10)
-
=
rS
qC
&
(6.1.11)
T
rC
T
qS
p
+
+
=
&
(
)
sec
+
=
rC
qS
&
(6.1.12)
Flugzeuggeschwindigkeit im geodätischen Koordinatensystem in Euler-Winkeln und
Winkelgeschwindigkeiten:
33
-
-
+
+
-
=
w
v
u
C
C
C
S
S
C
S
S
S
C
C
C
S
S
S
S
C
S
S
C
S
C
S
C
S
S
S
C
C
dt
dz
dt
dy
dt
dx
(6.1.13)
Die oben aufgelisteten Gleichungen sind in der vorliegenden Form nur numerisch lösbar.
Hierfür ist jedoch eine Vielzahl von oft sehr zeitaufwendigen Rechnersimulationen
erforderlich. Um einen Überblick über das Verhalten des Systems, beispielsweise bei der
Untersuchung der Phygoidbewegung, unter unterschiedlichen Randbedingungen zu erhalten
und Aussagen über generelle Eigenschaften der Bewegung, wie z.B. über Stabilität,
Dämpfung oder Periode treffen zu können, muss nicht das vollständige nichtlineare
33
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 105.
22
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
Gleichungssystem gelöst werden. Man kann derartige Aussagen auch gewinnen, wenn man
das System unter Anwendung der Theorie kleiner Störungen linearisiert. Hierfür nimmt man
an, dass sich das Flugzeug in einem ausgetrimmten, stationären Referenzzustand (auch:
Bezugs- oder Ausgangszustand) befindet. Ausgehend von diesem Zustand erfährt das
Flugzeug eine kleine Störung, infolge dieser das Flugzeug den Ausgangszustand verlässt und
in der Umgebung dessen kleine Bewegungen ausführt, die nahezu als linear angesehen
werden können. Man erreicht also hiermit, dass in diesem Bereich die nichtlinearen
Beziehungen als linear angenommen werden können. Die erzielten Ergebnisse gelten jedoch
nur in der Umgebung des Bezugszustandes, um den linearisiert wurde und sind somit von
diesem abhängig. Mit den linearisierten Gleichungen lassen sich trotz wesentlicher
Vereinfachungen gute Ergebnisse erzielen.
34
Der gegenwärtige Wert einer variablen Bewegungsgröße wird also ersetzt durch den
stationären Wert im Referenzzustand und der momentanen kleinen Abweichung:
u
u
u
+
=
0
v
v
v
+
=
0
w
w
w
+
=
0
p
p
p
+
=
0
q
q
q
+
=
0
r
r
r
+
=
0
X
X
X
+
=
0
Y
Y
Y
+
=
0
Z
Z
Z
+
=
0
(6.1.14)
M
M
M
+
=
0
N
N
N
+
=
0
L
L
L
+
=
0
+
=
0
Es wird angenommen, dass der Referenzzustand symmetrisch und die Antriebskräfte konstant
sind. Also wird
0
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
r
q
p
v
.
(6.1.15)
Außerdem wird die X-Achse anfänglich in Richtung des Geschwindigkeitsvektors des
Flugzeugs gelegt. So wird auch
.
0
0
=
w
Jetzt werden die Bewegungsgleichungen durch Anwenden der Theorie kleiner Störungen
vereinfacht. Dies wird am Beispiel der X-Kraft-Gleichung veranschaulicht:
(
)
rv
qw
u
m
mg
X
-
+
=
-
&
sin
.
(6.1.16)
Das Ersetzen der Variablen durch Referenzwert und kleine Abweichung ergibt
34
Vgl. Wilhelm K. / Kindel W. / Schmidt O.: Flugmechanik 2, Dynamische Flugzustände der Längs- und
Seitenbewegung. Material zur Vorlesung, Technische Universität Berlin 2002, S.6. Abrufbar im Internet. URL:
http://fmr.ilr.tu-berlin.de/Lehre/Flugmechanik_2/FM-II-Webscript.pdf. Stand 25.5.2004.
23
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
(
)
(
) (
)(
) (
)(
+
+
-
+
+
+
+
=
+
-
+
v
v
r
r
w
w
q
q
u
u
dt
d
m
mg
X
X
0
0
0
0
0
0
0
sin
)
0
. (6.1.17)
Produkte von kleinen Störungen können vernachlässigt werden und es wird angenommen,
dass
0
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
=
r
q
p
v
w
.
(6.1.18)
Es folgt für die X-Kraft-Gleichung
(
)
u
m
mg
X
X
&
=
+
-
+
0
0
sin
.
(6.1.19)
Die Gleichung kann durch Anwenden des folgenden trigonometrischen Zusammenhangs
weiter vereinfacht werden:
(
)
0
0
0
0
0
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
+
=
+
=
+
.
(6.1.20)
Folglich wird
(
)
u
m
mg
X
X
&
=
+
-
+
0
0
0
cos
sin
.
(6.1.21)
Werden alle Störungen in dieser Gleichung zu Null gesetzt, ergibt sich der Referenzzustand
0
sin
0
0
=
-
mg
X
.
(6.1.22)
Dies reduziert die X-Kraft-Gleichung zu
u
m
mg
X
&
=
-
0
cos
.
(6.1.23)
Die Kraft
X
ist die Änderung der aerodynamischen und der Antriebskraft in -Richtung und
kann mit Taylor-Reihenentwicklung in Variablen der kleinen Störungen ausgedrückt werden.
Wir nehmen an, dass
x
X
eine Funktion von u, w,
e
und
T
ist. In diesem Fall gilt:
T
T
e
e
X
X
w
w
X
u
u
X
X
+
+
+
=
.
(6.1.24)
u
X
,
w
X
,
e
X
und
T
X
werden als dimensionsbehaftete Derivativa oder auch
als Ersatzgrößen bezeichnet. Diese werden im Ausgangszustand abgeschätzt.
e
ist die
Änderung des Höhenruderwinkels und
T
die der Schubeinstellung.
Wird der Ausdruck für
X
in die X-Kraft-Gleichung substituiert, ergibt sich
u
m
mg
X
X
w
w
X
u
u
X
T
T
e
e
&
=
-
+
+
+
0
cos
,
(6.1.25)
nach Umstellung
(
)
T
T
e
e
X
X
mg
w
w
X
u
u
X
dt
d
m
+
=
+
-
-
0
cos
(6.1.26)
Nach Division durch die Masse m folgt
24
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
(
)
T
e
w
u
T
e
X
X
g
w
X
u
X
dt
d
+
=
+
-
-
0
cos
(6.1.27)
wobei
m
u
X
X
u
=
,
m
w
X
X
w
=
usw. die aerodynamischen Derivativa dividiert durch
die Flugzeugmasse sind.
Die gesammelten linearisierten Bewegungsgleichungen können in zwei Bewegungsarten
unterteilt werden:
-Längsbewegung (Flug in der Symmetrieebene)
(
)
T
e
e
w
u
T
X
X
g
w
X
u
X
dt
d
+
=
+
-
-
0
cos
(6.1.28)
(
)
(
)
T
e
q
w
w
u
T
e
Z
Z
g
dt
d
Z
u
w
Z
dt
d
Z
u
Z
+
=
-
+
-
-
-
+
-
0
0
0
sin
1
&
(6.1.29)
T
e
q
w
w
u
T
e
M
M
dt
d
M
dt
d
w
M
dt
d
M
u
M
+
=
-
+
+
-
-
2
2
&
(6.1.30)
-Seitenbewegung
(Flug
außerhalb der Symmetrieebene)
35
(
)
(
)
r
r
r
p
v
Y
g
r
Y
u
p
Y
v
Y
dt
d
=
-
-
+
-
-
0
0
cos
(6.1.31)
r
a
r
x
yz
p
v
r
a
L
L
r
L
dt
d
I
I
p
L
dt
d
v
L
+
=
+
-
-
+
-
(6.1.32)
r
a
r
p
z
xz
v
r
a
N
N
r
N
dt
d
p
N
dt
d
I
I
v
N
+
=
-
+
+
-
-
(6.1.33)
Da die Phygoidbewegung ausschließlich in der Symmetrieebene abläuft, werden hier die
Gleichungen der Seitenbewegung nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Im Folgenden
wird nur noch der Flug in der Symmetrieebene berücksichtigt. In den folgenden Kapiteln
werden die linearisierten Bewegungsgleichungen gelöst, um so aussagekräftige Informationen
des dynamischen Flugverhaltens zu erhalten.
35
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 105ff.
25
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
6.2 Die ungesteuerte Längsbewegung
Die Bewegung eines Flugzeugs kann sehr kompliziert sein. Es gibt drei translatorische, drei
Rotationsbewegungen und zahlreiche elastische Freiheitsgrade. Eine Analyse der
Phygoidbewegung eines elastischen Flugzeugs wäre daher für diese Arbeit zu umfangreich. In
diesem Kapitel wird die Phygoidbewegung eines starren Flugzeugs mithilfe der Lösung der
linearisierten Bewegungsgleichungen untersucht. Hierfür werden einige Vereinfachungen
angewendet. Zum einen wird angenommen, dass die Flugzeugbewegung aus kleinen
Abweichungen um den Gleichgewichtszustand besteht. Zum anderen findet die Bewegung
ausschließlich in der Symmetrieebene statt, so dass nur die Bewegungsgleichungen der
Längsbewegung in Betracht gezogen werden müssen.
6.2.1 Exakte Phygoidberechnung und Darstellung mit Stabilitäts-
beiwerten
Im vorangegangenen Kapitel wurden die Beiträge der aerodynamischen Kräfte und Momente
mithilfe von aerodynamischen Stabilitätsbeiwerten dargestellt. Diese Methode basiert darauf,
dass die aerodynamischen Kräfte und Momente als eine Funktion der augenblicklichen Werte
der Störkomponenten ausgedrückt werden können. Die Störkomponenten sind die
gegenwärtigen Abweichungen vom Referenzzustand der translatorischen bzw.
Winkelgeschwindigkeiten, der Steuerausschläge und deren Ableitungen. Mit diesen
Annahmen können die aerodynamischen Kräfte und Momente mit einer Taylor-
Reihenentwicklung der Störkomponenten um den Referenzzustand ausgedrückt werden.
Beispielsweise kann eine Änderung der Kraft in X-Richtung folgendermaßen beschrieben
werden:
)
.(
.
.
...
)
,
,...,
,
,
,
(
Ordnung
höherer
Terme
T
O
H
X
u
X
u
u
X
w
w
u
u
X
e
e
e
e
+
+
+
+
=
&
&
&
&
. (6.2.1)
Der Term
u
X
wird Stabilitätsbeiwert genannt und wird am Referenzzustand festgesetzt.
Der Beitrag der Änderung der Geschwindigkeit u zur Änderung
X
der X-Kraft ist
[
]
u
u
X
.
u
X
kann auch mit dem dimensionslosen Stabilitätsbeiwert
ausgedrückt
werden:
u
x
C
QS
u
C
u
X
u
x
0
1
=
(6.2.2)
26
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
Wobei
(
)
0
u
u
C
C
x
x
u
=
(6.2.3)
Durch die Annahme, dass die Störungen klein sind, müssen nur die linearen Terme von
Gleichung (6.2.1) beibehalten werden. Trotzdem enthält die Gleichung zahlreiche Terme
erster Ordnung. Welche Kräfte und Momente sich mit welchen Variablen ändern, ist durch
Erfahrung und Messungen bekannt. Es ist also nicht jede mathematisch formulierte
Abhängigkeit wirklich in der Praxis vorhanden. Wird z.B. das Nickmoment, wie im
Folgenden, mit Störvariablen ausgedrückt,
...
...
)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(
+
+
+
+
+
=
p
p
M
w
w
M
v
u
M
u
u
M
r
q
p
w
v
u
w
v
u
M
r
e
a
&
&
&
(6.2.4)
sollte deutlich werden, dass Terme wie
(
)
v
v
M
und
(
)
p
p
M
für das Flugzeug nicht
von Bedeutung sind.
36
(
)
0
0
2
mu
QS
C
C
X
D
D
u
u
+
-
=
(
)
0
0
2
mu
QS
C
C
X
L
D
w
+
-
=
(
)
0
0
2
mu
QS
C
C
Z
L
L
u
u
+
-
=
(
)
0
0
2
mu
QS
C
C
Z
D
L
w
u
+
-
=
(
)
m
u
QS
u
c
C
Z
z
w
0
0
2
&
&
=
w
Z
u
Z
0
=
w
Z
u
Z
&
&
0
=
m
QS
u
c
C
Z
q
z
q
0
2
=
m
QS
C
Z
e
e
z
=
(
)
y
m
u
I
u
c
QS
C
M
u
0
=
(
)
y
m
w
I
u
c
QS
C
M
0
=
(
)
y
m
w
I
u
c
QS
u
c
C
M
u
0
0
2
&
&
=
w
M
u
M
0
=
w
M
u
M
&
&
0
=
y
m
q
I
c
QS
u
c
C
M
q
0
2
=
y
m
I
c
QS
C
M
e
e
=
Tabelle 7.1 Stabilitätsbeiwerte der Längsbewegung
36
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 108f.
27
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
Im Folgenden wird die Methode der Stabilitätsbeiwerte für die Darstellung von
aerodynamischen Kräften und Momenten verwendet. Es werden nur die Terme
berücksichtigt, die für die Bewegung des Flugzeugs bedeutsam sind. Die meisten
Stabilitätsbeiwerte werden aus Messungen gewonnen. Es gibt allerdings auch Methoden zur
Abschätzung der Beiwerte. Die Methoden für alle notwendigen Beiwerte hier aufzuführen,
würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Daher wird an dieser Stelle auf die US Air Force
Stability and Control DATCOM verwiesen. Dieser Report ist eine umfassende Sammlung von
Methoden zur Abschätzung von aerodynamischen Stabilitäts- und Steuerungswerten und ist in
der Luftfahrtindustrie weit verbreitet. Die Nutzung dieser Quelle ist kostenpflichtig und
konnte daher für diese Arbeit nicht verwendet werden. Eine Zusammenfassung der Beiwerte
für die Längsbewegung ist in Tabelle 7.1 dargestellt.
Die linearisierten Gleichungen der Längsbewegung sind gewöhnliche lineare
Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Diese bestehen aus den
aerodynamischen Stabilitätsbeiwerten sowie aus Masse- und Trägheitswerten des Flugzeugs.
Diese Gleichungen können als eine Zusammenstellung von Differenzialgleichungen erster
Ordnung dargestellt werden. Man nennt dieses Darstellung Zustandsdarstellung. Sie hat die
mathematische Form
B
Ax
x
+
=
&
(6.2.5)
Hier ist x der Zustandsvektor, der Kontrollvektor und die Matrizen A und B enthalten die
dimensionsbehafteten Stabilitätsbeiwerte des Flugzeugs. Zur besseren Übersicht werden die
linearisierten Bewegungsgleichungen der Längsbewegung hier noch einmal aufgeführt:
(
)
T
e
e
w
u
T
X
X
g
w
X
u
X
dt
d
+
=
+
-
-
0
cos
(6.1.28)
(
)
(
)
T
e
q
w
w
u
T
e
Z
Z
g
dt
d
Z
u
w
Z
dt
d
Z
u
Z
+
=
-
+
-
-
-
+
-
0
0
0
sin
1
&
(6.1.29)
T
e
q
w
w
u
T
e
M
M
dt
d
M
dt
d
w
M
dt
d
M
u
M
+
=
-
+
+
-
-
2
2
&
(6.1.30)
Hier sind
und
T
die aerodynamische und die Vortriebssteuerung. In der Praxis werden
die Beiwerte
und
normalerweise vernachlässigt, da sie nur einen sehr kleinen Beitrag
zur Reaktion des Flugzeuges leisten. Aus diesem Grund werden auch hier in der
q
Z
w
Z
&
28
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
Zustandsdarstellung
und
nicht berücksichtigt. Die Gleichungen der Längsbewegung
in der Zustandsdarstellung lauten:
q
Z
w
Z
&
+
+
+
+
+
+
-
=
T
w
w
w
q
w
w
w
u
w
u
w
u
w
u
T
T
T
T
Z
M
M
Z
M
M
Z
Z
X
X
q
w
u
u
M
M
Z
M
M
Z
M
M
u
Z
Z
g
X
X
q
w
u
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
&
&
&
&
&
&
&
&
&
(6.2.6)
Hier sind der Zustandsvektor x und der Kontrollvektor gegeben durch
=
q
w
u
x
,
(6.2.7)
=
T
und die Matrizen A und B sind
(6.2.8)
+
+
+
-
=
0
1
0
0
0
0
0
0
0
u
M
M
Z
M
M
Z
M
M
u
Z
Z
g
X
X
w
q
w
w
w
u
w
u
w
u
w
u
&
&
&
A
+
+
=
0
0
T
T
T
T
Z
M
M
Z
M
M
Z
Z
X
X
w
w
&
&
B
(6.2.9)
Die Beiwerte der Kräfte und Momente wurden durch die Flugzeugmasse, bzw. das
Trägheitsmoment dividiert:
m
u
X
X
u
=
,
y
u
I
u
X
M
=
,
usw.
(6.2.10)
In diesem Kapitel der ungesteuerten Längsbewegung ist der Kontrollvektor gleich Null. So
ergibt sich
.
(6.2.11)
Ax
x
=
&
Die homogene Lösung von Gleichung (6.2.11) erhält man mit der Annahme einer Lösung der
Form
( )
t
e
t
0
x
x
=
.
(6.2.12)
Substitution von Gleichung (6.2.12) in Gleichung (6.2.11) ergibt
[
]
0
0
=
- x
A
I
.
(6.2.13)
I ist hier die Einheitsmatrix,
29
6 Die Gleichungen der Längsbewegung
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
I
(6.2.14)
Für eine nichttriviale Lösung muss die Determinante
0
=
- A
I
sein.
37
(6.2.15)
Diese Determinante ist die charakteristische Determinante des Systems. Bei einer Erweiterung
ergibt sich ein Polynom N-ten Grades in
, das charakteristische Polynom. Die algebraische
Gleichung N-ten Grades ist die charakteristische Gleichung des Systems. Die Wurzeln
von
Gleichung (6.2.15) werden als charakteristische Wurzeln oder Eigenwerte bezeichnet. Da die
Gleichung N-ten Grades ist, gibt es im Allgemeinen reale und konjugiert komplexe Wurzeln.
Zu jedem realen Eigenwert
gibt es entsprechend einen realen Eigenvektor
und jedem
konjugiert komplexen Paar Eigenwerte entspricht in Paar konjugiert komplexe Eigenvektoren.
Da jede Wurzel eine Lösung von Gleichung (6.2.11) sein kann und da die Gleichung linear
ist, entsteht die allgemeine Lösung aus der Summe aller entsprechenden Eigenvektoren aus
Gleichung (6.2.12):
0
x
( )
t
i
i
i
e
t
=
0
x
x
(6.2.16)
Die allgemeine Lösung von Gleichung (6.2.12) ist die Summe aller einzelnen Lösungen. Eine
typische Variable, z.B. w, hätte die Form
( )
...
2
1
2
1
+
+
=
t
t
e
a
e
a
t
w
,
(6.2.17)
wobei
durch den Ausgangszustand unveränderlich wäre. Das entsprechende bezeichnende
Paar zu einem Paar konjugiert komplexer Eigenwerte
1
a
i
n
±
=
(6.2.18)
ist
(6.2.19)
(
)
(
)
t
i
n
t
i
n
e
a
e
a
-
+
+
2
1
Nach Erweiterung der Exponenten wird Gleichung (6.2.19) zu
(
t
A
t
A
e
nt
sin
cos
2
1
+
)
)
(6.2.20)
wobei
und
immer real sind. Das heißt, dass Gleichung (6.2.20)
eine Schwingungsbewegung der Periode
(
)
2
1
1
a
a
A
+
=
(
2
1
2
a
a
i
A
-
=
2
=
T
beschreibt, die entweder zu- oder
abnimmt, abhängig vom Vorzeichen von n. Die vier Möglichkeiten der entstehenden
Schwingung, je nachdem ob
real oder komplex und abhängig vom Vorzeichen von n, sind
37
Vgl. Nelson: Flight Stability and Automatic Control, S. 148ff.
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2004
- ISBN (eBook)
- 9783832484620
- ISBN (Paperback)
- 9783838684628
- DOI
- 10.3239/9783832484620
- Dateigröße
- 2.3 MB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Hochschule Bremen – Maschinenbau
- Erscheinungsdatum
- 2004 (Dezember)
- Note
- 1,0
- Schlagworte
- matlab schwingung flugmechanik luftfahrt
