Kreditrisikomessung, Bankenportfolios und interne Modelle

Inhaltsverzeichnis

Darstellungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung
1.1 Risikomanagement im Wandel
1.2 Der Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht

2. Grundlagen der Risikomessung von Markt- und Kreditrisiken
2.1 Begriffsklärungen und Abgrenzung Marktrisiko versus Kreditrisiko
2.2 Statistische Risikomaße
2.2.1 Der Value-at-Risk
2.2.2 Kritische Betrachtung des Value-at-Risk
2.2.3 Der Expected Shortfall
2.3 Portfolioorientierte Betrachtungsweise bei Kreditrisiken
2.4 Überblick und Klassifizierung kommerzieller Kreditportfoliomodelle

3. Der Credit-Value-at-Risk-Ansatz von CreditMetrics
3.1 Allgemeine Vorbetrachtung
3.2 Credit-Value-at-Risk für einen einzelnen Kredit
3.2.1 Kreditratings und Eintrittswahrscheinlichkeiten
3.2.2 Bewertung von Krediten
3.2.3 Berechnung des Credit-Value-at-Risk
3.3 Ermittlung von Korrelationen
3.3.1 Allgemeine Vorgehensweise
3.3.2 Anwendung anhand eines Zwei-Kredit-Portfolios
3.4 Credit-Value-at-Risk für ein Portfolio
3.5 Kritische Würdigung

4. Das versicherungsmathematische Modell CreditRisk+
4.1 Allgemeine Vorbetrachtung
4.2 Annahme konstanter Ausfallraten
4.2.1 Verteilung der Ausfallereignisse
4.2.2 Verteilung der Portfolioverluste
4.3 Annahme variabler Ausfallraten
4.3.1 Sektorenanalyse
4.3.2 Verteilung der Ausfallereignisse
4.3.3 Verteilung der Portfolioverluste
4.4 Modellierung von Diversifikationseffekten
4.5 Kritische Würdigung

5. Vergleich von CreditMetrics und CreditRisk+
5.1 Methodische Gegenüberstellung
5.2 Empirischer Vergleich der Ergebnisse

6. Alternative Modellierungsansätze
6.1 Der Optionspreisansatz von KMV
6.2 Das makroökonomische Modell CreditPortfolioView

7. Zusammenfassung und Ausblick

Anhang

Literaturverzeichnis

Darstellungsverzeichnis

Darstellung 1: Formen von Marktrisiken und Kreditrisiken

Darstellung 2: Unterschiede zwischen Marktrisiken und Kreditrisiken

Darstellung 3: Aufbau eines Faktormodells

Darstellung 4: Übersicht Asset-Value-Modelle versus Ausfallraten-Modelle

Darstellung 5: Beispiel einer Migrationsmatrix in % (Laufzeit 1 Jahr)

Darstellung 6: Berechnung der Varianz s2 und des Erwartungswertes m

Darstellung 7: Zusammenfassender Vergleich zwischen CreditMetrics und CreditRisk+

Darstellung 8: Value-at-Risk bei empirischer Schätzung der Korrelationen

Darstellung 9: Grundüberlegungen des KMV-Ansatzes

Darstellung 10: Beispiel für eine Migrationsmatrix basierend auf EDF-Ratingklassen (in %)

Darstellung A 1: Die drei Säulen des Baseler Akkords

Darstellung A 2: Durchschnittliche industriespezifische Ausfallraten in Deutschland

Darstellung A 3: Beispiel für Forwardzerosätze (in %) in Abhängigkeit des Ratings

Darstellung A 4: Rückzahlungsquoten in Abhängigkeit von Nachrangigkeiten und Besicherungen

Darstellung A 5: Beispielhafte Beta-Verteilungen für Rückzahlungsquoten

Darstellung A 6: CVaR mit Hilfe kumulierter Wahrscheinlichkeiten

Darstellung A 7: Standardnormalverteilung der Aktienrendite eines BB-gerateten Unternehmens

Darstellung A 8: Renditeschwellen ZRating für Schuldner mit den Ausgangsratings A und BB.

Darstellung A 9: Beispiel für eine bivariate Normalverteilung zweier Assets mit (р=0)

Darstellung A 10: EDF-Variationsbreite innerhalb verschiedener Ratingklassen

Darstellung A 11: Generierung einer systematischen Ausfallratenverteilung

Darstellung A 12: CreditMetrics vs. CreditRisk+ in Bezug auf einen allgemeinen Modellrahmen

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

1.1 Risikomanagement im Wandel

Seit einigen Jahren erfährt der Bereich Risikomanagement einen Wandel bezüglich neuer Risikomessverfahren und Techniken sowie größere Akzeptanz in Wirtschaft und Wissenschaft. „The theory has developed to the point where risk management/measurement is now regarded as a distinct sub-field of the theory of finance…”^[1]

Grundlagen für moderne Techniken der Risikomessung wurden bereits in den 50er Jahren durch die Portfoliotheorie von Markowitz (1952) publiziert. Das Management von Risiken aus der Portfoliobetrachtung und der Berücksichtigung von Diversifikationseffekten ist noch heute insbesondere im Kreditrisikomanagement ein bedeutendes Thema. Weitere Grundsteine wurden von Black/Scholes (1973) und ihrer Optionspreistheorie für die Bewertung von Op-tionen gelegt, die unter anderem auch für die Bewertung von Krediten herangezogen wird. Während die 90er Jahre von einem enormen Wandel im Bereich der Marktrisikomessung geprägt waren, entstanden in den letzten Jahren auf Grundlage der Portfoliotheorie und der Optionspreistheorie Modelle zur Quantifizierung von Kreditrisiken auf der Portfolioebene. Für die Entwicklung der letzten Jahre im Kreditrisikomanagement sind mehrere Faktoren aufzuführen:

Zum Einen stiegen in den vergangenen Jahren die Anzahl der Insolvenzen stark an, die vorrangig auf den zunehmenden globalen Wettbewerb zurückzuführen sind. Zum Anderen sorgte der Zugang großer und mittelgroßer Unternehmen zum Kapitalmarkt zu alternativen Fremdfinanzierungsmöglichkeiten, was zur Folge hatte, dass sich gute Schuldner stärker am Kapitalmarkt finanzierten als schlechte Schuldner und damit die durchschnittliche Bonität der Kreditnehmer sank.^[2] Trotz der Verschlechterung des durchschnittlichen Kredit-Ratings verringerten sich aufgrund des harten Wettbewerbs der Finanzintermediäre Risikospreads für Kredite und damit auch das Ertrag/Risiko-Verhältnis. Darüber hinaus erhöhte sie die Volatilität sowohl bei Marktrisiken, als auch bei Bewertungen traditioneller Sicherheiten, wie z.B. Immobilien (collaterals), was eine Prognose der Liquidierbarkeit dieser Vermögensgegen-stände schwieriger gestaltete und zu einer zusätzlichen Unsicherheit im Kreditgeschäft führte. Eine weitere Ursache für höhere Anforderungen an Kreditrisikomanagementsysteme ist das steigende Gegenparteirisiko, resultierend aus der Verbreitung bzw. dem Einsatz von Derivaten, deren Risiko nicht mit in der Bilanz abgebildet wird (off-balance-derivatives). Dieser Aspekt könnte aufgrund der immer größer werdenden Einsatzgebiete und Anwendungsmöglichkeiten in den nächsten Jahren noch stärker in den Vordergrund rücken.^[3] Neben den Gefahren, die von der Verbreitung von Kreditderivaten ausgehen, sorgen diese für höhere Liquidität auf Sekundärmärkten für Kreditrisiken, sodass Banken von ihrer buy-and-hold-Strategie zu einem aktiven Kreditmanagement übergehen können. Eine große Bedeutung für die moderne Kreditrisikomessung haben auch die in den letzten Jahren exponentiell gestiegenen IT-Kapazitäten, die mittlerweile Simulationen von Verteilungsfunktionen mit historischen Datenbanken ermöglichen, womit wiederum Kreditportfolios effizienter gemanagt werden können.

Neben den aufgezeigten Gründen für die hohe Geschwindigkeit, mit der Kreditrisikomodelle in der Vergangenheit entwickelt wurden, hat an dieser Entwicklung die Unzufriedenheit der Banken mit den Regulierungsgrundsätzen für Kreditrisiken des Baseler Ausschusses für Bankenaufsicht^[4] den größten Anteil. Aus diesem Grund soll auf diesen Faktor im Folgenden detaillierter eingegangen werden.

1.2 Der Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht

Bevor Entwicklungsstufen und Änderungsvorschläge für Eigenkapitalvereinbarungen der Bankenaufsicht dargestellt werden, stellt sich zunächst die Frage, warum der Staat gerade im Bankensektor regulierend wirken muss.

Die Bankenaufsicht wird durch die Schutzbedürfnisse der Anleger sowie der gesamten Volkswirtschaft begründet. Zum Einen wird davon ausgegangen, dass Anleger größtenteils unwissend sind und es deshalb gilt, diese zu schützen, zum Anderen hat das Bankensystem einen großen Einfluss auf die Geldversorgung und die Preisstabilität einer Volkswirtschaft.^[5] Ein Zusammenbruch des Bankensystems hätte katastrophale Folgen für die gesamte Wirtschaft. Der Staat wäre im Falle einer Bankenkrise ohnehin gezwungen einzugreifen („too big to fail“), so dass er an einer Aufsichtsinstanz zur Verhinderung einer solchen Krise durchaus Interesse hat.^[6] Die Anforderungen an die Bankenaufsicht sind in den letzten Jahren, insbesondere durch internationale Verflechtungen auf den Kapitalmärkten, stetig gestiegen. Als Konsequenz wurde 1975 nach dem Zusammenbruch des Bankenhauses Herstatt der Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht gegründet. Seitdem gibt der Baseler Ausschuss hauptsächlich Empfehlungen in Bezug auf Regulierungsvorschriften für große international operierende Banken. Von ihnen würde im Insolvenzfall aufgrund ihrer Größe die höchste Gefahr für die Stabilität des internationalen Finanzsystems ausgehen. Mitglieder des Baseler Ausschusses sind derzeit Notenbanken und Aufsichtsbehörden der G10 sowie drei weitere Staaten.^[7] Obwohl die Vorschriften des Baseler Ausschusses nur empfehlenden Charakter haben, werden sie in über 100 Ländern in nationales Recht umgesetzt.^[8] Das wichtigste Instrument zur Stabilisierung des Finanzsystems ist die Vorschrift, risikobehaftete Geschäfte mit Eigenkapital zu hinterlegen. Zum Einen werden durch das knappe Gut Eigenkapital risikobehaftete und spekulative Geschäfte begrenzt, zum Anderen verringern Eigenkapitalreserven das durch potentielle Ausfälle bedingte Insolvenzrisiko.

Durch den Baseler Akkord 1988 (Basel I) wurden erstmals einheitliche Mindesteigenkapitalquoten für Kreditrisiken festgelegt.^[9] Generell müssen für Kredite unabhängig des individuellen Risikos 8% Prozent der Kredithöhe mit Eigenkapital hinterlegt werden. Eine Klassifizierung erfolgt lediglich nach Banken, Nicht-Banken und öffentlichen Haushalten sowie OECD-Zugehörigkeit. Anhand dieser Einteilung wird die Kredithöhe mit einem Risikogewichtungsfaktor (0%, 20%, 50% oder 100%) multipliziert. 1996 wurde Basel I durch die zusätzliche Unterlegungspflicht von Markrisiken ergänzt.^[10] Der Solvabilitätskoeffizient errechnet sich aus dem Quotienten zwischen haftendem Eigenkapital^[11] und risikobehafteter Aktiva^[12] und darf 8% Prozent nicht unterschreiten

(1) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Trotz einer erreichten Stabilisierung des Finanzsystems wurde Mitte der 90er Jahre Kritik an bestehenden Regulierungsvorschriften geäußert. Die Finanzmärkte waren durch erhebliche
Veränderungen geprägt, wobei die starren Basel I-Grundsätze keine ausreichende Sicherheit mehr bieten konnten. Aus ökonomischer Sicht ist aufgrund der Vernachlässigung des individuellen Kreditrisikos eine 8% Eigenkapitalunterlegung für relativ sichere Kredite zu hoch und für unsichere Kredite zu niedrig, was dazu führen kann, dass aufgrund geringerer Margen bei sicheren Krediten das Kreditportofolio zugunsten unsicherer Kredite ausgerichtet wird.^[13] Diese Fehlanreize bei der Kreditvergabe durch Regulierungsvorschriften, deren Aufgabe es eigentlich ist, gerade diese zu verhindern, offenbarten sich unter anderem auch bei der Asienkrise 1997/98.

Als Konsequenz veröffentlichte der Baseler Ausschuss 1999 ein Konsultationspapier für ein neues Regelwerk (Basel II), zu dem sich die Banken äußern und Veränderungsvorschläge einbringen sollten.^[14] Im Gegensatz zu Basel I wird bei Basel II jedem Kreditnehmer unab-hängig seiner nach Basel I definierten Schuldnerklasse ein risikoadäquater Gewichtungsfaktor zugeordnet. Die Risikogewichte sollen anhand objektiv nachvollziehbarer Kriterien vergeben werden. Banken können in Zukunft selbst entscheiden, ob sie ihre Kreditrisiken mittels externem Rating (Standardmethode) oder mit dem auf internem Rating basierenden Ansatz (IRB-Ansatz) messen möchten. Ziel von Basel II ist es, die Eigenkapitalhinterlegung so nah wie möglich am Einzelrisiko der jeweiligen Position auszurichten. Die Standardmethode wird vom Baseler Ausschuss beispielhaft anhand des Ratingsystems von S&P dargestellt. Dabei können zur Risikobestimmung des Kredites auch andere externe Ratingagenturen herangezogen werden. Voraussetzung ist die Anerkennung der Ratingsysteme durch die nationalen Aufsichtsbehörden und die damit verbundene Einhaltung qualitativer und quantitativer Mindestanforderungen. Im Gegensatz zu Basel I reicht bei Basel II die Risikogewichtungsspanne für Kredite von 0-150%.^[15] Beim IRB-Ansatz wird zwischen dem IRB-Basisansatz und dem fortgeschrittenen IRB-Ansatz unterschieden. Während beim Basisansatz nur die Ausfallwahrscheinlichkeit des Kredites innerhalb einer Ratingklasse von der Bank geschätzt und weitere Risikoparameter, wie das erwartete Exposure bei Ausfall, die Verlustrate und die Laufzeit, von der Bankenaufsicht vorgegeben werden, ermittelt im fortgeschrittenen IRB-Ansatz die Bank alle Risikoparameter selbst.^[16] Nach Hinweisen und Anregungen seitens der Banken wurde das Konsultationspapier von 1999 durch ein Zweites Konsultationspapier 2001 und ein Drittes 2003 ergänzt.^[17] Auf die für dieses Thema unwesentlichen Änderungen soll im Folgenden nicht weiter eingegangen werden.

Trotz Verbesserungen bei der Bewertung singulärer Kreditrisiken durch die Anerkennung von Ratingmodellen ist die Vernachlässigung von Diversifikationseffekten auf Portfolioebene zu kritisieren, die es Banken durch die Senkung des Gesamtbankrisikos erlauben würde, weniger Eigenkapital zu hinterlegen.^[18] Mit dem Anreiz eines effizienten Kreditportfoliomanagements und dem Ziel der Anerkennung von Kreditportfoliomodellen seitens der Bankenaufsicht, entstanden in den letzten Jahren eine Reihe von kommerziellen Kreditportfoliomodellen, die versuchen, die Korrelation der Kreditausfälle mit einzubeziehen. Der Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht befürwortet die Entwicklung von bankinternen Portfoliomodellen, lehnt aber eine Anerkennung der Modelle nach dem derzeitigen Entwicklungsstand ab.^[19]

Diese Arbeit setzt an dem Punkt an und thematisiert die Entwicklung, Defizite und Ver-besserungspotentiale bisher publizierter Modelle zur Messung des Kreditrisikos auf Portfolioebene.^[20]

Zunächst werden in Kapitel 2 Grundlagen der Risikomessung von Markt- und Kreditrisiken aufgezeigt. Dabei wird nach der Abgrenzung der beiden Risikoarten auf Probleme hingewiesen, die mit der Übertragung von Risikomaßen und portfoliotheoretischen Erkenntnissen aus dem Marktrisikobereich in den Kreditsektor einher gehen. Nach einer Klassifizierung der wichtigsten Kreditportfolioansätze in Asset-Value- und Ausfallraten-Modelle wird in Kapitel 3 und 4 jeweils ein Vertreter der beiden Klassen (CreditMetrics und CreditRisk+) vorgestellt und in Kapitel 5 miteinander verglichen. Darüber hinaus werden Unterschiede bei der Risikoergebnismessung und deren Ursachen dafür dargelegt. Kapitel 6 stellt CreditMetrics und CreditRisk+ zwei alternative Modellierungsansätze gegenüber, die zum Einen deren Kritikpunkte umgehen und zum Anderen potentielle Erweiterungsmöglichkeiten aufzeigen. Kapitel 7 fasst die Arbeit zusammen und gibt einen Ausblick für zukünftige Entwicklungstendenzen.

2. Grundlagen der Risikomessung von Markt- und Kreditrisiken

2.1 Begriffsklärungen und Abgrenzung Marktrisiko versus Kreditrisiko

Eine portfolioorientierte Messung von Kreditrisiken und deren aufsichtsrechtliche Anerkennung zur Berechnung des haftenden Eigenkapitals analog der Vorgehensweise bei Marktrisiken^[21] verlangt zunächst eine begriffliche Abgrenzung und eine gegenüberstellende Untersuchung beider Risikoarten.

Dies ist neben dem allgemeinen Verständnis vor allem wichtig, um Überlappungen bei der Risikomessung zu vermeiden, was angesichts der zunehmenden Handelbarkeit von Kredit-risiken durch Kreditderivate nicht mehr auszuschließen ist. Insbesondere die Aggregation der beiden Partialrisiken, Markt- und Kreditrisiko, in der Gesamtbankbetrachtung fordert eine Berücksichtigung von Überschneidungen. In praxi werden beide Risiken additiv verknüpft und mögliche Interdependenzen außer Acht gelassen.^[22] Markt und Kreditrisiken werden im Allgemeinen wie folgt definiert:^[23]

“Market risks arises from movements in the level or volatility of market prices .”

“Credit risks originates from the fact that counterparties may be unwilling or unable to fulfill their contractual obligations.”

Der Kreditrisikobegriff kann neben dem Ausfallereignis (default risk) auch als negative Veränderung der Kreditnehmerqualität (migration risk, downgrade risk) definiert werden. Das Marktrisiko wird generell in Allgemeines und Spezifisches Marktrisiko unterteilt. Während das Allgemeine Marktrisiko Marktbewegungen einer Branche oder eines Landes anhand von Indexschwankungen berücksichtigt, drückt sich das Spezifische Marktrisiko in Abweichungen einer Risikoposition von einer Benchmark (z.B. einem Markt- oder Branchenindex) in Folge der individuellen wirtschaftlichen Situationen aus. Des Weiteren werden beim Spezifischen Marktrisiko zwei Komponenten unterschieden. Das Residualrisiko ist, wie auch das Allgemeine Marktrisiko, an Marktindizes gekoppelt und stellt Abweichungen der Bonität eines Emittenten von der durchschnittlichen Markteinschätzung dar. Dem gegenüber steht resultierend aus unerwarteten Ereignissen, wie z.B. Änderungen in der Bonitätseinschätzung oder im Extremfall Insolvenz, das Eventrisiko (event risk).^[24] Damit wird zugleich eine Verbindung zum Kreditrisiko hergestellt, welches ebenfalls das Eventrisiko impliziert. Außerdem zählen zum Kreditrisiko das Emittentenrisiko, welches aus der Gefahr einer Bonitätsverschlechterung oder eines Ausfalls eines Emittenten hervorgeht, und das Gegenparteirisiko (counterparty risk), das sich z.B. durch eine Gegenpartei eines Derivates begründet. Die bisher genannten Kreditrisiken umfassen Risiken, welche von einem Kontraktpartner ausgehen. Darüber hinaus ist noch ein zusätzlicher gesamtwirtschaftlicher Risikofaktor zu nennen, der auch dann eine Rolle spielt, wenn ein Kreditnehmer sowohl zahlungsfähig, als auch zahlungswillig ist. Das Länderrisiko wird als „...Summe aller jenen Risiken verstanden, die aus der Gewährung grenzüberschreitender Kredite entstehen.“^[25] In dieser Hinsicht weist das internationale Bankgeschäft eine zweistufige Risikostruktur im Kreditrisikobereich auf.^[26]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darstellung 1: Formen von Marktrisiken und Kreditrisiken^[27]

Während Marktrisiken bedingt durch deren Charakteristika relativ einfach zu quantifizieren sind, treten bei der Messung von Kreditrisiken weitaus größere Probleme auf. Die unterschiedlichen Eigenschaften beider Risiken werden in der folgenden Übersicht tabellarisch gegenübergestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darstellung 2: Unterschiede zwischen Marktrisiken und Kreditrisiken^[32]

Nach der begrifflichen und wesenspezifischen Abgrenzung der beiden Risikoarten werden im folgenden Abschnitt statistische Risikomaße zur Risikoquantifizierung vorgestellt.

2.2 Statistische Risikomaße

Anfang der neunziger Jahre wurde massiv an Verbesserungen bei Marktrisikomessverfahren gearbeitet, deren Entwicklung von spektakulären Insolvenzen und dem damit verbundenen Drang nach verbesserten Risikomaßen getrieben wurde.^[33] In den meisten Fällen führten massive Verluste aufgrund riskanter derivativer Kontrakte einzelner Unternehmensbereiche oder Tochtergesellschaften ohne hinreichend sichere Risikokontrollsysteme der Unternehmensführung zum Bankrott. Im Zuge dieser Entwicklung etablierte sich im Marktrisikobereich Mitte der neunziger Jahre der Value-at-Risk (VaR), der seine Popularität nicht zuletzt der aufsichtsrechtlichen Anerkennung als Risikomaß zur Quantifizierung von Marktrisiken verdankt. Im Gegensatz zu traditionellen Risikomaßen verschiedener Marktrisikoarten ist der VaR in der Lage, sämtliche Marktrisiken in einer einzelnen Kennzahl zu aggregieren. Seit einigen Jahren wird versucht, den Einsatz des VaR auf den Kreditrisikobereich zu übertragen. In diesem Zusammenhang wird der VaR als Credit-Value-at-Risk (CVaR) bezeichnet.^[34]

2.2.1 Der Value-at-Risk

Der Value-at-Risk gibt den maximalen Wertverlust L eines Portfolios VPf mit der Verteilung F(·) an, der mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (z.B. 95%-99%) innerhalb eines festgelegten Zeitraumes (Haltedauer, Liquiditäts- oder Glattstellungszeitraum) nicht überschritten wird. Ein höherer Verlust, als die mit der zugrundegelegten Wahrscheinlichkeit 1- a ermittelte Verlustobergrenze, tritt nur mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner a ein.^[35] Ist F -1( a) die Inverse der Verteilung und E(Vt) der Erwartungswert des Portfolios zum Zeitpunkt t, dann lässt sich der VaR formal wie folgt ausdrücken:^[36]

(2.1) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Im Zusammenhang mit der aufsichtsrechtlichen Anwendung definiert der Value-at-Risk den Geldbetrag der erforderlich ist, um potentielle, unerwartete Verluste, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 1- a höchstens auftreten können, abzudecken.^[37]

Die grundlegenden Stellgrößen des Value-at-Risk sind die Haltedauer und das Kondidenzniveau 1- a.. Die Haltedauer beschreibt die Zeit, die vom Zeitpunkt der Risikoquantifizierung
bis zur Glattstellung der Position vergeht. Die Glattstellung kann entweder durch Ver-äußerung der Position oder durch Hedging erfolgen. Die Wahl der Haltedauer orientiert sich neben den Zielen des Portfolios an der Marktliquidität für die im Portfolio befindlichen Risikopositionen oder an dem Markt für entsprechende Hedging-Instrumente. Grundsätzlich gilt, je länger die Haltedauer ist, desto höher sind auch die potentiellen Verluste, die sich während dieser Periode aufgrund größerer Preisveränderungen ereignen können und vice versa.^[38]

Das Konfidenzniveau definiert das Verlustpotential, das nur mit der Wahrscheinlichkeit α überschritten wird. Für die Höhe des Konfidenzintervalls ist eine normative Vorgabe des Managements erforderlich, die von derem Ziel und Risikopolitik determiniert ist, wobei es diesbezüglich keinerlei theoretisch fundierte Hilfestellung für diese Entscheidung gibt.^[39] Aufgrund der Variationsmöglichkeiten über die Wahl der Haltedauer und des Konfidenzintervalls α wird der VaR auch als flexibles Risikomaß bezeichnet, was allerdings die Gefahr der gezielten Manipulation für die Realisierung bestimmter Investitionen birgt. Grundlage für die Berechnung des VaR für eine Einzelposition oder ein Portfolio ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Marktwerte, die durch Preis- und Marktwertveränderungen von Risikofaktoren (z.B. Aktienkurs- oder Zinsentwicklungen) bestimmt wird. Die Aggregation von Einzelrisiken zum Gesamtrisiko des Portfolios erfolgt über Korrelationen der einzelnen Risikofaktoren.^[40]

Für die Ermittlung des VaR wird hauptsächlich zwischen drei verschiedenen Verfahren unterschieden: dem Varianz-Covarianz-Ansatz, der historischen Simulation und der Monte-Carlo-Simulation.

Der Varianz-Covarianz-Ansatz, der aus statistischer Sicht zu den parametrischen bzw. analytischen Ansätzen zählt und häufig auch als Delta-Normal-Ansatz bezeichnet wird, ist im Vergleich zu den anderen beiden Verfahren der numerisch einfachste Ansatz. Hierbei wird eine Normalverteilung der Änderungen der Risikofaktoren sowie Linearität^[41] (Delta-Ansatz) unterstellt, sodass sich die Normalverteilungseigenschaft auf die Änderungen der Portfoliowerte überträgt (Normal-Ansatz). Die Verteilungen der Portfoliowertänderungen leiten sich aus den einzelnen Verteilungen der Risikofaktoren ab (multivariate Normalverteilung).^[42] Der Value-at-Risk berechnet sich im Grundmodell dieses Ansatzes aus der Volatilität des gesamten Portfolios sP, welche Korrelationseffekte einzelner Risikofaktoren berücksichtigt, sowie dem Z-Wert z a des a-Quantils, der durch die Transformation in die Standardnormalverteilung statistisch ermittelt wird:^[43]

(2.2) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Der größte Nachteil dieses Ansatzes ist neben der Normalverteilungsannahme, die die Bewertung von Kreditrisiken aufgrund deren asymmetrischen Verteilung nahezu ausschließt, die Linearitätsannahme der Risikofaktoren. Der Varianz-Covarianz-Ansatz ist daher zur VaR-Berechnung von nicht-linearen Derivaten und Krediten nur eingeschränkt einsetzbar.^[44] Nach diesem analytischen Verfahren werden im Folgenden zwei Simulationsansätze vorgestellt.

Bei der historischen Simulation werden anhand historischer Zeitreihen die relativen Veränderungen der Risikofaktoren ermittelt und auf dessen Basis die zukünftige Änderung des Portfoliowertes simuliert. Als Nachteil ist neben dem hohen Rechenaufwand die Verfügbarkeit der notwendigen Daten anzusehen, die insbesondere bei der Messung von Kreditrisiken aufgrund relativ seltener Beobachtungen zu Stichprobenfehlern führen kann und damit die Anwendbarkeit dieser Simulationstechnik erheblich einschränkt.^[45]

In der Regel werden für Marktrisiken Datensätze von ein bis drei Jahren herangezogen. Während Daten über eine längere Zeitperiode bessere Renditeverteilungen aufweisen, zeigen Daten über einen kürzeren Zeitraum eine bessere Reagibilität auf Marktereignisveränderungen.^[46]

Im Gegensatz zur historischen Simulation wird bei der Monte-Carlo-Simulation die Wertveränderung des Portfolios anhand von computersimulierten Szenarien generiert. Der Mittelwert μ und die Standardabweichung σ werden aus historischen Daten ermittelt. Die Stärke dieser Simulationstechnik liegt damit in der Flexibilität, mit der Verteilungen und Szenarien variiert werden können. Umgekehrt setzt dieses Verfahren große Rechenkapazitäten voraus, die es erst in den letzten Jahren ermöglichten, komplexe Simulationen durchzuführen.^[47]

Im Unterschied zu dem analytischen Ansatz unterliegen die beiden Simulationsverfahren keiner Normalverteilungsannahme und können genauere Verteilungen für nicht-lineare Finanz-instrumente und Kredite ermitteln. Da unter diesen Umständen die „fat tails“ der Kreditrisiken mit berücksichtigt werden, findet insbesondere die Monte-Carlo-Simulation wegen ihrer geringen Datenanforderung bei der Kreditrisikomessung in Banken Anwendung.

Trotz der Popularität des Value-at-Risk gibt es eine Reihe von Schwächen, die in den letzten Jahren zu kontroversen Diskussionen in der Wissenschaft geführt haben und im Folgenden Abschnitt zusammengefasst werden.

2.2.2 Kritische Betrachtung des Value-at-Risk

Die Unwissenheit über das Verlustpotential mit der Wahrscheinlichkeit P(L) < a (tail risk) außerhalb des Konfidenznivaus kann dazu führen, dass Investitionen realisiert werden, die existenzbedrohende Folgen nach sich ziehen. Bei dem Vergleich zweier riskanter Positionen mit dem selben VaRα wird die Verlusthöhe außerhalb des Sicherheitsniveaus nicht mit berücksichtigt. Ein weiterer Kritikpunkt ist die Beobachtung, dass die VaR-Anwendung zu anormalem Verhalten (perverse incentive structure) führen kann, nämlich dahingehend, dass nur die Investments realisiert werden, die der VaRα am wenigsten erfasst, aber wohlwissend, dass ein hohes Verlustrisiko außerhalb des Konfidenzniveaus liegt. Dieser Schwachpunkt kann besonders gezielt mit Hilfe von Optionen ausgenutzt werden.^[48] Ein Nachteil, der besonders bei der Aggregation von verschiedenen Teil-VaR zu einem VaR auf Portfolioebene zum Tragen kommt, ist die fehlende Subadditivität, welche ausdrückt, dass das Gesamtrisiko zweier Risikopositionen höchstens der Summe ihrer Einzelrisiken entsprechen kann. Die Nicht-Subadditivität kann auch dazu führen, dass nicht diversifizierte Portfolios ein höheres Risiko aufweisen, als diversifizierte Portfolios.^[49]

Aufgrund der Schwächen und Risiken, die mit der Anwendung des Value-at-Risk als Risikomaß sowohl bei der Ermittlung der aufsichtrechtlichen Eigenkapitalanforderungen, als auch im aktiven Risikomanagement einher gehen, können folgende Anforderungen an ein korrektes Risikomaß Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenformuliert werden:^[50]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für die Zufallsvariablen X , Y und X+Y sowie Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Risikomaße, die diese vier Bedingungen erfüllen, werden als kohärent bezeichnet. Die Positive Homogenität impliziert, das eine Erhöhung des Portfoliovolumens um l das Risiko des Portfolios um den selben Faktor erhöht.^[51] Durch die Monotonie eines Risikomaßes wird geschlussfolgert, dass eine riskante Position Y mit systematisch niedrigeren Renditen als X, in allen möglichen Zuständen ein höheres Risiko aufweist.^[52] Die Translationale Invarianz sagt aus, dass die Addition eines sicheren Rückflusses n zu einer bestehenden Risikoposition das Risiko der Gesamtposition verringert.^[53]

Ein alternatives Risikomaß zum VaR, das die vier oben genannten Eigenschaften erfüllt, ist der Expected Shortfall (ES)^[54].

2.2.3 Der Expected Shortfall

Der Expected Shortfall misst den (bedingten) Erwartungswert für extreme Verluste L, die der VaR mit dem gegebenen Konfidenzniveau 1-a nicht erfasst: ^[55]

(2.3) ES = E[L; L > VaR] = Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Unter Annahme der Normalverteilung steht der Expected Shortfall wie auch der VaR in einem fixen Verhältnis zur Standardabweichung σ. Für ein α-Quantil von 0,01 gilt:^[56]

(2.4) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit beschreibt dieses Risikomaß den mit Eintrittswahrscheinlichkeiten P(L) < a (erwarteten) Verlust, der durch das Eintreten besonders schlechter Szenarien oder Ereignisse entstehen kann. Aufgrund der Schwächen und den daraus resultierenden Gefahren, die vom Value-at-Risk ausgehen, wird der Einsatz kohärenter Risikomaße zunehmend diskutiert.^[57]

Im Anschluss an dieses Kapitel soll dargelegt werden, inwieweit die Erkenntnisse der Port-foliotheorie, die bereits seit mehreren Jahren für die Bewertung am Markt gehandelter Finanztitel Anwendung finden, auch auf den Kreditbereich übertragen werden können.

2.3 Portfolioorientierte Betrachtungsweise bei Kreditrisiken

Nach der von Markowitz veröffentlichten Portfoliotheorie (portfolio selection theory)^[58] entspricht das Gesamtrisiko eines Portfolios in der Regel nicht gleich der Summe der Einzelrisiken der im Portfolio befindlichen Finanztitel. Ursache dafür sind Korrelationseffekte zwischen einzelnen Wertpapiererträgen, die das Gesamtrisiko eines Portfolios bei nicht gleichläufiger bzw. entgegengesetzter Renditebeziehung reduzieren. Die Investitionsentscheidung wird in Abhängigkeit der erwarteten Rendite des Wertpapiers und des Risikos in Form der Standardabweichung getroffen.^[59] Während sich die erwartete Rendite des Portfolios mit a für den Anteil der Wertpapiere aus der gewichteten Summe der Einzelrenditen ergibt:^[60]

(2.5) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

müssen bei der Risikoermittlung stochastische Abhängigkeiten einzelner Aktienrenditen berücksichtigt werden. Die Varianz des Portfolios berechnet sich mit den Wertpapieren A und B aus:^[61]

(2.6) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die Kovarianz in Gleichung (2.6) gibt die paarweise Abhängigkeit der Aktienrenditen untereinander an und kann über den Korrelationskoeffizienten normiert werden. Die Standardfor-
mel des Korrelationskoeffizienten ρ zweier Zufallsvariablen X und Y ist durch

(2.7) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

definiert. Grundlegende portfoliotheoretische Beobachtungen treten auch in einem Kreditportfolio auf, wobei sich die Erfassung der Portfolioeffekte wesentlich schwieriger darstellt, als dies beim Wertpapiermanagement der Fall ist. Die Messung der Kreditrisikokorrelation orientiert sich an der Definition des Kreditrisikobegriffes, sodass der Standard-Korrelations-koeffizient aus (2.7) im Zusammenhang mit der gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeit umformuliert werden kann. Die Zufallsvariable des Kredites A hat bei dem Ereignis des Ausfalls, welches mit einer Wahrscheinlichkeit von PA auftritt, einen Wert von eins und bei Nicht-Ausfall (1-PA) einen Wert von Null. In diesem Binomialmodell entspricht der Mittelwert von A der Ausfallwahrscheinlichkeit PA.^[62] Allgemein gilt für die Varianz von A

(2.8) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Nach Einsetzen der Ausfallwahrscheinlichkeit PA berechnet sich die Varianz durch

(2.9) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

sodass nach Einsetzen in (2.7) für den Korrelationskoeffizient gilt:^[63]

(2.10) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Im Gegensatz zu Wertpapieren sind im Kreditbereich positive Korrelationen von primärer Bedeutung, die zu Klumpeneffekten (z.B. Branchenkrisen) oder Dominoeffekten (z.B. aufgrund von Kreditfinanzierungen oder Lieferantenbeziehungen) führen können.^[64] Negative Korrelationseffekte sind nur theoretisch denkbar und können beispielsweise in einem Oligopol auftreten, in dem der Ausfall eines Akteurs die Ertragssituation der Konkurrenten verbessert und die Ausfallwahrscheinlichkeiten dadurch sinken.^[65]

Die statistische Schätzung von Ausfallkorrelationen stellt sich aufgrund des enormen rechentechnischen Aufwands und kaum vorhandener Daten als äußerst schwierig dar. Um dennoch Konzentrationsrisiken^[66] in einem Portfolio identifizieren zu können, wird häufig eine Separierung der Risikofaktoren durch ein Faktormodell vorgenommen und zwischen systematischen bzw. korrelierten Risikofaktoren und einem spezifischen, idiosynkratischen Risikofaktor, der keine Abhängigkeit zu anderen Faktoren aufweist, unterschieden. Die typische Struktur eines Faktormodells zeigt Darstellung 3.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darstellung 3: Aufbau eines Faktormodells^[67]

Der in der ersten Ebene zusammengefasste systematische Faktor unterteilt sich in der zweiten Ebene in das Industrie- und Länderrisiko. Die dritte Ebene unterscheidet zwischen geogra-phischen Einheiten bzw. Sektoren. Korrelationseffekte zwischen zwei oder mehreren Krediten werden durch mindestens einen gemeinsamen, systematischen Risikofaktor erklärt, wobei lediglich das idiosynkratische Risiko durch Diversifikation beseitigt werden kann.^[68] Der Modellierung von Diversifikationseffekten durch Kreditportfoliomodelle, die nach diesem Kapitel ausführlich vorgestellt werden, fällt eine Schlüsselrolle zu.

Nachdem in diesem Abschnitt Grundlagen der Risikomessung von Markt- und Kreditrisiken aufgegriffen und vorgestellt wurden, thematisieren die folgenden Kapitel Modellierungs-ansätze zur Quantifizierung von Kreditrisiken.

2.4 Überblick und Klassifizierung kommerzieller Kreditportfoliomodelle

Bevor eine Analyse verschiedener Kreditportfoliomodelle erfolgt, soll in diesem Abschnitt zunächst ein Überblick gegeben und eine Klassifizierung der vier bekanntesten Ansätze vorgenommen werden. In der Literatur werden aufgrund der zu klassifizierenden Merkmale verschiedene Systematiken dargelegt, wobei die geläufigste Einteilung nach der Unterscheidung der verwendeten Eingangsdaten dahingehend erfolgt, dass zwischen Ausfallraten-Modellen und Asset-Value-Modellen differenziert wird.^[69] Diese Klassifizierung soll im Rahmen dieser Arbeit auch im Vordergrund stehen.

Asset-Value-Modelle betrachten bei der Modellierung der Kreditrisiken Veränderungen von Marktwerten und damit das Risiko der Bonitätsverschlechterung des Forderungstitels, welches das Ausfallereignis impliziert. Ein Unternehmen ist dann insolvent, wenn die Vermögenswerte VA geringer als die zu zahlenden Verbindlichkeiten Bges sind.^[70] Die Situation des Kreditgebers lässt sich mit Hilfe einer risikolosen Zahlung in Höhe der Kreditsumme und einer verkauften Put-Option mit dem Basispreis in Höhe der Kreditsumme duplizieren. Liegt der Wert der Assets am Laufzeitende des Kreditvertrages über den Verbindlichkeiten, dann verfällt der Put und die Schulden werden zurückgezahlt. Andernfalls übt der Kreditnehmer seine Verkaufsoption aus und übergibt anstatt der Kreditrückzahlung das Unternehmen an den Kreditgeber. Der Wert der Verkaufsoption spiegelt die geforderte Risikoprämie des Kreditgebers wider. Es wird davon ausgegangen, dass die Marktwertänderung des Eigenkapitals die Unternehmenswertentwicklung annähernd repräsentiert. Für die Entwicklung der Aktiva wird eine geometrische Brown’sche Bewegung unterstellt,

[...]

^[1] Dowd (2002), S.1.

^[2] Dieser Effekt wird aus Sicht der Banken auch als Winners-curse-effekt bezeichnet. Vgl. Saunders/Allen (2002), S. 2.

^[3] Bei einigen amerikanischen Großbanken ist der gesamte außerbörsliche Wert der derivativen Instrumente zehn mal größer als der des Kreditportfolios. Vgl. Saunders/Allen (2002). S. 2.

^[4] Abgekürzt: BIZ (Bank für internationalen Zahlungsausgleich) oder BIS (Bank for International Settlements).

^[5] Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2000), S.325f.

^[6] Vgl. Guennemann/Sczcesny (2001), S. 12.

^[7] im Detail: Belgien, Deutschland, Frankreich, Italien, Japan, Kanada, Luxemburg, Niederlande, Schweden, Schweiz, Spanien, UK, und USA.

^[8] Vgl. Pluto (2002), S. 299f.

^[9] Basel Committee on Banking Supervision (1988).

^[10] Basel Committee on Banking Supervision (1996).

^[11] Bei haftendem Eigenkapital wird zwischen dem Kernkapital, Ergänzungskapital und Nachrangkapital unterschieden, wobei Nachrangkapital lediglich für die Unterlegung von Marktrisiken verwendet werden darf. Für eine Übersicht zur Zusammensetzung des haftendem Eigenkapitals vgl. Schierenbeck (2003), S. 22ff.

^[12] Die risikobehafteten Aktiva setzen sich zusammen aus den gewichteten Kreditrisikoaktiva und den Marktrisiken, die mit Hilfe des Value-at-Risk quantifiziert werden dürfen. Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2000), S. 387ff.

^[13] Vgl. Pluto (2002), S. 301. Diese Reaktion der Banken wird auch als Kapitalarbitrage bezeichnet. Für eine

tiefergehende Problemanalyse siehe Jones (2000).

^[14] Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (1999b). Darstellung A1 im Anhang zeigt die Drei-Säulen-

Strategie des neuen Baseler Akkords.

^[15] Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2001b).

^[16] Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2001c).

^[17] Siehe Basel Committee on Banking Supervision (2001a) und Basel Committee on Banking Supervision (2003).

^[18] Im Modell der Bankenaufsicht werden portfolioinvariante Korrelationsschätzungen für Schuldner vorgegeben, wobei die real auftretenden Korrelationseffekte vernachlässigt werden. Vgl. Hamerle/Liebig/Rösch (2002), S. 470.

^[19] Vgl. Basel Commitee on Banking Supervision (1999a).

^[20] Die bekanntesten Kreditportfoliomodelle sind CreditMetrics von J.P. Morgan, CreditRisk+ von Credit Suisse

First Boston, das KMV-Modell und CreditPortfolioView von McKinsey.

^[21] Zu den Marktrisiken zählen insbesondere Zins-, Währungs-, Aktienkurs- und Rohstoffrisken.

^[22] Vgl. Jarrow/Turnball (2000), S. 272.

^[23] Jorion (2001), S. 15f.

^[24] In der Literatur wird das Eventrisiko häufig auch als Bonitätsänderungsrisiko, Ausfallrisiko oder Defaultrisiko bezeichnet.

^[25] Büschgen (1993), S. 819.

^[26] Vgl. Schierenbeck (2003), S. 154.

^[27] Eigene Darstellung in Anlehnung an Heim/Balica (2001), S. 213.

^[28] Unter „fat tails“ sind Verteilungen zu verstehen, die im Vergleich zur Normalverteilung eine schmalere Taille und breitere Enden aufweisen. Die Eigenschaft wird auch Leptokurtosis genannt und ist bei Kreditrisikoverteilungen zu beobachten, da Ausfälle zwar selten auftreten, aber bei Eintritt des Ereignisses mit einem hohen Verlust einhergehen. Vgl. Huschens (2000b), S. 9. Im Gegensatz zu Marktpositionen sind bei Krediten Gewinnmöglichkeiten bedingt durch Bonitätsverbesserungen des Kreditnehmers begrenzt. Vgl. Crouhy/Galai-/Mark (2000), S. 63.

^[29] Für Marktpreisrisiken ist eine Haltedauer von 8-10 Handelstagen üblich.

^[30] Mit einer zunehmenden Verbreitung von Kreditderivaten und einem damit verbunden hinreichend entstehenden liquiden und preiseffizienten Sekundärmarkt wird der Liquiditätszeitraum bei Kreditrisiken sukzessiv abnehmen.

^[31] Vgl. Huschens/Locarek-Junge (2002), S. 92. Die Qualität von Krediten wird unter anderem anhand von Quartals-, Halbjahres- und Jahresabschlusszahlen ermittelt, sodass bestenfalls eine vierteljährige Bewertung der Forderungstitel erfolgen kann.

^[32] Vgl. Dowd (1998), S. 166; Dunemann (2001), S. 187; Oehler/Unser (2002), S. 192. Für eine alternative Gliederung der Risiken Allgemeines Marktrisiko, Spezifisches Marktrisiko und Kreditausfallrisiko siehe Gaumert (1999), S. 79.

^[33] Zu den größten Insolvenzen zählen unter anderem die Metallgesellschaft, Orange County, Barings Bank und die Daiwa Bank.

^[34] Eine detaillierte Ableitung des CVaR erfolgt am Beispiel des Credit Metrics-Ansatzes in Kapitel 3.

^[35] Das Konfidenzniveau 1-a wird auch als Sicherheitsniveau und das a-Quantil als Konfidenzintervall bezeichnet.

^[36] Die Definition (2.1) beschreibt eine relative Darstellung des VaR in Bezug auf den erwarteten Portfoliowert zum Zeitpunkt t. Alternativ dazu könnte auch eine absolute Formulierung gewählt werden, wobei eine Verlustabweichung vom ursprünglichen Portfoliowert V0 betrachtet wird (VaR a = V0-F-1(a)). Für eine relativ kurze Haltedauer entspricht der relative näherungsweise dem absoluten Value-at-Risk. Vgl. Jorion (2001), S. 109. Da Kredite in der Regel eine Haltedauer von über einem Jahr aufweisen, wird in dieser Arbeit die relative Definition des Value-at-Risk vorgezogen.

^[37] Vgl. Huschens (2000a), S. 184. Für den Value-at-Risk sind deshalb auch die Begriffe Capital-at-Risk oder Money-at-Risk verbreitet.

^[38] Vgl. Duffie/Singleton (2003), S. 14.

^[39] Vgl. Colina/Kohlhof (2000), S.97f.

^[40] Für eine Auflistung der Paradigmen zur Value-at-Risk-Berechnung für Marktrisiken siehe Huschens (2000b),

S. 2.

^[41] Unter der Linearitätsannahme versteht man den linearen Zusammenhang eines Einzelwertes oder Portfolios zum jeweiligen Risikofaktor (z.B. Zins- oder Währungsschwankungen). Während klassische Risikopositionen, wie z.B. Aktien, diese Bedingung erfüllen, weisen bestimmte Derivate, wie z.B. Optionen, diese Eigenschaft nicht auf. Vgl. Colina/Kohlhof (2000), S. 67.

^[42] Vgl. Brandt/Klein (1998), S. 305.

^[43] Vgl. Wilson (1998), S. 79. Eine Standardnormalverteilung F(0,1) ist durch einen Erwartungswert von Null und eine Standardabweichung von eins charakterisiert. Anhand einer Tabelle für Standardnormalverteilungen kann abgelesen werden, welcher Wert zα für ein bestimmtes Konfidenzniveau 1- α nicht überschritten wird. Vgl. Oehler/Unser (2002), S. 155f.

^[44] Zwar kann der Var-Cov-Ansatz modifiziert werden, um unter o.g. Bedingungen genauere Ergebnisse zu erzielen, jedoch sind unter diesen Umständen alternative Verfahren vorzuziehen. Vgl. Amman/Reich (2001), S. 363ff.

^[45] Vgl. Huschens (2000b), S. 8.

^[46] Vgl. Colina/Kohlhof (2000), S. 36.

^[47] Für eine ausführliche Darstellung der Verfahren zur VaR-Messung z. B. siehe Dowd (1998), S. 63ff. oder Wilson (1998), S. 69ff.

^[48] Vgl. Johanning (1998), S. 287ff.

^[49] Beispielhaft wird eine Modellwelt mit 100 verschiedenen Szenarien in der Zukunft angenommen, die alle mit der selben Wahrscheinlichkeit eintreten werden. Dazu existieren 100 verschiedene Assets, die in 99 zukünftigen Zuständen Gewinn und in einem der Zustände einen hohen Verlust realisieren, wobei jedes der Assets in einem anderen Szenario extrem an Wert verliert. Ein diversifiziertes Portfolio mit einer gleichverteilten Investition in alle Assets wird mit einem VaR0,05 ein höheres Risiko aufweisen, als eine Investition des gesamten Vermögens in ein Asset. Vgl. Dowd (2002), S. 29.

^[50] Siehe Artzner et al. (1998), S. 6f.

^[51] Diese Bedingung vernachlässigt allerdings Probleme der Liquidierbarkeit bei größeren Portfolios.

^[52] Vgl. Jorion (2001), S. 115.

^[53] Siehe Artzner (1998), S. 6f.

^[54] Anstelle des Terminus Expected Shortfall gehen auch Begriffe wie z.B. Conditional-Value-at-Risk, Expected Tail Loss oder Tail VaR in die Literatur ein, deren Definitionen sich aber teilweise voneinander unterscheiden.

^[55] Diese formale Darstellung setzt eine stetige Verlustverteilung voraus. Siehe Frey/McNeill (2002), S. 1320.

^[56] Vgl. Duffie/Singleton (2003), S. 34. Der Wert 2,67 entspricht dem Z-Wert des Quantils α=0,005 in der Standardnormalverteilung.

^[57] Siehe Acerbi/Tasche (2002), S.1487ff.; Rockafellar/Uryasev (2002), S. 1443ff.; Szegö (2002), S. 1253ff.

^[58] Siehe Markowitz (1952).

^[59] Das μ-s-Kriterium stellt damit die zentrale Grundlage für Investitionsentscheidungen dar. Vgl. Perridon-/Steiner (2002), S. 260.

^[60] Siehe Markowitz (1952), S. 80.

^[61] Siehe Markowitz (1952), S. 81.

^[62] E(A)=1×PA+0×(1- PA)= PA.

^[63] Vgl. Wahrenburg/Niethen (2000a), S. 498f.

^[64] Darstellung A 2 im Anhang zeigt die positive Korrelation verschiedener Industriezweige in Deutschland.

^[65] Eine Korrelation von Null würde eine starke Idealisierung der Realität darstellen und ist möglicherweise im Massengeschäft von Kreditkartenunternehmen zu beobachten. Vgl. Huschens/Locarek-Junge (2002), S. 102.

^[66] Konzentrationsrisiken sind Risiken aus zusätzlichen Volumen eines Schuldners oder einer Gruppe korrelierter Schuldner. Vgl. Overbeck/Stahl (1998), S. 80.

^[67] Eigene Darstellung in Anlehnung an Overbeck/Stahl (1998), S. 81.

^[68] Vgl. Crouhy/Galai/Mark (2000), S. 103.

^[69] Vgl. Wahrenburg/Niethen (2000b), S.237ff. Asset-Value-Modelle werden in der Literatur auch als Unternehmenswert-, Firmenwert oder Asset-Wert-Modelle bezeichnet. Neben der Klassifizierung nach Eingangsdaten ist auch die Differenzierung nach der Risikodefinition verbreitet, wobei zwischen Mark-to-Market und Default-Mode-Modellen unterschieden wird. Vgl. Huschens/Locarek-Junge (2002), S. 94.

^[70] Grundlage der Asset-Value-Modelle ist der Ansatz von Merton. Siehe Merton (1974).