Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Zusammenfassung:
Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der wirtschaftstheoretischen Analyse von Turnieren. Ein Turnier wird in diesem Kontext als Mechanismus interpretiert, der die Allokation eines oder mehrerer unteilbarer Güter an die Turnierteilnehmer ermöglicht, wobei das relevante Entscheidungskriterium dabei die ordinale Rangfolge der erbrachten Leistungen der Turnierteilnehmer darstellt. Turniere können von daher prinzipiell auch als Auktionen interpretiert werden (bei denen allerdings jeder Teilnehmer zur Bezahlung seines Gebots verpflichtet ist, i.e. sogenannte All-pay-Auktionen), was den Vorteil mit sich bringt, eine auktionenbasierte Analyse von Turnieren durchführen zu können, die dabei auch auf Instrumentarien der Spieltheorie, der Vertragstheorie und des Mechanism-Design zurückgreift.
Durch diese relativ umfassende Definition von Turnieren kann die theoretische Analyse auf unterschiedliche Turnierformen angewendet werden, wie beispielsweise Beförderungsturniere, Architekturwettbewerbe, Sportwettkämpfe oder auch auf das in dieser Arbeit explizit analysierte rent-seeking von Lobbygruppen im Rahmen von politischen Entscheidungsprozessen.
Der eigentliche Untersuchungsschwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Beantwortung der Frage, ob der Turnierveranstalter durch die Ausgestaltung der Turnierbedingungen die erwarteten Leistungen (respektive die Höhe der jeweils abgegeben Gebote) der Turnierteilnehmer implizit beeinflussen kann. Dabei wird gezeigt, dass der Turnierveranstalter insbesondere durch die Entscheidung bezüglich der Auslobung eines oder mehrerer Turnierpreise eine entscheidende Einflussmöglichkeit auf die Strategien der Turnierteilnehmer und damit auf die Höhe seines Erlöses gewinnt.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einleitung3
2.Grundlegende theoretische Konzepte7
2.1Turniere und Auktionen8
2.2Gleichgewichtsstrategien10
2.3Das Theorem der Erlösäquivalenz13
3.Vollständige Information16
3.1Turniere mit einem Preis16
3.1.1Turniere mit zwei Teilnehmern17
3.1.2Turniere mit mehreren Teilnehmern21
3.1.3Ein Beispiel: Rent-Seeking24
3.2Turniere mit mehreren Preisen30
3.2.1Turniere mit zwei Teilnehmern31
3.2.2Turniere mit mehreren Teilnehmern33
4.Unvollständige Information38
4.1Turniere mit einem Preis38
4.2Turniere mit mehreren Preisen41
4.2.1Turniere mit gleicher Anzahl an Teilnehmern41
4.2.2Turniere mit unterschiedlicher Anzahl an Teilnehmern47
5.Abschließende […]
Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der wirtschaftstheoretischen Analyse von Turnieren. Ein Turnier wird in diesem Kontext als Mechanismus interpretiert, der die Allokation eines oder mehrerer unteilbarer Güter an die Turnierteilnehmer ermöglicht, wobei das relevante Entscheidungskriterium dabei die ordinale Rangfolge der erbrachten Leistungen der Turnierteilnehmer darstellt. Turniere können von daher prinzipiell auch als Auktionen interpretiert werden (bei denen allerdings jeder Teilnehmer zur Bezahlung seines Gebots verpflichtet ist, i.e. sogenannte All-pay-Auktionen), was den Vorteil mit sich bringt, eine auktionenbasierte Analyse von Turnieren durchführen zu können, die dabei auch auf Instrumentarien der Spieltheorie, der Vertragstheorie und des Mechanism-Design zurückgreift.
Durch diese relativ umfassende Definition von Turnieren kann die theoretische Analyse auf unterschiedliche Turnierformen angewendet werden, wie beispielsweise Beförderungsturniere, Architekturwettbewerbe, Sportwettkämpfe oder auch auf das in dieser Arbeit explizit analysierte rent-seeking von Lobbygruppen im Rahmen von politischen Entscheidungsprozessen.
Der eigentliche Untersuchungsschwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Beantwortung der Frage, ob der Turnierveranstalter durch die Ausgestaltung der Turnierbedingungen die erwarteten Leistungen (respektive die Höhe der jeweils abgegeben Gebote) der Turnierteilnehmer implizit beeinflussen kann. Dabei wird gezeigt, dass der Turnierveranstalter insbesondere durch die Entscheidung bezüglich der Auslobung eines oder mehrerer Turnierpreise eine entscheidende Einflussmöglichkeit auf die Strategien der Turnierteilnehmer und damit auf die Höhe seines Erlöses gewinnt.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einleitung3
2.Grundlegende theoretische Konzepte7
2.1Turniere und Auktionen8
2.2Gleichgewichtsstrategien10
2.3Das Theorem der Erlösäquivalenz13
3.Vollständige Information16
3.1Turniere mit einem Preis16
3.1.1Turniere mit zwei Teilnehmern17
3.1.2Turniere mit mehreren Teilnehmern21
3.1.3Ein Beispiel: Rent-Seeking24
3.2Turniere mit mehreren Preisen30
3.2.1Turniere mit zwei Teilnehmern31
3.2.2Turniere mit mehreren Teilnehmern33
4.Unvollständige Information38
4.1Turniere mit einem Preis38
4.2Turniere mit mehreren Preisen41
4.2.1Turniere mit gleicher Anzahl an Teilnehmern41
4.2.2Turniere mit unterschiedlicher Anzahl an Teilnehmern47
5.Abschließende […]
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
ID 7668
Franke, Jörg: Turniere - Theorie und Anwendung
Hamburg: Diplomica GmbH, 2004
Zugl.: Humboldt-Universität zu Berlin, Universität, Diplomarbeit, 2003
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Diplomica GmbH
http://www.diplom.de, Hamburg 2004
Printed in Germany
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
3
2
Grundlegende theoretische Konzepte
7
2.1
Turniere und Auktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
Gleichgewichtsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
Das Theorem der Erl¨
os¨
aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3
Vollst¨
andige Information
16
3.1
Turniere mit einem Preis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.1.1
Turniere mit zwei Teilnehmern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.1.2
Turniere mit mehreren Teilnehmern . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.1.3
Ein Beispiel: Rent-Seeking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
Turniere mit mehreren Preisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2.1
Turniere mit zwei Teilnehmern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2.2
Turniere mit mehreren Teilnehmern . . . . . . . . . . . . . . .
33
4
Unvollst¨
andige Information
38
4.1
Turniere mit einem Preis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2
Turniere mit mehreren Preisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2.1
Turniere mit gleicher Anzahl an Teilnehmern . . . . . . . . . .
41
4.2.2
Turniere mit unterschiedlicher Anzahl an Teilnehmern . . . . .
47
5
Abschließende Bemerkung
60
6
Literaturverzeichnis
62
1 Einleitung
Turniere k¨
onnen dadurch charakterisiert werden, dass mehrere Turnierteilnehmer um
die Vergabe eines oder mehrerer von einem Turnierveranstalter ausgelobten Preise
konkurrieren. Der Turnierveranstalter setzt also nicht, wie beispielsweise beim Vor-
liegen eines Monopolmarktes, einen take-it-or-leave-it-Preis, sondern ¨
uberl¨
asst die
Entscheidung ¨
uber die Preish¨
ohe einem Wettbewerbsprozess der Turnierteilnehmern.
Der Konkurrenzdruck zwischen den Teilnehmer entsteht dadurch, dass das zu vertei-
lende Gut limitiert ist, d.h. es wird h¨
aufig nur ein Preis oder einige wenige ausgelobt,
was im allgemeinen dazu f¨
uhrt, dass jedem erfolgreichen Teilnehmer (im Gegensatz
zum Monopolmarkt) h¨
ochstens ein Preis zugewiesen wird. Insbesondere G¨
uter, die
nicht teilbar sind
1
, werden also h¨
aufig im Rahmen eines Turniers vergeben.
Turnierartige Strukturen lassen sich in der Realit¨
at h¨
aufig beobachten, wobei sie sich
formell folgendermaßen differenzieren lassen: Einerseits werden explizite Turniere mit
vorher bekannt gegebenen Turnierregeln veranstaltet (z.B. Architekturwettbewerbe,
Sportveranstaltungen, usw.), andererseits lassen sich auch Mechanismen beobachten,
die eher implizit eine Turnierstruktur aufweisen (z.B. Markteinf¨
uhrung technologi-
scher Innovationen, Zugang zu amerikanischen Elitehochschulen usw.), bei denen
die Bedingungen f¨
ur den Gewinn des Turniers also nicht kommuniziert werden und
h¨
aufig unbekannt sind. Zur Verdeutlichung des h¨
aufig impliziten Charakters, aber
auch der ubiquit¨
aren Verbreitung des Ph¨
anomens der Turniere in alle Lebensberei-
che soll (trotz der fragw¨
urdigen musikalischen Qualit¨
at) das folgende Zitat aus
"
The
Winner takes it all" (Abba 1980) angef¨
uhrt werden:
The gods may throw a dice
Their minds as cold as ice
And someone way down here
Loses someone dear
The winner takes it all
1
In der Fachliteratur wird ein solches Gut auch als `indivisible good' bezeichnet.
3
The loser has to fall
It's simple and it's plain
Why should I complain.
2
Prinzipiell kann jedes Turnier, also sowohl die implizite als auch die explizite Tur-
nierform durch die folgenden gemeinsamen und inh¨
arenten Eigenschaften definiert
werden:
1. Grunds¨
atzlich erh¨
alt nur der jeweilige Turniergewinner einen Preis, w¨
ahrend
alle ¨
ubrigen Teilnehmer leer ausgehen. Es handelt sich also um sogenannte
`Winner-take-all'-M¨
arkte.
3
2. Die Methode der Auswahl des Turniergewinners ist f¨
ur alle Turnierformen iden-
tisch: Da die Turnierteilnehmer untereinander konkurrieren, ist lediglich die or-
dinale Rangfolge der abgegebenen Turnierbeitr¨
age entscheidungsrelevant. Man
ist also nicht auf eine absolute Messung der Turnierbeitr¨
age angewiesen, da ein
relativer Vergleich ausreichend ist. Dies erkl¨
art beispielsweise die Attraktivit¨
at
von Turnieren als Entlohnungsschema in Besch¨
aftigungsverh¨
altnissen, in denen
der Output der Agenten nicht oder nur unter hohen Kosten explizit feststellbar
ist.
3. Im Gegensatz zu Auktionen ist jedoch jeder Teilnehmer unabh¨
angig von seinem
Erfolg im Turnier verpflichtet, das von ihm abgegebene Gebot in voller H¨
ohe an
den Turnierveranstalter zu entrichten. Turniere k¨
onnen also unter bestimmten
Bedingungen (vgl. Kap. 2.1) als ¨
Aquivalent einer Allpay-Auktionen angesehen
werden.
Aufgrund des Konkurrenzverh¨
altnisses zwischen den Turnierteilnehmern k¨
onnen Tur-
niere auch als Anreizmechanismus interpretiert werden, was beispielsweise h¨
aufig in
2
Offensichtlich handelt es sich bei dem beschriebenen Winner-take-all-Contest um ein Beispiel f¨
ur
ein modifiziertes Turnier im Sinne von Kapitel 4.1 mit zwei Turnierteilnehmern (die Protagoni-
stin und ihre Konkurrentin), einem Preis (das imagin¨
are Gegen¨
uber) und privater Information in
Bezug auf die jeweiligen Wertsch¨
atzungen, da das Ergebnis des Turniers offenbar ausschließlich
vom Zufallszug der Natur abh¨
angt:
"
The gods may throw a dice - Their minds as cold as ice".
3
Insbesondere in Bezug auf die implizite Turnierform scheint sich tendenziell eine wachsende Aus-
breitung dieser Turnierform in der Realit¨
at abzuzeichnen, da zahlreiche M¨
arkte offenbar die
Charakteristika von 'Winner-take-all'-M¨
arkten aufweisen, was eine Erkl¨
arung f¨
ur die empirisch
Beobachtung einer zunehmenden Ungleichheit der Einkommensverteilung darstellen k¨
onnte, vgl.
Frank 1995.
4
Prinzipal-Agenten-Beziehungen mit asymmetrischer Informationsverteilung der Fall
ist.
4
Dieser Anreizaspekt spielt insbesondere dann eine Rolle, wenn es im Ermessen
des Turnierveranstalters liegt, die Turnierbedingungen diskretion¨
ar auszugestalten.
Denn erst dadurch wird es ihm erm¨
oglicht, auf Seiten der Turnierteilnehmer un-
terschiedliche Anreize zu generieren, die f¨
ur ihn dann in unterschiedlichen Erl¨
osen
resultieren. So ist eine Entscheidung ¨
uber die aus seiner Sicht optimale Turnierform
davon abh¨
angig, ob er die Summe der abgegebenen Turnierbeitr¨
age oder den h¨
ochsten
Turnierbeitrag maximieren will. Da zahlreiche potentiell unterschiedliche Turnierbe-
dingungen denkbar sind, wird der Gestaltungsspielraum des Turnierveranstalters in
dieser Arbeit aus Komplexit¨
atsgr¨
unden auf einige wenige beschr¨
ankt.
Terminologie
Da jeder Teilnehmer die Aktionen der anderen Spieler auf die von ihm gew¨
ahlte Ak-
tion in sein Entscheidungskalk¨
ul einbeziehen muss, k¨
onnen Turniere als `Spiel' im
Sinne einer spieltheoretischen Analyse aufgefasst werden.
5
Turnierteilnehmer werden
daher im folgenden Text daher auch synonym als Spieler bezeichnet, die bestimm-
te Strategien w¨
ahlen. Da Turniere prinzipiell auch als Allpay-Auktionen modelliert
werden k¨
onnen, kann der Turnierbeitrag der Turnierteilnehmer deshalb auch als `Ge-
bot` aufgefasst werden, der je nach Turnierspezifikation unterschiedliche Formen wie
Anstrengung oder Output bei Leistungs- und Bef¨
orderungsturnieren oder finanzielle
oder sonstige Zahlungen im Fall von rent-seeking-Aktivit¨
aten bezeichnen kann. Der
Turnierveranstalter ist annahmegem¨
aß identisch mit dem Turnierdesigner, d.h. alle
Gebote gehen an den Turnierveranstalter
6
, der (in Kap. 3.2 und 4.2) diskretion¨
ar die
Turnierbedingungen bestimmt.
4
Einige wichtige Arbeiten zur Analyse von Turnieren sind durch diesen Kontext (also unter dem
Aspekt des `moralischen Risikos') motiviert worden, vgl. Lazear 1981, Green 1982 und Nalebuff
1983.
5
Die in der englischen Fachliteratur gebr¨
auchlichen Begriffe `Contest' und `Tournament' werden
in dieser Arbeit als Synonyme f¨
ur den allgemeinen Begriff `Turnier' aufgefasst.
6
Dies wird in der Fachliteratur auch als `non-dissipative contest' bezeichnet, i.e. Gebote werden
nicht `verschwendet', sondern fließen in voller H¨
ohe und ausnahmslos an den Turnierveranstalter
(vgl. Hirshleifer 1992, S. 387 ff.), der deshalb ausschließlich an der Maximierung der Summe der
Gebote interessiert ist.
5
Aufbau der Arbeit
Zun¨
achst werden in Kapitel 2 einige grundlegende Konzepte vorgestellt, die f¨
ur eine
Analyse von Turnieren ben¨
otigt und in den sp¨
ateren Kapiteln angewandt werden. Die
folgenden Kapitel sind symmetrisch aufgebaut, d.h. abh¨
angig von der Charakteristik
der jeweils vorliegenden Information werden zun¨
achst die entsprechenden Gleichge-
wichtsstrategien f¨
ur Turniere mit einem Preis hergeleitet und der erwartete Erl¨
os des
Turnierveranstalters berechnet. Dieses L¨
osungskonzept wird f¨
ur vollst¨
andige Informa-
tion in Kapitel 3.1.3 auf die Analyse von rent-seeking-Prozessen ¨
ubertragen, wobei
zus¨
atzlich gezeigt wird, dass der Turnierveranstalter bereits durch die M¨
oglichkeit
des Ausschließens von Turnierteilnehmern eine M¨
oglichkeit hat, seinen erwarteten
Erl¨
os zu optimieren.
Daran anschließend wird das jeweilige Modell f¨
ur vollst¨
andige und unvollst¨
andige In-
formation dadurch erweitert, dass es dem Turnierveranstalter nun generell gestattet
wird, die Turnierbedingungen im Rahmen einer Entscheidung bez¨
uglich der Anzahl
der ausgelobten Preise selbst zu bestimmen. Da diese Entscheidung Auswirkungen
auf den erwarteten Erl¨
os des Turnierveranstalters hat, l¨
asst sich in einem letzten
Schritt ein f¨
ur ihn optimales Turnier herleiten, d.h. eine Preisstruktur angeben, die
seinen erwarteten Erl¨
os maximiert.
6
2 Grundlegende theoretische
Konzepte
Die Analyse von Turnieren basiert h¨
aufig auf einigen bestimmten theoretischen Kon-
zepten, deren Kenntnis zum Verst¨
andnis der entsprechenden Modelle unverzichtbar
ist. Diese Konzepte sollen in den folgenden Abschnitten knapp vorgestellt werden.
Die in dieser Arbeit vorgestellten Ans¨
atze zur Modellierung von Turnieren st¨
utzen
sich dabei insbesondere auf ein theoretisches Instrumentarium, dass im Kontext der
Analyse von Auktionen entwickelt wurde. Im ersten Abschnitt wird daher die Be-
ziehung zwischen Auktionen und Turnieren erl¨
autert, um die Legitimit¨
at dieser be-
haupteten ¨
Aquivalenz zu ¨
uberpr¨
ufen.
Da jeder Teilnehmer eines Turniers das potentielle Verhalten der jeweils anderen Teil-
nehmer in sein Entscheidungskalk¨
ul einbeziehen muss, kann f¨
ur die Herleitung eines
Gleichgewichts auf das spieltheoretische Konzept des Nash-Gleichgewichts zur¨
uckge-
griffen werden. Die genaue Spezifikation des Gleichgewichts (reine, gemischte und/
oder bayesianische Strategie) h¨
angt dabei insbesondere von der Informationsmenge
ab, die jedem Turnierteilnehmer zur Verf¨
ugung steht. Diese Unterscheidung und die
entsprechend relevanten Gleichgewichtskonzepte werden im zweiten Abschnitt disku-
tiert.
Die Herleitung der Gleichgewichte ist die notwendige Voraussetzung f¨
ur die Berech-
nung des erwarteten Erl¨
oses des Turnierveranstalters. Unter bestimmten Bedingun-
gen ist dieser Erl¨
os unabh¨
angig von den durch den Turnierveranstalter gew¨
ahlten
Turnier- respektive Auktionstypen. Diese Bedingungen sind allerdings nicht grund-
s¨
atzlich erf¨
ullt, was dem Turnierveranstalter durch die diskretion¨
are Ausgestaltung
der Turnierbedingungen die M¨
oglichkeit er¨
offnet, seinen erwarteten Erl¨
os indirekt zu
beeinflussen. Die Voraussetzungen f¨
ur die G¨
ultigkeit des Theorems der Erl¨
os¨
aquiva-
lenz und auch die Konsequenzen der Nichtanwendbarkeit werden daher im letzten
Abschnitt dieses Kapitels thematisiert.
7
2.1 Turniere und Auktionen
Turniere werden h¨
aufig als Allpay-Auktionen modelliert, bei denen s¨
amtliche Teil-
nehmer verpflichtet sind, unabh¨
angig vom Ausgang des Turniers und damit auch von
ihrer relativen Gebotsh¨
ohe ihr Gebot an den Turnierveranstalter zu entrichten. Dies
ist intuitiv nachvollziehbar in den F¨
allen, bei denen die Abgabe des Gebots nicht von
der Zahlung desselben getrennt werden kann, wie es beispielsweise bei Architektur-
wettbewerben oder Bef¨
orderungsturnieren der Fall ist: In diesen Turnieren ist es nicht
m¨
oglich, den Teilnehmern nach dem Erbringen der Leistung, respektive der Anstren-
gung, einen Teil derselben zu erlassen
7
, was der Grund f¨
ur die h¨
aufige Verwendung
von Erstpreis-Allpay-Auktionen als theoretisches Modell f¨
ur Turniersituationen ist.
Jedoch sind auch Situationen denkbar, in denen Turnierteilnehmer nicht ihre (ur-
spr¨
unglich geplante) Anstrengung (oder Gebot) erbringen. Typischerweise ist dies
dann der Fall, wenn vollst¨
andige Information vorliegt, d.h. die Aktionen der Konkur-
renten allen Teilnehmern bekannt sind und diese Situationen durch eine dynamische
Struktur gekennzeichnet sind. Dies l¨
asst sich beispielsweise beim Wettr¨
usten oder bei
Marathonl¨
aufen beobachten, bei denen die Teilnehmer ihre Anstrengung sukzessiv
an das Verhalten der Konkurrenten anpassen k¨
onnen
8
. In diesen F¨
allen entspr¨
ache
das Turnier eher einer Zweitpreis-Allpay-auktion, da die Gewinner ihren n¨
achsten
Konkurrenten nur marginal zu ¨
uberbieten br¨
auchten.
Allerdings ist es nicht unbedingt n¨
otig, diese Art von strategischem Verhalten durch
die explizite Modellierung der Turnierregeln abzubilden, da die gew¨
ahlte Strategie
eine Konsequenz aus dem Maximierungskalk¨
ul des jeweiligen Turnierteilnehmers dar-
stellt, also auch entsprechend durch die Nutzenfunktion des Teilnehmers modelliert
werden sollte.
9
Damit wird ein weiterer Unterschied zwischen Auktionen und Turnieren deutlich: Im
Rahmen der Auktionstheorie wird h¨
aufig von heterogenen Wertsch¨
atzungen bez¨
uglich
des Auktionsgutes ausgegangen, wobei die Kostenfunktionen als f¨
ur alle Teilnehmer
identisch (und damit vernachl¨
assigbar) angesehen werden, so dass die Nutzenfunk-
tion f¨
ur denjenigen Spieler, dem der Zuschlag erteilt wurde, in etwa folgendermaßen
7
Es handelt sich bei diesen Geboten also gewissermaßen um `versunkene Kosten' (`sunk costs').
8
Diese Modelle sind auch unter dem Begriff `Zerm¨
urbungskrieg' (`war of attrition') bekannt, vgl.
Maynard Smith 1974 und Maynard Smith 1976.
9
So ist die englische Auktion zwar bez¨
uglich der Resultate ¨
aquivalent zur Zweitpreisauktion, al-
lerdings weisen beide Auktionstypen trotzdem unterschiedliche Regeln auf.
8
dargestellt werden kann:
Auk
i
= V
i
- x
i
,
wobei V
i
die Wertsch¨
atzung von Spieler i und x
i
sein Gebot bezeichnet.
Bei Turnieren wird der Nutzen aus dem ausgelobten Preis h¨
aufig als identisch f¨
ur
alle Teilnehmer angesehen
10
, allerdings unterscheiden sich die Teilnehmer durch ihren
F¨
ahigkeits- oder Kostenparameter, mit dem sie ihre Anstrengung in Gebote transfor-
mieren k¨
onnen. Formal l¨
asst sich diese Beziehung etwa folgendermaßen ausdr¨
ucken:
T ur
= V - c
i
(x
i
)
Diese beiden unterschiedlichen Nutzenfunktionen lassen sich allerdings dann inein-
ander ¨
uberf¨
uhren, wenn die Umkehrfunktion der Kostenfunktion eine monoton affine
Transformation der Nutzenfunktion erm¨
oglicht:
T ur
= V - c
i
(x
i
)
= c
-1
i
(V - c
i
(x
i
))
= c
-1
i
(V ) - c
-1
i
(c
i
(x
i
))
= V
i
- x
i
=
Auk
wobei die Umformung in der zweiten und dritten Gleichung erlaubt ist, wenn es sich
bei c
-1
i
(x) um eine monoton affine Transformation handelt
11
und in der letzten Glei-
chung die individuelle Wertsch¨
atzung V
i
als V
i
= c
-1
i
(V ) interpretiert wird.
Die Heterogenit¨
at der Wertsch¨
atzungen kann also auch als Unterschiedlichkeit der
jeweiligen Kostenfunktionen der Turnierteilnehmer aufgefasst werden, was die Ver-
wendung der Auktionstheorie zur Modellierung von Turnieren zumindest unter be-
stimmten Voraussetzungen theoretisch rechtfertigt.
10
Ein Grund daf¨
ur ist sicherlich die Tatsache, dass es sich h¨
aufig um Geldpreise handelt.
11
Dies ist insbesondere bei linearen Kostenfunktionen der Fall.
9
2.2 Gleichgewichtsstrategien
Turniere k¨
onnen im Rahmen der Spieltheorie als Spiel interpretiert werden, im dem
jeder Spieler (die Turnierteilnehmer) strategische und rationale (d.h. eigennutzmaxi-
mierende) Entscheidungen in einer Situation trifft, die dadurch charakterisiert wer-
den kann, dass das Ergebnis dieser Entscheidungen abh¨
angig von den Entscheidun-
gen aller anderen Teilnehmer ist. Allerdings sind sich alle Spieler dieser Interdepen-
denz bewusst und ber¨
ucksichtigen sie entsprechend in ihrem Entscheidungskalk¨
ul: So
ber¨
ucksichtigt beispielsweise ein Teilnehmer in einem Turnier die F¨
ahigkeiten oder
Kosten seiner Konkurrenten bei seiner Entscheidung ¨
uber die H¨
ohe seines Gebots
oder seines Anstrengungsniveaus.
Als L¨
osung eines solchen Spiels ergibt sich ein Nash-Gleichgewicht, wenn jeder Spie-
ler die Strategie w¨
ahlt, die seiner `besten Antwort' (im Sinne von Eigennutzmaxi-
mierung) auf die gegebene Strategie der jeweils anderen Spieler entspricht und damit
keinen Anreiz hat, einseitig von seiner Gleichgewichtsstrategie abzuweichen. Die Ver-
wendung dieses L¨
osungskonzepts wird allerdings nicht durch ihre Entsprechung mit
realen Entscheidungsproblemen
12
gerechtfertigt, sondern eher durch die Idee, dass
f¨
ur keinen Spieler ein Anreiz zu Nachverhandlungen besteht:
Thus, in equilibrium each bidder´s action is a best reply to the choices of the
other contenders, taken as given. [...] So the Nash equilibrium condition is not
to be regarded as a very confident prediction of what will actually happen. It
is, instead, a state of affairs that, if it were somehow to come about, would
not lead any party to unilaterally want to revise his chosen course of action.
(Hirshleifer 1992, S. 372)
Die Eigenschaften des jeweiligen Nash-Gleichgewichts werden insbesondere durch die
Informationsmenge bestimmt, die den Spielern zur Verf¨
ugung steht. Es lassen sich
grunds¨
atzlich zwei verschiedene Informationsarten unterscheiden:
1. Vollst¨
andige Information
Sind allen Teilnehmer die spezifischen Regeln des Spiels, ihre jeweiligen Nut-
zenfunktionen und die aller anderen Spieler sowie ihre jeweiligen potentiellen
Strategien und die aller anderen Spieler bekannt, so spricht man von Spielen
12
Trotzdem kann das Konzept des Nash-Gleichgewichts auch als Resultat eines real stattfindenden
dynamischen Anpassungsprozesses interpretiert werden: Die diesem L¨
osungskonzept zugrunde-
liegende Annahme der rationalen (ex-ante) Entscheidung entspricht dann dem (ex-post) Ergebnis
eines Lernprozesses, respektive eines evolution¨
aren Prozesses was auch experimentell nachgewie-
sen werden kann, vgl. beispielsweise Baldwin 1979 und Hammerstein 1994.
10
mit vollst¨
andiger Information. ¨
Ubertr¨
agt man diese Definition auf ein Turnier,
so sind allen Spielern die jeweiligen Wertsch¨
atzungen der Preise aller Spieler
und die Tr¨
ager der jeweiligen Gebote (oder der jeweiligen Anstrengungsnive-
aus) aller Spieler bekannt, wie es in Kapitel 3 der Fall ist. Da sich die Spieler
allerdings strategisch verhalten, ist es f¨
ur keinen Spieler optimal, eine `reine'
Strategie (d.h. eine Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit von eins) zu w¨
ahlen:
In any game in which each player would like to outguess the other(s), there
is no Nash equilibrium [in reinen Strategien - J.F.] because the solution to
such a game necessarily involves uncertainty about what the players will
do. (Gibbons 1992, S. 30)
Dies l¨
asst sich anhand eines Beispiels mit zwei Turnierteilnehmern, die die Ge-
bote x
1
und x
2
abgeben, leicht nachvollziehen:
Im Gleichgewicht kann das Gebot x
1
des ersten Spielers zun¨
achst einmal nicht
gleich dem Gebot des zweiten Spielers x
2
sein (Gewinnwahrscheinlichkeit von
0, 5 f¨
ur jeden Spieler), da ansonsten beispielsweise Spieler 1 einen Anreiz h¨
atte,
sein Gebot x
1
infinitesimal zu erh¨
ohen und damit seine Gewinnwahrscheinlich-
keit um einen nicht-infinitesimalen Betrag vergr¨
oßert h¨
atte (Gewinnwahrschein-
lichkeit von 1 f¨
ur den Spieler 1, da x
1
> x
2
). Weiß Spieler 2, dass sein Gebot x
2
geringer ist als x
1
, ist es f¨
ur ihn optimal ein Gebot von null abzugeben (x
2
= 0),
da er mit Sicherheit verliert. In diesem Fall w¨
are es f¨
ur Spieler 1 optimal, ein
Gebot x
1
abzugeben, das infinitesimal gr¨
oßer ist als x
2
, was allerdings Spieler
2 zu einem infinitesimal h¨
oherem Gebot als x
1
motivieren w¨
urde. Daraus folgt,
dass kein Nash-Gleichgewicht in reinem Strategien existiert.
Intuitiv l¨
asst sich dies leicht nachvollziehen, da jeder Spieler ein Interesse dar-
an hat, m¨
oglichst unberechenbar auf die anderen Spieler zu wirken. Er erreicht
dies dadurch, indem er seine Strategie vollkommen zuf¨
allig ausw¨
ahlt, also ran-
domisiert:
"
Formally, a mixed strategy for player i is a probability distribution
over (some or all of) the strategies S
i
[i.e. set of strategies available to player
i]" (ebd., S. 30).
Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn jeder Spieler indifferent zwischen al-
len seinen m¨
oglichen Strategien ist. Diese sogenannte Indifferenzbedingung l¨
asst
sich zur Berechnung eines Gleichgewichts in gemischten Strategien heranziehen,
da sie f¨
ur den jeweiligen Spieler nur dann erf¨
ullt ist, wenn sein Erwartungsnut-
zen f¨
ur jede m¨
ogliche Strategie gleich ist. Ist die Strategiemenge stetig, impli-
ziert das Vorliegen eines Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien, dass
jede m¨
ogliche Strategie mit gleicher, also nicht positiver Wahrscheinlichkeit
11
gew¨
ahlt wird, i.e. die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist stetig ('atomlos').
13
2. Unvollst¨
andige Information
Die Annahme vollst¨
andiger Information ist relativ realit¨
atsfern, wenn man die-
jenigen realen Interessenskonflikte oder Koordinationsprobleme betrachtet, die
als Turniere modelliert werden. H¨
aufig sind diese Situationen durch das Vor-
liegen von privater Information gekennzeichnet: so sind beispielsweise Teilneh-
mer an Bef¨
orderungsturnieren besser ¨
uber ihre eigenen F¨
ahigkeiten (oder Ko-
sten) informiert, als ¨
uber diejenigen der anderen Teilnehmer. Private Informa-
tion ist prinzipiell als unvollst¨
andige Information definiert, d.h. die Regeln des
Spiels sind nicht allen Teilnehmern bekannt, wobei der Begriff `Regel' in die-
sem Kontext weit gefasst ist, also auch Eigenschaften der jeweiligen Spieler
oder die Historie des Spiels umfasst.
"
Unter solchen Bedingungen scheinen die
L¨
osungskonzepte, die f¨
ur ein Spiel vollst¨
andiger Information entwickelt wurden,
nicht mehr anwendbar zu sein, weil die Grundannahme gemeinsamen Wissens
nicht mehr erf¨
ullt ist" (Holler 2000, S. 46).
Gem¨
aß Harsanyi 1967/68 ist es allerdings m¨
oglich, diese unvollst¨
andige Infor-
mation in unvollkommene Information (entspricht im engl. `imperfect informa-
tion') zu transformieren, indem man einen Zufallszug der Natur einf¨
uhrt, der
vor der jeweiligen Entscheidung der Spieler diese unvollkommene Information
determiniert:
By introducing the fictional moves by nature [...], we have described a
game of incomplete information as a game of imperfect information, where
by imperfect information we mean [...] that at some move in the game the
player with the move does not know the complete history of the game thus
far. (Gibbons 1992, S. 148)
So werden in Kapitel 4 die F¨
ahigkeits- bzw. Kostenparameter der jeweils an-
deren Turnierteilnehmer als private Information interpretiert, die durch diesen
fiktionalen Zufallszug der Natur bestimmt werden. Jedem Teilnehmer ist es
annahmegem¨
aß m¨
oglich, jede m¨
ogliche Realisation dieser aus dem Zufallszug
resultierenden Zufallsvariable mit den entsprechenden erwarteten Wahrschein-
lichkeiten zu belegen. Ist die sich daraus ergebende Wahrscheinlichkeitsfunktion
f¨
ur alle Spieler identisch (eine sogenannte `a priori Wahrscheinlichkeitsfunk-
tion'), so f¨
uhrt die Maximierung des Erwartungsnutzens durch jeden Spieler
13
Die Existenz einer Sprungstelle w¨
urde der Annahme widersprechen, dass der Spieler indifferent
zwischen allen m¨
oglichen Strategien ist, da die Wahrscheinlichkeit f¨
ur die Wahl jeweils jeder
einzelnen Strategie identisch sein muss, also im stetigen Fall (was als Vorliegen von unendlich
vielen Strategien interpretiert werden kann) gleich null.
12
(unter Ber¨
ucksichtigung dieser a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung) zu einem
Bayesianischen Nash-Gleichgewicht:
A Bayesian equilibrium specifies an action or randomized strategy for
each type of each player, such that each type of each player would be
maximizing his own expected utility when he knows his own given type
but does not know the other players' types. [...] We must specify what
every possible type of every player would do, not just the actual types,
because otherwise we could not define the expected utility payoff for a
player who does not know the other players' types. (Myerson 1991, S.
127)
Damit lassen sich die Gleichgewichtsstrategien f¨
ur Turniere unter den spezifischen
Informationsannahmen folgendermaßen zusammenfassen: Liegt vollst¨
andige Infor-
mation vor, so l¨
asst sich das Gleichgewicht mit Hilfe der Indifferenzbedingung f¨
ur
gemischte Strategien berechnen, liegen private Informationen vor, ist mit Hilfe des
fiktiven Zufallszugs der Natur die entsprechende Verteilungsfunktion der Wahrschein-
lichkeiten f¨
ur jede Realisation der Zufallsvariable zu ber¨
ucksichtigen.
14
2.3 Das Theorem der Erl¨
os¨
aquivalenz
Das Theorem der Erl¨
os¨
aquivalenz wurde insbesondere im Kontext von unterschiedli-
chen Auktionstypen eingef¨
uhrt und besagt, dass alle Auktionstypen, die bestimmten
Voraussetzungen gen¨
ugen und bestimmte Regeln aufweisen, denselben erwarteten
Erl¨
os f¨
ur den Turnierveranstalter generieren. Diese Voraussetzungen sind im einzel-
nen (vgl. Wolfstetter 1999, S. 186 und Hirshleifer 1992, S. 387 ff.):
1. Symmetrie: Alle Spieler sind untereinander nicht unterscheidbar.
2. Private Information: Jeder Spieler kennt allein seine eigene Wertsch¨
atzung, die
aus Sicht der anderen Spieler jeweils als unabh¨
angig und identisch verteilte
Zufallsvariable interpretiert wird.
3. Risikoneutralit¨
at : Sowohl der Spieler als auch der Veranstalter sind risikoneu-
tral.
14
In Kapitel 4 wird dies dadurch erreicht, dass jeder Spieler in seinem Maximierungskalk¨
ul davon
ausgeht, dass die F¨
ahigkeitsparameter a entsprechend der Funktion G(a) f¨
ur jeden der anderen
Spieler verteilt identisch sind.
13
4. Komplette Absch¨
opfung (`Non-Dissipation'): Alle tats¨
achlichen Zahlungen der
Spieler gehen an den Veranstalter, d.h. es gibt keine `Verschwendung' (im eng-
lischen `dissipation') der Zahlungen.
F¨
uhren die Auktionsregeln zus¨
atzlich dazu, dass (a) dem Spieler mit dem h¨
ochsten
Gebot das Gut mit Sicherheit zugeteilt wird und sie (b) f¨
ur den Spieler mit der gering-
sten Wertsch¨
atzung unabh¨
angig vom jeweiligen Auktionstyp grunds¨
atzlich denselben
erwarteten Nutzen generieren, so gilt das Theorem der Erl¨
os¨
aquivalenz:
"
All auctions
that award the item to the highest bidder and give rise to the same critical valua-
tion below which it does not pay to participate share the same equilibrium payoffs"
(Wolfstetter 1999, S. 203).
Damit stellt sich die Frage, ob das Theorem der Erl¨
os¨
aquivalenz auch auf Turniere
anwendbar sind, die als ein bestimmter Auktionstyp (n¨
amlich als All-pay-Auktion)
interpretiert werden k¨
onnen. Offensichtlich ist das generell dann nicht der Fall, wenn
die Modellierung des Turniers nicht dem in den obigen S¨
atzen 1-4 dargestellten Rah-
men entspricht, respektive die Allokation der Preise nicht entsprechend der Aukti-
onsregeln (a) oder (b) erfolgt: So widerspricht das Turniermodell in Kapitel 3.1.1
der Symmetrie-Annahme aus Satz 1, da beide Turnierteilnehmer mit unterschiedli-
chen Wertsch¨
atzungen ausgestattet sind.
15
Die Vergabe von mehreren Preisen (also
die Modelle in Kapitel 3.2 und 4.2) widerspricht logischerweise der Regel (a), da
die Preissumme aufgeteilt wird, d.h. der ausgelobte erste Preis nicht mehr identisch
mit dem ersten Preis einer englischen oder holl¨
andischen Auktion ist, sowie teilwei-
se der Regel (b), da (zumindest prinzipiell) auch der Teilnehmer mit der geringsten
Wertsch¨
atzung einen Preis gewinnen kann.
16
Die Nichtanwendbarkeit des Theorems der Erl¨
os¨
aquivalenz liegt allerdings eher im In-
teresse des Turnierveranstalters, da er durch die Ausgestaltung der Turnierbedingun-
gen die H¨
ohe der Gebote, respektive Anstrengungen der Turnierteilnehmer in seinem
Sinne beeinflussen kann, was auch als Mechanismusdesign
17
bezeichnet wird. Die bis-
her als exogen gegebenen Rahmenbedingungen des Turniers (also des Mechanismus)
15
In Kapitel 3.1.2 wird gezeigt, dass bei Ann¨
aherung der beiden Wertsch¨
atzungen das Theorem der
Erl¨
os¨
aquivalenz g¨
ultig wird.
16
beispielsweise im Modell von Glazer und Hassin in Kapitel 4.2.1
17
Der Begriff `Mechanismus' ist folgendermaßen definiert:
"
A mechanism can be viewed as an in-
stitution [i.e. das Turnier - J.F.] with rules governing the procedure for making the collective
choice[i.e. Bestimmung des Personenkreises, dem die Preise zugeschlagen werden - J.F.]" (Mas-
Colell 1995, S. 866).
14
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2003
- ISBN (eBook)
- 9783832476687
- ISBN (Paperback)
- 9783838676685
- DOI
- 10.3239/9783832476687
- Dateigröße
- 655 KB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Humboldt-Universität zu Berlin – Wirtschaftwissenschaftliche Fakultät
- Erscheinungsdatum
- 2004 (Februar)
- Note
- 1,5
- Schlagworte
- asymmetrische information autkion mechanismus-design contests
