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Anwendungsmöglichkeiten der Ziffernanalyse in der Prüfungspraxis mit Schwerpunkt auf Benford's Law

Diplomarbeit 2003 83 Seiten

BWL - Revision, Prüfungswesen

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Problemstellung und Aufbau der Arbeit

2. Benford's Law
2.1. Einleitung
2.2. Definition
2.3. Entwicklung von Theorie und Anwendungen
2.4. Erklärung
2.5. Eigenschaft der Skalierungsinvarianz
2.6. Voraussetzungen
2.6.1. Logische Voraussetzungen
2.6.2. Technische Voraussetzungen

3. Überblick über die Anwendungsmöglichkeiten
3.1. Überprüfung nach möglichen Fehlern
3.1.1. Schätzungsfehler
3.1.2. Doppelzahlungen
3.1.3. Fehler bei der Dateneingabe
3.1.4. Systemumstellung
3.2. Überprüfung auf Betrug
3.2.1. Scheckfälschungen
3.2.2. Kundenrückerstattungen
3.3. Aufdeckung von Manipulation
3.4. Unzulänglichkeit der Prozesse (Prozessineffizienzen)
3.5. Umgehung von Limits
3.6. Überprüfung der Planungsrechnung
3.7. Anwendung bei Unternehmensanalysen

4. Wann man Benford's Law nicht anwenden kann
4.1. Gleichmäßige Verteilungen
4.2. Zahlen mit festen Einschränkungen
4.3. Ordnungszahlen
4.4. Kleine Grundgesamtheiten
4.5. Natürliche Ursachen für Anomalien
4.6. Weitere Schwächen von Benford's Law

5. Durchführung der Überprüfung
5.1. Vorbereiten der Daten
5.2. Die fünf Tests
5.2.1. Test der ersten Ziffer
5.2.1.1. Der First-Digit-Test - Theoretischer Teil
5.2.1.2. Fallbeispiel: Scheckbetrug in Arizona
5.2.2. Test der ersten beiden Ziffern
5.2.2.1. Der First-2-Digits-Test - Theoretischer Teil
5.2.2.2. Fallstudie: Vertragsvollmacht
5.2.2.3. Kreditkartenbetrug: Anweisung und Durchführung einer Abschreibung durch ein und dieselbe Person
5.2.2.4. Weiterer Fall: Betrug der Hotelversicherung
5.2.3. Test der zweiten Ziffer
5.2.4. Test der ersten drei Ziffern
5.2.5. Test der letzten zwei Ziffern
5.3. Prüfung der Übereinstimmung mittels statistischer Methoden
5.3.1. Die Z-Statistik
5.3.2. Obere und untere Schwelle
5.3.3. Der Chi-Quadrat Test
5.3.4. Der Kolmogorov-Smirnoff Test
5.3.5. Die mittlere absolute Abweichung
5.4. Spezielle Tests
5.4.1. Test doppelter Zahlen
5.4.2. Test runder Zahlen
5.4.3. Das Modell des Verzerrungsfaktors

6. Fortgeschrittene Anwendungen
6.1. Zusätzliches Werkzeug für Unternehmensanalysen
6.2. Finden von Untergruppen
6.3. Prüfung von Fremdwährungseinträgen
6.4. Same-Same-Different
6.5. Analyse durch Kennzahlen
6.6. Weiterentwicklung „My Law“

7. Rechnerunterstützte Anwendung
7.1. BenfordWiz als Beispiel einer Analysesoftware
7.2. Benford's Law in MsExcel
7.2.1. MyLawMM
7.2.1.1. Beschreibung des Programms
7.2.1.2. Voraussetzungen und Einschränkungen

8. Fallbeispiele des Forensic Accounting
8.1. Die Unterschriftengrenze
8.2. Die Bagatellgrenze
8.3. Erfundene Rechnungen

9. Bericht des Prüfers über die Ergebnisse
9.1. Die Einleitung
9.2. Kurze Zusammenfassung für die Geschäftsleitung
9.3. Der Hauptteil
9.3.1. Datenprofil
9.3.2. Erste Ziffern
9.3.3. Zweite Ziffern
9.3.4. Erste-zwei-Ziffern
9.3.5. Erste-drei-Ziffern
9.3.6. Letzte-zwei-Ziffern
9.3.7. Doppelte Zahlen
9.3.8. Runde Zahlen
9.3.9. Weitere Tests
9.3.10. Anmerkungen

10. Zusammenfassung und Ausblick

11. LITERATURVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl, die zwischen 1 und n zufällig gewählt wird, mit 1 (oben) bzw 9 (unten) beginnt, hängt von n ab

Abbildung 2: Beispiel einer Analyse der 1. Ziffer (der Graph mit der Zacke nach unten stellt die tatsächlichen Werte dar)

Abbildung 3: Beispiel einer Analyse der 1. Ziffer

Abbildung 4: Erste zwei Ziffern der Forderungen gegen die Hotelversicherung

Abbildung 5: Beispiel eines Graphs 1. Ziffer mit eingezeichnetem Konfidenzintervall

Abbildung 6: ausbezahlte Leistungen einer Versicherungsgesellschaft

Verzeichnis der Tabellen

Tabelle 1: Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Ziffer an 1., 2., bzw 3. Stelle

Tabelle 2: Scheckbetrug in Arizona

Tabelle 3: Ein Beispiel eines Chi-Quadrat Tests

Tabelle 4: MAD-Werte für Übereinstimmung mit der erwarteten Verteilung

Tabelle 5: Doppelte Zahlen einer Ölgesellschaft (ein Ausschnitt)

Tabelle 6: Ergebnisse eines Tests runder Zahlen

Tabelle 7: Die Ränge für das Modell des Verzerrungsfaktors

Tabelle 8: Beispiel eines Same-Same-Different-Tests

Tabelle 9: Kennzahlenanalyse der Verkaufspreise

Tabelle 10: Analyse des RSF

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Problemstellung und Aufbau der Arbeit

Diese Arbeit befasst sich mit der Frage, welche Anwendungsmöglichkeiten der Ziffernanalyse für die Prüfungspraxis zur Verfügung stehen, wobei der Schwerpunkt auf Benford’s Law gesetzt ist und es sowohl um die externe als auch um die interne Prüfung aller möglichen Finanz- und Geschäftsdaten geht.

Da Benford’s Law erst seit kurzem Verbreitung findet, werden in den ersten Kapiteln dieser Arbeit die Grundlagen dieser Methode dargestellt: Definition und Voraussetzungen dieses Gesetzes. Nach einem Überblick über die mit heutiger Technik möglich gewordenen Anwendungen im nächsten Kapitel folgen als Gegenüberstellung die Fälle, die keine Anwendung zulassen.

Den Hauptteil bildet die genaue Beschreibung der einzelnen Prüfungshandlungen, also der Tests, mit deren Hilfe die Daten analysiert werden. Zuerst werden die allgemeineren Tests besprochen, danach die spezielleren, und zuletzt fortgeschrittene Anwendungsmöglichkeiten. Da Ziffernanalyse ohne moderne Rechner undenkbar ist, wird im nächsten Kapitel auf Benford-Software eingegangen. Danach wird anhand von Beispielen mit gesteigertem „Schwierigkeitsgrad“ gezeigt, wie lang Benford mithalten kann und ob es den „perfekten Betrug“ gibt, dem selbst er nicht auf die Schliche kommt.

Abschließend wird ein Weg vorgezeigt, wie der Prüfer seine Ergebnisse zu Bericht bringen kann. Es folgt ein Ausblick auf zukünftige Entwicklungen.

2. Benford's Law

2.1. Einleitung

1881 veröffentlichte der Astronom und Mathematiker Simon NEWCOMB eines seiner Forschungsergebnisse: Ihm war aufgefallen, dass die damals gebräuchlichen Logarithmentafeln bei den Seiten mit niedrigeren Zahlen stärker abgenützt waren als die anderen Seiten. NEWCOMB, der überall Gesetzmäßigkeiten am Werk sah und die Welt für prinzipiell berechenbar hielt, zog daraus den Schluss, die Ziffer 1 am Beginn einer Zahl müsse häufiger vorkommen als höhere Ziffern, und stellte dazu ein Gesetz auf. Er präsentierte seine Berechnungen im American Journal of Mathematics.[1] Doch sein merkwürdiges Gesetz geriet in Vergessenheit.[2]

Erst ein halbes Jahrhundert später wurde es erneut entdeckt. Frank BENFORD, Physiker bei General Electric, bemerkte, dass die ersten Ziffern von Zahlen nicht mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, wie man gemeinhin annehmen würde (nämlich, dass etwa 10 Prozent der Zahlen mit Einsern beginnen, 10 Prozent mit Zweiern usw.). Stattdessen stellte BENFORD fest, dass sie einer ganz bestimmten Verteilung folgen, und zwar, dass Zahlen zu 30 Prozent mit einem Einser beginnen, zu 18 Prozent mit einem Zweier, und dass die Prozentwerte weiter abnehmen bis zum Neuner[3] (siehe Tabelle 1). Als erste Ziffer wird hier die verstanden, die am weitesten links in einer Zahl steht, und die Anfangsziffer kann nie null sein.[4] Selbst bei Zahlen < 1 gelten Nuller nicht als signifikante erste Ziffer, weil sie nur als Platzhalter dienen, um die Stelle des Dezimalpunktes zu fixieren. ZB kann die Zahl 0,01 auch als 1 x 10-2 geschrieben werden (sogenannte wissenschaftliche Notation). Der Einser gilt als signifikante erste Ziffer.[5]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Ziffer an 1., 2., bzw 3. Stelle

Quelle: Nigrini (1999b), S. 80

2.2. Definition

Benfords Gesetz besagt, dass im täglichen Leben vorkommende Zahlen, die nicht Zufallszahlen sind, also zB Zahlungen offener Rechnungen oder Journaleinträge in der Buchhaltung, auf eine Weise verteilt sind, die vollkommen unterschiedlich ist von einer Normalverteilung.[6] BENFORD fand heraus, dass die relative Häufigkeit, mit der eine gegebene Ziffer als Anfangsziffer auftaucht, in gesetzmäßiger Weise von 1 bis 9 abnimmt. Er hat zwischen August 1928 und November 1934 20 verschiedene Mengen numerischer Daten untersucht, darunter die Oberflächen von Seen und die Molekulargewichte chemischer Verbindungen.[7] Er fand empirisch heraus, dass für die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Ziffer gleich n ist, die

Formel 1 log(n +1) – log(n)

gilt.[8] Dabei ist der Logarithmus zur Basis 10 zu nehmen und der Wert n = 0 auszuschließen, weil die Anfangsziffer per Definition immer die erste von 0 verschiedene Ziffer ist. BENFORD nannte dies das Gesetz der anomalen Zahlen, heute heißt es Benfords Gesetz. Inzwischen ist es an Tausenden verschiedener Datenmengen bestätigt worden wie zB Stromrechnungen.[9]

Da diese Benford-Verteilung auf einer logarithmischen Funktion beruht, sind die relativen Abstände zweier Zahlen unabhängig davon, mit welcher Zehnerpotenz sie multipliziert werden. ZB ist der Abstand zwischen 0,01 und 0,02 auf einer logarithmischen Skala genauso groß wie der Abstand zwischen 1.000 und 2.000. Schreibt man die Beispielzahlen mit Zehnerpotenzen an, hat man einerseits 1 x 10-2 und 2 x 10-2 und andererseits 1 x 103 und 2 x 103. Unter Außerachtlassung der Zehnerpotenzen hat man beide Male die Zahlen 1 und 2, also denselben Abstand auf einer logarithmischen Skala.[10]

2.3. Entwicklung von Theorie und Anwendungen

Das Wissen über dieses merkwürdige Verhalten der Ziffern hat lange Zeit keine Verbreitung gefunden. Einen auf dieser Unkenntnis beruhenden Irrtum deckte GOOD auf. Er bemerkte, dass bestimmte Zufallszahlentafeln erstellt worden waren, indem man die mittleren drei Ziffern der Flächen englischer Gemeinden zu Hilfe nahm. Heute können wir uns nur darüber wundern, warum man damals davon ausging, Gemeinden seien eine gute Quelle für Zufallszahlen. GOOD stellte bereits 1965 die Behauptung auf, dass diese Vorgehensweise keine Zufallszahlen hervorbringen könnte, da nach Benfords Gesetz nicht alle Ziffern gleich verteilt sind. Er bezweifelte die Sinnhaftigkeit solcher Zufallszahlentafeln, weil sie beeinflusste Ziffernfolgen hätten. Er hatte vollkommen recht.[11]

Es dauerte noch viele Jahre, bis das Gesetz erstmals praktische Anwendung fand. Weil mit der Entdeckung NEWCOMBs und BENFORDs die erwarteten Wahrscheinlichkeiten von Ziffern bekannt sind, kann man jeden beliebigen Datensatz analysieren und mit der erwarteten Wahrscheinlichkeit vergleichen.[12] Was dieser Vergleich nützt, war lange fraglich, bis 1988 CARSLAW die erste Anwendung im Rechnungswesen entwickelte. Er stellte folgende Behauptung auf:

Wenn der zu berichtende Gewinn knapp unter einer psychologischen Schwelle liegt, dann sind Geschäftsführer versucht, diese Zahlen aufzurunden. Als Beispiel gibt er an, dass Zahlen wie 798.000 oder 19,97 Millionen auf Zahlen gerade über 800.000 bzw 20 Millionen „aufgemöbelt“ würden. Der Gedanke dahinter ist, dass die zweiteren Zahlen einen viel größeren Eindruck machen, obwohl sie in Prozenten ausgedrückt nur geringfügig höher sind als die ersten. Gewöhnlich haben Geschäftsführer einen Anreiz, höhere Zahlen zu berichten, man denke etwa an ihre Gewinnbeteiligungen oder an Berichte für neue oder bestehende Kapitalgeber. Wird aufgerundet, so kann das daran erkannt werden, dass an zweiter Zahlenstelle übermäßig viele 0er und zu wenige 9er auftreten. Die Frage ist nur: Übermaß im Vergleich wozu? Die Leistung CARSLAWs war es, diese Frage mit der Benfordschen Verteilung zu beantworten. Er verwendete die erwarteten Häufigkeiten zweiter Ziffern nach Benford als Maßstab, wie die Zahlen aus Geschäftsberichten aussehen sollten. Die Ergebnisse seiner Untersuchung der Berichtszahlen von Gesellschaften in Neuseeland zeigen, dass tatsächlich mehr 0er und weniger 9er an zweiter Stelle erscheinen als erwartet.[13]

Den entscheidenden Fortschritt machte 1989 Mark NIGRINI, heute Professor für Buchhaltungswesen an der Southern Methodist University in Texas, als er entdeckte, dass auch die Zahlen in Steuererklärungen dem Gesetz folgen – jedenfalls, wenn sie nicht gefälscht sind.[14] Jahrelang verfolgte er diesen Gedanken und leistete Überzeugungsarbeit, bis endlich im Jahr 1995 die Prüfgesellschaft Ernst & Young die Idee aufgriff und ihm ermöglichte, entsprechende Software zu entwickeln. So wurde ein über hundert Jahre altes Gesetz plötzlich zu einem hochwirksamen Analysewerkzeug für die Prüfungspraxis, das Hinweise auf möglichen Betrug liefern kann. Denn wer betrügt, denkt sich irgendwelche Zahlen aus, und für ausgedachte Zahlen gilt Benfords Gesetz nicht.[15]

NIGRINI entwickelte eine Software, die Abweichungen von Benfords Gesetz aufspürt. Seine Idee war: Wenn Zahlen in der Buchhaltung eines Betriebs von der Benford-Verteilung statistisch signifikant abweichen, könnten dahinter eventuell betrügerische Mitarbeiter stecken. Um die Ergebnisse zu verfeinern, betrachtet die Software neben den ersten Ziffern auch noch die zweiten. Denn Benford’s Law bezieht sich nicht nur auf die ersten Ziffern, sondern auch auf die zweite, dritte und auch die letzten beiden Stellen einer Zahl. Wohlgemerkt ist dabei zu beachten, dass je nach Ziffernstelle eine andere Verteilung der Wahrscheinlichkeiten vorliegt (siehe Tabelle 1).[16]

Können gerissene Betrüger, die von diesem Gesetz wissen, ihre Zahlen anpassen und damit die Software überlisten? NIGRINI hält das für ausgesprochen schwierig. Ein in sich plausibler Steuerbetrug, in dem auch noch genügend Einser an erster Stelle vorkommen, von den zweiten Ziffern zu schweigen, sei nicht so schnell fabriziert.[17] Zwar gibt es bereits Programme, die Benford-Zahlen generieren können und im Internet frei zugänglich sind (siehe Abschnitt 7.1.), doch müsste es einem Betrüger erst einmal gelingen, diese bei seiner Gaunerei zu „berücksichtigen“. Fallbeispiele werden in Kapitel 8. angeführt.

2.4. Erklärung

Man ist gewohnt, dass alle Zahlen vor den unbestechlichen Gesetzen der Wahrscheinlichkeit eigentlich gleich sind. Die Skala der Zahlen steigt gleichmäßig von Null bis Unendlich. Warum verteilen sich dann nicht alle Beträge gleichmäßig darüber?

Der Einser ist auf dieser Skala vom Zweier nicht weiter entfernt als der Fünfer vom Sechser. Für die wirklichen Dinge allerdings, die gezählt, gemessen und gewogen werden, kann der Weg vom Einser zum Zweier sehr lang sein: Um ihn zurückzulegen, müssen sie um das Doppelte wachsen. Einem Fünfer fehlt dagegen nur ein Fünftel, um zum Sechser zu werden. Die Ursache für Benford‘s Law liegt somit im Wachstum.[18]

NIGRINI erklärt es am Beispiel des Deutschen Aktienindex: Angenommen, er stünde gerade bei 1.000 Punkten, dann müssten sich die Aktienkurse im Schnitt verdoppeln, ehe der Dax 2.000 erreicht. So lange bliebe der führende 1er erhalten, so lange erschiene er auf allen Listen. Stünde der Dax aber bei 5.000 Punkten, so müssten die Werte nur noch um 20 Prozent steigen, ehe mit 6.000 der Fünfer als erste Ziffer abgelöst wird. Noch kleiner ist im Verhältnis der Schritt von 9.000 nach 10.000. Dann aber erscheint wieder der 1er an erster Stelle, und er bleibt so lange, bis der Index sich auf 20.000 abermals verdoppelt. Was wächst oder schrumpft, verharrt deshalb relativ lange im Bereich des führenden 1ers.[19]

Die weitverbreitete weil gefühlsmäßig angenommene Vorstellung von der Gleichverteilung der Anfangsziffer ist offensichtlich falsch. Ein weiteres Beispiel demonstriert Benfords logarithmische Verteilung:[20]

Nimmt man die Hausnummern einer beliebigen Straße, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Hausnummer mit einer bestimmten Ziffer beginnt, davon abhängig, wie groß die Gesamtzahl der Häuser in der Straße ist. Wenn es nur neun Häuser gibt, kommt jede Ziffer gleich oft vor. Aber wenn es 19 sind, dann ist die Anfangsziffer 1 für die Hausnummern 1 und 10 bis 19. Also eine relative Häufigkeit von 11/19, das ist mehr als 50 Prozent. Wenn die Länge der Straße wächst, pendelt die relative Häufigkeit, mit der eine gegebene Ziffer als erste einer Hausnummer vorkommt, auf komplizierte, aber berechenbare Weise auf und ab (Abbildung 1). Und nur dann, wenn die Anzahl der Häuser 9, 99, 999 und so weiter beträgt, sind alle neun relativen Häufigkeiten gleich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl, die zwischen 1 und n zufällig gewählt wird, mit 1 (oben) bzw 9 (unten) beginnt, hängt von n ab.

Quelle: Stewart (1997), S. 63

Der Graph der relativen Häufigkeiten wiederholt sich fast periodisch, wenn man für die waagrechte Achse einen logarithmischen Maßstab wählt. Das liegt daran, dass sich zwischen jeweils zwei aufeinanderfolgenden Zehnerpotenzen ungefähr das gleiche Verhalten wiederholt. Wenn man die Schwankung der Häufigkeiten über die Straßenlänge mittelt, erhält man die Formel von Benford.

2.5. Eigenschaft der Skalierungsinvarianz

Roger PINKHAM von der Rutgers University in New Brunswick (New Jersery) konnte in den 1960ern zeigen, dass Benfords Gesetz universelle Gültigkeit besitzt. Er ging von der Behauptung aus, wenn es ein Gesetz über Ziffern gibt, dann darf es nicht darauf ankommen, welche Maßeinheiten verwendet werden.[21] Er demonstrierte das am Beispiel der geographischen Fläche verschiedener Flüsse, die alle der Benfordschen Regel gehorchen, und zwar egal, ob man die Fläche in Quadratkilometern, Hektar, Morgen oder Ruten misst. Zwar änderten sich die einzelnen Ziffern bei der Umrechnung, doch an der Gesamtverteilung änderte das nichts. Sie war skaleninvariant.[22]

Der große Vorteil dieser Skalierungsinvarianz ist, dass das Gesetz unabhängig davon gilt, in welchen Einheiten die Daten gemessen werden. Man sagt auch, das Gesetz ist baseninvariant.[23] Ob die zu prüfenden Rechnungen auf Basis von Euro, Dollar oder Pfund vorliegen, macht für die Anwendbarkeit des Gesetzes keinen Unterschied – wenn die Datenmenge nur groß genug ist, gilt stets dasselbe Gesetz. Um dies zu glauben, muss man nicht Pinkhams Beweis verstehen. Es genügt die Beobachtung, dass Benford's Law weltweit funktioniert bei vielen verschiedenen Finanzdaten, obwohl die Werte in unterschiedlichen Währungen ausgedrückt sind.[24]

Prof. PINKHAM hat außerdem bewiesen, dass Benfords Gesetz sogar das einzige skalierungsinvariante Verteilungsgesetz ist.[25] In der Natur gibt es viele Beispiele für diese Gesetzmäßigkeit wie zB die Flächen von Inseln oder die Anzahl von Häusern je Straße. Eine Bestätigung aus der Atomphysik leisteten 1993 BUCK und MERCHANT aus Oxford und PEREZ aus Kapstadt, indem sie Halbwertszeiten beim Alpha-Zerfall untersuchten und feststellten, dass Benfords Gesetz sowohl für die beobachteten als auch für die theoretisch berechneten Werte gilt. Dabei bestätigten sie auch die Formel für die Verteilung der zweiten Ziffer, die Benford aufgestellt hatte (siehe Abschnitt 5.2.3.).[26]

2.6. Voraussetzungen

2.6.1. Logische Voraussetzungen

Einige Einschränkungen der Anwendungsmöglichkeiten müssen beachtet werden, denn nicht alle Datensätze folgen Benford’s Law. Die Wahrscheinlichkeit dafür steigt, wenn die Daten folgende Eigenschaften erfüllen:[27]

- Die Zahlen geben die Größe von vielen, einander gleichenden Tatsachen wieder (zB Marktwerte von Gesellschaften)
- Die Zahlen unterliegen keiner Einschränkung im Sinne eines Maximalwertes oder Minimalwertes (wie zB Steuerabsetzbeträge oder der Stundenlohn). Das heißt, es dürfen keine gesteuerten oder kontrollierten Zahlen vorliegen und auch keine reinen Ordnungszahlen.
- Es dürfen keine reinen Zufallszahlen sein (zB Lottozahlen).
- Die Datenmenge muss ausreichend groß sein (laut GRABHER[28] größer als 1.000 Datensätze, NIGRINI[29]: 5.000, anders CODERRE[30]: mehr als 10.000).
- Die Zahlen sollten eine Länge von jeweils vier oder mehr Ziffern haben. BENFORD berechnete seine Wahrscheinlichkeiten für kürzere Zahlen, weshalb diese eine noch größere Neigung zu niedrigen Ziffern aufweisen.[31]

Zugewiesene Zahlen wie Sozialversicherungsnummern, Postleitzahlen, Telefonnummern oder Bankkontonummern passen nicht in Benfords Gesetz.[32]

Auf die Einschränkungen wird in Abschnitt 4. näher eingegangen. Daten mit einem weiten Variationsbereich, die vielen Einflüssen unterliegen, gehorchen am häufigsten dem Benford-Gesetz. Mit diesen Kenntnissen erwartet man, dass gültige, unveränderte Daten den prognostizierten Häufigkeiten folgen. Zahlensätze, die die oben aufgezählten Kriterien erfüllen, aber dennoch davon abweichen, stehen unter dem Verdacht, betrügerische Zahlen zu beinhalten.[33]

2.6.2. Technische Voraussetzungen

Für die EDV-mäßige Verarbeitung müssen die Daten in einem auswertbaren Format vorliegen:[34]

- Datenbank-Extrakte
- Druckdateien
- Downloads

Firmen, die zB ihr Anlagenverzeichnis noch immer händisch führen, bekommen hiermit einen weiteren Grund, endlich umzusteigen. Andernfalls entgehen ihnen die Vorteile der Ziffernanalyse, weil diese erst durch die Entwicklung moderner Rechner jedermann zugänglich wurde und ohne EDV praktisch undurchführbar ist.

3. Überblick über die Anwendungsmöglichkeiten

Benford’s Law stellt dem Prüfer eine Methode zur Datenanalyse zur Verfügung, die ihn auf mögliche Fehler, Betrug, Manipulation, ungewöhnliche Zifferhäufungen, kostspielige Ineffizienzen oder andere Unregelmäßigkeiten aufmerksam macht.[35] Die allererste Anwendungsmöglichkeit und entscheidender Vorteil ist daher, den gesamten Prüfungsablauf zu beschleunigen: Indem man Auffälligkeiten aufstöbert, verschafft man sich den Wissensvorteil, wo man mit genauen, arbeitsintensiven Prüfungshandlungen ansetzen muss, anstatt reine Zufallsstichproben zu ziehen.[36]

Mit Hilfe der Ziffernanalyse können beispielsweise folgende Datenbestände schnell auf ihre generelle Plausibilität hin überprüft werden:[37]

- Investitionen und Einkaufsrechnungen
- Umsatzbuchungen und Forderungen
- Lagerbewertungspreise
- Aufwandskonten und Verbindlichkeiten
- Kundenrückerstattungen (Gutschriften)

Im Folgenden werden die vielseitigen Anwendungsmöglichkeiten überblicksmäßig besprochen, die sich aus der Überprüfung von großen Reihen vorhandener Daten ergeben. Die Durchführung der Tests wird in Kapitel 5. beschrieben.

3.1. Überprüfung nach möglichen Fehlern

3.1.1. Schätzungsfehler

Man kann einen Datensatz auf ungewöhnlich runde Zahlen testen, wenn man überprüfen möchte, ob jemand, von dem die Zahlen stammen, diese nur geschätzt hat (zB bei Forderungsschemen von Lizenzgebühren; Versicherungsleistungen, wenn die Schadenshöhe nur schwer festgestellt werden kann). Genauso kann man sich die letzten beiden Ziffern ansehen, um erfundene Zahlen zu entlarven (zB Inventurdaten).[38]

3.1.2. Doppelzahlungen

Bei den Verbindlichkeiten aus Lieferungen und Leistungen werden häufig Fehler gefunden. Oft handelt es sich dabei um Doppelzahlungen. Nach NIGRINI ist es nicht ungewöhnlich, Rückzahlungen von über 1 Million Dollar zu erzielen.[39] Daher ist dies eine der am meisten favorisierten Anwendungen von Benford’s Law. Das Ziel ist, ungewöhnliche Verdopplungen von Zahlenkombinationen und den bestimmten Zahlen, die eine Überzahlung verursacht haben, aufzudecken. Bedenkt man, dass eine Häufigkeitsverteilung nach Benford erwartet wird, dann erkennt man ungewöhnliche Verdopplungen an einem übermäßigen Auftreten von bestimmten Ziffern.[40]

3.1.3. Fehler bei der Dateneingabe

American Airlines hat über 30 Millionen Kunden, die das Flugmeilenprogramm nutzen. Die Datenmenge ist riesig. Wenn Fehler passieren, sind sie mit herkömmlichen Methoden beinahe unauffindbar. Um Fehler zu entdecken, die bei der Dateneingabe entstanden sind, untersucht ein Benford-Programm die Kundendaten und weist auf Auffälligkeiten hin.[41]

3.1.4. Systemumstellung

Beim Umstieg auf ein neues Computersystem oder bei der Umstellung der Kundenforderungen kann es zu Fehlern kommen, die man mit Benford-Tests finden kann. Dabei vergleicht man die Ziffernhäufigkeiten des alten Systems mit denen des neu installierten (siehe 6.6.).

3.2. Überprüfung auf Betrug

3.2.1. Scheckfälschungen

Viele Betrugsfälle hängen mit Schecks zusammen, deren Aushändigung erschlichen wurde, oder die überhaupt gefälscht sind. In dieser Arbeit werden viele solcher Fallbeispiele aufgezählt (ab Kapitel 5.).

3.2.2. Kundenrückerstattungen

Bei Gutschriften gibt es zwei mögliche Betrugssituationen: 1.) Es werden nur fiktiv Nachlässe gewährt, damit sie den Umsatz verringern und die Gesellschaft Steuern „spart“. 2.) Ein Kunde erschleicht sich Nachlässe - oft mit Hilfe eines Angestellten der Gesellschaft, mit dem er den Gewinn teilt. Außerdem kann es zu Fehlern kommen, die nichts mit Betrug zu tun haben, aber auf Dauer für die Gesellschaft kostspielig sind.

Weil Rückerstattungen das Gegenteil von Erlösen sind, könnten sie die Auffälligkeiten in der Analyse auslöschen. Daher werden sie von den übrigen Daten getrennt und als eigene Gruppe getestet.[42]

3.3. Aufdeckung von Manipulation

Paradebeispiele für die „beschönigende“ Beeinflussung von Daten sind alle Arten von Statistiken, wie zB Umsatzstatistiken oder Statistiken über Investitionen und Akquisitionen. Wie schon in Abschnitt 2.3. von CARSLAW festgestellt, sind die Anreize zu Manipulationen gegeben. Nimmt sich ein Prüfer die den Statistiken zugrundeliegenden Daten vor, kann er ihre Haltbarkeit überprüfen und Erläuterungen einfordern.

3.4. Unzulänglichkeit der Prozesse (Prozessineffizienzen)

Benford kann dazu dienen, Arbeitsprozesse auf Ineffizienzen zu prüfen. Folgendes Beispiel mag dies verdeutlichen: Bei einer Gesellschaft zeigte eine Analyse der Rechnungsbeträge, dass die Zahlen 25, 30 und 10 am häufigsten vorkamen. Eine Nachprüfung ergab, dass die Rechnungen mit diesen Beträgen hauptsächlich für Postgebühren anfielen. Wiederholte, niedrige Beträge deuten auf Ineffizienzen, wenn sie für denselben Einkaufsbereich verarbeitet werden. Bei einer anderen Gesellschaft wurden die Buchungen im Zusammenhang mit Verbindlichkeiten aus Lieferungen und Leistungen auf Ineffizienzen untersucht. Dabei wurde man auf einen Zulieferer aufmerksam. Eine Nachprüfung zeigte, dass allein für Einkäufe bei diesem Händler Buchungen für rund 12.000 Rechnungen jährlich anfielen. Eine monatliche Abrechnung könnte dieser Gesellschaft eine enorme Reduktion an Bearbeitungskosten bringen.[43]

Besonders Prozessineffizienzen im Sinne einer hohen Zahl an niedrigen Transaktionen können somit aufgedeckt werden. Die Bearbeitung vieler niedriger Rechnungen verschlingt die wertvolle Zeit des Personals. Das Ziel ist jedoch nicht, Personal zu reduzieren, sondern ihre frei gewordene Arbeitszeit derart zu nutzen, dass sie Fehler in Rechnungen finden und darauf aufpassen, dass Skonti ausgenützt werden.[44]

3.5. Umgehung von Limits

Bei den Analysen ist es eine sehr häufige Entdeckung, dass Angestellte die von der Führung festgesetzten Schwellen ad absurdum führen. Die Abhilfe: Nach Benfords Regel kommen zwar kleinere Zahlen häufiger vor als große, aber dennoch nicht zu oft.

Die Natur dient als Beispiel. Wenn man die Länge aller Flüsse der Welt misst, wird man feststellen: Es gibt viele kurze Flüsse, einige lange und nur vergleichsweise wenige, die tausende Kilometer lang sind. Diese Regelmäßigkeit in der Verteilung kommt dem Prüfer zugute, wenn er die Umgehung von Limits aufdecken möchte.

Nimmt man den Parteispendenskandal der CDU im Jahr 2000 heran, so wäre aufgrund der Skaleninvarianz des Gesetzes eine Spende von 100.000 oder gar 1.000.000 Mark in der Flut kleiner Beträge einfach untergegangen. Auf diese Weise hätte Benford kein Licht in den Spendenskandal bringen können.[45]

Was man allerdings hätte finden können, wären ungewöhnlich häufige Spenden im Bereich von knapp unter 20.000 Mark gewesen. Dort setzte das deutsche Parteigesetz die Publizitätsgrenze (= das Limit): Oberhalb von 20.000 Mark waren Namen und Anschrift des Spenders im Rechenschaftsbericht zu nennen, unterhalb dieser Grenze konnte er anonym bleiben. Eine ungewöhnlich hohe Häufung der Spenden in diesem Bereich, um das Limit zu umgehen und anonym zu bleiben, wäre bei einer Analyse aufgefallen, da sie die übliche Verteilung gestört hätte. (Dies dient nur als Beispiel. Die Spenden wurden nicht Benford-geprüft.)[46]

Ein Beispiel, das in Unternehmen oft vorkommt, ist das „Teile-den-Kaufpreis-Spiel“: Oft dürfen Angestellte Einkäufe selbst tätigen. Bis zu einem Grenzwert findet keine Kontrolle statt. Es geht zB um die Beschaffung eines neuen Rechners, die Grenze ist 1.500 Euro. Der Angestellte möchte einen Rechner um 2.900 Euro und umgeht das Limit, indem er den Kaufpreis auf zwei Rechnungen aufteilen lässt, beide Rechnungen gerade noch unter 1.500. Die Verkäufer sind dabei sehr hilfsbereit, da sie ihre Ware anbringen wollen, und teilen den Betrag in zwei getrennte „Produkte“.[47]

Passiert dieses Spiel ein oder zwei Mal, fällt es selbst mit Hilfe der Ziffernanalyse nicht auf. Das ist nicht weiter tragisch: Solange es sich in Grenzen hält, wird es die Gesellschaft nicht zugrunde richten. Was die Ziffernanalyse aber finden kann, sind wiederkehrende, systematische Umgehungen von Limits, die sehr wohl eine Bedrohung darstellen können. Menschen denken oft, sie wären die einzigen, die solche Spiele treiben. Wegen unserer Gewohnheiten jedoch denken wir oft gleich und tun dasselbe.[48]

3.6. Überprüfung der Planungsrechnung

VARIAN beschrieb 1972 eine weitere Verwendungsmöglichkeit für Benfords Gesetz. Er untersuchte demographische Daten und berechnete die Häufigkeiten der ersten Ziffern. Die ursprünglichen Datensätze folgten dem Gesetz. Dann überprüfte er die Häufigkeiten bei Voraussagen, die auf Basis dieser Daten getätigt worden waren. Auch die Voraussagen gehorchten Benford. VARIAN zog den Schluss, dass eine Überprüfung von Vorhersagen durch Benford als Plausibilitätstest herangezogen werden könne.[49]

Folgt man diesem Schluss, dann ist weiters denkbar, mit dem gleichen Ansatz die Daten von Planungsrechnungen großer Unternehmen zu überprüfen. Bei entsprechend großer Datenmenge müssen zB die Anfangsziffern der geplanten Verkaufszahlen oder Umsätze einzelner Produkte einer Handelskette mit Benford übereinstimmen, meint der Autor dieser Arbeit.

3.7. Anwendung bei Unternehmensanalysen

Benford’s Law wird nicht nur bei Abschlussprüfungen eingesetzt, sondern kann generell bei Unternehmensanalysen und -bewertungen herangezogen werden, um den Informationsstand zu verbessern (siehe Beispiel in Abschnitt 6.1.). Finden vor einer Übernahme Verhandlungen statt, bekommt der Käufer oft Zugang zu den Finanzdaten und anderen Aufzeichnungen (Due Diligence). Gerade in solchen Situationen bleibt zu wenig Zeit, um die großen Informationsmengen ausführlich prüfen zu können. Die Ziffernanalyse kann in kurzer Zeit den Wahrheitsgehalt mit statistischer Sicherheit überprüfen.

4. Wann man Benford's Law nicht anwenden kann

4.1. Gleichmäßige Verteilungen

Beim Ziehen von Zufallszahlen von 1 bis 9 hat jede Ziffer 1, 2, ..., 9 die gleiche Wahrscheinlichkeit, an erster Stelle zu stehen, also sind die Zahlen gleichmäßig verteilt. Benford’s Law ist auf gleichmäßige Verteilungen nicht anwendbar, da es von einer logarithmischen Verteilung ausgeht. Daher kann man Benford nicht verwenden, um die Gewinnchancen beim Lotto zu erhöhen.[50] Kurz gesagt: Zahlen, die völlig zufällig sind, gehorchen nicht dem Benford-Gesetz.[51]

4.2. Zahlen mit festen Einschränkungen

Zahlen, die festen Einschränkungen unterworfen sind, beugen sich nicht Benford’s Law. Daher sollten keine festgelegten Grenzwerte innerhalb des Wertebereichs existieren. Andernfalls ist mit einer Häufung der Werte um diese definierten Minimum- bzw. Maximum-Grenzen zu rechnen.[52]

Ein Beispiel: Zeiten für den 400-Meterlauf beginnen nicht mit Eins. Zwar ist die einzelne Zeit durchaus zufällig, beginnt aber wegen der Streckenweite nicht mit Eins.[53] Das Alter von Menschen und die Körpergröße begrenzen ebenfalls die Möglichkeiten für die Anfangsziffer und unterliegen deshalb nicht dem Gesetz.[54]

Auch an sich natürlich gewachsene Größen wie Einwohnerzahlen können Einschränkungen unterliegen: „Die Letten haben ein besonderes Grenzziehungsverfahren. Ihre Verwaltungsbezirke sind so gewählt, dass die Einwohnerzahlen immer um die 50.000 liegen, außer Riga, das dreimal so groß ist.“[55] Daher fügen sich die Einwohnerzahlen Lettlands nicht in Benfords Gesetz.

Weiters muss man sich fragen, ob es vielleicht „weiche“ Schwellen für die zu analysierenden Werte gibt, die ihre Verteilung beeinflussen. ZB könnte man auf die Idee kommen, das Handelsvolumen der New Yorker Börse NYSE sollte Benfords Regel folgen, da dieses einem natürlichen Wachstum unterliegt. Greift man jedoch nur auf die Werte eines Jahres zu (rund 250 Handelstage), zieht man unbewusst weiche Schwellen ein. Nehmen wir an, die gehandelte Stückzahl liege im Durchschnitt bei 900 Millionen Stück/Tag, dann werden die meisten Werte mit 8, 9, oder 1 beginnen. Kein Gesetz verbietet einen niedrigeren oder höheren Umsatz, doch es ist ausgesprochen unwahrscheinlich, dass in einem so kurzen Betrachtungszeitraum andere Anfangsziffern auftreten. Würde man alle Tagesumsätze der letzten Jahrzehnte herannehmen, käme man auf Konformität mit Benford.[56]

4.3. Ordnungszahlen

Die Zahlen dürfen den Elementen nicht zu Identifikationszwecken zugeordnet worden sein (z.B. Kontonummer, Telefonnummer, Versicherungsnummer, Postleitzahlen), damit man eine Benford-Verteilung unterstellen kann. Zugewiesene Zahlen sind nämlich keine Zahlen im mathematischen Sinn, sondern nur Symbole für die Person, die dahinter steht. Man kann mit ihnen nicht rechnen. Es hat zB keinen Sinn, für Telefonnummern eine Standardabweichung zu berechnen. Aus diesen Gründen fügen sie sich nicht in Benfords Gesetz.[57]

Auch bei Lotterien sind die gezogenen Kugeln keine wirklichen Zahlen. Es sind nur Kugeln, die durchnummeriert sind. Man könnte genauso gut Namen von Tieren auf die Kugeln schreiben.[58]

4.4. Kleine Grundgesamtheiten

Das Problem zu kleiner Datensätze tritt auf, wenn die Zahlen von einer kurzen Zeitspanne oder aus einem bestimmten Zusammenhang genommen werden, bei dem die Werte durch weiche Schwellen begrenzt sind. Je kleiner die zu analysierende Datenmenge ist, umso schlechter fügt sie sich in Benford’s Law, selbst, wenn sie alle anderen Voraussetzungen erfüllt und sie nicht manipuliert ist. Ein Grund dafür liegt in der Genauigkeit des Tests. Alle Prozentwerte der Benford-Verteilung haben Kommastellen. Gäbe sich ein Prüfer bereits zufrieden, wenn die ganzzahligen Prozentwerte Benfords mit der Verteilung übereinstimmen, so würde ein Datensatz von genau 100 Zahlen genügen. Die Analyse ergäbe ganzzahlige Prozentwerte, die auf Übereinstimmung mit der Benford-Verteilung überprüft werden können.

Im Normalfall möchten es die Prüfer genauer wissen und rechnen mit Kommastellen. Für eine Kommastelle muss der Datensatz schon ca. 1.000 Einheiten umfassen, für zwei Kommastellen ca. 10.000, wenn man sehen will, ob die gefundene Verteilung exakt mit der Benfordschen Verteilung übereinstimmt. Wie später gezeigt wird, kommt man bei den spezialisierteren Tests ohne Kommastellen gar nicht mehr aus (siehe 5.2.2. und 5.2.4.); sie setzen große Datenmengen voraus.

Hat man nun einen zu kleinen Datensatz (zB die Tageswerte eines Jahres, also maximal 365 Zahlen), entstehen automatisch „falsche“ Nachkommastellen, was dazu führen kann, dass der Datensatz als „auffällig“ klassifiziert wird, obwohl er in Wirklichkeit in Ordnung ist. Verlängert man die betrachtete Zeitspanne, so nähern sich die Daten mehr und mehr einer Benford-Verteilung.

Nach NIGRINI profitieren große Gesellschaften wie Fluglinien, Banken und Ölgesellschaften am meisten von einer solchen Analyse, denn sie haben so große Datenmengen, dass eine vollständige Durchleuchtung aller Vorgänge unmöglich ist. Wenn bei großen Datensätzen statistische Stichproben von Beobachtungen ihre Aussagekraft verlieren, ist man mit Benford am besten beraten. Denn dieser berücksichtigt jede Zahl der Grundgesamtheit in seiner Analyse und lenkt die Aufmerksamkeit auf Problemquellen.[59]

4.5. Natürliche Ursachen für Anomalien

Nicht jeder Datensatz hat eine Verteilung, wie sie in Benfords Gesetz vorausgesagt wird. In manchen Fällen gibt es eine natürliche Erklärung dafür, dass bestimmte Zahlen häufiger vorkommen als erwartet. ZB sendet eine US-Gesellschaft eine große Zahl an Geschäftskorrespondenz per Kurier, und die Kosten dafür betragen pauschal $6,12 für den Versand eines Pakets dieser Gewichtsklasse. Weil der Preis für eine Vielzahl an Paketen immer derselbe ist, wird die erste Ziffer (6) und die ersten beiden Ziffern (61) häufiger auftreten, als es nach Benfords Regel erwartet wird.[60]

Werden Umsätze im Einzelhandel unter die Lupe genommen und betrachtet man die einzelnen Posten, dann ist es sehr wahrscheinlich, dass es zu einer Häufung der Ziffer 9 auf den letzten beiden Stellen kommen wird. Für Einzelhändler ist es ganz „natürlich“, Preise mit 90er oder 99er-Endungen anzugeben. Eine solche Zahlenmenge kann sich nicht an die Benford-Verteilung halten.

4.6. Weitere Schwächen von Benford's Law

Obwohl PINKHAMs Skaleninvarianz außergewöhnlich wichtig ist, weil erst ihre Existenz Benfords Gesetz universell anwendbar macht, so birgt sie auch manche Probleme für den Prüfer in sich. Die NYSE (die Börse von New York) hat zu Bedenken gegeben, dass das NASDAQ-System ein überhöhtes Handelsvolumen ausweist, weil jede Transaktion doppelt gezählt wird. Eine Transaktion wird als Kauf gezählt, wenn ein Wertpapier in das NASDAQ-System gekauft wird, und wird nocheinmal gezählt, wenn das Wertpapier an einen außenstehenden Käufer verkauft wird. Dieselbe Vorgehensweise herrscht in Österreich an der Wiener Börse. Man muss sich nur die Umsätze am Kurszettel ansehen: Es gibt nur gerade Stückzahlen. NIGRINI hat in einer unveröffentlichten Untersuchung festgestellt, dass der tägliche Umsatz beider US-Börsen mit Benfords Gesetz übereinstimmt, obwohl die NASDAQ doppelt zählt. Der Grund für die Übereinstimmung ist, dass die NASDAQ den Umsatz jeder Gesellschaft mit der Konstante 2 multipliziert. Sollte ein Prüfer nach dieser Art von Fehler suchen (doppelt gezählte Umsätze oder Aufwendungen), würde ihm Benford keinen Hinweis liefern.[61]

In der Prüfungspraxis muss man nicht gleich mit einer Verdopplung konfrontiert sein. Es genügt ein sehr ähnlicher Fall: Das Gesetz kann Verzerrungen nicht finden, wenn sie darauf beruhen, dass die echten Zahlen systematisch mit einem Prozentsatz multipliziert werden. Genauso könnte jede Zahl sogar mit einer zufälligen Konstanten multipliziert werden, wenn diese auf einen engen Bereich beschränkt ist. ZB könnte jeder Aufwand mit einer Konstanten im Bereich von 0,94 bis 0,99 multipliziert werden. Bei der Ziffernanalyse muss sich der Prüfer dieser Einschränkung bewusst sein.[62]

Nach Benford werden die Ziffernhäufigkeiten nur dann verzerrt, wenn eine zufällige Konstante zu allen Zahlen dazugezählt oder abgezogen wird, außer sie ist so gering, dass sie die ersten Ziffern nicht beeinflusst. Wenn zB jeder Angestellte seine Auslagen um 10.000 Euro erhöht, wird man sehr wahrscheinlich herausfinden, dass alle Forderungen von Angestellten mit der Ziffer 1 beginnen. Wenn aber jede Person ihre Forderung um nur 1 Euro überhöht, werden die Ziffernhäufigkeiten kaum beeinflusst. Die Addition beeinflusst dann nur die dritte Ziffer, die beinahe gleichmäßig verteilt ist.[63]

NIGRINI hat Informationsmängel als weiteres Problem bei der Prüfung erkannt. Besonders wenn man die Umgehung von Vollmachtsgrenzen aufdecken will, kommt es darauf an, dass das Prüfungsteam viel mit „gewöhnlichen“ Mitarbeitern kommuniziert. Wenn man zB die ersten beiden Ziffern unterhalb des Grenzwertes analysiert, erwartet man, dass massive Umgehungen im F2D-Test als Spitzen ersichtlich sind. Sieht alles normal aus, wiegt man sich in Sicherheit.

In einer US-Gesellschaft traf NIGRINI auf die Situation, dass es eine Meldeschwelle gab und kein Anzeichen für Unregelmäßigkeiten bei den ersten-zwei-Ziffern-Kombinationen direkt darunter. Dies war trügerisch und lag daran, dass der Sparten-Controller die Zustimmungsvollmacht bis zu einem höheren Betrag inoffiziell an einen leitenden Angestellten abgegeben hatte. Dieser nutzte die Situation aus! Unterhalb der offiziellen Genehmigungsgrenze hatte man vergebens gesucht. Erst als die Prüfer von der inoffiziellen Schwelle erfuhren, wussten sie, wo zu suchen war, und deckten den Missbrauch auf.[64]

[...]


[1] Newcomb; (1881); Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers; in: The American Journal of Mathematics (1881) 4, S. 39 und 40

[2] vgl Albrecht (2000), o.S.

[3] vgl Tapp (2001), S. 22

[4] vgl Stewart (1997), S. 57

[5] vgl o.V. (Intuitor, 2001), o.S.

[6] vgl Tapp (2001), S. 22

[7] vgl Nigrini (2000a), S. 8

[8] Die Formel kann auch umgeformt werden auf P(d1) = log(1 + 1/d1).

[9] vgl Stewart (1997), S. 60

[10] vgl o.V. (Intuitor, 2001), o.S.

[11] vgl Nigrini (2000a), S. 16

[12] vgl Tapp (2001), S. 22

[13] vgl Nigrini (2000a), S. 19

[14] vgl Stanek (2000), S. 1 und o.V. (Steuerfahndung, 2002), o.S.

[15] vgl Dworschak (1998), o.S.

[16] vgl Dworschak (1998), o.S.

[17] vgl Dworschak (1998), o.S.

[18] vgl Dworschak (1998), o.S.

[19] vgl Browne (1998), S. B10

[20] Beispiel entnommen aus Stewart (1991), S. 63

[21] vgl Nigrini (1999c), S. 25

[22] vgl Albrecht (2000), o.S.

[23] vgl Browne (1998), S. B10

[24] vgl Nigrini (1999b), S. 80

[25] vgl Stewart (1997), S. 64

[26] vgl Stewart (1997), S. 65

[27] vgl Nigrini (1999b), S. 80

[28] vgl Grabher (2002), S. 8

[29] vgl Nigrini (2000a), S. 34

[30] vgl Coderre (1999), S. 59

[31] vgl Nigrini (1999c), S. 25

[32] vgl Nigrini (1999b), S. 80

[33] vgl Coderre (1999), S. 59

[34] vgl Grabher (2002), S. 7

[35] vgl Nigrini (1999b), S. 80

[36] vgl Bryant (2000), S. 1

[37] vgl Nigrini (1999b), S. 81

[38] vgl Nigrini (1999b), S. 82

[39] vgl Nigrini (2000b), S. 2

[40] vgl Nigrini (1999c), S. 25

[41] vgl Bryant (2000), S. 2

[42] vgl Nigrini (2000a), S. 118

[43] vgl Nigrini (1999b), S. 82

[44] vgl Nigrini (2000a), S. 194

[45] vgl Albrecht (2000), o.S.

[46] vgl Albrecht (2000), o.S.

[47] vgl Nigrini (2000a), S. 127

[48] vgl Nigrini (2000a), S. 128

[49] vgl Nigrini (2000a), S. 17

[50] vgl Browne (1998), S. B10

[51] vgl o.V. (MatheAG, 2002), o.S.

[52] vgl Zmija (2002), o.S.

[53] vgl o.V. (MatheAG, 2002), o.S.

[54] vgl Stewart (1997), S. 62

[55] Stewart (1997), S. 59

[56] vgl Nigrini (2000a), S. 85

[57] vgl Zmija (2002), o.S.

[58] vgl Browne (1998), S. B10

[59] vgl Nigrini (2000b), S. 2

[60] vgl Coderre (1999), S. 59

[61] vgl Nigrini (2000a), S. 28

[62] vgl Nigrini (2000a), S. 28

[63] vgl Nigrini (2000a), S. 30

[64] vgl Nigrini (2000a), S. 129

Details

Seiten
83
Erscheinungsform
Originalausgabe
Jahr
2003
ISBN (eBook)
9783832471866
Dateigröße
660 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v222491
Institution / Hochschule
Wirtschaftsuniversität Wien – Betriebswirtschaft, Revisions,- Treuhand,- und Rechnungswesen
Note
1
Schlagworte
manipulation betrug forensic accounting bilanzprüfung prüfungssoftware

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Titel: Anwendungsmöglichkeiten der Ziffernanalyse in der Prüfungspraxis mit Schwerpunkt auf Benford's Law