Die Einbindung des Realoptionsansatzes in das Target Costing und die Lebenszyklusrechnung
©2003
Diplomarbeit
83 Seiten
Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Zusammenfassung:
Diese Diplomarbeit behandelt die Integration des Realoptionsansatzes in die Lebenszyklusrechnung und das Target Costing als Instrumente des strategischen Kostenmanagements. Es wird dabei geprüft, ob die Wahlmöglichkeiten und Handlungsflexibilitäten des Managements einen Einfluss auf die optimale Kostengestaltung im Rahmen des strategischen Kostenmanagements besitzen und deshalb berücksichtigt werden müssen. Die Lebenszyklusrechnung sowie das Target Costing werden dabei wertorientiert konzipiert, d.h. das strategische Kostenmanagement wird auf das Ziel einer Shareholder Value Maximierung ausgerichtet. Die gesamten Ausführungen in dieser Diplomarbeit werden durch zahlreiche Beispiele verdeutlicht, um eine schnelle Nachvollziehbarkeit zu gewährleisten.
Der Realoptionsansatz basiert auf der finanziellen Optionspreistheorie. Deshalb werden zunächst im 2. Kapitel die Grundlagen der finanziellen Optionspreistheorie behandelt und mit dem Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein sowie dem Black & Scholes Modell zwei Modelle zur Bewertung von Optionen dargestellt. Des weiteren werden die Werttreiber von Finanzoptionen vorgestellt.
Im 3. Kapitel wird der Realoptionsansatz vorgestellt, indem die verschiedenen Typen von Realoptionen (Warteoption, Fortsetzungsoption, Expansionsoption, Innovationsoption, Abbruchoption, Einschränkungsoption, Stillegungsoption, Umstellungsoption) sowie der Bewertungsprozess erläutert werden. Der Bewertungsprozess wird dabei anhand eines Anwendungsbeispiels verdeutlicht. Anschließend wird kurz auf die Limitationen des Realoptionsansatzes eingegangen. Im 4. Kapitel wird der Realoptionsansatz in die wertorientierte Lebenszyklusrechnung und das wertorientierte Target Costing anhand von Fallbeispielen integriert. Dabei wird anhand eines Modells herausgestellt, dass die Berücksichtigung von Realoptionen dazu führt, dass sich das strategische Kostenmanagement am erweiterten Kapitalwert als Zielgröße orientieren muss. Die Handlungsflexibilitäten vor, während und nach der Investitionsphase erhöhen somit nicht nur den Wert von Projekten, sondern beeinflussen auch die optimale Kostengestaltung im Rahmen des strategischen Kostenmanagements.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einführung1
2.Grundlagen der finanziellen Optionspreistheorie2
2.1Typologie von Finanzoptionen2
2.2Bewertung von Finanzoptionen4
2.2.1Grundlagen der Bewertung4
2.2.2Das Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein5
2.2.2.1Das […]
Diese Diplomarbeit behandelt die Integration des Realoptionsansatzes in die Lebenszyklusrechnung und das Target Costing als Instrumente des strategischen Kostenmanagements. Es wird dabei geprüft, ob die Wahlmöglichkeiten und Handlungsflexibilitäten des Managements einen Einfluss auf die optimale Kostengestaltung im Rahmen des strategischen Kostenmanagements besitzen und deshalb berücksichtigt werden müssen. Die Lebenszyklusrechnung sowie das Target Costing werden dabei wertorientiert konzipiert, d.h. das strategische Kostenmanagement wird auf das Ziel einer Shareholder Value Maximierung ausgerichtet. Die gesamten Ausführungen in dieser Diplomarbeit werden durch zahlreiche Beispiele verdeutlicht, um eine schnelle Nachvollziehbarkeit zu gewährleisten.
Der Realoptionsansatz basiert auf der finanziellen Optionspreistheorie. Deshalb werden zunächst im 2. Kapitel die Grundlagen der finanziellen Optionspreistheorie behandelt und mit dem Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein sowie dem Black & Scholes Modell zwei Modelle zur Bewertung von Optionen dargestellt. Des weiteren werden die Werttreiber von Finanzoptionen vorgestellt.
Im 3. Kapitel wird der Realoptionsansatz vorgestellt, indem die verschiedenen Typen von Realoptionen (Warteoption, Fortsetzungsoption, Expansionsoption, Innovationsoption, Abbruchoption, Einschränkungsoption, Stillegungsoption, Umstellungsoption) sowie der Bewertungsprozess erläutert werden. Der Bewertungsprozess wird dabei anhand eines Anwendungsbeispiels verdeutlicht. Anschließend wird kurz auf die Limitationen des Realoptionsansatzes eingegangen. Im 4. Kapitel wird der Realoptionsansatz in die wertorientierte Lebenszyklusrechnung und das wertorientierte Target Costing anhand von Fallbeispielen integriert. Dabei wird anhand eines Modells herausgestellt, dass die Berücksichtigung von Realoptionen dazu führt, dass sich das strategische Kostenmanagement am erweiterten Kapitalwert als Zielgröße orientieren muss. Die Handlungsflexibilitäten vor, während und nach der Investitionsphase erhöhen somit nicht nur den Wert von Projekten, sondern beeinflussen auch die optimale Kostengestaltung im Rahmen des strategischen Kostenmanagements.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einführung1
2.Grundlagen der finanziellen Optionspreistheorie2
2.1Typologie von Finanzoptionen2
2.2Bewertung von Finanzoptionen4
2.2.1Grundlagen der Bewertung4
2.2.2Das Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein5
2.2.2.1Das […]
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
ID 6925
Reuter, Christian: Die Einbindung des Realoptionsansatzes in das Target Costing und die
Lebenszyklusrechnung
Hamburg: Diplomica GmbH, 2003
Zugl.: Fachhochschule Südwestfalen, Universität, Diplomarbeit, 2003
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Diplomica GmbH
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Printed in Germany
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung
...
1
2. Grundlagen der finanziellen Optionspreistheorie
...
2
2.1 Typologie von Finanzoptionen
...
2
2.2 Bewertung von Finanzoptionen
...
4
2.2.1 Grundlagen der Bewertung
...
4
2.2.2 Das Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein
...
5
2.2.2.1
Das einperiodige Binomialmodell
...
5
2.2.2.2
Das mehrperiodige Binomialmodell
...
9
2.2.2.3
Das Binomialmodell für amerikanische Option
...
13
2.2.2.4
Das Binomialmodell mit Dividenden
...
15
2.2.2.5
Grenzwertresultat des Binomialmodells
...
16
2.2.3 Das Black & Scholes Modell
...
18
2.3 Werttreiber von Finanzoptionen
...
19
3. Der
Realoptionsansatz
...
22
3.1 Typologie von Realoptionen
...
22
3.2 Bewertungsprozess des Realoptionsansatzes
...
27
3.3
Anwendungsbeispiel
...
28
3.4 Limitationen des Realoptionsansatzes
...
31
4. Einbindung des Realoptionsansatzes in Instrumente des strategischen
Kostenmanagements
...
32
4.1
Strategisches
Kostenmanagement
...
32
4.1.1 Begriff und Handlungsfelder
...
32
4.1.2 Integration von strategischem Kostenmanagement und
wertorientierter Unternehmensführung
...
33
4.2 Wertorientierte
Lebenszyklusrechnung
...
36
4.2.1 Grundlagen der Lebenszyklusrechnung
...
36
4.2.2 Prinzipien der Lebenszyklusrechnung
...
38
4.2.3 Einbindung des Realoptionsansatzes
...
42
4.2.3.1 Grundlagen
...
42
II
4.2.3.2 Integration einer Abbruchoption
...
44
4.2.3.3 Integration einer Expansionsoption
...
48
4.3 Wertorientiertes Target Costing
...
49
4.3.1 Grundlagen und Konzepte des Target Costing
...
49
4.3.2 Phasen des wertorientierten Target Costing
...
51
4.3.2.1 Zielkostenfestlegung
...
51
4.3.2.2 Zielkostenspaltung und erreichung
...
54
4.3.3 Einbindung des Realoptionsansatz
...
60
5. Ausblick
...
63
Anhang
...
65
Literaturverzeichnis
...
69
III
Symbolverzeichnis
iwS
AC
Allowable Costs im weiten Sinne
ieS
AC
Allowable Costs im engen Sinne
0
A
Anfangsauszahlung im Zeitpunkt
0
=
t
)
(t
A
Auszahlung im Zeitpunkt t
B
Wert der risikofreien Wertpapiere im Duplikationsportfolio
)
(t
BW
Barwert im Zeitpunkt t
)
(t
C
Wert der Kaufoption im Zeitpunkt t
)
(T
C
Wert der Kaufoption am Verfallstag
d
multiplikativer Faktor einer Aktienkurssenkung
db
Deckungsbeitrag je verkaufter Einheit
Dividendenrate
)
(t
EKW
erweiterter Kapitalwert im Zeitpunkt t
)
(t
E
Einzahlung im Zeitpunkt t
[
]
)
(t
A
E
erwartete Auszahlung im Zeitpunkt t
[
]
)
(t
E
E
erwartete Einzahlung im Zeitpunkt t
[
]
)
(t
FCF
E
erwarteter Free Cash Flow im Zeitpunkt t
F
Fixe Auszahlungen
)
(t
FCF
Free Cash Flow im Zeitpunkt t
)
(t
FK
Wert des Fremdkapitals im Zeitpunkt t
j
Anzahl der Aktienkurserhöhungen im Binomialmodell
k
variable
Herstellungskosten
K
Basispreis der Option
)
(t
KW
Kapitalwert im Zeitpunkt t
)
(t
KW
E
Kapitalwert der erwarteten Einzahlungen
im Zeitpunkt t
)
(t
KW
A
Kapitalwert der erwarteten Auszahlungen im Zeitpunkt t
L
Laufzeit eines Investitionsprojektes
n
Anzahl der Perioden im Binomialmodell
N
Anzahl der Handelszeitpunkte im Binomialmodell
(.)
N
Wert der Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung an
der
Stelle
(.)
IV
p
Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs in einer Periode steigt
p
Absatzpreis
)
(
t
P
Wert der Kaufoption im Zeitpunkt t
)
(
T
P
Wert der Kaufoption am Verfallstag
r
risikofreie Rendite pro Zeitintervall des Binomialmodells
r^
jährliche risikofreie Rendite
WACC
r
durchschnittliche gewichtete Kapitalkosten des Unternehmens
EK
r
risikoadjustierte Renditeforderung der Eigenkapitalgeber
FK
r
risikoadjustierte Renditeforderung der Fremdkapitalgeber
P
WACC
r
durchschnittliche gewichtete Kapitalkosten eines Projektes
P
EK
r
projektspezifische Renditeforderung der Eigenkapitalgeber
P
FK
r
projektspezifische Renditeforderung der Fremdkapitalgeber
R
~
Rückflüsse
s
Ertragssteuersatz des Unternehmens
)
(t
S
Aktienkurs im Zeitpunkt t
)
(t
S
D
Aktienkurs im Zeitpunkt t nach Zahlung der Dividende
)
(t
SV
Shareholder Value im Zeitpunkt t
t Zeitpunkt
i
t
Handelszeitpunkt im Binomialmodell
N
i
,..,
1
,
0
=
t
Zeitintervall zwischen zwei Handelszeitpunkten
T
Verfallstag der Option
u
multiplikativer Faktor einer Aktienkurserhöhung
µ
annualisierter Mittelwert der stetigen Aktienkursrendite
v
Anzahl der Dividendenzahlungen im Binomialmodell
)
(t
V
P
Wert des Duplikationsportfolios im Zeitpunkt t
x
Anzahl der Aktien im Duplikationsportfolio
x~
Produktionsmenge
z
Umfang einer Expansion
annualisierte Standardabweichung der stetigen Aktienkurs-
rendite
2
annualisierte Varianz der stetigen Aktienkursrendite
V
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 2.1: Kursentwicklung der Aktie über eine Periode
...
6
Abbildung 2.2: Wertentwicklung der Kaufoption über eine Periode
...
7
Abbildung 2.3: Kursentwicklung der Aktie über zwei Perioden
...
10
Abbildung 3.1: Schema zur Ermittlung der Free Cash Flows
...
34
VI
Tabellenverzeichnis
Tabelle 3.1: Werttreiber von Finanz- und Realoption
...
23
Tabelle 3.2: Zahlungsstrom des Projektes im Anwendungsbeispiel
...
28
Tabelle 3.3: Wertentwicklung des Barwertes der Cash Flows im Anwendungsbeispiel
...
29
Tabelle 4.1: Zahlungsstrom des Projektes im Fallbeispiel
...
44
Tabelle 4.2: Wertentwicklung des Barwertes der Cash Flows nach Dividenden-
zahlungen im Fallbeispiel
...
46
Tabelle 4.3: Wertentwicklung des zusätzlichen Barwert der Cash Flows im
Fallbeispiel
...
48
Tabelle 4.4: Absatzpreise, Absatzmengen und Einzahlungen im Fallbeispiel
...
52
Tabelle 4.5: erwartete Auszahlungen im Fallbeispiel
...
53
Tabelle 4.6: Nutzen und Nutzenanteile von Funktionen im Fallbeispiel
...
56
Tabelle 4.7: Herstellungsauszahlungen der Komponenten im Fallbeispiel
...
57
Tabelle 4.8: Drifting Costs und Kostenanteile der Komponenten im Fallbeispiel
...
57
Tabelle 4.9: Nutzenanteile der Komponenten im Fallbeispiel
...
58
Tabelle 4.10: Zielkostenindizes der Komponenten im Fallbeispiel
...
59
Tabelle 4.11: Drifting Costs, Allowable Cost und Kostenlücke jeder Komponente
...
60
Tabelle 4.12: Wertreiber von Finanzoption und Realoption im Target Costing
...
62
Tabelle 4.13: Funktionen/Komponenten Matrix im Fallbeispiel
...
68
1. Einführung
Zu Beginn der 80er Jahre des 20. Jahrhunderts wurde in der Literatur festgestellt, dass
die Kapitalwertmethode als dynamisches Investitionsrechenverfahren zur Bewertung
von Investitionsprojekten unter Unsicherheit nicht in der Lage ist, die mit dem
Investitionsprojekt verbundenen Wahlmöglichkeiten und Handlungsflexibilitäten zu
erfassen.
1
Die Kapitalwertmethode basiert auf einem bestimmten Erwartungswert-
szenario und gibt eine Handlungsstrategie vor, die im Laufe der Zeit und damit
verbundenen Informationsgewinnen nicht verändert wird. Sie unterstellt somit ein
passives Verhalten der Unternehmensleitung. In der Literatur wird deshalb auch von der
statischen oder passiven Kapitalwertmethode gesprochen.
2
In vielen Fällen hat die Unternehmensleitung jedoch die Möglichkeit, auf veränderte
ökonomische Rahmenbedingungen das Investitionsprojekt flexibel anzupassen. Diese
Handlungsflexibilitäten ermöglichen, Gewinnpotenziale bei einer günstigen
Entwicklung der ökonomischen Rahmenbedingungen auszuschöpfen, beispielsweise
indem der Umfang des Projektes durch zusätzliche Investitionen erhöht wird. Gleich-
zeitig können auch Verlustrisiken bei einer negativen Entwicklung durch einen vor-
zeitigen Abbruch des Projektes verringert werden. Die Vernachlässigung dieser
Handlungsflexibilitäten führt somit zu einer systematischen Unterbewertung von
Projekten.
3
Aus diesem Grund wird ein erweiterter Kapitalwert definiert, der den tradi-
tionellen, statischen Kapitalwert um den Wert der Handlungsflexibilitäten ergänzt:
4
Erweiterter Kapitalwert
= Statischer Kapitalwert
+ Wert der Handlungsflexibilität
Die Handlungsflexibilitäten der Unternehmensleitung werden in der Literatur auch als
Realoptionen bezeichnet, da diese Handlungsflexibilitäten analog zu Finanzoptionen
Wahlrechte darstellen, die nur unter bestimmten vorteilhaften Bedingungen ausgeübt
werden.
5
Der Wert dieser Realoptionen kann mit der Hilfe der finanziellen
Optionspreistheorie im Rahmen des Realoptionsansatzes bestimmt werden.
Diese Diplomarbeit behandelt die Einbindung des Realoptionsansatzes in die Lebens-
zyklusrechnung und das Target Costing als Instrumente des strategischen Kosten-
managements. Der Realoptionsansatz basiert auf der finanziellen Optionspreistheorie.
1
Vgl. Hommel/Pritsch (1998), S. 1.
2
Vgl. Trigeorgis (1996), S. 1 ; Hommel/Müller (1999), S. 178.
3
Vgl. Copeland/Antikarov (2001), S. V f.
4
Vgl. Trigeorgis (1996), S. 124.
5
Vgl. Copeland/Antikarov (2001), S. 5ff.
2
Deshalb werden zunächst im 2. Kapitel die Grundlagen der finanziellen Optionspreis-
theorie behandelt und mit dem Binomialmodell von Cox/Ross/ Rubinstein und dem
Black & Scholes Modell zwei Modelle zur Bewertung von Optionen dargestellt. Im 3.
Kapitel wird der Realoptionsansatz vorgestellt, indem die verschiedenen Typen von
Realoptionen sowie der Bewertungsprozess erläutert werden. Der Bewertungsprozess
wird dabei anhand eines Anwendungsbeispiels verdeutlicht. Anschließend wird kurz auf
die Limitationen des Realoptionsansatzes eingegangen. Im 4. Kapitel wird der
Realoptionsansatz in die wertorientierte Lebenszyklusrechnung und das wertorientierte
Target Costing anhand von Fallbeispielen integriert. Es wird dabei geprüft, ob die
Realoptionen einen Einfluss auf die optimale Kostengestaltung im Rahmen des
strategischen Kostenmanagements besitzen und deshalb berücksichtigt werden müssen.
2.
Grundlagen der finanziellen Optionspreistheorie
2.1
Typologie von Finanzoptionen
Es können zwei grundlegende Optionstypen unterschieden werden:
1
· Kaufoption
· Verkaufsoption
Eine Kaufoption gibt dem Optionsinhaber das Recht, aber nicht die Pflicht, einen
Vermögensgegenstand zu einem zukünftigen Zeitpunkt T (europäische Kaufoption) bzw.
innerhalb einer Zeitspanne
[ ]
T
t,
(amerikanische Kaufoption) zu einem im voraus
festgelegten Preis von dem Optionsgeber zu kaufen.
Eine Verkaufsoption gibt dem Optionsinhaber das Recht, aber nicht die Pflicht, einen
Vermögensgegenstand zu einem zukünftigen Zeitpunkt T (europäische Verkaufsoption)
bzw. innerhalb einer Zeitspanne
[ ]
T
t,
(amerikanische Verkaufsoption) zu einem im voraus
festgelegten Preis dem Optionsgeber zu verkaufen.
Die europäischen Optionen zeichnen sich demnach dadurch aus, dass der Optionsinhaber
sein Recht nur im Zeitpunkt T , dem Verfallstag der Option, ausüben kann. Bei den
amerikanischen Optionen darf der Optionsinhaber sein Recht jederzeit innerhalb der
Zeitspanne
[ ]
T
t,
, der Laufzeit der Option, ausüben.
Es existieren Optionen auf Finanztitel (z.B. Aktien, Anleihen, Währungen) und Optionen
1
Vgl. im folgenden Grinblatt/Titmann (2002), S. 258f ; Jarrow/Turnbull (2000), S. 15.
3
auf Waren (z.B. Öl, Getreide). Die zu beziehenden bzw. abzugebenden Vermögensgegen-
stände werden auch als Basisinstrument der Option bezeichnet. Der Preis, zu dem das
Basisinstrument gekauft bzw. verkauft werden kann, heißt Basis- oder Ausübungspreis.
Der Basispreis wird bei Abschluß des Optionsvertrages zwischen Käufer und Verkäufer
der Option vereinbart.
Die Kaufoption und die Verkaufsoption werden in der Literatur durch ihren Wert am
Verfallstag charakterisiert.
1
Am Verfallstag ist es für den Wert einer Option unerheblich,
ob es sich um eine europäische oder amerikanische Option handelt. Im folgenden wird als
Basisinstrument eine Aktie gewählt.
Der Wert einer Kaufoption beträgt am Verfallstag:
]
0
;
)
(
[
)
(
K
T
S
Max
T
C
-
=
(2.1)
Der Optionsinhaber wird die Kaufoption am Verfallstag nur ausüben, wenn der Aktienkurs
über dem Basispreis liegt. Dann kann der Inhaber die Aktie zum Basispreis kaufen und
gleichzeitig zum höheren Aktienkurs am Markt verkaufen. Durch dieses Geschäft gewinnt
der Inhaber die Differenz von Aktienkurs und Basispreis. Diese Differenz stellt somit den
Wert der Kaufoption bei einer Ausübung dar. Die Kaufoption ist wertlos, wenn der
Basispreis über dem Aktienkurs liegt. Der Inhaber wird in diesem Fall auf eine Ausübung
verzichten, da er die Aktie günstiger am Markt erwerben kann. Der Wert der Kaufoption
am Verfallstag entspricht demnach dem Maximum der beiden Beträge
K
T
S
-
)
(
und 0.
2
Der Wert einer Verkaufsoption beträgt am Verfallstag:
]
0
);
(
[
)
(
T
S
K
Max
T
P
-
=
(2.2)
Der Inhaber wird die Verkaufsoption am Verfallstag nur ausüben, wenn der Basispreis
über dem Aktienkurs liegt. Dann kann der Inhaber die Aktie zu einem Preis verkaufen, der
über dem aktuellen Marktpreis liegt. Der Wert der Verkaufsoption entspricht in diesem
Fall genau der Differenz von Basispreis und Aktienkurs. Die Verkaufsoption ist dagegen
wertlos, wenn der Aktienkurs über dem Basispreis liegt. Der Inhaber wird auf eine
Ausübung verzichten, da er die Aktie am Markt zu einem höheren Preis als dem Basispreis
verkaufen kann. Der Wert der Verkaufsoption entspricht demnach dem Maximum der
beiden Beträge
)
(T
S
K
-
und 0.
3
1
Vgl. z.B. Grinblatt/Titmann (2002), S. 259ff ; Hull (2000), S. 9f ; Jarrow/Turnbull (2000), S. 15ff.
2
Vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 3 ; Jarrow/Turnbull (2000), S.15f.
3
Vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 3 ; Jarrow/Turnbull (2000), S. 17f.
4
Der Optionsinhaber ist aufgrund seines Ausübungswahlrechts nie dem Risiko von
negativen Optionswerten ausgesetzt. Der Inhaber wird die Option nur ausüben, wenn er
einen finanziellen Vorteil erhält; ansonsten wird er die Option verfallen lassen. Es bestehen
somit asymmetrisch verteilten Risiken zu Gunsten des Optionsinhabers und zu Lasten des
Optionsgebers. Aus diesem Grund müssen Optionen durch die Zahlung einer
Optionsprämie an den Optionsgeber erworben werden. Diese Optionsprämie entspricht
dem Optionswert zum Zeitpunkt des Abschlusses des Optionsvertrages, der i.d.R. vor dem
Verfallstag liegt.
1
Der Optionswert vor dem Verfallstag kann allerdings nicht ohne Annahmen über die
zukünftige Wertentwicklung der Aktie bestimmt werden. Damit beschäftigt sich Kapitel
2.2.
2.2
Bewertung von Finanzoptionen
2.2.1
Grundlagen der Bewertung
Die Bewertung von Finanzoptionen beruht auf der Annahme der Arbitragefreiheit von
Finanzmärkten. Die Finanzmärkte sind arbitragefrei, wenn es keine Handelsstrategien gibt,
die einen Gewinn ohne ein Verlustrisiko (Arbitragegewinn) ermöglichen. Ein Arbitrage-
gewinn ist z.B. dann möglich, wenn ein Investor nie einen Kapitaleinsatz tätigen muss,
aber mit einer positiven Wahrscheinlichkeit eine Zahlung erhält.
2
Ohne Annahmen über die zukünftige stochastische Kursentwicklung der Aktie können nur
Wertuntergrenzen und Wertobergrenzen als verteilungsfreie Abschätzungen für Kauf- und
Verkaufsoptionen ermittelt werden, zwischen denen der arbitragefreie Optionswert liegen
muss.
3
Des weiteren können Beziehungen zwischen dem Wert von Kauf- und
Verkaufsoptionen unter der Annahme der Arbitragefreiheit abgeleitet werden (Put-Call
Parität).
4
Der genaue arbitragefreie Optionswert kann nur dann bestimmt werden, wenn der
stochastische Aktienkursprozess im Rahmen von Optionsbewertungsmodellen vorgegeben
wird. Im weiteren werden Optionsbewertungsmodelle behandelt, die auf dem
Duplikationsprinzip basieren.
5
Die Grundidee dieser Modelle lautet, dass zwei Finanztitel
mit identischen Rückflüssen in allen möglichen zukünftigen Zuständen im heutigen Zeit-
punkt denselben Wert aufweisen müssen. Ansonsten wäre es möglich, durch den Kauf des
1
Vgl. Zimmermann (1995), S. 1489.
2
Vgl. Cox/Rubinstein (1985), S. 127 ; Jarrow/Turnbull (2000), S. 34f.
3
Vgl. Merton (1973), S. 141ff.
4
Vgl. Stoll (1968), S. 801ff.
5
Vgl. zu einem Überblick über Optionsbewertungsmodelle Trautmann (1995), S. 1475ff.
5
günstigeren Titels und gleichzeitigem Verkauf des teureren Titels einen Arbitragegewinn
zu erzielen. Mit der Hilfe dieses Prinzips ist es somit möglich, den Optionswert aus dem
Wert eines äquivalenten Portfolios aus anderen Finanztiteln abzuleiten. Diese
Bewertungsmethodik hat den Vorteil, dass die Risikopräferenzen der Kapitalmarkt-
teilnehmer nicht berücksichtigt werden müssen.
1
Es können dabei analytische und numerische Optionsbewertungsmodelle unterschieden
werden. Die analytischen Modelle leiten konkrete Bewertungsformeln unter der Berück-
sichtigung eines zeitstetigen stochastischen Prozesses ab, z.B. das Black & Scholes
Modell. Zu den numerischen Modellen zählen die Optionsbewertungsmodelle, die den
zeitstetigen stochastischen Prozess durch einen diskreten stochastischen Prozess
approximieren, z.B. das Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein.
2
2.2.2
Das Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein
2.2.2.1
Das einperiodige Binomialmodell
Das Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein basiert auf den folgenden Annahmen:
3
· Der Wertpapierhandel ist nur zu bestimmten Zeitpunkten
N
t
t
t
t
,..,
,
,
2
1
0
möglich
· Die Länge des Zeitintervalls zwischen zwei Zeitpunkten ist konstant, d.h.
1
,..,
0
1
-
=
-
=
+
N
i
t
t
t
i
i
· Der risikofreie Zinssatz r pro Zeitintervall ist konstant
· Leerverkäufe in Aktien und risikofreien Wertpapieren sind unbegrenzt möglich
· Es fallen keine Transaktionskosten und Steuern an
· Der Aktienkurs folgt einem diskreten multiplikativen Binomialprozess. Der
Aktienkurs zum Zeitpunkt
i
t kann im nächsten Zeitpunkt
1
+
i
t nur zwei Werte an-
nehmen. Der Aktienkurs kann entweder mit einer Wahrscheinlichkeit
p um den
multiplikativen Faktor u steigen oder mit einer Wahrscheinlichkeit von
)
1
(
p
-
um
den multiplikativen Faktor d fallen. Auf einem arbitragefreien Finanzmarkt muss
der Aktienkursprozess die Bedingung
u
r
d
<
+
< 1
erfüllen
Das Binomialmodell wird zunächst anhand des einperiodigen Falles entwickelt.
4
Im
folgenden wird eine Periode von einem Jahr betrachtet, d.h. von
1
t
bis
0
1
0
=
=
t
. Der
1
Vgl. Kruschwitz (1984), S. 70.
2
Vgl. Hommel/Pritsch (1998), S. 10ff.
3
Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 232 ; Sandmann (2001), S. 161f.
4
Vgl. im folgenden Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 232ff ; Kruschwitz/Schöbel (1984), S. 69ff.
6
Aktienkurs in
0
0
=
t
ist bekannt und beträgt
)
0
(
S
. Am Ende der Periode in
1
1
=
t
kann der
Aktienkurs die folgenden Werte annehmen:
p
u
S
u
S
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
)
0
(
)
,
1
(
=
)
-
(1
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
)
0
(
)
,
1
(
p
d
S
d
S
=
Mit )
,
1
(
u
S
bzw.
)
,
1
(
d
S
wird der Aktienkurs in
1
1
=
t
bezeichnet, falls der Aktienkurs in
der ersten Periode steigt bzw. fällt.
Die folgende Abbildung 2.1 zeigt die Kursentwicklung der Aktie über eine Periode
Abbildung 2.1: Kursentwicklung der Aktie über eine Periode
Quelle: eigene Darstellung, in Anlehnung
an Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 232.
Die Bewertungsmethodik wird zunächst anhand der Bewertung einer europäischen Kauf-
option auf eine dividendenlose Aktie dargestellt. Diese Option verfällt in
1
1
=
t
und soll in
0
0
=
t
bewertet werden. Da der Wert der europäischen Kaufoption am Verfallstag gemäß
Gleichung (2.1) bekannt ist, kann der Optionswert in
1
1
=
t
je nach Kursentwicklung der
Aktie die folgenden Werte annehmen:
p
K
u
S
Max
u
C
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
]
0
;
)
0
(
[
)
,
1
(
-
=
(2.3)
)
1
(
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
]
0
;
)
0
(
[
)
,
1
(
p
K
d
S
Max
d
C
-
-
=
(2.4)
Mit )
,
1
(
u
C
bzw.
)
,
1
(
d
C
wird der Wert der Kaufoption in
1
1
=
t
bezeichnet, falls der
Aktienkurs in der ersten Periode steigt bzw. fällt.
u
S
u
S
)
0
(
)
,
1
(
=
d
S
d
S
)
0
(
)
,
1
(
=
)
0
(
S
p
p
-
1
7
Die folgende Abbildung 2.2 zeigt die Wertentwicklung der Kaufoption:
Abbildung 2.2: Wertentwicklung der Kaufoption über eine Periode
Quelle: eigene Darstellung, in Anlehnung an
Cox/Ross/Rubinstein (1979), S.233.
Nun soll der Wert der europäischen Kaufoption in
0
0
=
t
gemäß dem Duplikationsprinzip
bestimmt werden. Dazu wird ein Portfolio aus x Stücken der Aktie und risikofreien
Wertpapieren im Wert von
B betrachtet. Das Portfolio besitzt in
0
0
=
t
einen Wert von
.
)
0
(
)
0
(
B
xS
V
P
+
=
Am Ende der Periode in
1
1
=
t
kann das Portfolio je nach Kurs-
entwicklung der Aktie die folgenden Werte annehmen:
p
r
B
u
xS
u
V
P
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
)
1
(
)
,
1
(
)
,
1
(
+
+
=
)
1
(
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
)
1
(
)
,
1
(
)
,
1
(
p
r
B
d
xS
d
V
P
-
+
+
=
Mit
)
,
1
( u
V
P
bzw.
)
,
1
( d
V
P
wird der Wert des Portfolios in
1
1
=
t
bezeichnet, falls der
Aktienkurs in der ersten Periode steigt bzw. fällt.
Dieses Portfolio soll in
1
1
=
t
den gleichen Wert wie die europäische Kaufoption aufweisen.
Es muss demnach simultan gelten:
)
,
1
(
)
1
(
)
,
1
(
)
,
1
(
u
C
r
B
u
xS
u
V
P
=
+
+
=
)
,
1
(
)
1
(
)
,
1
(
)
,
1
(
d
C
r
B
d
xS
d
V
P
=
+
+
=
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ergibt:
)
0
(
)
(
)
,
1
(
)
,
1
(
S
d
u
d
C
u
C
x
-
-
=
)
1
)(
(
)
,
1
(
)
,
1
(
r
d
u
u
dC
d
uC
B
+
-
-
=
Das Portfolio aus x Aktien und risikolosen Wertpapieren im Wert von
B dupliziert den
Wert der europäischen Kaufoption in
1
1
=
t
. Auf einem arbitragefreien Finanzmarkt muss
dann in
0
0
=
t
das Portfolio und die Kaufoption einen identischen Wert aufweisen.
]
0
;
)
0
(
[
)
,
1
(
K
u
S
Max
u
C
-
=
]
0
;
)
0
(
[
)
,
1
(
K
d
S
Max
d
C
-
=
)
0
(
C
p
p
-
1
8
Daraus folgt für den Wert der europäischen Kaufoption:
)
1
)(
(
)
,
1
(
)
,
1
(
)
,
1
(
)
,
1
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
r
d
u
u
dC
d
uC
d
u
d
C
u
C
B
xS
V
C
P
+
-
-
+
-
-
=
+
=
=
(2.5)
Die Gleichung (2.5) kann vereinfacht werden, indem
q und
q
-
1
definiert wird:
)
1
(
d
u
d
r
q
-
-
+
=
d
u
r
u
q
-
+
-
=
-
)
1
(
1
Es gilt somit für den Wert einer europäischen Kaufoption:
r
d
C
q
u
qC
C
+
-
+
=
1
)
,
1
(
)
1
(
)
,
1
(
)
0
(
(2.6)
Eine analoge Argumentation ergibt für den Wert einer europäischen Verkaufsoption:
r
d
P
q
u
qP
P
+
-
+
=
1
)
,
1
(
)
1
(
)
,
1
(
)
0
(
(2.7)
Die einperiodigen Bewertungsgleichungen (2.6) und (2.7) verdeutlichen, dass der Wert der
Optionen unabhängig von den heterogenen Risikopräferenzen der Kapitalmarktteilnehmer
und von den Wahrscheinlichkeiten p und
p
-
1
ist.
1
Die Variable q weist Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit auf, denn q kann bei
Arbitragefreiheit des Aktienkursprozesses nur einen Wert zwischen Null und Eins an-
nehmen. Damit kann der Zähler der Bewertungsgleichungen (2.6) und (2.7) als erwartete
Wert der Option in
1
1
=
t
interpretiert werden. Dieser Erwartungswert wird mit dem
risikolosen Zinssatz auf den Zeitpunkt
0
0
=
t
diskontiert. Diese Bewertungsmethodik wird
als risikoneutrale Bewertung bezeichnet, da die Bewertung so erfolgt, als ob die Investoren
risikoneutral wären. Der Erwartungswert der Option wird dabei nicht mit den Wahrschein-
lichkeiten p und
p
-
1
gebildet, sondern mit den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten
q und
q
-
1
berechnet. Die Anwendung der risikoneutralen Bewertung führt dazu, dass die
Bestimmung einer Risikoprämie obsolet wird
.
2
Die Ausführungen werden anhand eines Beispiels (1) verdeutlicht.
3
Es soll eine euro-
päische Kaufoption auf eine dividendenlose Aktie bewertet werden. Die Aktie notiert in
0
0
=
t
zu einem Kurs von
100
)
0
(
=
S
. In einem Jahr in
1
1
=
t
kann die Aktie entweder den
Wert 130
)
,
1
(
=
u
S
oder den Wert
90
)
,
1
(
=
d
S
annehmen. Der Optionsinhaber kann die
Aktie in
1
1
=
t
zu einem Basispreis von
105
=
K
kaufen. Die Bewertung der Kaufoption
erfordert, dass der risikofreie Zinssatz r pro Zeitintervall t
angegeben wird. Unter der
Voraussetzung, dass das Zeitintervall auf Jahresbasis definiert ist, ergibt sich der
1
Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 235.
2
Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 235f.
3
Vgl. Kruschwitz/Schöbel (1984), S. 71.
9
risikofreie Zinssatz r pro Zeitintervall aus dem jährlichen risikolosen Zinssatz r^ gemäß
der folgenden Beziehung:
1
(
)
1
^
1
-
+
=
t
r
r
(2.8)
Die Länge des Zeitintervalls beträgt im Beispiel
1
=
t
. Der risikofreie Zinssatz beträgt
%
5
^
=
r
p.a. Damit beträgt der risikofreie Zinssatz r pro Zeitintervall gemäß Gleichung
(2.8)
%
5
=
r
.
Zunächst muss der Wert der multiplikativen Faktoren u und d berechnet werden:
9
,
0
100
90
)
0
(
)
,
1
(
3
,
1
100
130
)
0
(
)
,
1
(
=
=
=
=
=
=
S
d
S
d
S
u
S
u
Die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten q und
q
-
1
betragen:
375
,
0
4
,
0
9
,
0
05
,
1
)
1
(
=
-
=
-
-
+
=
d
u
d
r
q
625
,
0
1
=
- q
Anschließend muss der Wert der Kaufoption am Verfallstag in
1
1
=
t
gemäß Gleichung
(2.3) und (2.4) berechnet werden:
25
]
0
;
25
[
]
0
;
)
,
1
(
[
)
,
1
(
=
=
-
=
Max
K
u
S
Max
u
C
0
]
0
;
15
[
]
0
;
)
,
1
(
[
)
,
1
(
=
-
=
-
=
Max
K
d
S
Max
d
C
Damit gilt für den Wert der europäischen Kaufoption in
0
0
=
t
gemäß Gleichung (2.6):
93
,
8
05
,
1
0
625
,
0
25
375
,
0
1
)
,
1
(
)
1
(
)
,
1
(
)
0
(
=
+
=
+
-
+
=
r
d
C
q
u
qC
C
2.2.2.2
Das mehrperiodige Binomialmodell
Das Binomialmodell wird zunächst auf zwei Perioden erweitert und dann auf eine
beliebige Anzahl von Perioden verallgemeinert.
2
Im folgenden beträgt die Periodenlänge
ein Jahr. Damit können drei Zeitpunkte
1
,
0
1
0
=
= t
t
und
2
2
=
t
unterschieden werden. Der
Aktienkurs in
0
0
=
t
ist bekannt und beträgt S(0). Der Aktienkurs kann in jeder Periode um
den multiplikativen Faktor u steigen oder um den multiplikativen Faktor d fallen. Am
Ende der zweiten Periode in
2
2
=
t
kann der Aktienkurs somit die folgende Werte
annehmen:
1
Vgl. Sandmann (2001), S. 185.
2
Vgl. im folgenden Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 236ff.
10
2
2
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
)
0
(
)
,
2
(
p
u
S
uu
S
=
)
1
(
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
)
0
(
)
,
2
(
p
p
ud
S
ud
S
-
=
p
p
du
S
du
S
)
1
(
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
)
0
(
)
,
2
(
-
=
2
)
1
(
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
)
0
(
)
,
2
(
p
dd
S
dd
S
-
=
Mit )
,
2
( uu
S
wird der Aktienkurs in
2
2
=
t
bezeichnet, wenn der Aktienkurs in der ersten
und in der zweiten Periode steigt. Mit
)
,
2
( ud
S
wird der Aktienkurs in
2
2
=
t
bezeichnet,
wenn der Aktienkurs in der ersten Periode steigt und in der zweiten Periode fällt.
)
,
2
( du
S
und )
,
2
( dd
S
werden analog definiert.
Der Aktienkurs kann in
2
2
=
t
nur drei unterschiedliche Werte annehmen, da es unerheb-
lich ist, ob der Aktienkurs in der ersten Periode steigt und in der zweiten Periode fällt oder
in der ersten Periode fällt und in der zweiten Periode steigt. Aus diesem Grund gilt
).
,
2
(
)
,
2
(
du
S
ud
S
=
Die folgende Abbildung 2.3 zeigt die Kursentwicklung der Aktie über zwei Perioden:
Abbildung 2.3: Kursentwicklung der Aktie über zwei Perioden
Quelle: Eigene Darstellung, in Anlehnung an
Cox/Ross/Rubinstein (1979), S. 236
Diese Form der graphischen Darstellung der Kursentwicklung der Aktie wird als
Binomialbaum bezeichnet.
Die Bewertung von Optionen im mehrperiodigen Fall basiert auf einem rekursiven Be-
wertungsprozess. Dabei wird das komplexe mehrperiodige Bewertungsproblem in mehrere
einperiodige Bewertungsprobleme aufgespalten.
Diese Bewertungsmethodik wird anhand der Bewertung einer europäischen Kaufoption auf
eine dividendenlose Aktie dargestellt. Diese Option verfällt in
2
2
=
t
und soll in
0
0
=
t
bewertet werden. Zunächst muss der Wert der europäischen Kaufoption am Verfalls-
S(0)
S(1,u)
S(1,d)
S(2,uu)
S(2,dd)
S(2,ud)
S(2,du)
11
tag bestimmt werden. Je nach Kursentwicklung der Aktie kann die Option am Verfallstag
in
2
2
=
t
gemäß Gleichung (2.1) die folgenden Werte annehmen:
2
2
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
]
0
,
)
0
(
[
)
,
2
(
p
K
u
S
Max
uu
C
-
=
)
1
(
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
]
0
,
)
0
(
[
)
,
2
(
p
p
K
ud
S
Max
ud
C
-
-
=
p
p
K
du
S
Max
du
C
)
1
(
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
]
0
,
)
0
(
[
)
,
2
(
-
-
=
2
)
1
(
lichkeit
Wahrschein
einer
mit
]
0
,
)
0
(
[
)
,
2
(
p
K
dd
S
Max
dd
C
-
-
=
Mit )
,
2
( uu
C
wird der Wert der Kaufoption in
2
2
=
t
bezeichnet, wenn der Aktienkurs in
der ersten und in der zweiten Periode steigt. Mit
)
,
2
( ud
C
wird der Wert der Kaufoption in
2
2
=
t
bezeichnet, wenn der Aktienkurs in der ersten Periode steigt und in der zweiten
Periode fällt.
)
,
2
( du
C
und )
,
2
( dd
C
werden analog definiert.
Die Optionswerte
)
,
2
( ud
C
und )
,
2
( du
C
sind identisch, da die jeweiligen Aktienkurse
)
,
2
( ud
S
und )
,
2
( du
S
den gleichen Wert aufweisen.
Anschließend muss der Wert der Kaufoption zu Beginn der letzten Periode, d.h. im
Zeitpunkt
1
1
=
t
ermittelt werden. Es handelt sich in diesem Fall um ein einperiodiges
Bewertungsproblem, so dass die Bewertungsgleichung (2.6) angewandt werden kann. Je
nach Aktienkurs im Zeitpunkt
1
1
=
t
gilt für den Wert der Kaufoption:
r
ud
C
q
uu
qC
u
C
+
-
+
=
1
)
,
2
(
)
1
(
)
,
2
(
)
,
1
(
(2.9)
r
dd
C
q
du
qC
d
C
+
-
+
=
1
)
,
2
(
)
1
(
)
,
2
(
)
,
1
(
(2.10)
Anschließend wird der Wert der europäischen Kaufoption in
0
0
=
t
bestimmt. Es handelt
sich hier wiederum ein einperiodiges Bewertungsproblem, da der Wert der Option in
1
1
=
t
bereits berechnet wurde. Die Bewertungsgleichungen für
)
,
1
( u
C
und )
,
1
( d
C
werden
in die Bewertungsgleichung (2.6) eingesetzt. Damit gilt für den Wert der europäischen
Kaufoption unter Berücksichtigung von
)
,
2
(
)
,
2
(
du
C
ud
C
=
in :
0
0
=
t
2
2
2
)
1
(
)
,
2
(
)
1
(
)
,
2
(
)
1
(
2
)
,
2
(
)
0
(
r
dd
C
q
ud
C
q
q
uu
C
q
C
+
-
+
-
+
=
(2.11)
2
2
2
2
2
)
1
(
]
0
;
)
0
(
[
)
1
(
]
0
;
)
0
(
[
)
1
(
2
]
0
;
)
0
(
[
r
K
d
S
Max
q
K
ud
S
Max
q
q
K
u
S
Max
q
+
-
-
+
-
-
+
-
=
Eine analoge Vorgehensweise ergibt für den Wert einer europäischen Verkaufsoption:
2
2
2
)
1
(
)
,
2
(
)
1
(
)
,
2
(
)
1
(
2
)
,
2
(
)
0
(
r
dd
P
q
ud
P
q
q
uu
P
q
P
+
-
+
-
+
=
(2.12)
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2003
- ISBN (eBook)
- 9783832469252
- ISBN (Paperback)
- 9783838669250
- DOI
- 10.3239/9783832469252
- Dateigröße
- 670 KB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Universität zu Köln – Wirtschaftswissenschaften
- Erscheinungsdatum
- 2003 (Juni)
- Note
- 2,3
- Schlagworte
- strategisches kostenmanagement sharholder value
