Varianten des CAPM

Inhaltsverzeichnis

Thesen.

Darstellungsverzeichnis

A. Einleitung
I. Problemstellung
II. Gang der Untersuchung

B. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM)
I. Die Portfolio Selection Theory als Grundlage des CAPM
1. Das Modell von Markowitz und die “Efficient Frontier”
a) Modellannahmen
b) Der Diversifikationseffekt und die “Markowitz Efficient Frontier”
2. Modellerweiterung durch Tobins Separationstheorem
II. Darstellung und kritische Würdigung des CAPM
1. Modellannahmen
2. Aussagen des CAPM
3. Kritische Würdigung

C. Varianten des Capital Asset Pricing Model
I. Aufhebung einzelner anlegerbezogener Annahmen
1. Berücksichtigung eines mehrperiodigen Planungshorizontes
2. Berücksichtigung unterschiedlicher Zeithorizonte
3. Berücksichtigung nicht-identischer Erwartungen
4. Berücksichtigung nicht-identischer Erwartungen bei Existenz von Informationskosten

II. Aufhebung einzelner kapitalmarktbezogener Annahmen
1. Berücksichtigung von Transaktionskosten
2. Modifikationen der Annahme der Existenz eines einheitlichen Zinssatzes auf risikofreie Anlagen
a) Nichtexistenz eines Zinssatzes auf risikofreie Anlagen
b) Berücksichtigung ausschließlich risikofreier Geldanlagemöglichkeiten
c) Berücksichtigung eines gespaltenen Zinssatzes auf risikofreie Anlagen

3. Übertragung des CAPM auf den internationalen Kontext
a) Das internationale CAPM von Grauer, Litzenberger und Stehle
b) Das internationale CAPM von Solnik

D. Zusammenfassung der Ergebnisse

LITERATURVERZEICHNIS.

EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG.

Thesen

Aus Gründen der Risikoreduktion ist die Bildung von Wertpapierportefeuilles sinnvoll.

Jeder rationale Anleger wird seine Geldanlageentscheidung so treffen, daß sein Portfolio den höchst möglichen Ertrag bei gegebenem Risiko erzielt, bzw. das kleinst mögliche Risiko bei vorgegebenem Ertrag beinhaltet.

Bei Existenz eines Zinssatzes auf risikofreie Anlagen ist im Kapitalmarktgleichgewicht der riskante Teil der Portfolios sämtlicher Anleger unabhängig von deren Risikoeinstellung identisch strukturiert.

Das riskante Teilportfolio entspricht dem Marktportfolio, d.h. es enthält alle Assets der Volkswirtschaft im Verhältnis ihrer Kapitalisierung.

Bei Existenz einer risikofreien Anlagemöglichkeit zu einem einheitlichen Zinssatz ist der Erwartungswert der Risikoprämie effizienter Anlegerportefeuilles eine lineare Funktion der Standardabweichung der Portefeuillerendite.

Zwischen den Erwartungswerten der Risikoprämien und den systematischen Risiken der Wertpapiere (Beta-Risiken) besteht im Kapitalmarktgleichgewicht ein linearer Zusammenhang.

Das konsumorientierte CAPM postuliert im Gleichgewicht einen positiven Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und geplanter Konsum- wachstumsrate ceteris paribus.

Bei nicht-identischen Erwartungen der Marktteilnehmer bezüglich der relevanten Verteilungsparameter lassen sich zumindest aus der Sicht eines repräsentativen Investors die Linearitätsbeziehungen des CAPM ableiten.

Die durch die Berücksichtigung von Transaktionskosten induzierten Fehlbewertungen am Kapitalmarkt führen dazu, daß das vom CAPM postulierte Gleichgewicht nicht erreicht werden kann.

Maßgeblich für die Existenz des CAPM ist die Effizienz des Marktportefeuilles, welche entweder die Annahme der jederzeitigen, unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeit von risikobehafteten Titeln oder die der risikofreien, unbeschränkten Geldaufnahmemöglichkeit bedingt.

Bei Übertragung des CAPM auf einen internationalen Bezugsrahmen kann unter Ausblendung des Wechselkursrisikos ein auf realen Renditen basierendes Ergebnis erzielt werden, welches sich modelltheoretisch nicht vom CAPM unterscheidet.

Die Berücksichtigung von Wechselkursrisiken führt zu nicht-identischen Erwartungen der Marktteilnehmer bezüglich der relevanten Parameter, wodurch sich die Wertpapiermarktlinie nicht ableiten läßt.

Unter geeigneten Annahmen setzt sich die erwartete Rendite eines Wertpapiers nach dem internationalen CAPM im Marktgleichgewicht zusammen aus der Rendite der risikofreien Anlage des Heimatlandes sowie einem Faktor, der die Sensitivität des Wertpapiers in Bezug auf die Risikoprämie des Weltmarktportfolios angibt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

A.Einleitung

I.Problemstellung

Angesichts der zunehmenden Bedeutung der Finanzmärkte und des hohen Innovationstempos wächst die Forderung nach ökonomischen Erklärungsansätzen für die Preisbestimmung auf den Kapitalmärkten. Konkret stellt sich die Frage, welche Renditen für Vermögenstitel, die an einem Kapitalmarkt gehandelt werden, zu erwarten sind und wie sich diese Bewertung erklären läßt. Basierend auf den mittels des Capital Asset Pricing Model gewonnenen Einsichten in die Preisbestimmungsmechanismen an den Finanzmärkten drängt sich weitergehend die Frage auf, ob dieses modelltheoretische Instrumentarium der Vielschichtigkeit realer Finanzmärkte gerecht wird. Unter diesem Gesichtspunkt ist zu klären, ob und inwiefern die unter sehr restriktiven Annahmen postulierten Gleichgewichtsbeziehungen im CAPM auch bei einer Annäherung an die realen Verhältnisse der Kapitalmärkte modelltheoretisch haltbar sind. Dabei ist auch von Interesse, inwiefern eine realitätsnähere Analyse einen zusätzlichen Beitrag, d.h. über den essentiellen Aussagegehalt des CAPM hinaus, zu leisten vermag. Demgemäß wurde der folgende Aufbau gewählt:

II.Gang der Untersuchung

Die beiden Kapitel B und C. bilden die beiden Schwerpunkte dieser Diplomarbeit. Unter Gliederungspunkt B. wird dem Leser die Portfolio Selection Theory (PST) nach Markowitz und Tobin vorgestellt, um darauf aufbauend das Capital Asset Pricing Model (CAPM) darzustellen. Dabei liegt das Hauptaugenmerk auf einer ausführlichen Darstellung des Annahmenkranzes der PST sowie des CAPM und auf der Analyse der Gleichgewichtsbeziehungen. Die daran anschließende kritische Würdigung des CAPM stellt die Überleitung zu dem Kapitel C, dem zweiten Schwerpunkt dieser Arbeit, dar. Hier werden die Auswirkungen der Aufhebung bzw. Modifizierung einzelner Annahmen des CAPM besprochen. Diese Vorgehensweise führt zu ausgewählten Varianten des CAPM. Eine Zusammenfassung der Ergebnisse beschließt diese Arbeit.

B.Das Capital Asset Pricing Model (CAPM)

I.Die Portfolio Selection Theory als Grundlage des CAPM

Ziel dieses Abschnitts B.I. soll sein, die Annahmen der Portfolio Selection Theorie, welche später auch für das CAPM Gültigkeit haben werden, und die Vorteile diversifizierter Portfolios gegenüber einer Anlage in einzelne Titel bzw. ungenügend diversifizierter Portfolios aufzuzeigen. Darauf aufbauend soll in Kapitel B.II. das CAPM dargestellt werden.

1.Das Modell von Markowitz und die “Efficient Frontier”

a)Modellannahmen

Eine für das in den 60er Jahren entwickelte Capital Asset Pricing Model entscheidende Grundlage ist die Theorie der Portefeuille-Auswahl^[1], die Markowitz^[2] in den 50er Jahren entworfen hat.^[3] Die Voraussetzungen der Markowitz Portfoliotheorie, welche auch für das Capital Asset Pricing Model Gültigkeit haben, sind die folgenden:

Es lassen sich anlageobjekt-, anleger- und kapitalmarktbezogene Annahmen unterscheiden. Neben den folgenden explizit genannten wesentlichen Annahmen werden einige implizite Annahmen getroffen, z.B., daß es keine unsichere Inflation gibt.^[4]

Anlageobjektbezogene Annahme

Renditen von Anlageobjekten werden als stochastisch abhängige Zufallsvariablen betrachtet.

Im Hinblick auf (A4) muß es sich um Renditeverteilungen handeln, für die der Erwartungswert der Rendite (µ) und die durchschnittlich zu erwartende Renditeabweichung Standardabweichung: (σ) bzw. Varianz (σ2) existieren.

Durch diese Annahme wird die Variation der Anlageobjekte auf diejenigen begrenzt, deren Renditen sich als stochastische Zufallsvariablen betrachten lassen und für die die Verteilungsparameter µ,σ existieren.

Anlegerbezogene Annahmen

Der Anleger strebt ausschließlich nach Renditemaximierung und Ri-sikominimierung, wobei unter Risiko^[5] die Schwankung der Wertpapierrenditen um ihren Erwartungswert zu verstehen ist.

Die hier grundsätzlich unterstellte Einstellung des Anlegers^[6] zur unsicheren Zukunft wird durch sein Sicherheitsstreben reflektiert. Dieses Streben führt zum Ziel der Risikominimierung und unterstellt damit implizit auch Risikoaversion.^[7] Das Eingehen höherer Risiken muß demnach mit einer entsprechend höheren Renditeerwartung verbunden sein; dies entspricht auch dem Prinzip des abnehmenden Grenznutzens des Vermögens.^[8]

Entscheidungskriterien seiner Ziele sind der Erwartungswert der Rendite (μ) und die durchschnittlich zu erwartende Renditeabwei- chung: Standardabweichung ( σ ) bzw. Varianz (σ2).

Mit (A2) und (A3) folgt der Anleger dem (µ,σ)-Entscheidungsprinzip, das eine Vorauswahl effizienter Portfolios ermöglicht.^[9],^[10]

Ein Portefeuille heißt dann effizient, wenn es kein anderes gibt, das bei einer (mindestens) ebenso hohen erwarteten Rendite ein geringeres Risiko oder bei einem (höchstens) gleich großen Risiko eine höhere erwartete Rendite aufweist.^[11]

Der Anleger ist Nutzenmaximierer nach dem Bernoulli-Prinzip und entscheidet nach einer individuell festzulegenden Risikonutzenfunk-

tion.^[12]

Der erwartete Gesamtnutzen aus µ und σ einer Anlagealternative wird bernoulli-nutzenmaximiert. Dies stellt die Bestimmbarkeit eines optimalen Portfolios sicher.^[13] Erforderlich sind bernoulli-rationales Entscheidungsverhalten^[14] und eine mindestens dreifach differenzierbare Risikonutzenfunktion. Der Risikonutzen hängt wegen (A2) und (A3) nur von µ und σ ab.^[15]

Der Planungshorizont beträgt eine Zeitperiode.

Es entstehen damit keine Diskontierungs- oder Wiederanlageprobleme.^[16]

Der Anleger tätigt keine Leerverkäufe. ^[17]

Durch das Leerverkaufs- bzw. Emissionsverbot von Finanztiteln weisen die im Portefeuille enthaltenen Aktien stets positive Anteile auf.^[18]

Kapitalmarktbezogene Annahmen^[19]

Der Kapitalmarkt stellt sich dem Anleger als ein im Wesentlichen^[20] vollkommener Kapitalmarkt mit folgenden Eigenschaften dar:

Unbegrenzte Teilbarkeit der Wertpapiere,

keine Steuern,^[21]

keine Transaktionskosten,

keine Markteintrittsbarrieren und keine anderen Verfügbarkeitshemmnisse, d.h. insbesondere sofortige Erwerbbarkeit und Liquidierbarkeit^[22] in jeder Menge,

abgeschlossene bzw. kostenlose und sofortige Informationsbeschaffung und –verarbeitung,

Unabhängigkeit der Wertpapierrenditen vom Anlagevermögen, d.h. keinen Einfluß der Marktteilnehmer auf die Preisbildung (der Anleger ist Preisnehmer bzw. Mengenanpasser). ^[23]

Die Annahme der beliebigen Teilbarkeit der Wertpapiere wird ausschließlich von börsengehandelten und damit fungiblen Aktien^[24] erfüllt.^[25] Der Begriff des Wertpapiers wird daher für die nachfolgenden Ausführungen spezifiziert und dabei implizit auf börsengehandelte Beteiligungspapiere in Form von Aktien abgestellt.

Üblicherweise wird das Markowitz-Modell auf die Optimierung risikobehafteter Portefeuilles bezogen. Alexander/Francis präzisieren dazu folgende Forderungen in Bezug auf die Eigenschaften der Anlagen:

Es existiert keine risikolose Anlage, es gibt keine zwei Anlagen, deren Korrelationskoeffizient -1 beträgt, und mindestens zwei Anlagen weisen eine unterschiedliche erwartete Rendite auf.^[26]

Während die letzte Teilbedingung eine Portfoliobildung erst sinnvoll macht, stellen die ersten beiden Teilbedingungen sicher, daß kein risikoloses Portefeuille erzeugt werden kann. Dies ist aber keine Modellvoraussetzung, sondern als Abgrenzung des Markowitz-Modells zur erweiterten Form des Markowitz/Tobin-Modells [siehe Kapitel B.I.2.] zu sehen.

b)Der Diversifikationseffekt und die “Markowitz Efficient Frontier”

Bei der Berechnung der Varianz eines Portfolios spielt neben den Einzelvarianzen der verschiedenen Wertpapiere die Kovarianz^[27] eine wichtige Rolle. Die Kovarianz wächst mit zunehmender Abweichung der Einzelrenditen von ihren Erwartungswerten.^[28] Mit steigender Anzahl verschiedener Wertpapiere im Portfolio werden die relativen Portefeuille-Anteile immer gleichgewichtiger und der potentielle Beitrag der Kovarianzen wächst schneller gegenüber dem der Einzelvarianzen bezogen auf das Portefeuillerisiko, wobei natürlich der numerische Wert der Kovarianzen bzw. Varianzen zu berücksichtigen ist.^[29] Im Ergebnis sind es somit die Kovarianzen bzw. die Korrelationskoeffizienten der Renditen der ins Portfolio aufgenommenen Aktie mit den im Portfolio bereits enthaltenen Wertpapiere, die über den Beitrag zum Portefeuillerisiko entscheiden.^[30]

Markowitz leitet nun daraus ab, daß ein breit diversifiziertes Portfolio generell allen Einzelanlagen überlegen^[31] ist, weil bei gegebener Rendite (als gewichtetes Mittel aller im Portfolio enthaltenen Wertpapiere) das Risiko minimiert werden kann.^[32] Dieser Diversifikationseffekt ist umso größer, je weniger die im Portfolio enthaltenen Wertpapiere miteinander korrelieren.^[33]

Jeder rationale^[34] Anleger wird gemäß der Prämisse (A2) demnach seine Investmententscheidung so treffen, daß sein Portfolio den höchst möglichen Ertrag bei

gegebenem Risiko erzielt, bzw. das kleinst mögliche Risiko bei vorgegebenem Ertrag beinhaltet. Diese Entscheidung wird in der sogenannten “Efficient Frontier”^[35] veranschaulicht (vgl. Darst. 1).^[36]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darst. 1: Die “Efficient Frontier”^[37]

Alle bezüglich Risiko und Ertrag optimalen Kombinationen der Wertpapiere müssen auf der “Efficient Frontier” liegen (vollkommen diversifizierte oder “effiziente” Portfolios). Der Risikodiversifikationseffekt nicht vollständig positiv korrelierter Renditen sichert einen stets konkaven Verlauf der Effizienzkurve.^[38] Sie wird zum Ursprung hin durch das Portfolio mit minimaler Varianz^[39] und am oberen Ende durch das Portfolio mit der maximalen erwarteten Rendite begrenzt.^[40],^[41] Jeder nicht auf dieser Kurve liegende Punkt kann entweder im Ertrag oder Risiko ceteris paribus, d.h. bei gleichbleibendem Wert der anderen Variablen, zum Vorteil des Investors korrigiert werden (schlecht diversifizierte oder “ineffiziente” Portfolios). Die individuelle Risikopräferenz jedes einzelnen Investors entscheidet schließlich, welches der auf der “Efficient Frontier” liegenden Portfolios dieser halten will.

Um den Anforderungen der Praxis gerecht zu werden, wurde das Markowitz-Modell von Tobin durch Einführung des Zinssatzes auf risikolose Anlagen weiterentwickelt.

2.Modellerweiterung durch Tobins Separationstheorem

Durch Tobin^[42] wurde eine zusätzliche kapitalmarktbezogene Annahme (A7g) eingeführt, die die Mischung der (implizit als risikobehaftet angenommenen) Aktienportefeuilles mit einem Zinssatz auf risikofreie Anlagen^[43] rf erlaubt:

(g) Jederzeitige, unbeschränkte^[44] Geldanlage- oder Geldaufnahmemöglichkeit zum einheitlichen^[45] Zinssatz auf risikofreie Anlagen rf.^[46]

Risikofrei bedeutet ohne Volatilität, also (σrf)2 = 0 (bzw. σrf = 0) während der Anlageperiode. Risikolos bezieht sich dabei auf das Ausfallrisiko. Streng genommen muß zusätzlich unterstellt werden, daß die Wertpapiere zum Ende der betrachteten Planungsperiode fällig sind und bis dahin auch vom Investor gehalten werden, um das Zinsrisiko vernachlässigen zu können.^[47]

Tobin zeigt, daß die Struktur des reinen Aktienportefeuilles P (vgl. Darst. 2) vom Ausmaß der Risikoaversion der Investoren unabhängig ist. Die dadurch ermöglichte gedankliche Trennung der Wahl eines riskanten Portefeuilles P von der anlegerindividuellen Risikopräferenz wird als Tobin-Separationstheorem ^[48],^[49] bezeichnet.^[50],^[51]

Durch Kombinationen des reinen Aktienportefeuilles T mit der risikofreien Geldanlage bzw. der risikofreien Geldaufnahme entsteht die Effizienzgerade, die später von Sharpe^[52] zur Capital Market Line^[53] (CML) weiterentwickelt wurde. Diese Effiziengerade versteht sich als Tangente durch den an der Ordinate markierten Zinssatz auf risikofreie Anlagen rf an die Kurve AO (vgl. Darst. 2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darst. 2: Die Effizienzgerade^[54]

Durch die zusätzlich aufgeführte Annahme (A7g) wird der Investor nun seine Anlageentscheidungen durch Kombination des risikobehafteten Portfolios P^[55] und der risikofreien Anlage rf neu auf der Geraden rfPZ treffen, da alle diese Kombinationen die ursprünglichen effizienten Portfolios (auf der “Efficient Frontier” AO) dominieren, d.h. diesen überlegen sind.^[56] In einem darauffolgenden unabhängigen Schritt wählt der Anleger gemäß seiner individuellen Risikonutzenfunktion aus den effizienten Portfolios das für ihn nutzenmaximale (= optimale) Portefeuille aus.

Zusammenfassend ist festzustellen, daß die normative von Markowitz und Tobin entwickelte Portfolio Selection Theory keine Angaben darüber macht, wie Aktien bewertet werden sollen; sie besagt lediglich, daß Investoren effiziente Portfolios auf der Grundlage ihrer Erwartungen bezüglich Mittelwert und Varianz der Aktienerträge halten sollen. Demzufolge drängt sich die Frage auf, welche Marktbewertungen sich für Aktien im Gleichgewicht des Kapitalmarktes ergeben und wie diese erklärt werden können. Dieser Fragestellung wird im folgenden Kapitel B.II. nachgegangen.

II.Darstellung und kritische Würdigung des CAPM^[57]

1.Modellannahmen

Das wichtigste Kapitalmarktmodell, das von Treynor^[58], Sharpe^[59], Lintner^[60] und Mossin^[61] entwickelte Capital Asset Pricing Model,^[62] stellt eine Übertragung der Portefeuilletheorie auf gleichgewichtige und effiziente Kapitalmärkte dar. Es wird nämlich unterstellt, daß die Portefeuilledispositionen aller Anleger am Kapitalmarkt der Portfolio Selection Theory entsprechend getroffen werden.

Die dem Markowitz/Tobin-Modell zugrunde liegenden Modellannahmen^[63] haben grundsätzlich auch für das deskriptive^[64] CAPM Gültigkeit.^[65] Wenn die Aussagekraft des CAPM viel größer ist, unterliegt dieses Modell aber auch einschränkenderen Bestimmungen. Diese sollen aber den Aussagewert des Modells nicht entscheidend beeinträchtigen. Im Einzelnen sind folgende zusätzliche Annahmen von Bedeutung:^[66]

Zusätzliche anlageobjektbezogene Annahme

Alle Vermögensgegenstände sind marktfähig und ihre Gesamtmenge ist vorgegeben.^[67]

Sämtliche Vermögensgegenstände, dessen Anzahl vorgegeben bzw. fix ist, inklusive des Humankapitals, sind marktfähig und können somit jederzeit ge- bzw. verkauft werden. Damit wird die anlageobjektbezogene Annahme (A1) dahingehend erweitert, daß ein sogenanntes Marktportefeuille existiert und keine Begrenzung des “Universums der Anlagen” auf Aktien mehr erfolgt. Im Folgenden werden die Begriffe “Wertpapiere, Titel, Aktivposten und Assets” für Anlageobjekte benutzt und dabei unterstellt, daß diese die anlageobjektbezogene verteilungsbedingte Annahme (A1) erfüllen.

Zusätzliche anlegerbezogene Annahmen

Der zeitliche Planungshorizont ist für alle Anleger derselbe.

Das CAPM ist nicht nur ein Einperioden-Modell, sondern es wird zusätzlich unterstellt, daß sämtliche Investoren ihre Entscheidungen für denselben Zeithorizont treffen.

Es liegen identische^[68] Erwartungen aller Marktteilnehmer hinsichtlich der erwarteten Renditeverteilung der Vermögensgegenstände vor bei weiterhin alleinigem Interesse dieser am Erwartungswert und an der Varianz der Renditen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Alle Marktteilnehmer haben identische Erwartungen hinsichtlich des Erwartungswertes, der Standardabweichungen/Varianzen und der Korrelationen/Kovarianzen der Renditen der Anlagen, welches einen informationseffizienten^[69] Kapitalmarkt voraussetzt.^[70]

2.Aussagen des CAPM

Durch die Annahme (A10) wird der Übergang vollzogen vom individuellen Portfoliooptimierungskalkül des einzelnen Investors zum Marktgleichgewichtsmodell. Im Kapitalmarktgleichgewicht müssen alle Vermögensgegenstände der Volkswirtschaft zu Marktgleichgewichtspreisen^[71] in die Portfolios aufgenommen sein.^[72] Die lineare Beziehung zwischen Marktrendite und Marktrisiko im CAPM wird durch die Kapitalmarktlinie [Capital Market Line (CML)] beschrieben:

Die in Kapitel B.I.2. dargelegte Effizienzgerade ist im Wesentlichen identisch mit der Kapitalmarktlinie im CAPM. Durch die sehr einschränkende Annahme identischer Erwartungen der Marktteilnehmer (A10) besteht jedoch als entscheidende Neuerung eine einheitliche Vorstellung über die effizienten Portfolios bzw. “Efficient Frontier”, was zur Folge hat, daß jeder Investor in das gleiche risikobehaftete effiziente Portfolio, das Marktportfolio^[73] (P in Darst. 2, Kap. B.I.2.), investiert.^[74] Jeder Anleger kombiniert nun entsprechend seiner Risikopräferenzen dieses Portfolio mit sicherer Anlage oder Verschuldung bzw. mit dem risikofreien Titel (rf) entlang der einheitlichen CML.^[75]

Die Gleichung der Wertpapiermarktlinie [Security Market Line (SML)] im CAPM und damit die Grundgleichung des CAPM verdeutlicht im Kapitalmarktgleichgewicht den linearen Zusammenhang zwischen der erwarteten Rendite eines Finanztitels i (sowie eines jeden Portefeuilles) und seines systematischen Risikos^[76], ausgedrückt durch den Beta-Faktor ().^[77]

Bezogen auf die Risikoprämie eines einzelnen Wertpapiers bedeutet dies:

d.h. sie hängt nicht von der Varianz der Rendite des einzelnen Wertpapiers, sondern vom durch das Beta gemessenen Risikobeitrag des einzelnen Wertpapiers zum Portfolio ab. Somit wird aus der SML deutlich, daß die Grundform des CAPM ein Ein-Faktor-Modell darstellt, da die Wertpapierpreise erklärt werden durch einen Faktor, welcher repräsentiert wird durch die Risikoprämie des Marktportfolios. Im Zuge der Ableitung des CAPM wird (u.a.) vorausgesetzt, daß ausschließlich dieser Faktor das systematische Risiko der Finanztitel bestimmt. An dieser Stelle ist zu betonen, daß die Kapitalmarktlinie nur für effiziente Portefeuilles, die sich aus risikobehafteten und risikolosen Investitionsobjekten zusammen setzen können, gilt und mit dem Risikomaß σ operiert,

während^[78] die Wertpapiermarktlinie Gültigkeit für Portefeuilles und einzelne Wertpapiere hat und β als Risikomaß angibt.^[79]

Das gesamte Risiko eines Wertpapiers kann demnach in eine systematische, von der Entwicklung des Marktportfolios abhängige, und eine unsystematische, ausschließlich von unternehmensindividuellen Faktoren abhängige Komponente, unterteilt werden. Während ein Investor das unsystematische Risiko durch Diversifikation seines Portfolios vollständig eliminieren kann, läßt sich das systematische Risiko nicht durch Diversifikation reduzieren. Folglich erhält ein Investor im Kapitalmarktgleichgewicht nur für das systematische Risiko eine Risikoprämie auf die Rendite, da unterstellt wird, daß die Marktteilnehmer rational handeln und demnach das CAPM kennen. Der Marktpreis c für dieses Risiko kann mit Hilfe das CAPM ermittelt werden:

Der Preis jedes Wertpapiers muß im Kapitalmarktgleichgewicht so sein, daß für alle Wertpapiere die Relation aus erwarteter Rendite und dem individuellen Beitrag des Wertpapiers zum Gesamtrisiko des Marktportfolios identisch ist.^[80]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Darst. 3: Die Wertpapiermarktlinie (SML)^[81]

Zusammenfassend läßt sich bezogen auf die eingangs gestellte Frage festhalten, daß das CAPM besagt, wie hoch im Kapitalmarktgleichgewicht die erwartete Rendite für ein Portfolio oder eine Aktie in einem diversifizierten Portfolio ist, ausgehend vom systematischen Risiko des Portfolios bzw. der Aktie.

[...]

^[1] Ein in der Literatur verwendetes Synonyme für das Modell von Markowitz ist z.B. das Two-Parameter Portfolio Model, siehe bspw E. F. Fama, Foundations of Finance, New York 1976, S. 212-256.

^[2] H. M. Markowitz, Portfolio Selection, in: JF, Vol. 7 (1952), S. 77-92 und ders., Portfolio Selection: efficient diversification of investments, 2. Aufl., New York 1991. Harry M. Markowitz wurde im selben Jahr wie William F. Sharpe Nobelpreisträger.

^[3] Das erste Modell, welches explizit den Risikobegriff als wesentlichen Faktor in die Portfolioauswahl miteinbezieht, entspringt der Portfolio Selection Theory von Markowitz.

^[4] Siehe hierzu R. A. Brealey und S. C. Myers, Principles of Corporate Finance, 6. Aufl., New York u.a. 2000, S. 203.

^[5] Um der denkbaren Kritik aus Anlegersicht hinsichtlich der ausschließlichen Risikooperationalisierung mittels der Varianz der Wertpapierrenditen im Rahmen des Markowitz-Modells zu begegnen, vgl. die Darstellung einer ausfallorientierten Portfoliotheorie mittels Rückgriff auf das adäquate Risikomaß der Semivarianz, vgl. hierzu z.B. Markowitz, Portfolio Selection, 1991, S. 188-204.

^[6] Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nur noch von Marktteilnehmern, etc. gesprochen; dabei sind implizit auch die Marktteilnehmerinnen gemeint. Dieses Vorgehen dient nur der flüssigeren Lesbarkeit.

^[7] Ebda., 1991, S. 6.

^[8] Höhere erwartete Renditen schätzen die Investoren positiv, höhere Stan- dardabweichungen bzw. Varianzen der Renditen hingegen negativ für ihren Nutzen ein.

^[9] Als Konsequenz leitet Markowitz daraus ab, daß jeder Investor sein Portfolio diversifizieren wird und nur Portfolios hält, welche auf der sogenannten “Efficient Frontier” liegen (vgl. dazu genauer Kapitel B.I.1.b).

^[10] Das Treffen von Portfoliooptimierungen ausschließlich mittels der Parameter m und s unterstellt implizit, daß die Renditen der Wertpapiere entweder elliptisch verteilt sind (die Bedingung der Normalverteilung wäre hinreichend, da die Normalverteilung einen Spezialfall der elliptischen Verteilung darstellt) oder dem (repräsentativen) Anleger eine quadratische Risikonutzenfuktion unterstellt wird. Vgl. J. E. Ingersoll Jr., Theory of Financial Decision Making, New Jersey 1987, S. 104-113 i.V.m. J. Drukarczyk, Finanzierungstheorie, München 1980, S. 129-135. Eine Risikonutzenfunktion gibt die Präferenzen von Anlegern hinsichtlich der Kombination von Rendite und Risiko an.

^[11] G. J. Alexander und J. C. Francis, Portfolio Analysis, 3. Aufl., New Jersey 1986, S. 52.

^[12] Vgl. Markowitz, Portfolio Selection, 1991, S. 208.

^[13] Vgl. genauer Kapitel B.I.1.b) und B.I.2.

^[14] Die Anwendungsvoraussetzungen des Bernoulli-Prinzips lassen sich auf bestimmte Axiome über das individuelle Präferenzsystem zurückführen, D. Truxius, Portefeuilleplanung und Risikoverhalten, Thun, Frankfurt am Main 1980, S. 25. Dazu wurden in der Literatur verschiedene Axiomensysteme formuliert. Die bekanntesten Systeme entwickelten v. Neumann/Morgenstern und Luce/Raiffa, die z.B. in: Alexander und Francis, Portfolio Analysis, 1986, S. 10 f. dargestellt werden.

^[15] Truxius, Portefeuilleplanung, 1980, S. 118 i.V.m. S. 94 f.

^[16] L. Perridon und M. Steiner, Finanzwirtschaft der Unternehmung, 9., überarb. und erw. Aufl., München 1997, S. 250.

^[17] Elton und Gruber zeigen, daß auch bei Gestattung von Leerverkäufen die Ergebnisse der Portfoliotheorie abgeleitet werden können, E. J. Elton / M. J. Gruber, Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, 5. Aufl., New York 1995, S. 84 f.

^[18] Im Sinne der Kapitalmarkttheorie versteht man unter Leerverkäufen die Leihe von Aktien von ihren Eigentümern mit sofortigem Verkauf in der Gegenwart. Dies ist möglich, wenn sich ein Investor die Aktien von einem Dritten (i. d. R. Kreditinstitut) leihen kann. Siehe hierzu W. F. Sharpe, G. J. Alexander und J. V. Bailey, Investments, 5. Aufl., New Jersey 1995, S. 29 f.

Entscheidend ist hier jedoch, daß durch das Verbot des Leerverkaufs von Finanztiteln keine negativen Portefeuilleanteile an Wertpapieren bzw. an Portefeuilles zugelassen werden. Andernfalls könnten mit Finanztiteln, deren erwartete Renditen vollkommen positiv korreliert sind, risikolose Portefeuilles gebildet werden. [Die vollständig negative Korrelation wird im Rahmen der folgenden kapitalmarktbezogenen Annahmen ausgeschlossen].

^[19] Einen Überblick zu den kapitalmarktbezogenen Annahmen bietet Truxius, Portefeuilleplanung, 1980, S. 46-49.

^[20] Zu einem vollkommenen Kapitalmarkt fehlen die Verhaltensannahmen über andere Marktteilnehmer, die die Portfolio Selection Theory und das CAPM nicht benötigen.

^[21] Um zu denselben Ergebnissen zu gelangen, kann anstelle der Annahme der Nichtexistenz von Steuern unterstellt werden, daß der persönliche Einkommenssteuersatz dem Veräußerungsgewinnsteuersatz entspricht und daß auf ein Nettoverlust eine symmetrische “negative Einkommenssteuer” erhoben wird, Alexander und Francis, Portfolio Analysis, 1986, S. 107.

^[22] Markowitz, Portfolio Selection, 1991, S. 300.

^[23] Entspricht der Annahme 5 aus: Alexander und Francis, Portfolio Analysis, 1986, S. 51.

^[24] Aktien stellen risikobehaftete Kontrakte dar, die neben Bezugs- und Stimmrechten monetäre Ansprüche an das emittierende Unternehmen in Form der Partizipation am Einzahlungsüberschuß und der Vermögenssubstanz beinhalten, H. Schäfer, Unternehmensinvestitionen, Heidelberg 1999, S. 278. Dabei ist zu beachten, daß die Vermögensgegenstände in den Modellen vereinfachend auf ihre finanzielle Dimension reduziert werden.

^[25] Das Modell der Portfolio Selection nach Markowitz und Tobin wurde auch “nur” für Aktienanlagen konzipiert.

^[26] Entspricht der Annahme 7 aus: Alexander und Francis, Portfolio Analysis, 1986, S. 51. Die Bedingung, daß die risikolose Anlage nicht existiert, ist ungenau. Vielmehr besteht die Restriktion, daß in die risikolose Anlage nicht investiert werden darf.

^[27] Sie ist ein unbestimmtes absolutes Maß dafür, inwiefern sich zwei Zufallsvariablen gleichgerichtet, unabhängig oder entgegengesetzt voneinander entwickeln. In dieser Arbeit beziehen sich diese auf die Erträge bzw. Renditen der Wertpapiere. Da es sich bei der Kovarianz um kein unbenanntes Maß für den linearen Zusammenhang handelt, sind Vergleiche verschiedener Kovarianzen wenig aussagefähig. Durch Standardisierung der Kovarianz erhält man den dimensionslosen Korrelationskoeffizienten, welcher auf das Intervall [-1; +1] normiert ist. (Die Extremfälle –1 und +1 sind bei Wertpapierrenditen allerdings eher theoretischer Natur.) Es handelt sich somit beim Korrelationskoeffizienten um ein relatives Gleichlaufmaß, welches die Höhe der positiven oder negativen linearen Abhängigkeit zwischen zwei Zufallsvariablen (den Renditen zweier Wertpapiere) angibt und somit die Vergleichbarkeit beliebiger Korrelationskoeffizienten ermöglicht.

^[28] Gegenläufige Abweichungen der Renditen zweier Wertpapiere führen zu einer negativen Kovarianz, gleichläufige zu einer positiven.

^[29] Wenn n für die Anzahl der verschiedenen Wertpapiere steht, dann beträgt die Zahl der Kovarianzen n2-n, während jeweils nur n Varianzen zum Portefeuillerisiko beitragen.

^[30] Die Kovarianz im Portefeuillerisiko bewirkt einen Risikoverbund zwischen den Wertpapieren. Dadurch ist eine isolierte Erfassung des Risikos eines Wertpapiers innerhalb eines Portefeuilles nicht mehr möglich.

^[31] Dieses Problem stellt sich natürlich erst in der Modernen Portfolio Theorie, in der mehrere Anlegerziele Berücksichtigung finden. So wird hier [gemäß der oben gemachten Annahme (A2)] das Rentabilitätsziel durch ein (zielkonkurrierendes) Risikovermeidungs- bzw. Risikominimierungsstreben ergänzt und somit grundsätzlich risikoscheues Anlegerverhalten unterstellt. Würde der Anleger hingegen nur das Rentabilitätsziel verfolgen, ließe sich das Anlegerproblem durch ausschließliche Anlage in das Anlageobjekt mit der höchsten Rendite lösen. Dies ist z.B. denkbar, wenn die Geldanlageentscheidung eine Entscheidung unter Sicherheit mit bekannten, zukünftigen Erträgen darstellt, wie etwa beim Vergleich verschiedener, gleichfristiger Festgeldanlagemöglichkeiten bei einem unterstellten Ausfallrisiko von Null.

^[32] Markowitz, Portfolio Selection, 1952, S. 77-92.

^[33] Bei Existenz einer negativen Kovarianz ist es sogar denkbar, jegliches Risiko auszuschalten (bei einem Korrelationskoeffizienten von –1). Dieser Fall wurde jedoch eingangs im Kapital B.I.1.a) ausgegrenzt.

^[34] Das rationale Verhalten ist durch das Bernoulli-Nutzenmaximierungsprinzip gem. Annahme (A4) definiert.

^[35] W. F. Sharpe, Portfolio Theory and Capital Markets, New York 1970, S. 33. Im deutschsprachigen Raum wird diese Kurve als Kurve guter Handlungsmöglichkeiten bezeichnet.

^[36] Zur mathematischen Herleitung der Kurve siehe Elton und Gruber, Modern Portfolio Theory, 1995, S. 119 f.

^[37] Entnommen aus: D. R. Harrington, Modern Portfolio Theory and the Capital Asset Pricing Model, New Jersey 1983, S. 10.

^[38] Die Effizienzkurve kann aber im Spezialfall zweier effizienter Portefeuilles mit einem Korrelationskoeffizienten von +1 auch lineare Segmente enthalten, siehe Sharpe, Portfolio Theory, 1970, S. 52 f.

^[39] Im Extremfall kann das Portfolio mit minimaler Varianz risikolos sein, z.B. wenn es ein risikoloses Anlageobjekt oder zwei Wertpapiere mit einem Korrelationskoeffizienten von –1 mit entsprechender Mischung enthält. Vgl. dazu die Hinweise nach Modellannahme (A7g) in Kap. B.I.1.a).

^[40] Markowitz, Portfolio Selection, 1952, S. 87.

^[41] Die Begrenzung der Effizienzkurve nach unten und oben ist bedingt durch die in diesem Modell von Markowitz annahmegemäße Ausblendung von Leerverkäufen. Bei unbegrenzten Leerverkaufsmöglichkeiten gibt es eine nach unten und oben unbeschränkte Effizienzkurve, Alexander und Francis, Portfolio Analysis, 1986, S. 59.

^[42] Vgl. J. Tobin, Liquidity Preference as Behavior Towards Risk, in: RES, Vol. 25 (1958), S. 65-86.

^[43] Umstritten ist, was mit einer objektiv risikofreien Anlage gemeint ist. In der Literatur wird darunter meist die Form von Treasury Bills verstanden. In der Bundesrepublik kämen als Surrogat am ehesten Bundesobligationen in Frage. Anzumerken bleibt, daß es in der Realität keine ausfallrisikofreie Anlage geben kann, da niemand den Bestand der Erde garantieren kann.

^[44] Die unbeschränkte risikofreie Geldaufnahme impliziert die Nichtexistenz von Marginerfordernissen.

^[45] Aus Gründen der Vereinfachung verzichtet Tobin auf eine Differenzierung zwischen Soll- und Habenzinssätzen. Dies soll die Aussagen des Modells jedoch nicht grundsätzlich gefährden.

^[46] Genau genommen wird mit rf stillschweigend folgendes unterstellt: Es gibt keine risikobehaftete Renditevariable, die im ungünstigsten Fall immer noch eine höhere Rendite als rf bietet; Truxius, Portefeuilleplanung, 1980, S. 48.

^[47] Zur ausführlichen kritischen Diskussion der Annahme bzgl. der Existenz risikofreier Anlagemöglichkeiten, vgl. Kapitel C.II.2.a).

^[48] Dieses Separationstheorem läßt sich aus drei Szenarien -nutzenbedingte Separation, verteilungsbedingte Separation und zeitbedingte Separation- ableiten. Vgl. dazu ausführlich G. Franke, Kapitalmarkt und Separation, in: ZfB, 53. Jg. (1983), Heft 3, S. 240-249. In dieser Arbeit wird auf die verteilungsbedingte Separation abgestellt, d.h. es wird unterstellt, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wertpapierrenditen bestimmte Eigenschaften aufweist.

^[49] In der Literatur findet sich auch der synonyme Ausdruck “Two Fund Separation Theorem”. Eine ausführliche Beschreibung der verschiedenen Formen der Separation-Theoreme kann bspw. Ingersoll, Financial Decision Making, 1987, S. 140-165, entnommen werden.

^[50] Vgl. dazu ausführlich: Alexander und Francis, Portfolio Analysis, 1986, S. 60 –64.

^[51] Anders ausgedrückt: Tobin-Separation besteht, wenn ein Investor bei der Zusammenstellung seines Wertpapierportefeuilles in zwei Schritten vorgehen kann: Zuerst legt er fest, in welchem Verhältnis er verschiedene riskante Wertpapiere kauft; anschließend legt er fest, wieviel Geld er insgesamt in riskanten Wertpapieren und wieviel Geld er risikofrei anlegt.

^[52] W. F. Sharpe, Investments, 3. Aufl., New Jersey 1985, S. 140-143.

^[53] Im Gegensatz zur Effizienzgeraden erfordert die Kapitalmarktgerade des CAPM stets ein marktumfassendes Anlageuniversum und ein für alle Anleger identisches, risikobehaftetes Marktportefeuille, vgl. hierzu auch Kapitel B.II.

^[54] In Anlehnung an: Brealey und Myers, Corporate Finance, 2000, S. 193.

^[55] Bei dem Tangentialpunkt P handelt es sich um einen Gleichgewichtspunkt, der analytisch aus der Funktion der Effizienz- und Kapitalmarktlinie durch Bildung einer Lagrange-Funktion und dem totalen Differential ermittelt wird, Elton und Gruber, Modern Portfolio Theory, 1995, S.98 f.

^[56] Ein risikofreudiger Investor wird sich also zu rf verschulden und durch zusätzliche Investitionen in P sich auf der Geraden in Richtung Z bewegen, während ein risikoaverser Investor sein Geld vorwiegend zum Zinssatz auf risikofreie Anlagen rf anlegt und sich auf der Geraden diesem Zinssatz nähert, wodurch eine Anpassung der Geldanlage an die individuellen Risikopräferenzen erfolgt.

Eine weitergehende instruktive Betrachtung der Folgen der Tobin-Separation findet sich in: Sharpe; Alexander und Bailey, Investments, 1995, S. 245 f.

^[57] Gegenstand der Betrachtungen in dieser Arbeit ist die sogenannte ex-ante Version des CAPM. Unter Berücksichtigung bestimmter Prämissen über den zugrundeliegenden Renditeprozeß kann die ex-ante Version in die empirisch testbare ex-post Version des CAPM transformiert werden, vgl. hierzu z.B. K. Spremann, Wirtschaft, Investition und Finanzierung, 5., vollst. überarb., erg. und akt. Aufl., München 1996, S. 545-547.

^[58] Jack L. Treynor gehört mit seinem unpublizierten Artikel “Towards a Theory of Market Value of Risky Assets (1961)” mit zu den Entwicklern des CAPM.

^[59] Vgl. W. F. Sharpe, Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, in: JF, Vol. 19 (1964), No. 3, S. 425-442. William F. Sharpe wurde im Jahre 1990 mit dem Wirtschaftsnobelpreis ausgezeichnet.

^[60] Vgl. J. Lintner, The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets, in: RES, Vol. 47 (1965), S. 13-37.

^[61] Vgl. J. Mossin, Equilibrium in a Capital Asset Market, in: Econometrica, Vol. 34 (1966), S. 768-783.

^[62] Aus heutiger Sicht wird mit dem CAPM i.d.R. die Version von Sharpe (1964) verbunden. Zur ausführlichen, vergleichenden Gegenüberstellung der drei Modellvarianten, vgl. B. Rudolph, Kapitalkosten bei unsicheren Erwartungen – Das Kapitalmarktmodell und seine Bedeutung für die Theorie der Kapitalkosten, Berlin u.a. 1979, S. 60-125.

^[63] Die Annahme der nicht getätigten Leerverkäufe (A6) ist keine notwendige Annahme, um die Modellaussagen des CAPM abzuleiten. Allerdings ist anzumerken, daß in Deutschland Leerverkäufe von Aktien für Privatanleger verboten sind und diese Annahme insofern realitätsbezogen ist. Elton und Gruber zeigen, daß auch bei Gestattung von Leerverkäufen die Ergebnisse des CAPM abgeleitet werden können, vgl. hierzu: Elton und Gruber, Modern Portfolio Theory, 1995, S. 294-312.

^[64] Angewendet wird dieses deskriptive Modell allerdings auch normativ. Dies zeigt sich sehr deutlich im Bereich der Performancemessung, wo beispielsweise die Anlageergebnisse von Portfoliomanagern mit Hilfe des CAPM beurteilt werden.

^[65] Die Modellannahmen der Portefeuilletheorie wurden in Kap. B.I.1. ausführlich dargestellt.

^[66] Z.B. Sharpe, Investments, 1985, S. 195 f.

^[67] Harrington, Modern Portfolio Theory, 1983, S. 35 f.

^[68] Auch wenn im Schrifttum oft von “homogenen” Erwartungen gesprochen wird, sind stets identische Erwartungen gemeint, Truxius, Portefeuilleplanung, 1980, S. 140.

^[69] Man spricht von einem informationseffizienten Kapitalmarkt, wenn in den herrschenden Marktpreisen der einzelnen Titel alle am Markt verfügbaren Informationen bereits enthalten sind.

^[70] S. A. Ross, R. W. Westerfield und J. F. Jaffe, Corporate Finance, 5. Aufl., Chicago u.a. 1999, 319 f. Insbesondere die Annahme der kostenlosen und sofortigen Informationsbeschaffung und –verarbeitung [Annahme (A7g)] bildet die Grundlage für diese Annahme.

^[71] T. E. Copeland und J. F. Weston, Financial Theory and Corporate Policy, 3. Aufl., New York u.a. 1992, S. 195.

^[72] Eine Nichtberücksichtigung eines Vermögensgegenstandes hätte ein Überschußangebot dieses Aktivums zur Folge, was der Forderung eines Gleichgewichtszustandes widersprechen würde.

^[73] Durch die Annahme (A10) wird unterstellt, daß das Szenario der verteilungsbedingten Separation (vgl. auch Fußnote 5 auf Seite 9) für alle Investoren gleichermaßen zutrifft, wodurch es in Verbindung mit der Annahme, daß der Sollzinssatz dem Habenzinssatz entspricht (siehe A7f), zur sogenannten universellen Separation kommt. Das bedeutet, daß im Kapitalmarktgleichgewicht die Struktur jedes individuellen riskanten Portefeuilles mit der Struktur des über alle Investoren aggregierten riskanten Portfolios übereinstimmt. Dieses aggregierte Portefeuille ist das Marktportefeuille, Franke, Kapitalmarkt und Separation, 1983, S. 240-250 und Spremann, Wirtschaft, 1996, S. 534-537.

^[74] Sharpe, Investments, 1985, S. 149-152.

^[75] Sharpe bezeichnet diese Zweiteilung als Dichotomisierung des Anlagewahlprozesses; Sharpe, Capital Asset Prices, 1964, S. 427.

^[76] Alternativ zu dieser mathematischen Darstellung des systematischen Risikos, welche durch die Kovarianz in Relation zur Varianz des Marktportefeuilles definiert ist, findet sich in der Literatur auch die Darstellung, bei der das systematische Risiko allein durch die Kovarianz repräsentiert wird, vgl. z.B. Drukarczyk, Finanzierungstheorie, 1980, S. 325.

^[77] Zum Beweis und zur Herleitung, siehe z.B. G. Franke und H. Hax, Finanzwirtschaft des Unternehmens und Kapitalmarkt, 4., neu bearb. und erw. Aufl., Berlin u.a. 1999, S. 349-353.

^[78] Trotz der voneinander abweichenden Risikokategorien und der unterschiedlichen Perspektive handelt es sich bei der Kapitalmarktlinie und der Wertpapiermarktlinie lediglich um alternative Darstellungsformen desselben Kapitalmarktgleichgewichts.

^[79] Ross; Westerfield und Jaffe, Corporate Finance, 1999, S. 259-262.

^[80] Copeland und Weston, Financial Theory, 1992, S. 198.

^[81] Entnommen aus: M. Steiner und C. Bruns, Wertpapiermanagement, 7., überarb. und erw. Aufl., Stuttgart 2000, S. 27.