Projektplanung unter dem Gesichtspunkt der gleichmäßigen Ressourcenauslastung

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung

2 Ressourcenplanung im Projekt
2.1 Grundlagen der Projektplanung
2.1.1 Traditionelle Ressourcenarten
2.1.2 Schwankende Verfügbarkeit der Ressourcen
2.1.3 Bearbeitungsmodi von Vorgängen
2.1.4 Struktur- und Zeitanalyse von Projekten
2.2 Ziele der Projektplanung
2.2.1 Verschiedenartigkeit der Projektziele
2.2.2 Terminplanung
2.2.2.1 Anwendung der Netzplantechnikmethode CPM
2.2.2.2 Formulierung eines linearen Programms
2.2.3 Kostenplanung
2.2.4 Kapazitäts- oder Ressourcenplanung
2.2.5 Weitere Planungsziele
2.3 Gleichmäßige Ressourcenauslastung
2.3.1 Mögliche Zielfunktionen
2.3.2 Abgrenzung der Problemstellung

3 Modellansatz ressourcenorientierter Projektplanung
3.1 Vorgehensweise
3.2 Terminplanung
3.2.1 Ermittlung frühestmöglicher und spätestzulässiger Startzeitpunkte von Vorgängen ohne Berücksichtigung von Kapazitätsrestriktionen
3.2.2 Ermittlung frühestmöglicher und spätestzulässiger Endzeitpunkte von Vorgängen unter Berücksichtigung von Kapazitätsrestriktionen
3.3 Gleichmäßige Ressourcenplanung
3.3.1 Grundmodell
3.3.2 Festlegung des Optimalitätskriterium
3.3.3 Reduktion der Variablen
3.3.4 Verallgemeinerung des Modells
3.3.4.1 Berücksichtigung mehrerer Projekte
3.3.4.2 Berücksichtigung weiterer Ressourcenarten
3.3.4.3 Berücksichtigung verschiedener Bearbeitungsmodi
3.3.4.4 Berücksichtigung unterbrechbarer Vorgänge

4 Ermittlung der optimalen Lösung der aufgestellten Modelle
4.1 Überlegungen zum Lösungsaufwand
4.2 Exakte Lösungsverfahren
4.3 Heuristische Lösungsverfahren
4.4 Verwendetes Lösungsverfahren
4.5 Modellierung mit LINGO 6.0
4.6 Ergebnisse

5 Zusammenfassung und Ausblick
5.1 Zusammenfassung
5.2 Ausblick

Literaturverzeichnis

Anhang

Literaturrecherche

LINGO-Modelle und Bildschirmausdrucke

Tabellenverzeichnis

Tabelle 2-1: Netzplantypen

Tabelle 3-1: Gleichmäßigkeitsmaße verschiedener Lösungen

Tabelle 4-1: Vorgangsdauern und Ressourcenverbräuche des Beispielprojekts aus Abbildung 4-11

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 2-1: Verfügbarkeit von Arbeitskräften - Variante 1

Abbildung 2-2: Verfügbarkeit von Arbeitskräften - Variante 2

Abbildung 2-3: Vorgangsknotennetz eines Beispielprojekts

Abbildung 2-4: Kapazitätsbelastungsplan der Ressourcenart 1 [19]

Abbildung 3-1: Erweitertes Beispielprojekt

Abbildung 3-2: Kapazitätsdiagramme

Abbildung 3-3: Transformation des Mehr-Projekt-Falls auf den Ein-Projekt-Fall

Abbildung 3-4: Berücksichtigung partiell-erneuerbarer Ressourcen mittels virtueller Vorgänge

Abbildung 3-5: Berücksichtigung unterbrechbarer Vorgänge

Abbildung 4-1: Tabellenblatt mit eingefügtem LINGO-Modell zur Zeitplanung ohne Kapazitätsrestriktionen

Abbildung 4-2: Tabellenblatt mit geöffnetem LINGO-Modell

Abbildung 4-3: Statusfenster von LINGO

Abbildung 4-4: Beispielprojekt unter Berücksichtigung verschiedener Bearbeitungsmodi

Abbildung 4-5: Kapazitätsbelastungsdiagramm des Beispiels aus Abbildung 4-4

Abbildung 4-6: Beispielprojekt zur Veranschaulichung der Performance

Abbildung 4-7: Kapazitätsbelastungsdiagramm des Beispiels aus Abbildung 4-6

Abbildung 4-8: Beispielprojekt mit zwei beanspruchten Ressourcenarten

Abbildung 4-9: Kapazitätsbelastungsdiagramm des Beispiels aus Abbildung 4-8

Abbildung 4-10: Alternatives Kapazitätsbelastungsdiagramm des Beispiels aus Abbildung 4-8

Abbildung 4-11: Beispielprojekt von zwei auf den Ein-Projektfall zurückgeführten Projekten

Abbildung 5-1: Tabellenblatt mit eingefügtem LINGO-Modell zur Zeitplanung mit Kapazitätsrestriktionen

Abbildung 5-2: Tabellenblatt mit eingefügtem LINGO-Modell zur Ressourcenplanung unter Beachtung von Restriktionen erneuerbarer und nicht-erneuerbarer Ressourcen

Abbildung 5-3: Tabellenblatt mit eingefügtem LINGO-Modell zur Ressourcenplanung unter Beachtung von Restriktionen erneuerbarer und nicht-erneuerbarer Ressourcen und verschiedener Bearbeitungsmodi

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

In ihren Anfängen umfaßte die Netzplantechnik lediglich die Ablauf- und Zeitplanung eines Projekts. Berücksichtigt man, daß die Grundgedanken des modernen Projektmanagements auf die großen Vorhaben der USA während des 2. Weltkrieges zurückgehen [1], so ist dieses unmittelbar einsichtig. Beispielsweise stand bei der Entwicklung der ersten Atombombe die Zeitfrage so stark im Vordergrund, daß Kosten- und Kapazitätsfragen hinter das Ziel einer möglichst schnellen Projektfertigstellung zurücktraten.

Ein detaillierter Zeitplan eines Projekts einschließlich der Ermittlung frühester Zeiten, des kritischen Pfades etc. ist jedoch nutzlos, wenn begrenzt vorhandene Ressourcen die Einhaltung des Plans unmöglich machen. Da Ressourcen im allgemeinen jedoch nur begrenzt vorhanden sind, ist bei der Durchführung von Projekten häufig zu beobachten, daß sie unter Termin- und/oder Kostendruck geraten, weil Engpässe im Vorfeld nicht berücksichtigt wurden. Daher kann die Ablauf- und Terminplanung nicht isoliert betrachtet, sondern muß um die Berücksichtigung anderer Ziele erweitert werden.

Während für die Ablauf- und Terminplanung in den letzten Jahrzehnten verschiedenste Verfahren entwickelt worden sind, erfährt die Berücksichtigung (knapper) Ressourcen zumeist nur eine deskriptive Behandlung. In der einschlägigen Literatur zu Projektmanagement und Netzplantechnik beschränkt sich der Begriff der Kapazitätsplanung dabei beispielsweise meistens auf die Einhaltung der Kapazitätsrestriktionen innerhalb der Zeitplanung [2]. Manchmal schließt sich noch die Ermittlung des Aufwands an, der erforderlich ist, um die einzelnen Vorgänge fertigzustellen, sowie die Erstellung von Belastungsdiagrammen [3]. Der Versuch der Nivellierung (z.B. anhand eines Belastungsdiagramms) des ermittelten Einsatzmittelbedarfs erfolgt jedoch nur selten [4]. Hierbei wird durch die Verschiebung nichtkritischer Vorgänge versucht, Bedarfsspitzen abzubauen, die Kapazitätsüberschreitungen verursachen. Lediglich in [5, 6] werden Modelle eingeführt, in denen der Ressourcenbedarf in verschiedener Form Eingang in die Zielfunktion findet.

Diesen Gedanken will die vorliegende Arbeit aufgreifen und weiterentwickeln. Hierzu wird im zweiten Kapitel zunächst einmal der Ressourcenbegriff näher betrachtet. Neben der Beschreibung verschiedener Ressourcenarten wird dazu auf deren im allgemeinen schwankende Verfügbarkeit sowie auf die Auswirkungen verschiedener Bearbeitungsmodi von Vorgängen auf den Ressourcenverbrauch eingegangen. Anschließend werden einige wichtige Grundlagen der Struktur- und Zeitanalyse von Projekten wiederholt, da sie für die weitere Arbeit von Bedeutung sind.

Im weiteren Verlauf des zweiten Kapitels stehen die verschiedenen Ziele der Projektplanung im Vordergrund. Hierzu gehören in erster Linie die Termin-, Kosten- und Kapazitäts- oder Ressourcenplanung, doch auch auf weitere Planungsziele wird der Vollständigkeit halber eingegangen. Den Abschluß des zweiten Kapitels bildet die Diskussion des Begriffes der gleichmäßigen Ressourcenauslastung wobei die Ableitung eines Maßes für die Gleichmäßigkeit im Vordergrund steht.

Im dritten Kapitel wird ausgehend von einem Beispielprojekt ein Modell zur ressourcenorientierten Projektplanung entwickelt. Hierbei wird zunächst mit einem einfachen Modell zur Zeitplanung ohne Kapazitätsrestriktionen begonnen, das dann sukzessive weiterentwickelt wird. Der Übergang auf ein Modell zur ressourcenorientierten Projektplanung erfolgt dabei zunächst allgemein in dem Sinne, daß keine konkrete Zielfunktion spezifiziert wird. Es werden vielmehr die im zweiten Kapitel vorgestellten Maße für die Gleichmäßigkeit zunächst auf das Beispielprojekt angewendet, um so die Unterschiede der einzelnen Maße zu illustrieren, bevor das im weiteren Verlauf der Arbeit verwendete Maß für eine gleichmäßige Ressourcenauslastung ausgewählt wird.

Das vierte Kapitel beginnt mit einigen einführenden Bemerkungen über die Schwierigkeiten beim Lösen von Optimierungsproblemen sowie exakte und heuristische Verfahren. Daran schließt sich eine kurze Einführung in die im Rahmen der vorliegenden Arbeit für die Lösung der aufgestellten Modelle verwendeten Software LINGO an. Hierauf folgt anhand eines Beispiels die Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung der aufgestellten Modelle unter Verwendung von LINGO und MS Excel (für den Austausch der Eingangs- und Ausgangsdaten), bevor das Kapitel mit einer Analyse der Ergebnisse bei Anwendung der aufgestellten Modelle endet.

Das fünfte Kapitel schließt die Arbeit letztlich mit einer Zusammenfassung und einem Ausblick ab.

2 Ressourcenplanung im Projekt

2.1 Grundlagen der Projektplanung

2.1.1 Traditionelle Ressourcenarten

Ressourcen sind beispielsweise Arbeitskräfte, Maschinen und Materialien, aber auch ein Budget zur Durchführung eines Projekts. Letzteres wird in der einschlägigen Fachliteratur nicht unbedingt als solche betrachtet, doch kann man das Budget als klassisches Beispiel für eine nicht-erneuerbare Ressource, wie sie später in diesem Kapitel beschrieben wird, bezeichnen.

Jede Ressource besitzt in der Regel eine begrenzte Kapazität und wird von den einzelnen Vorgängen in bestimmtem Umfang benötigt. Daher wird im folgenden näher auf die verschiedenen Ressourcenarten eingegangen, die in der Projektplanung gebräuchlich sind [7, 8]. Dies sind zunächst einmal erneuerbare und nicht-erneuerbare Ressourcen.

Erneuerbare Ressourcen besitzen in jeder Periode eine definierte Kapazität. Ein Vorgang, der eine solche Ressource nachfragt, verbraucht dann in jeder Periode, in der er bearbeitet wird, eine bestimmte Menge der zu dieser Periode gehörenden Kapazität. In einer Periode können daher stets nur solche Vorgänge gleichzeitig bearbeitet werden, die zusammen die vorhandene Kapazität nicht überlasten.

Beispiele für erneuerbare Ressourcen sind Arbeitskräfte und Maschinen. Sei die betrachtete Periodenlänge beispielsweise eine Stunde und seien fünf Einheiten des Ressourcentyps "Arbeitskraft" und eine Einheit des Ressourcentyps "Bagger" vorhanden. Dann stehen pro Periode fünf Arbeitsstunden und eine Baggerstunde zur Verfügung, die auf zu bearbeitende Vorgänge verteilt werden können. Ein Vorgang, welcher innerhalb von zwei Stunden von drei Arbeitskräften bearbeitet werden kann, hat dann eine Arbeitskraftnachfrage von drei Einheiten pro Stunde. Er verbraucht während seiner Bearbeitung stets drei Einheiten von den Kapazitäten zweier aufeinander folgender Perioden (sofern der Vorgang nicht unterbrochen werden kann). Gleichzeitig zu diesem Vorgang können nur noch solche Vorgänge bearbeitet werden, die nicht mehr als zwei Arbeitsstunden pro Periode nachfragen, da von den fünf vorhandenen Arbeitskräften nur noch zwei zur Verfügung stehen. Mehrere Vorgänge, die den Ressourcentyp "Bagger" nachfragen, können nicht gleichzeitig bearbeitet werden, da nur eine Einheit je Periode vorhanden ist.

Diese Ressourcenart entspricht den Gebrauchsfaktoren (auch Bestandsfaktoren genannt) in der Produktionstheorie, die mit dem Begriff Gebrauchsfaktoren die Elementarfaktoren bezeichnet, die Nutzungspotentiale darstellen. In der Produktionstheorie wird noch weiter in Gebrauchsfaktoren mit Leistungsabgabe in den Produktionsprozeß und ohne Leistungsabgabe in den Produktionsprozeß unterschieden. Eine Übertragung dieser Unterscheidung auf die ressourcenorientierte Projektplanung erfolgt an dieser Stelle jedoch nicht.

Von einer nicht-erneuerbaren Ressource steht während der gesamten Laufzeit des Projektes nur eine bestimmte begrenzte Menge zur Verfügung. Unabhängig vom Zeitpunkt, zu dem ein Vorgang gestartet wird, der eine solche Ressource nachfragt, konsumiert der Vorgang stets von dieser Menge.

Ein Beispiel für einen solchen nicht-erneuerbaren Ressourcentyp ist das zur Durchführung eines Projektes bereitgestellte Budget. So kostet die Bearbeitung eines Vorgangs in der Regel eine bestimmte Summe, unabhängig davon, zu welchem Zeitpunkt die Bearbeitung begonnen wird.

Wird auch hier versucht, einen Zusammenhang zur Produktionstheorie herzustellen, so entspricht diese Ressource am ehesten den Verbrauchsfaktoren. Als solche werden in der Produktionstheorie Elementarfaktoren bezeichnet, die bei einmaligem Einsatz in der Produktion untergehen oder zu Bestandteilen des neuen Guts werden. Dies entspricht beispielsweise dem Fall, in dem für ein Projekt ein bestimmtes (begrenztes) Kontingent an Rohstoffen zur Verfügung steht. Allerdings entsprechen umgekehrt Verbrauchsfaktoren nicht zwingend nicht-erneuerbaren Ressourcen. Dies wird deutlich, wenn man den Fall betrachtet, daß im Rahmen eines Projektes in jeder Periode beispielsweise stets wieder ein bestimmtes Kontingent an Antriebsenergie zur Verfügung steht. Die in der Produktionstheorie gebräuchliche Unterscheidung in Verbrauchsfaktoren mit substantiellem Eingang in die Produkte und ohne substantiellen Eingang in die Produkte wird hier nicht weiter verfolgt.

Eine dritte Ressourcenart ist die doppelt-beschränkte Ressource, welche eine Mischung aus einer erneuerbaren und einer nicht-erneuerbaren Ressource ist und sich stets durch eine erneuerbare und eine nicht-erneuerbare Ressource modellieren läßt [7].

Als Beispiel diene die beim Hausbau benötigte Steinmenge. Sollen einerseits insgesamt nicht mehr als 50.000 Steine verbaut werden, so kann dies durch eine nicht-erneuerbare Ressource dargestellt werden. Können andererseits aber pro Periode nur 1.000 Steine zur Baustelle transportiert und damit verbraucht werden, wird dies durch eine erneuerbare Ressource modelliert.

2.1.2 Schwankende Verfügbarkeit der Ressourcen

In der betrieblichen Realität sind Ressourcen jedoch nicht immer gleichmäßig verfügbar. Hierbei kann unterschieden werden, ob die gesamte Kapazität einer Ressource während bestimmter Perioden nicht verfügbar ist oder ob die verfügbare Kapazität einer Ressource im Zeitablauf schwankt.

Der erste Fall kann in der Praxis beispielsweise durch geplante Wartungsarbeiten entstehen und kann durch eine erneuerbare Ressource modelliert werden, durch die - wie zuvor dargestellt - der Verbrauch pro Periode beschränkt werden kann.

Der zweite Fall wird in der Praxis beispielsweise durch Pausen von Arbeitskräften (z.B. Essenspausen, Urlaub) hervorgerufen. Als Beispiel sei ein Projekt betrachtet, in dem fünf Arbeitskräfte während eines Arbeitstages von 8.00 Uhr bis 17.00 Uhr zur Verfügung stehen [9]. Machen sämtliche fünf Arbeitskräfte ihre Mittagspause von 12.00 Uhr bis 13.00 Uhr (Periode 13), so ergibt sich für die Verfügbarkeit der Ressource Arbeitskraft die folgende Situation.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2-1: Verfügbarkeit von Arbeitskräften - Variante 1

Dies bedeutet, daß ein nicht-unterbrechbarer Vorgang mit einer Dauer von drei Zeiteinheiten nicht mehr nach der Periode 10 begonnen werden kann. Die betriebliche Realität weist in der Regel jedoch eine größere Flexibilität auf, indem die Arbeitskräfte ihre Mittagspause beispielsweise in der Periode 13 oder 14 machen. Die folgende Abbildung zeigt die Ressourcenverfügbarkeit für den Fall, daß 3 Arbeitskräfte ihre Mittagspause in Periode 13 und 2 Arbeitskräfte ihre Mittagspause in Periode 14 machen. Diese Aufteilung erlaubt es daher, einen nicht-unterbrechbaren Vorgang mit einer Dauer von drei Zeiteinheiten auch noch nach der Periode 10 zu beginnen, wenn der Ressourcenbedarf aus höchstens zwei Arbeitskräften besteht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2-2: Verfügbarkeit von Arbeitskräften - Variante 2

Das Beispiel zeigt, daß es in der Realität häufig nicht sinnvoll ist, die Verfügbarkeit von Ressourcen a-priori festzulegen. Besser ist es, eine Beschränkung der Ressourcenverfügbarkeit während einer Menge von Perioden vorzunehmen (z.B. in den Perioden 13 und 14 stehen insgesamt 5 Arbeitskräfte zur Verfügung). Hieraus folgt, daß die Modellierung der vorhandenen Arbeitskraft als erneuerbare Ressource nur unter ganz speziellen Umständen den tatsächlichen Gegebenheiten entspricht. Auch eine nicht-erneuerbare Ressource führt hier nicht weiter, da diese nur den Verbrauch innerhalb aller Perioden beschränken kann.

Aus diesem Grund wurde mit der partiell-erneuerbaren Ressource eine zusätzliche Ressourcenart vorgestellt [7, 10, 11], die es erlaubt, den Ressourcenverbrauch während einer beliebigen Menge von Perioden einzuschränken. Diese Ressourcenart stellt eine Verallgemeinerung des bisherigen Ressourcenbegriffes dar, da sich alle zuvor vorgestellten Ressourcenarten auch als partiell erneuerbare Ressource darstellen lassen.

Diese Ressourcenart ist durch eine Reihe von Periodenmengen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund zugehörigen Kapazitäten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltengegeben und läßt sich wie folgt schreiben [11]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für das obige Beispiel folgt hieraus r*:=(({9}, 5), ({10}, 5), ({11}, 5), ({12}, 5), ({15}, 5), ({16}, 5), ({17}, 5), ({13, 14}, 5)).

2.1.3 Bearbeitungsmodi von Vorgängen

In der Realität ist weiterhin häufig der Fall anzutreffen, daß für die Bearbeitung eines Vorgangs mehrere alternative Bearbeitungsmodi zur Verfügung stehen [12, 13, 14, 15, 16]. Diese Modi können sich in Dauer und Ressourcenverbrauch voneinander unterscheiden. Beispielsweise könnte eine Baugrube entweder von einer Arbeitskraft mit einem Bagger in zwei Tagen oder von zwei Arbeitskräften mit zwei Baggern an nur einem Tag ausgehoben werden. Der zweite Bearbeitungsmodus besitzt eine kürzere Dauer als der erste, dafür aber einen höheren Ressourcenverbrauch.

Stellt man auch hier wieder einen Zusammenhang mit der Produktionstheorie her, so gelangt man zum Begriff der Technologie. In der Produktionstheorie beschreibt diese alle einem Unternehmen bekannten Produktionsmöglichkeiten. Übertragen auf den Begriff der Bearbeitungsmodi bedeutet dies, daß die verschiedenen bekannten Bearbeitungsmodi für einen Vorgang durch eine Technologie beschrieben werden.

Werden nicht-erneuerbare Ressourcen in einem Projektplanungsproblem betrachtet, so ist dies nur im Zusammenhang mit solchen Vorgängen sinnvoll, zu denen mehrere Bearbeitungsmodi gegeben sind. Nur dann kann durch die Wahl eines Bearbeitungsmodus Einfluß auf den vom Vorgang getätigten Verbrauch bzgl. einer nicht-erneuerbaren Ressource genommen werden. Besitzen die betrachteten Vorgänge eine feste Dauer und einen festen Ressourcenverbrauch, d.h. für sie ist nur ein Bearbeitungsmodus gegeben, so bedeutet dies, daß der von ihnen getätigte Verbrauch an nicht-erneuerbaren Ressourcen feststeht und nicht variiert werden kann. Damit stellt diese Ressourcenart für diese Vorgänge keine sinnvolle Beschränkung dar. Entweder ist die vorhandene Kapazität der Ressource größer oder gleich der Summe der Einzelverbräuche aller Vorgänge und reicht damit aus, oder sie ist es nicht und das Problem damit unlösbar. In beiden Fällen hat der Startzeitpunkt der Bearbeitung eines einzelnen Vorgangs keinen Einfluß auf die Lösbarkeit bzw. Unlösbarkeit des Problems.

2.1.4 Struktur- und Zeitanalyse von Projekten

In den vorangegangenen Kapiteln wurde bereits verschiedentlich der Begriff Vorgang verwendet, der nun näher erläutert werden soll. Zu Beginn der Projektplanung erfolgt in der Regel zunächst die Konstruktion eines Netzplans. Die Basis hierzu bildet die Strukturanalyse, in der das Projekt in einzelne Vorgänge und/oder Ereignisse zerlegt wird. Dabei ist ein Vorgang nach DIN 69900 ein zeiterfordernder Projektteil mit definiertem Anfang und Ende. Ein Ereignis ist nach DIN 69900 hingegen ein definierter Zustand im Projektablauf und bedeutet in der Regel den Abschluß oder den Beginn gewisser Einzeltätigkeiten oder Teilabschnitte des Projektes.

Entscheidet man sich für die Zerlegung in einzelne Vorgänge und faßt das Projekt als eine Menge von Vorgängen mit gewissen Anordnungsbeziehungen auf, so spricht man von einem vorgangsorientierten Projekt. Liegt das Hauptinteresse jedoch auf den Ereignissen und betrachtet man das Projekt als eine geordnete Menge von Ereignissen, so spricht man von einem ereignisorientierten Projekt. Bei vorgangsorientierten Projekten werden der Beginn und die Beendigung jedes Vorgangs als Ereignisse aufgefaßt, während bei ereignisorientierten Projekten die Vorgänge das repräsentieren, was zwischen unmittelbar aufeinander folgenden Ereignissen geschieht [17].

Zur Strukturanalyse gehört weiterhin die Ermittlung der Anordnungsbeziehungen der Ereignisse und Vorgänge zueinander. Dabei ist bei ereignisorientierten Projekten die Ablaufstruktur eindeutig festgelegt, wenn für jedes Ereignis die unmittelbar vorangehenden Ereignisse (oder für jedes Ereignis die unmittelbar nachfolgenden Ereignisse) gegeben sind. Bei vorgangsorientierten Projekten muß dagegen noch definiert werden, was unter der Aufeinanderfolge von zwei Vorgängen zu verstehen ist, d.h. welche Ereignisse der beiden Vorgänge miteinander verknüpft werden sollen. Hierbei bestehen vier Möglichkeiten:

Ende-Start-Beziehung:

Vorgang B kann erst begonnen werden, wenn Vorgang A beendet ist.

Start-Start-Beziehung:

Vorgang B kann erst begonnen werden, nachdem Vorgang A begonnen worden ist.

Start-Ende-Beziehung:

Vorgang B kann erst beendet werden, nachdem Vorgang A begonnen worden ist.

Ende-Ende-Beziehung:

Vorgang B kann erst beendet werden, nachdem Vorgang A beendet worden ist.

Zur Repräsentation des Projekts durch einen Netzplan ist letztlich noch die Wahl der Darstellungsform notwendig. Wird jedem Vorgang eines Projekts ein Pfeil zugewiesen, so spricht man von einer Pfeildarstellung. Hierbei entspricht die Bewertung eines Pfeils der Dauer des zugehörigen Vorgangs und die Knoten des Netzplans repräsentieren die Ereignisse. Bei der Knotendarstellung werden den Vorgängen des Projekts die Knoten des Netzplans zugewiesen. Den Ereignissen entsprechen dann explizit keine Elemente des Netzplans und die Pfeile repräsentieren bei dieser Darstellungsart die Anordnungsbeziehungen zwischen den einzelnen Vorgängen.

Aus der Kombination des Betrachtungsschwerpunkts (vorgangsorientiert, ereignisorientiert) und der Darstellungsart (Pfeildarstellung, Knotendarstellung) ergeben sich drei verschiedene Typen von Netzplänen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2-1: Netzplantypen

Ereignisorientierte Netzpläne mit Knotendarstellung sind in der Praxis ohne Bedeutung, da bei der Knotendarstellung den Ereignissen des Projekts keine Elemente des Netzplans entsprechen.

2.2 Ziele der Projektplanung

2.2.1 Verschiedenartigkeit der Projektziele

In den meisten Projekten ist die Termineinhaltung bzw. Projektdauerminimierung ein wichtiges Erfolgskriterium und in vielen Fällen ist sie sogar von ausschlaggebender Bedeutung. Je schneller z.B. Rationalisierungsmaßnahmen durchgeführt werden, desto eher kann die damit verbundene Kosteneinsparung wirksam werden; je früher eine Investition beendet ist, desto schneller kann der hieraus erwartete Gewinn erzielt werden etc. Auch beim Verkauf von z.B. Investitionsgütern und Dienstleistungen ist die Lieferzeit neben dem Preis und der Qualität ein wichtiger Faktor im Konkurrenzkampf, da die zuvor genannten Argumente auch hier gelten.

Nicht zuletzt auf Grund des überzeugenden Erfolgs der reinen Terminplanungsmethoden der Netzplantechnik hat man versucht, weitere für die Projektplanung wichtige Faktoren, wie Kosten, Kapazität, Zahlungsflüsse und Qualität in die Modelle einzubeziehen. Dieses Bestreben ist verständlich, da eine Projektplanung ausschließlich mit dem Ziel der Termineinhaltung nicht unbedingt den wirtschaftlichen Gesamterfolg garantiert. Die Termineinhaltung ist an sich, wie oben begründet, ein wichtiges Planziel. Andere Ziele, wie z.B. möglichst geringe Projektkosten, günstiger Einsatz von Ressourcen, Optimierung der mit dem Projekt verbundenen Zahlungsflüsse oder Erreichen einer bestimmten Qualität des Produkts, können die Bedeutung der Terminhaltung als alleiniges Ziel jedoch durchaus in Frage stellen.

2.2.2 Terminplanung

2.2.2.1 Anwendung der Netzplantechnikmethode CPM

Die ersten Modelle und Verfahren der Netzplantechnik haben vor allem die Minimierung der Projektdauer und die Einhaltung von Terminen berücksichtigt. Ihr Erfolg ist darin begründet, daß mit ihnen das Problem der reinen Terminplanung und -kontrolle mit dem Ziel der Termineinhaltung und Projektdauerminimierung gut zu lösen ist, was im folgenden kurz am Beispiel der Netzplantechnikmethode CPM gezeigt wird.

Allgemein ermöglicht die Netzplantechnikmethode CPM die Projektüberwachung unter Ermittlung der folgenden Größen:

1. Kürzeste Projektdauer
2. Anfangs- und Endtermine aller Vorgänge
3. Pufferzeiten aller Vorgänge
4. Kritische Vorgänge

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird zur Ermittlung dieser Größen wie auch für den weiteren Verlauf der Arbeit stets angenommen, daß der vorliegende Netzplan topologisch sortiert ist und der Knoten 1 somit die Quelle und der Knoten n die Senke darstellen.

Beginnt das Projekt nun zum Zeitpunkt Null und bezeichne FZi den frühest möglichen Zeitpunkt für den Eintritt des Ereignisses i, so setzt man FZ1: = 0 und es folgt, daß die kürzeste Projektdauer gleich FZn ist.

Für den Projektendtermin T muß T ≥ FZn gelten und man setzt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei SZi den spätestmöglichen Zeitpunkt für den Eintritt des Ereignisses i bezeichnet.

FZi ergibt sich nun aus dem zeitlichen Mindestabstand zwischen dem Projektbeginn und dem Ereignis i und kann gemäß der folgenden Berechnungsvorschrift ermittelt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(2.1)

wobei P(i) die Menge der Vorgänger des Knotens i ist.

Analog hierzu ergibt sich SZi aus dem zeitlichen Mindestabstand zwischen dem Ereignis i und dem Projektende. Die entsprechende Berechnungsvorschrift lautet dann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.2)

wobei S(i) die Menge der Nachfolger des Knotens i ist.

Aufgrund der topologischen Sortierung des Netzplans können die Formeln (2.1) und (2.2) sukzessiv ausgewertet werden und es ergeben sich die Anfangs- und Endtermine aller Vorgänge unter Verwendung der folgenden Formeln:

FAZij = FZi , frühestmöglicher Anfangszeitpunkt von Vorgang <i,j>

FEZij = FZi + Dij , frühestmöglicher Endzeitpunkt von Vorgang <i,j>

SAZij = SZj - Dij , spätestmöglicher Anfangszeitpunkt von Vorgang <i,j>

SEZij = SZj , spätestmöglicher Endzeitpunkt von Vorgang <i,j>

Für die Ermittlung der Pufferzeiten der Vorgänge sowie der kritischen Vorgänge sei an dieser Stelle jedoch aus Platzgründen auf die einschlägige Fachliteratur verwiesen [4, 17].

2.2.2.2 Formulierung eines linearen Programms

Bei der im letzten Abschnitt geschilderten Vorgehensweise handelt es sich um die Anwendung eines Verfahrens zur dynamischen Optimierung, das auf der direkten Auswertung der Bellmanschen Gleichungen beruht. Eigentlich liegt der Terminplanung jedoch ein (in der Regel sehr großes) lineares Programm zugrunde, dessen Optimallösung gesucht wird. Dies läßt sich an dem Beispiel der folgenden Abbildung zeigen, die - im Gegensatz zu der bei der Anwendung der Netzplantechnikmethode CPM üblichen Vorgehensweise - ein einem Beispielprojekt zugeordnetes Vorgangsknotennetz zeigt, wie es in dieser Arbeit stets verwendet wird.

Bei der Quelle 1 und der Senke 5 handelt es sich um Scheinvorgänge mit der Dauer 0 und die Dauern der übrigen 3 Vorgänge betragen jeweils pj. Weiterhin liegt der Darstellung die Annahme von Start-Start-Beziehungen zugrunde.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2-3: Vorgangsknotennetz eines Beispielprojekts

Das lineare Programm für die Terminplanung läßt sich dann schreiben als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.3)

u.d.N. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(2.4)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.5)

Zur Erläuterung des Modells:

- Die Zielfunktion (2.3) minimiert die Summe der frühestmöglichen Startzeitpunkte sämtlicher Vorgänge und führt damit zu einer möglichst frühen Bearbeitung aller Arbeitsgänge sowie zu einem möglichst frühen Projektende.
- Die Nebenbedingungen (2.4) sichern die Einhaltung der (technologischen) Reihenfolgebeziehungen.
- Die Nebenbedingung (2.5) sorgt dafür, daß der Scheinvorgang 1 (mit der Dauer Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten startet, d.h. das Projekt beginnt zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Im weiteren Verlauf der Arbeit wird nun nur noch mit linearen Programmen gearbeitet. Einerseits erlaubt diese Vorgehensweise neben der Berücksichtigung zeitlicher Minimalabstände auch die Berücksichtigung von Maximalabständen zwischen einzelnen Vorgängen. Andererseits gestattet sie die Ergänzung von Nebenbedingungen und einen problemlosen Austausch der Zielfunktion und eröffnet somit ein breiteres Anwendungsfeld als die Netzplantechnikmethode CPM, die lediglich zur Minimierung der Projektdauer eingesetzt werden kann. Für weitere Einzelheiten sei an dieser Stelle auf Kapitel 3 verwiesen.

2.2.3 Kostenplanung

Das vorangegangene Kapitel hatte die sogenannte Zeitplanung zum Thema, wobei jedoch nicht berücksichtigt wurde, daß bei der Realisierung eines Projekts auch Kosten anfallen, die von verschiedenen Faktoren abhängig sind. Werden diese jedoch berücksichtigt, so besteht das Ziel der Kostenplanung grob gesagt nun darin, einen Terminplan zu finden, für den die durch die Wahl eines Terminplans beeinflußbaren Kosten des Projekts minimal sind.

Zum einen sind in diesem Zusammenhang die Vorgangskosten zu nennen, die sich in der Regel aus einem vorgangsdauerabhängigen und einem fixen Anteil zusammensetzen. Beispielhaft kann hier der Transport von Ressourcen (Arbeitskräften, Maschinen etc.) zu einer Baustelle genannt werden. Wird für die Errichtung des Dachstuhls eines Hauses ein Baukran benötigt, so verursacht dessen Transport zur Baustelle beispielsweise Kosten, die unabhängig von der Dauer des eigentlichen Vorgangs (Errichtung des Dachstuhls) sind. Gleiches gilt auch für den Transport des Materials. Die Summe der Vorgangskosten wird auch als direkte Projektkosten bezeichnet. Zum anderen treten auch projektdauerabhängige Kosten auf, die mit der Projektdauer anwachsen und auch als indirekte Kosten bezeichnet werden. Hierzu zählen beispielsweise Kosten, die durch die Projektverwaltung verursacht werden oder auch Opportunitätskosten hinsichtlich weiterer Projekte.

Sind die Vorgangsdauern veränderlich, so stellen die Vorgangskosten im allgemeinen eine (streng) konvexe Funktion der Vorgangsdauer dar, die zwischen einer technologisch bedingten Mindestdauer und der sogenannten Normaldauer schwanken kann [2, 5]. Dies tritt beispielsweise bei der intensitätsmäßigen Anpassung auf, wie sie in der Produktionstheorie beschrieben wird. Hierbei kann die Intensität eines Aggregats zwischen seiner Minimal- und Maximalintensität verändert werden, wobei die Faktorverbrauchsfunktion und somit auch die Kosten im allgemeinen einen U-förmigen Verlauf aufweisen. Dies ist der Fall, wenn ein Aggregat für eine höhere Leistungsabgabe konstruiert wurde und bei Betrieb mit der Minimalintensität die Antriebsenergie nur schlecht ausnutzt. Wird die Intensität erhöht, so fällt die Faktorverbrauchsfunktion bis der optimale Arbeitspunkt erreicht wird und steigt bei einer weiteren Erhöhung der Intensität wieder an, weil beispielsweise zunehmende Reibungswiderstände überwunden werden müssen. Unter der Normaldauer versteht man in diesem Zusammenhang die Vorgangsdauer, bei der die Vorgangskosten minimal sind, d.h. die Vorgangsdauer bei Betrieb im optimalen Arbeitspunkt. Für Vorgangsdauern, die über dieser Minimaldauer liegen, wachsen die Vorgangskosten wieder an und brauchen daher nicht berücksichtigt zu werden. In der Regel werden die Vorgangskosten auf dem Intervall von Mindestdauer bis Normaldauer näherungsweise durch eine lineare Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten beschrieben.

Die projektdauerabhängigen Kosten lassen sich hingegen z.B. mit der linearen Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ausdrücken, wobei c die Fixkosten und d beispielsweise die Opportunitätskosten je Zeiteinheit darstellen. Somit lassen sich die zu minimierenden Gesamtkosten darstellen als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.6)

Unberücksichtigt bleiben bei dieser Beschreibung allerdings die Kosten, die mit der Art eines Belastungsplans verbunden sind und die zum Beispiel durch das Ausmaß der Bedarfsveränderungen bestimmt werden. Diese Kosten hängen weder direkt von der Projektdauer noch von den einzelnen Vorgangsdauern ab. Weiterhin können diese Kosten auch nicht einfach als proportional zur Anzahl oder Summe der Höhe aller Veränderungen angenommen werden, da häufig jede Bedarfsveränderung andere Kosten nach sich zieht. In vielen Fällen können diese Kosten nahezu oder gleich Null sein, wenn beispielsweise auf Ressourcen zurückgegriffen werden kann, die bisher nicht während der gesamten Arbeitszeit produktiv eingesetzt werden konnten. Dies führt somit zu der im folgenden Abschnitt beschriebenen Kapazitäts- oder Ressourcenplanung.

Auf eine weitergehende Betrachtung der Kostenplanung sei an dieser Stelle jedoch verzichtet, da dies weit über den Rahmen der vorliegenden Arbeit hinausginge, so daß der interessierte Leser an dieser Stelle auf weiterführende Literatur zu diesem Thema verwiesen wird [2, 5, 6, 17, 18].

2.2.4 Kapazitäts- oder Ressourcenplanung

Die Bearbeitung von Vorgängen beansprucht Ressourcen (z.B. Arbeitskräfte, Betriebsmittel). Die bisher betrachteten Problemstellungen lassen sich daher dadurch erweitern, daß die für ein Projekt zur Verfügung stehenden Ressourcen explizit in die Analyse einbezogen werden. Stehen diese Ressourcen zu jedem Zeitpunkt in unbeschränkter Höhe bzw. in ausreichendem Maße zur Verfügung, dann könnte man sich bei der Projektplanung ausschließlich auf die Zeit- und Kostenplanung beschränken. Diese Annahme ist jedoch nicht sehr realitätsnah und wird um so unrealistischer (d.h. Ressourcenengpässe sind um so wahrscheinlicher) je mehr sich das Unternehmen, welches das Projekt durchführt, der Vollbeschäftigung (d.h. Kapazitätsauslastung) nähert. In diesem – weitaus häufigeren Fall - ist der Projektablauf unter Berücksichtigung knapper Ressourcen zu planen.

Aber auch in dem Fall ausreichend verfügbarer Ressourcen sollte deren Einsatz derart geplant werden, daß sich eine über den Projektverlauf möglichst gleichmäßige Auslastung ergibt. Das Bemühen, eine gleichmäßige Auslastung der vorhandenen Ressourcen sicherzustellen, wird verständlich, wenn man überlegt, welche Kosten dadurch entstehen können, daß auf Grund eines wechselnden Bedarfs eine permanente Anpassung der Ressourcen notwendig ist und/oder ungenutzte Ressourcen in Kauf genommen werden. Die Kosten für eine ständige Ressourcenanpassung können dabei beispielsweise folgender Art sein:

- Kosten, die durch Zu- oder Abnahme des Ressourcenbedarfs auftreten, wobei das Ausmaß dieser Änderung keinen Einfluß auf die Höhe der Kosten hat
- Kosten, die durch das Ausmaß der Zu- oder Abnahme des Ressourcenbedarfs bedingt sind
- Kosten, die sowohl von der Zu- und Abnahme des Ressourcenbedarfs als auch vom Ausmaß dieser Änderung abhängig sind.
- Kosten, von der Höhe des maximalen Ressourcenbedarfs abhängen
- Kosten, die durch ungenutzte Ressourcen entstehen

Somit erfolgt auch im Fall ausreichend verfügbarer Ressourcen deren Planung in der Regel implizit im Rahmen der Kostenplanung.

Es ist nun die Aufgabe der Kapazitäts- bzw. Ressourcenplanung, die kapazitätsmäßigen Voraussetzungen für einen reibungslosen Ablauf eines Projekts zu schaffen, wobei Kapazitätsüberschreitungen vermieden und insbesondere eine hohe und gleichmäßige Auslastung der verfügbaren Ressourcen sichergestellt werden sollen.

Zur Analyse der Ressourcenauslastung ist nach der Struktur- und Zeitanalyse und ggf. Terminplanung die Aufstellung von Kapazitätsbelastungsplänen für jede Ressourcenart hilfreich, aus denen der Bedarf an den einzelnen Ressourcen in jeder Periode während der gesamten Projektdauer hervorgeht. Die folgende Abbildung zeigt beispielhaft einen solchen Kapazitätsbelastungsplan für ein Beispielprojekt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2-4: Kapazitätsbelastungsplan der Ressourcenart 1 [19]

Um die sich aufgrund einer reinen Terminplanung eventuell ergebenen starken Beschäftigungsschwankungen auszugleichen bzw. Kapazitätsüberschreitungen zu beseitigen, stehen prinzipiell die folgenden Möglichkeiten zur Verfügung:

a) Verschiebung einzelner Vorgänge

a1) unter Ausnutzung der Pufferzeiten

a2) unter Inkaufnahme einer Verlängerung der Projektdauer

b) Unterbrechung einzelner Vorgänge (soweit dies technologisch möglich ist)

c) Zeitliche Ausdehnung oder Komprimierung von Vorgängen (d.h. Änderung einzelner Vorgangsdauern soweit dies technologisch möglich ist) durch Veränderung der eingesetzten Ressourcenmenge

d) Substitution einer Ressourcenart durch eine andere Ressourcenart

Die beiden letztgenannten Möglichkeiten werden in der einschlägigen Fachliteratur [20] häufig auch unter dem Oberbegriff Tradeoff zusammengefaßt und führen zum Konzept der Bearbeitungsmodi. Im Fall c) spricht man von Zeit-Ressourcen-Tradeoffs und im Fall d) von Ressourcen-Ressourcen-Tradeoffs [21]. In der Produktionstheorie entspricht letzterer der Substitutionalität, die dadurch gekennzeichnet ist, daß man Produktionsfaktoren gegenseitig ersetzen kann. Die in der Produktionstheorie gebräuchliche weitergehende Unterscheidung in totale und partielle Substitution wird hier jedoch nicht weiterverfolgt. Sucht man in der Produktionstheorie eine Analogie zum Begriff des Zeit-Ressourcen-Tradeoffs so gelangt man zum Begriff der Intensität und der intensitätsmäßigen Anpassung. Bei der Einbeziehung von Tradeoffs ist zu berücksichtigen, daß die Zusammenhänge häufig weder linear noch proportional sind. Dies bedeutet für den Fall c), daß bei einer Verkürzung der Vorgangsdauer der Ressourcenverbrauch beispielsweise überproportional ansteigt. Für den Fall d) sind die Substitutionsraten in der Regel ungleich eins.

2.2.5 Weitere Planungsziele

Wie eingangs bereits kurz angesprochen wurde, existieren neben der Zeit-, Kosten- und Kapazitäts- bzw. Ressourcenplanung noch weitere Planungsziele, die für den wirtschaftlichen Gesamterfolg eines Projekts durchaus von Bedeutung sind.

Wenn beispielsweise im Projektverlauf signifikante Zahlungsflüsse etwa in Form von Ausgaben für den Start einzelner Vorgänge oder Einnahmen für den erfolgreichen Abschluß von Teilen des Projekts auftreten, ist die Optimierung des Barwerts der Zahlungsflüsse ein mögliches Planungsziel [7, 22].

Ein weiterer wichtiger Faktor für die Projektplanung ist die Qualität. Der Anlaß für eine intensivere Berücksichtigung dieses Faktors und den Entwurf eines Modells bestand in dem Ergebnis einer Studie in den USA. Diese hatte zum Ergebnis, daß für viele Projektmanager die Maximierung der Qualität eines Projekts das wichtigste Ziel ist [7, 23].

2.3 Gleichmäßige Ressourcenauslastung

2.3.1 Mögliche Zielfunktionen

In Kapitel 2.2.4 wurde das Ziel einer gleichmäßigen und hohen Ressourcenauslastung unter Berücksichtigung beschränkt verfügbarer Ressourcen motiviert. Es wurde jedoch noch nicht erwähnt, was genau unter einer gleichmäßigen Ressourcenauslastung zu verstehen ist bzw. wie dieses Ziel quantitativ erfaßt werden kann. Daher werden im folgenden verschiedene Sichtweisen des Begriffs der gleichmäßigen Ressourcenauslastung vorgestellt und jeweils ein mögliches Maß angegeben. Dabei steht rk,t für den Bedarf an der Ressource k (k = 1,...,m) während der Periode [t, t+1[.

Ein mögliches Maß für die Gleichmäßigkeit der Ressourcenauslastung bezieht sich auf den Ressourcenverbrauch je Periode. Die folgende Zielfunktion, in der ck einen Gewichtsfaktor – beispielsweise die Kosten je Einheit der Ressource k – darstellt, beschreibt dann die Summe der maximalen Ressourcenkosten, die es zu minimieren gilt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.7)

Dies ist die Zielfunktion des „Resource Investment Problem“ [14, 19, 24], welches zur Anwendung gelangt, wenn für die Durchführung eines Projekts zunächst einmal teure Ressourcen gekauft werden müssen.

Weiterhin kann auch die Abweichung des Bedarfs einer Ressource k von einem Zielwert Yk als Maß für die Gleichmäßigkeit der Ressourcenauslastung herangezogen werden. Verwendet man auch hier wieder den Gewichtsfaktor ck, so erhält man beispielsweise die folgende Zielfunktion, in der die Überschreitungen des Zielwerts berücksichtigt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.8)

Sollen jegliche Abweichungen vom Zielwert berücksichtigt werden, können die Betrags- oder die Quadratfunktion verwendet werden, so daß sich folgenden Darstellungsweisen der Zielfunktion ergeben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.9)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.10)

Als weitere Ausprägung dieses Maßes findet sich in der Literatur auch die Verwendung der Maximumnorm [5].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.11)

oder

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (2.12)

Ein möglicher und häufig verwendeter Zielwert ist beispielsweise der durchschnittliche Bedarf einer Ressource Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Gleichfalls kann als Zielwert auch die Kapazitätsgrenze einer Ressource Rk verwendet werden, wodurch man zu einem Maß für das Ausmaß ungenutzter Ressourcen und somit die Auslastung der jeweiligen Ressource gelangt.

Letztlich können auch die Schwankungen des Ressourcenverbrauchs zwischen den einzelnen Perioden als Maß für die Gleichmäßigkeit der Ressourcenauslastung herangezogen werden. Wie schon zuvor sind auch hier wieder verschiedene Darstellungsweisen möglich, so daß die folgenden Zielfunktionen zur Anwendung kommen können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit rk,-1 = rk,T = 0 (2.13)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit rk,-1 = rk,T = 0 (2.14)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit rk,-1 = rk,T = 0 (2.15)

Diese Zielfunktion wird beispielsweise häufig verwendet, wenn es sich bei den Ressourcen um Arbeitskräfte handelt und Schwankungen des Arbeitskräfteeinsatzes zwischen den Perioden möglichst gering gehalten werden sollen.

Darüber hinaus sind auch zusammengesetzte Maße möglich, die die bisher vorgestellten Maße kombinieren und mit verschiedener Gewichtung enthalten. Innerhalb der vorliegenden Arbeit werden diese Maße jedoch nicht näher betrachtet.

2.3.2 Abgrenzung der Problemstellung

Prinzipiell ist jedes der im letzten Kapitel vorgestellten Maße als Zielfunktion eines Modells zur Erzielung einer gleichmäßigen Ressourcenauslastung innerhalb der Projektplanung geeignet. Im weiteren Verlauf der vorliegenden Arbeit werden jedoch nur noch die Schwankungen des Ressourcenverbrauchs zwischen den einzelnen Perioden als Maß für die Gleichmäßigkeit der Ressourcenauslastung betrachtet. Wie bereits gesagt wurde, kommt dieses Maß in der Regel zur Anwendung, wenn es sich bei den verschiedenen Ressourcen um Arbeitskräfte mit verschiedenen Qualifikationen handelt und die Schwankungen des Arbeitskräfteeinsatzes zwischen den Perioden möglichst gering gehalten werden sollen.

Für die weiteren Überlegungen seien weiterhin sowohl die Vorgangsdauern als auch die Ressourcennachfragen eines Vorgangs stets ganzzahlige Werte größergleich Null. Dies stellt jedoch keine Einschränkung dar, da es in einer praktischen Anwendung stets ausreicht, Dauern und Nachfragen mit einer endlichen Genauigkeit anzugeben. Weiterhin können durch entsprechende Wahl der Periodenlänge (bzw. Mengeneinheit der Ressource) stets ganzzahlige Dauern (bzw. Nachfragen) erreicht werden.

Durch die zuvor grob beschriebene Problemstellung läßt sich die betriebliche Realität einer Vielzahl von Unternehmen beschreiben, welche die ihnen zur Verfügung stehenden Ressourcen einzelnen Projekten zuweisen müssen.

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