Bewertung von Barriere-Optionen unter Verwendung der Laplace-Transformation
©2001
Diplomarbeit
133 Seiten
Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Einleitung:
Neben den Europäischen Standard-Optionen sind die Barriere-Optionen ein beliebtes Finanzinstrument, insbesondere wegen ihres geringeren Preises gegenüber einer Standard-Option. Während sich der Preis einer Europäische Standard-Option relativ einfach mit Hilfe der Black-Scholes-Formel berechnen lässt, sind bei der Bewertung von Barriere-Optionen andere Hilfsmittel notwendig.
Barriere-Call-Optionen lassen sich auf den Spezialfall des Doppelbarriere-Knock-out-Calls zurückführen. Diese Arbeit leitet eine geschlossene Formel für die Laplace-Transformierte des Preises eines Doppelbarriere-Knock-out-Calls her. Mit Hilfe der numerischen Invertierung der Laplace-Transformation gelangt man dann zum Wert dieser Option.
Diese Methode der Bewertung unter Verwendung der Laplace-Transformation wird mit den Bewertungsmethoden von Kunitomo-Ikeda, mit der Bewertung durch eine Fourier-Reihe und der Bewertung durch Monte-Carlo-Simulation verglichen.
Die in der Studie erwähnte Excel-Applikation ist nicht im Lieferumfang enthalten, da sie für das Verständnis der Studie nicht notwendig ist.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einleitung6
2.Stochastische Basisprozesse14
3.Ein stochastisches Finanzmarktmodell26
3.1Modellbeschreibung26
3.2Bewertung eines zukünftigen Zahlungsanspruchs33
3.3Das spezielle Finanzmarktmodell M0(P,Q)39
4.Zeittransformationen41
4.1Zeittransformationen und Laplace-Transformationen41
4.2Einige Laplace-Transformationen von Verteilungen47
5.Der Preis des Doppelbarriere-A-Calls53
5.1Die Europäische Call-Option und die Black-Scholes-Formel53
5.2Der Doppelbarriere-A-Call und ein Zusammenhang mit dem Europäischen Standard-Call55
5.3Eine explizite Formel für64
5.4Numerische Berechnung73
6.Weitere Bewertungsmethoden77
6.1Die Formel von Kunitomo und Ikeda77
6.2Bewertung mithilfe einer Fourier-Reihe79
6.3Die Monte-Carlo-Simulation80
6.4Vergleich der Methoden81
7.Zusammenfassung und Ausblick84
A.Markov-Prozesse88
B.Weitere Eigenschaften des Wiener-Prozesses91
C.Die Black-Scholes-Formel98
D.Invertierung der Laplace-Transformation100
E.Preise verschiedener Doppelbarriere-A-Calls105
Literatur109
Anlagen: Applikation zur Bewertung116
Neben den Europäischen Standard-Optionen sind die Barriere-Optionen ein beliebtes Finanzinstrument, insbesondere wegen ihres geringeren Preises gegenüber einer Standard-Option. Während sich der Preis einer Europäische Standard-Option relativ einfach mit Hilfe der Black-Scholes-Formel berechnen lässt, sind bei der Bewertung von Barriere-Optionen andere Hilfsmittel notwendig.
Barriere-Call-Optionen lassen sich auf den Spezialfall des Doppelbarriere-Knock-out-Calls zurückführen. Diese Arbeit leitet eine geschlossene Formel für die Laplace-Transformierte des Preises eines Doppelbarriere-Knock-out-Calls her. Mit Hilfe der numerischen Invertierung der Laplace-Transformation gelangt man dann zum Wert dieser Option.
Diese Methode der Bewertung unter Verwendung der Laplace-Transformation wird mit den Bewertungsmethoden von Kunitomo-Ikeda, mit der Bewertung durch eine Fourier-Reihe und der Bewertung durch Monte-Carlo-Simulation verglichen.
Die in der Studie erwähnte Excel-Applikation ist nicht im Lieferumfang enthalten, da sie für das Verständnis der Studie nicht notwendig ist.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Einleitung6
2.Stochastische Basisprozesse14
3.Ein stochastisches Finanzmarktmodell26
3.1Modellbeschreibung26
3.2Bewertung eines zukünftigen Zahlungsanspruchs33
3.3Das spezielle Finanzmarktmodell M0(P,Q)39
4.Zeittransformationen41
4.1Zeittransformationen und Laplace-Transformationen41
4.2Einige Laplace-Transformationen von Verteilungen47
5.Der Preis des Doppelbarriere-A-Calls53
5.1Die Europäische Call-Option und die Black-Scholes-Formel53
5.2Der Doppelbarriere-A-Call und ein Zusammenhang mit dem Europäischen Standard-Call55
5.3Eine explizite Formel für64
5.4Numerische Berechnung73
6.Weitere Bewertungsmethoden77
6.1Die Formel von Kunitomo und Ikeda77
6.2Bewertung mithilfe einer Fourier-Reihe79
6.3Die Monte-Carlo-Simulation80
6.4Vergleich der Methoden81
7.Zusammenfassung und Ausblick84
A.Markov-Prozesse88
B.Weitere Eigenschaften des Wiener-Prozesses91
C.Die Black-Scholes-Formel98
D.Invertierung der Laplace-Transformation100
E.Preise verschiedener Doppelbarriere-A-Calls105
Literatur109
Anlagen: Applikation zur Bewertung116
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
ID 5224
Jochen Backhaus
Bewertung von Barriere-
Optionen unter Verwendung der
Laplace-Transformation
Diplomarbeit
an der Universität Leipzig
Fachbereich Mathematik
November 2001 Abgabe
ID 5224
Backhaus, Jochen: Bewertung von Barriere-Optionen unter Verwendung der Laplace-
Transformation / Jochen Backhaus - Hamburg: Diplomica GmbH, 2002
Zugl.: Leipzig, Universität, Diplom, 2001
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Diplomica GmbH
http://www.diplom.de, Hamburg 2002
Printed in Germany
1
Zusammenfassung
Neben den Europäischen Standard-Optionen sind die sogenannten
pfadabhängigen Optionen ein sehr beliebtes Finanzinstrument. Pfad-
abhängige Optionen lassen sich aufgrund der Abhängigkeit ihrer Aus-
zahlung vom Kursverlauf des zugrunde liegenden Wertpapiers während
der Laufzeit der Option nicht explizit mit der Black-Scholes-Formel be-
werten.
Als wichtiger Vertreter der pfadabhängigen Optionen werden in
dieser Arbeit die Doppelbarriere-Optionen betrachtet. Eine Bewertung
dieser Option kann zum einen mit den expliziten Wahrscheinlichkeiten
des Kursverlaufes durchgeführt werden. Damit erhält man als Wert
der Option eine unendliche Summe von Termen.
Führt man jedoch eine stochastische Zeittransformation des Kurs-
prozesses aus, so erhält man eine geschlossene Formel für die Laplace-
Transformierte des Optionspreises.
Die Invertierung der Laplace-Transformation erfolgt dann mit nume-
rischen Mitteln.
In dieser Arbeit wird zunächst ein Finanzmarktmodell, in wel-
chem der Wertpapierkurs einem geometrischem Wiener-Prozess folgt,
konstruiert und anschlieÿend mithilfe einer Zeittransformation die La-
place-Transformation einer Bewertungsformel für Doppelbarriere-Op-
tionen hergeleitet werden. Die Invertierung der Laplace-Transforma-
tion erfolgt durch die diskrete Fourier-Transformation.
Die Ergebnisse werden mit denen anderer Bewertungsmethoden ver-
glichen.
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
4
1 Einleitung
6
2 Stochastische Basisprozesse
14
3 Ein stochastisches Finanzmarktmodell
26
3.1 Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Bewertung eines zukünftigen Zahlungsanspruchs . . . . . . . . 33
3.3 Das spezielle Finanzmarktmodell M
0
(P, Q)
. . . . . . . . . . 39
4 Zeittransformationen
41
4.1 Zeittransformationen und Laplace-Transformationen . . . . . . 41
4.2 Einige Laplace-Transformationen von Verteilungen . . . . . . . 47
5 Der Preis des Doppelbarriere-A-Calls
53
5.1 Die Europäische Call-Option und die Black-Scholes-Formel . . 53
5.2 Der Doppelbarriere-A-Call und ein Zusammenhang mit dem
Europäischen Standard-Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Eine explizite Formel für () . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Numerische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Weitere Bewertungsmethoden
77
6.1 Die Formel von Kunitomo und Ikeda . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Bewertung mithilfe einer Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . 79
6.3 Die Monte-Carlo-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Vergleich der Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7 Zusammenfassung und Ausblick
84
A Markov-Prozesse
88
B Weitere Eigenschaften des Wiener-Prozesses
91
INHALTSVERZEICHNIS
3
C Die Black-Scholes-Formel
98
D Invertierung der Laplace-Transformation
100
E Preise verschiedener Doppelbarriere-A-Calls
105
Literatur
109
Anlagen: Applikation zur Bewertung
116
SYMBOLVERZEICHNIS
4
Symbolverzeichnis
R
reelle Zahlen
R
+
nichtnegative reelle Zahlen
C
komplexe Zahlen
C(
R
+
)
Menge der stetigen Funktionen
über den nichtnegativen reellen Zahlen
Re(z)
Realteil einer komplexen Zahl
Im(z)
Imaginärteil einer komplexen Zahl
x y := min(x, y)
Minimum zwei reeller Zahlen
cosh(z) :=
1
2
(e
z
+ e
-z
)
Hyperbolische Kosinusfunktion
sinh(z) :=
1
2
(e
z
- e
-z
)
Hyperbolische Sinusfunktion
x := y
Z mit y x < y + 1
kleinste ganze Zahl
[x]
+
:=
x
falls x > 0
0
falls x 0
positiver Anteil einer Zahl
1
A
() :=
1
falls A
0
falls / A
Indikatorfunktion
L
{f (t)} (s) :=
0
e
-st
f (t)dt
Laplace-Transformation von f(t)
F
{f (t)} (s) :=
-
e
-ist
f (t)dt
Fourier-Transformation von f(t)
SYMBOLVERZEICHNIS
5
(, A, P )
Wahrscheinlichkeitsraum
(, A, (A
t
)
t0
, P )
ltrierter Wahrscheinlichkeitsraum
A
t+
:=
s>t
A
s
rechtsseitiger Grenzwert einer Filtration
A
t-
:=
s<t
A
s
linksseitiger Grenzwert einer Filtration
L(X)
Verteilungsgesetz der Zufallsvariable X
N (µ,
2
)
Normalverteilung mit Erwartungswert µ
und Varianz
2
EX P()
Exponentialfunktion mit Parameter
N IG(, , , µ)
Normalinverse-Gauss-Verteilung mit
Parametern , , und µ
Call[t, t
F
, K, S
t
, ]
Preis einer Europäischen Standard-
Call-Option zum Zeitpunkt t mit Fällig-
keitszeitpunkt t
F
, Ausübungspreis K,
Wertpapierkurs S
t
und Volatilität
Call
U,O
[t, t
F
, K, S
t
, µ, ]
Preis einer Doppelbarriere-Call-Option
zum Zeitpunkt t mit den Barrieren U und O,
Fälligkeitszeitpunkt t
F
, Ausübungspreis K,
Wertpapierkurs S
t
, Drift µ und Volatilität
1 EINLEITUNG
6
1 Einleitung
Neben den Europäischen und Amerikanischen Standardoptionen wurden in
den letzten Jahren die so genannten Exotischen Optionen sehr populär.
Während bei den Europäischen Standardoptionen die Auszahlung nur vom
Kurswert des zugrunde liegenden Wertpapiers zum Fälligkeitszeitpunkt ab-
hängt, spielt bei Exotischen Optionen der Kursverlauf des Wertpapiers wäh-
rend der gesamten Laufzeit der Option eine Rolle. Exotische Optionen werden
deshalb auch pfadabhängige Optionen genannt.
Ein wichtiger Vertreter der Exotischen Optionen sind die Barriere-Optio-
nen. Sie spielen insbesondere auf Devisenmärkten eine groÿe Rolle. Gegen-
über Standard-Optionen haben sie den Vorteil eines geringeren Preises, da
sie nur unter bestimmten Bedingungen greifen.
Barriere-Optionen sind neben den bei Europäischen Optionen üblichen
Parametern Fälligkeitszeitpunkt und Ausübungspreis zusätzlich durch Bar-
rieren gekennzeichnet. Entscheidend für den Wert der Barriere-Option ist,
ob der Kursverlauf des zugrunde liegenden Wertpapiers diese vorgegebenen
Barrieren erreicht.
Zunächst kann man auch Barriere-Optionen wie Europäische Optionen
in Call- und Put-Optionen unterscheiden. Call-Optionen geben dem Inha-
ber das Recht, das zugrunde liegende Wertpapier zum Fälligkeitszeitpunkt
zum festgelegten Ausübungspreis zu kaufen, Put-Optionen das Recht zum
Verkaufen. In der Regel werden Call-Optionen angeschat, wenn man mit
steigenden Kursen rechnet, Put-Optionen, wenn man ein Sinken des Kurses
des zugrunde liegenden Wertpapier erwartet.
Nach Anzahl der gegebenen Barrieren unterscheidet man die einfachen
Barriere-Optionen und die Doppelbarriere-Optionen. Im Unterschied zu ein-
fachen Barriere-Optionen, die nur eine Barriere besitzen, sind Doppelbarriere-
1 EINLEITUNG
7
Optionen durch die Angabe einer unteren und einer oberen Barriere charak-
terisiert.
Einfache Barriere-Optionen kann man in Knock-In-, kurz I-Optionen und
Knock-Out-, kurz A-Optionen unterteilen. I-Optionen treten erst in Kraft,
d.h. gewähren eine Auszahlung zum Fälligkeitszeitpunkt, wenn der Kurs des
zugrunde liegenden Assets die Barriere erreicht. A-Optionen werden in die-
sem Fall wertlos.
Weiterhin speziziert man einfache Barriere-Optionen, d.h. I- und A-
Optionen, genauer in Down-, kurz D-Optionen und Up-, kurz U-Optionen.
Bei ersteren liegt der zugrunde liegende Kurswert im Ausgangszeitpunkt
oberhalb der Barriere, die Barriere kann nur durch ein Fallen (down) des
Kurses erreicht werden. Bei letzteren liegt der Ausgangskurs unterhalb der
Barriere und der Kurswert muss steigen (up), um die Barriere zur erreichen.
Mit den Unterscheidungen in Put- bzw. Call-Option, I- bzw. A-Option
und D- bzw. U-Option erhält man 8 verschiedene einfache Barriere-Optionen.
Im folgenden bezeichne K den Ausübungspreis der Option zum Fällig-
keitszeitpunkt t
F
, t
0
0
sei der Ausgabezeitpunkt der Option und S =
(S
t
)
t
0
tt
F
sei der Kursverlauf des zugrunde liegenden Wertpapiers zwischen
Ausgabe- und Fälligkeitszeitpunkt der Option, wobei S
t
den Wertpapierkurs
zum Zeitpunkt t darstellt.
Bezeichne B die Barriere der I- bzw. A-Option und
T
B
:= inf{t > t
0
: S
t
= B}
den ersten Zeitpunkt, in dem der Basiskurs die Barriere der I- bzw. A-Option
erreicht.
Die Auszahlungen der einfachen Barriere-Optionen werden in Tabelle 1
dargestellt.
1 EINLEITUNG
8
Art der Barriere-Option Auszahlung der Op-
tion zum Fälligkeits-
zeitpunkt t
F
Kurs des zugrunde
liegenden
Wertpa-
piers im aktuellen
Zeitpunkt t
0
DI-Call
[S
t
F
- K]
+
1
{T
B
t
F
}
S
t
0
> B
UI-Call
[S
t
F
- K]
+
1
{T
B
t
F
}
S
t
0
< B
DA-Call
[S
t
F
- K]
+
1
{T
B
>t
F
}
S
t
0
> B
UA-Call
[S
t
F
- K]
+
1
{T
B
>t
F
}
S
t
0
< B
DI-Put
[K - S
t
F
]
+
1
{T
B
t
F
}
S
t
0
> B
UI-Put
[K - S
t
F
]
+
1
{T
B
t
F
}
S
t
0
< B
DA-Put
[K - S
t
F
]
+
1
{T
B
>t
F
}
S
t
0
> B
UA-Put
[K - S
t
F
]
+
1
{T
B
>t
F
}
S
t
0
< B
Tabelle 1: Auszahlungen einfacher Barriere-Optionen
Betrachtet man nun einen DI-Call und einen DA-Call, so ergibt sich als
Summe der Auszahlungen
[S
t
F
- K]
+
·
1
{T
B
t
F
}
+ [S
t
F
- K]
+
·
1
{T
B
>t
F
}
= [S
t
F
- K]
+
die Auszahlung eines Standard-Calls.
Allgemein kann man feststellen, dass sich die Auszahlung einer I-Option
als Dierenz zwischen der Auszahlung einer Standard-Option und einer A-
Option darstellen lässt. Es reicht also, sich bei der Bewertung von Barriere-
Optionen auf A-Optionen zu konzentrieren, da der Wert einer Standardoption
leicht mit Hilfe der Black-Scholes-Formel berechnet werden kann.
1 EINLEITUNG
9
Bei Doppelbarriere-Optionen liegt der Basiswert im Ausgangszeitpunkt
zwischen der unteren und der oberen Barriere. Eine Doppelbarriere-A-Option
wird wertlos, sobald der Kurs des zugrunde liegenden Wertpapiers eine der
beiden Barrieren erreicht. Doppelbarriere-I-Optionen sind zu Laufzeitbeginn
wertlos, und werden erst aktiv, wenn der Assetkurs eine der beiden Barrieren
erreicht.
Bezeichne U die untere und O die obere Barriere einer Doppelbarriere-
Option mit U < S
t
0
< O
.
Weiterhin sei
T
U,O
:= inf{t > t
0
: S
t
= U
oder S
t
= O}
der erste Zeitpunkt, in dem der Kurs des zugrunde liegenden Wertpapiers
eine der Barrieren der Doppelbarriere-Option erreicht.
Mit diesen Bezeichnungen ergeben sich die in Tabelle 2 dargestellten Aus-
zahlungen der Doppelbarriere-Optionen.
A-Option
I-Option
Call-Option [S
t
F
- K]
+
1
{T
U,O
>t
F
}
[S
t
F
- K]
+
1
{T
U,O
t
F
}
Put-Option [K - S
t
F
]
+
1
{T
U,O
>t
F
}
[K - S
t
F
]
+
1
{T
U,O
t
F
}
Tabelle 2: Auszahlungen der Doppelbarriere-Optionen
Auch bei den Doppelbarriere-Optionen kann man aufgrund der Beziehun-
gen
[S
t
F
- K]
+
1
{T
U,O
>t
F
}
+ [S
t
F
- K]
+
1
{T
U,O
t
F
}
= [S
t
F
- K]
+
[K - S
t
F
]
+
1
{T
U,O
>t
F
}
+ [K - S
t
F
]
+
1
{T
U,O
t
F
}
= [K - S
t
F
]
+
die Auszahlungen der I-Optionen durch die Auszahlungen der entsprechenden
Standard-Option und der A-Option darstellen.
1 EINLEITUNG
10
Setzt man voraus, dass der zugrunde liegende Wertpapierkurs immer
nichtnegativ ist, so sieht man leicht die Beziehungen lim
U 0
T
U,O
= T
O
und
lim
O
T
U,O
= T
U
.
Setzt man also bei einer Doppelbarriere-A-Option mit den Barrieren U und
O
die untere Barriere U 0, so erhält man eine einfache UA-Option mit der
Barriere O. Lässt man dagegen die obere Barriere O einer Doppelbarriere-A-
Option ins Unendliche streben, so erhält man eine einfache DA-Option mit
der Barriere U. Betrachtet man beide Fälle, also U 0 und O , so
erhält man eine Standard-Option.
Man kann also mit einer Preisformel für Doppelbarriere-A-Optionen alle
anderen Barriere-Optionen bewerten.
Der Preis einer Option entspricht dem Erwartungswert der diskontierten
Auszahlung unter einem bestimmten Wahrscheinlichkeitsmaÿ. D.h. der Preis
zum Ausgabezeitpunkt t
0
errechnet sich als Erwartungswert der diskontierten
Auszahlung der Option unter der Bedingung, dass der Kursprozess keine der
beiden Barrieren erreicht. Der Wert der Option hängt also von T
U,O
, dem
ersten Zeitpunkt, in dem der zugrunde liegende Wertpapierkurs die untere
oder obere Barriere erreicht, ab.
Bei der Optionspreisbildung handelt es sich also um ein Funktional von
T
U,O
, das zu ermitteln ist.
Pfadabhängige Optionen existieren in den verschiedensten Varianten. Ei-
ne der ersten pfadabhängigen Optionen wurde bereits 1979 von Goldman,
Sosin und Gatto (vgl. [33]) vorgestellt. Bei einer Call-Option diesen Typs ent-
spricht der Ausübungspreis dem Minimum des Kurses des zugrunde liegen-
den Wertpapiers über der Laufzeit der Option. Die Bewertung einer solchen
Option kann mit einer Abwandlung des 1973 veröentlichten Black-Scholes-
Modells erfolgen. Levy und Mantion approximieren in [47] den Wert einer
solchen Option durch eine Diskretisierung des Kursverlaufs.
1 EINLEITUNG
11
Zu den wichtigsten Vertretern der pfadabhängigen Optionen gehören ne-
ben den Barriere-Optionen die Asiatischen Optionen, deren Auszahlung vom
durchschnittlichen Kurs des Wertpapiers abhängt. Eigenschaften von Asiati-
schen Optionen im Vergleich zu Standard-Optionen werden von Kemna und
Vorst in [41] gezeigt, eine Bewertung dieser Option erfolgt aber noch mittels
Monte-Carlo-Simulation.
Eine Darstellung des Wertpapierkurses durch Bessel-Prozesse, die man durch
eine Zeittransformation erhält, und eine daraus resultierende geschlossene
Formel zur Darstellung der Laplace-Transformierten des Wertes einer Asiati-
schen Option wurde von Geman und Yor in [26] durchgeführt. Dies wird von
Schröder in [57] und [60] aufgegrien, die inverse Laplace-Transformation
wird dort durch eine Summe von Integralen über Hermitesche Funktionen
und Error-Funktionen dargestellt. Ebenfalls eine Bewertung von Asiatischen
Optionen mithilfe der Laplace-Transformation erfolgt von Donati-Martin,
Ghomrasni und Yor in [18], hier werden im Gegensatz zu [26] die Wert-
papierkurse durch allgemeine Markov-Prozesse dargestellt.
Die Methode der Zeittransformation und damit ein Übergang zur Laplace-
Transformierten des Optionswertes bringt auch bei Barriere-Optionen ei-
ne geschlossene Formel, wie Geman und Yor (vgl. [27] und [28]) zeigen.
Einen ähnlichen Ansatz zur Bewertung von Doppelbarriere-Optionen n-
det sich bei Schröder (vgl. [58]), um jedoch die Invertierung der Laplace-
Transformation zu umgehen, wird hier die Bewertungsformel durch Terme
der Theta-Funktion ausgedrückt.
Eine Erweiterung der Barriere-Option bildet die Pariser Barriere-Option. De-
ren Auszahlung hängt nicht nur vom Erreichen einer Barriere ab, sondern
auch von der Zeitdauer, in der sich der Kurs des Wertpapiers über bzw.
unter der Barriere bendet. Eine Bewertung von Pariser Barriere-Optionen
mithilfe einer Zeittransformation wird von Chesney, Jeanblanc-Picqué und
Yor in [11] diskutiert. Dazu spricht Schröder in [59] analytische Eigenschaf-
ten der Laplace-Transformierten und deren Inversen an.
Eine Vereinheitlichung des Problems der Bewertung von Asiatischen, Barriere-
1 EINLEITUNG
12
und Pariser Barriere-Optionen mithilfe der Laplace-Transformation erfolgte
von Yor, Chesney, Geman und Jeanblanc-Picqué in [68]. Die Lösung zerglie-
dert sich aber wieder in die Teilprobleme.
Neben der Bewertung von pfadabhängigen Optionen, insbesondere Bar-
riere-Optionen, durch eine Zeittransformation, d.h. einer Darstellung der
Laplace-Transformierten des Optionswertes durch eine geschlossene Formel,
wurden auch andere Bewertungsmöglichkeiten entwickelt. Kunitomo und Ike-
da (vgl. [43]) ermitteln den Preis einer Doppelbarriere-Option mithilfe der
Wahrscheinlichkeitsverteilung des Kursverlaufes und dem Erreichen der Bar-
rieren. Pelsser nutzt in [50] ebenfalls die Wahrscheinlichkeitsverteilung des
Kursprozesses, wandelt diese aber in eine Fourier-Reihe um. In beiden Ar-
beiten erhält man als Optionspreis eine unendliche Summe von Termen.
In der vorliegenden Arbeit soll mithilfe einer stochastischen Zeittransfor-
mation eine Bewertungsformel für Doppelbarriere-Optionen hergeleitet wer-
den. Das Vorgehen orientiert sich dabei an [27] und [28]. Die Invertierung der
Laplace-Transformierten soll anschlieÿend auf numerischem Weg erfolgen.
Zunächst werden in Kapitel 2 einige stochastische Prozesse deniert und
ihre grundlegenden Eigenschaften aufgezeigt. Mit diesen Prozessen wird dann
in Kapitel 3 ein Finanzmarktmodell aufgebaut. In Kapitel 4 werden sto-
chastische Prozesse bei einer Zeittransformation zu einem stochastischen
Zeitparameter betrachtet, was bei einer speziellen Zeittransformation der
Laplace-Transformation der Verteilungsfunktion entspricht. Mithilfe der La-
place-Transformation wird dann in Kapitel 5 für das entwickelte Finanz-
marktmodell eine Bewertungsformel für Doppelbarriere-A-Calls hergeleitet,
die in Kapitel 6 mit anderen Bewertungsmethoden verglichen wird.
Weiterhin enthält die vorliegende Arbeit eine von mir entwickelte Appli-
kation für Microsoft Excel, mit welcher eine Bewertung von Doppelbarriere-
1 EINLEITUNG
13
Optionen nach der in dieser Arbeit entwickelten Methode durchgeführt wer-
den kann. Auÿerdem wird der Preis einer Doppelbarriere-Option mit der
Formel von Kunitomo und Ikeda (vgl. [43]) und der Formel von Pelsser (vgl.
[50]) ermittelt, sowie eine Bewertung mit der Monte-Carlo-Simulation vorge-
nommen.
Die Applikation wird in der Anlage vorgestellt und ist auf dem der Arbeit
beiliegenden Datenträger zu nden.
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
14
2 Stochastische Basisprozesse
In diesem Kapitel sollen die in Kapitel 3 zur Modellierung des Finanzmarkt-
modells benötigten stochastischen Prozesse deniert und auf einige Eigen-
schaften eingegangen werden.
Grundlage der Betrachtungen sei zunächst ein Wahrscheinlichkeitsraum
(, A, P )
, wobei der Ereignisraum, A eine -Algebra und P ein Wahr-
scheinlichkeitsmaÿ ist. Auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum werden nun drei
verschiedene stochastische Prozesse deniert, der (einfache) Wiener-Prozess,
der Wiener-Prozess mit Drift und der geometrische Wiener-Prozess, wobei
letztere beiden Funktionale des ersteren sind, und verschiedene Eigenschaf-
ten gezeigt.
Denition 2.1 (Wiener-Prozess)
Ein eindimensionaler Wiener-Prozess W = (W
t
)
t0
bezüglich des Wahr-
scheinlichkeitsmaÿes P ist eine Familie von Abbildungen W
t
:
R auf
einem Wahrscheinlichkeitsraum (, A, P ) mit den Eigenschaften:
(a) W
0
() = x
R P-fast sicher,
(b) die Zuwächse (W
t
- W
s
)
und (W
v
- W
u
)
sind paarweise stochastisch
unabhängig 0 s < t u < v,
(c) die Zuwächse (W
t
- W
s
)
sind normalverteilt mit Mittelwert 0 und Va-
rianz t-s, d.h. L(W
t
- W
s
) = N (0, t - s) s, t
mit t > s,
(d) die Trajektorien t W
t
()
sind stetig ,
d.h. (t W
t
()) C(
R
+
)
.
Gilt W
0
() = 0 P
-fast sicher, so heiÿt W standardisierter Wiener-Prozess.
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
15
Folgerung 2.2
Sei W = (W
t
)
t0
ein Wiener-Prozess mit W
0
= x
.
Dann hat W
t
die Dichtefunktion
f
W
t
(y) =
1
2t
e
-
(y-x)2
2t
(1)
bzw. die Verteilungsfunktion
F
W
t
(y) =
y
-
1
2t
e
-
(z-x)2
2t
dz.
(2)
Beweis
Es gilt:
L(W
t
- W
0
) = L(W
t
- x)
= N (0, t - 0)
nach Denition 2.1(c)
= N (0, t),
(3)
d.h. die Verteilungsfunktion von W
t
- W
0
= W
t
- x
ist
F
W
t
-x
(y) =
1
2t
y
-
e
-
z2
2t
dz
nach (3)
= P (W
t
- x y)
= P (W
t
y + x)
= F
W
t
(y + x).
Daraus folgt die Verteilung von W
t
F
W
t
(y + x) =
1
2t
y
-
e
-
z2
2t
dz
=
1
2t
y+x
-
e
-
(v-x)2
2t
dv
also F
W
t
(u) =
1
2t
u
-
e
-
(v-x)2
2t
dv
und durch Dierenzieren die Verteilungsdichte
f
W
t
(u) =
d
du
F
W
t
(u) =
1
2t
e
-
(u-x)2
2t
.
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
16
Lemma 2.3 (Eigenschaften des Wiener-Prozess)
(vgl. [6, S. 49], [54, S. 20-21]
Sei W = (W
t
)
t0
ein Wiener-Prozess auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (, A, P ).
Dann gilt:
(i) (Zeitliche Homogenität) Für jedes feste s 0 ist (W
t+s
- W
s
)
t0
ein Wiener-Prozess unabhängig vom Kursverlauf bis zum Zeitpunkt s,
und es gilt u s:
L ( W
t+s
- W
s
| W
u
) = L (W
t+s
- W
s
) = L (W
t
)
,
(ii) für jedes x R ist (x + W
t
)
t0
ein Wiener-Prozess,
(iii) (Symmetrie) (-W
t
)
t0
ist ein Wiener-Prozess,
(iv) (Skalierung) (
cW
t/c
)
t0
ist c > 0 ein Wiener-Prozess,
(v) (Zeitumkehrung) Z = (Z
t
)
t0
mit Z
t
:=
0
falls t = 0
tW
1/t
falls t > 0
ist ein Wiener-Prozess.
Denition 2.4 (Wiener-Prozess mit Drift)
Ein Wiener-Prozess mit Drift µ R ist ein stochastischer Prozess W
(µ)
=
(W
(µ)
t
)
t0
mit W
(µ)
t
:= W
t
+ µt,
wobei W = (W
t
)
t0
ein Wiener-Prozess ist.
Folgerung 2.5
Für den Wiener-Prozess mit Drift W
(µ)
mit W
(µ)
0
= x
gilt:
L W
(µ)
t
= N (x + µt, t)
und für die Verteilungsdichte:
f
W
(µ)
t
(y) = f
W
t
(y) · exp
(y - x)µ -
µ
2
t
2
.
(4)
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
17
Beweis
Es ist W
(µ)
t
= W
t
+ µt
.
Für die Verteilungsfunktion gilt:
F
W
(µ)
t
(y) = P (W
t
+ µt y) = P (W
t
y - µt)
= F
W
t
(y - µt) =
1
2t
y-µt
-
e
-
(z-x)2
2t
dz.
Durch Dierenzieren nach y erhält man die Verteilungsdichte von W
(µ)
t
:
f
W
(µ)
t
(y) =
d
dy
F
W
(µ)
t
(y) =
1
2t
e
-
(y-x-µt)2
2t
und daraus die Verteilungsfunktion von W
(µ)
t
:
F
W
(µ)
t
(y) =
1
2t
y
e
-
(z-(x+µt))2
2t
dz
und somit folgt L(W
(µ)
t
) = N (x + µt, t)
.
Weiterhin folgt:
f
W
(µ)
t
(y) =
1
2t
exp
-
(y - x - µt)
2
2t
=
1
2t
exp
-
(y - x)
2
2t
+
2(y - x)µt - µ
2
t
2
2t
=
1
2t
exp
-
(y - x)
2
2t
exp
(y - x)µ -
µ
2
t
2
= f
W
t
(y) · exp
(y - x)µ -
µ
2
t
2
.
Denition 2.6 (Geometrischer Wiener-Prozess)
Sei W = (W
t
)
t0
ein standardisierter Wiener-Prozess. Dann heiÿt X
(,µ)
=
(X
(,µ)
t
)
t0
mit X
(,µ)
t
= x e
W
t
+µt
geometrischer Wiener-Prozess (mit Drift
µ
, Volatilität > 0 und Startpunkt x).
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
18
Lemma 2.7
Der geometrische Wiener-Prozess (X
(,µ)
t
)
t0
besitzt zu jedem Zeitpunkt einen
endlichen Erwartungswert, d.h. E X
(,µ)
t
< t <
und für jeden Start-
punkt x R.
Beweis
E X
(,µ)
t
= E x · e
W
t
+µt
= xe
µt
E e
W
t
= xe
µt
-
e
z
f
W
t
(z)dz
= xe
µt
1
2t
-
e
z
e
-
z2
2t
dz
= xe
µt
1
2t
-
e
-
z2-2zt
2t
dz
= xe
µt
1
2t
-
e
-
(z-t)2-2t2
2t
dz
= xe
µt
e
2t
2
1
2t
-
e
-
(z-t)2
2t
dz
= xe
(µ+
2
2
)t
<
Bemerkung 2.8
Für den geometrischen Wiener-Prozess mit Startpunkt x = 1 gilt:
L(
1
ln X
(,µ)
t
) = L(W
(
µ
)
t
) = N (
µ
t, t).
(5)
.
Lemma 2.9
Seien X = (X
t
)
t0
und X
s
= (X
s
t
)
t0
zwei geometrische Wiener-Prozesse mit
X
t
= x exp (µt + W
t
)
und X
s
t
= exp µt + W
s
t
, wobei W
s
t
:= W
t+s
- W
s
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
19
mit s 0 fest und t 0. Dann gilt für 0 t u:
X
u
= X
t
· X
t
u-t
Beweis
Es ist für 0 t u:
X
u
= x exp (µu + W
u
)
= x exp (µ(t + u - t) + (W
t
+ W
u
- W
t
))
= x exp (µt + W
t
) · exp µ(u - t) + (W
t+(u-t)
- W
t
)
= X
t
· exp µ(u - t) + W
t
u-t
= X
t
· X
t
u-t
Bis jetzt wurden die stochastischen Prozesse auf dem Wahrscheinlichkeits-
raum (, A, P ) betrachtet. Nun soll noch eine Filtration A = (A
t
)
t0
auf dem
Wahrscheinlichkeitsraum existieren, d.h. eine Familie von -Algebren (A
t
)
t0
in , die die Eigenschaft s t A
s
A
t
A s, t 0
erfüllt. Weiterhin
deniert man
A
s+
:=
t>s
A
t
für s 0 und
A
s-
:=
0t<s
A
t
für s > 0.
Es wird also der ltrierte Wahrscheinlichkeitsraum (, A, A, P ) betrachtet,
an den die folgenden drei Bedingungen gestellt werden:
(6)
(B1) A ist P -vollständig, d.h. für jedes A gilt:
existieren A
1
, A
2
A
mit A
1
A A
2
und P (A
1
) = P (A
2
)
,
dann ist A A.
(B2) A
0
enthält alle P -Nullmengen von A.
(B3) A ist rechtsstetig, d.h. A
s
= A
s+
.
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
20
Die in den Denitionen 2.1, 2.4 und 2.6 erklärten Prozesse können nun
auch als an A-adaptierte Prozesse betrachtet werden.
Denition 2.10
Sei X = (X
t
)
t0
ein stochastischer Prozess auf dem ltrierten Wahrschein-
lichkeitsraum (, A, A, P ) mit A = (A
t
)
t0
. X heiÿt an A adaptiert, genau
dann, wenn X
t
A
t
-messbar ist t 0.
Zur Modellierung von Kursprozessen werden stochastische Prozesse mit
bestimmten Eigenschaften benötigt. Ein Kursprozess sollte fair sein, d.h. er
sollte im Durchschnitt wie bei einer risikolosen Verzinsung wachsen, der dis-
kontierte Erwartungswert sollte also dem zuletzt bekannten Wert entspre-
chen. Zur Modellierung dieser Eigenschaften dienen Martingale. Supermar-
tingale sind dagegen Prozesse, die im Durchschnitt wachsen, als Kursprozess
also vorteilhaft für einen Investor sind, Submartingale fallen im Durchschnitt,
sind also unvorteilhaft für einen Investor.
Denition 2.11 (Martingal)
Sei (, A, A, P ) ein ltrierter Wahrscheinlichkeitsraum mit A = (A
t
)
t0
, der
die Bedingungen (6) erfülle. M = (M
t
)
t0
sei ein stochastischer Prozess auf
diesem Wahrscheinlichkeitsraum. M heiÿt Martingal (bzgl. A), wenn t 0
gilt:
(M1) M ist an (A
t
)
t0
adaptiert, d.h. M
t
ist A
t
-messbar t 0,
(M2) E|M
t
| < t 0
,
(M3) E [M
t
|A
s
] = M
s
P
-fast sicher s t.
M heiÿt Supermartingal, wenn (M1), (M2) sowie:
(M3') E[M
t
|A
s
] M
s
P
-fast sicher s t gilt.
M heiÿt Submartingal, wenn (M1), (M2) sowie:
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
21
(M3) E[M
t
|A
s
] M
s
P
-fast sicher s t gilt.
Nun stellt sich die Frage, ob bzw. unter welchen Bedingungen der Wiener-
Prozess und der geometrische Wiener-Prozess Martingale sind, d.h. ob sie zur
Modellierung eines fairen Kursverlaufs eines Wertpapiers geeignet sind.
Satz 2.12
Sei W = (W
t
)
t0
ein adaptierter Wiener-Prozess auf dem ltrierten Wahr-
scheinlichkeitsraum (, A, (A
t
)
t0
, P )
. Dann sind die Zuwächse (W
t
- W
s
)
für
0 s t
unabhängig von A
s
und es ist W ein Martingal bzgl. (A
t
)
t0
.
Beweis
(M1) ist nach Denition von W erfüllt.
(M2) ist erfüllt, da für alle t 0 gilt:
E[|W
t
|] =
-
|z|f
W
t
(z)dz
=
0
zf
W
t
(z)dz +
0
-
(-z)f
W
t
(z)dz
=
0
zf
W
t
(z)dz +
0
zf
W
t
(-z)dz
= 2
0
zf
W
t
(z)dz <
Aufgrund der Endlichkeit des Erwartungswertes des Wiener-Prozesses und
aus Lemma 2.3(i) folgt für 0 s t:
L(W
t
- W
s
|A
s
) = L(W
t
- W
s
|W
u
)
u s
= L(W
t
- W
s
) = N (0, t - s)
(7)
W
erfüllt die Martingaleigenschaft (M3):
Sei s t, dann gilt:
E [ W
t
| A
s
] = E [ W
s
+ (W
t
- W
s
)| A
s
]
= E [ W
s
| A
s
] + E [ W
t
- W
s
| A
s
]
= W
s
- 0 = W
s
,
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
22
da W
s
A
s
-messbar ist und nach (7).
Satz 2.13
Sei W = (W
t
)
t0
ein adaptierter Wiener-Prozess auf dem ltrierten Wahr-
scheinlichkeitsraum (, A, (A
t
)
t0
, P )
. Dann sind die speziellen geometrischen
Wiener-Prozesse
X
(,-
2
2
)
= (X
(,-
2
2
)
)
t0
= (x · e
W
t
-
2
2
t
)
t0
(8)
für > 0 und x R Martingale bzgl. (A
t
)
t0
.
Beweis
Da W an (A
t
)
t0
adaptiert ist, sind dies auch alle X
(,-
2
2
)
. Weiterhin gilt
E[|X
(,-
2
2
)
t
|] = |x| · E[e
W
t
-
2
2
t
] <
nach Lemma 2.7. Also sind (M1) und
(M2) erfüllt.
Sei s < t, dann gilt:
E X
(,-
2
2
)
t
A
s
= E x · e
W
t
-
2
2
t
A
s
= xe
-
2
2
t
E e
W
t
A
s
= xe
-
2
2
t
E e
(W
s
+(W
t
-W
s
))
A
s
= xe
-
2
2
t
E e
W
s
e
(W
t
-W
s
)
A
s
Die Zuwächse W
s
= (W
s
- W
0
)
und (W
t
- W
s
)
des standardisierten Wiener-
Prozesses sind voneinander unabhängig, weiterhin ist W
s
A
s
-messbar und die
Zuwächse eines Wiener-Prozesses sind unabhängig vom bisherigen Verlauf des
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
23
Prozesses. Daraus folgt:
E X
(,-
2
2
)
t
A
s
= xe
-
2
2
t
E e
W
s
A
s
E e
(W
t
-W
s
)
A
s
= xe
-
2
2
t
e
W
s
E e
(W
t
-W
s
)
= xe
-
2
2
t
e
W
s
e
2(t-s)
2
(vergleiche Beweis zu Lemma 2.7)
= x · e
W
s
-
2
2
s
= X
(,-
2
2
)
s
Nun sollen noch einige Bemerkungen zur Konvergenz von Martingalen
folgen.
Lemma 2.14
(Vergleiche [6, S. 8])
Sei M = (M
t
)
t0
ein Sub- oder Supermartingal mit sup
t0
E|M
t
| <
.
Dann existiert M
:= lim
t
M
t
und E|M
| <
.
Für einen beliebigen stochastischen Prozess deniert man noch den Be-
gri der gleichmäÿigen Integrierbarkeit.
Denition 2.15 (Gleichmäÿige Integrierbarkeit)
Sei X = (X
t
)
t0
ein stochastischer Prozess. X heiÿt gleichmäÿig integrierbar,
wenn > 0 c = c( ) > 0 so dass t 0 gilt:
E [|X
t
|, |X
t
| > c] :=
{:|X
t
()|>c}
|X
t
()|dP () <
Folgerung 2.16
Wenn X gleichmäÿig integrierbar ist, dann ist t 0 : E|X
t
| <
.
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
24
Eine Zusammenfassung zur Konvergenz von Martingalen gibt das folgen-
de Theorem.
Theorem 2.17
(Vergleiche [54, S. 68]
Sei (M
t
)
t0
ein Martingal. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
(i) M
:= lim
t
M
t
existiert und es ist E|M
| <
(ii) es existiert eine Zufallsvariable M
mit E|M
| <
, so dass M
t
=
E[M
|A
t
]
(iii) M
t
ist für jedes t 0 gleichmäÿig integrierbar
Oft ist es notwendig, Erwartungswerte von stochastischen Prozessen zu
einem unbestimmten, vom Zufall abhängenden Zeitpunkt zu betrachten. Ein
weiteres Hilfsmittel hierbei ist der Begri der Stoppzeit.
Denition 2.18 (Stoppzeit)
Sei (, A, (A
t
)
t0
, P )
ein ltrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Stoppzeit
bzgl. der Filtration (A
t
)
t0
ist eine Abbildung : [0, ], so dass
{ : () t} A
t
t
.
Gilt nur { : () < t} A
t
t
, so heiÿt optionale Zeit.
Bemerkung 2.19
(Vergleiche [6, S. 3])
(1) Sei (A
t
)
t0
rechtsstetig, d.h. s gilt: A
s
= A
s
+
:=
t>s
A
t
. Dann gilt:
ist Stoppzeit { < t} A
t
t.
(2) A
ist deniert durch
A A
A A
und A { t} A
t
t.
2 STOCHASTISCHE BASISPROZESSE
25
Interessant ist die Eigenschaft eines Martingals, die Martingaleigenschaft
auch beim Übergang zu Stoppzeiten zu behalten.
Theorem 2.20 (Optionales Stoppen)
(vgl. [40, S. 19])
Sei M ein gleichmäÿig integrierbares Submartingal, M
:= lim
t
M
t
. Dann
gilt für alle Stoppzeiten
1
und
2
mit
2
1
:
(a) E [M
1
|A
2
] M
2
P-fast sicher
(b) E [M
1
] E [M
2
] E [M
0
]
.
Ist M ein gleichmäÿig integrierbares Martingal, so gilt in beiden Aussagen
Gleichheit.
Lemma 2.21
Sei M ein Sub- (bzw. Supermartingal) bzgl. (A
t
)
t0
und eine Stoppzeit.
Dann ist (M
t
)
t0
ein Sub- (bzw. Supermartingal) bzgl. (A
t
)
t0
, und es gilt
E [M
t
]
= E[M
0
]
falls M ein Martingal ist
E[M
0
]
falls M ein Submartingal ist
E[M
0
]
falls M ein Supermartingal ist
.
Beweis
Sei eine Stoppzeit, d.h. es ist { t} A
t
t
.
Für s t gilt { s t} = { t} A
t
und für s < t gilt
{ s t} = A
t
. Also gilt s : { s t} A
t
, d.h. es ist s s
eine Stoppzeit und nach Theorem 2.20 folgt die Aussage.
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2001
- ISBN (eBook)
- 9783832452247
- ISBN (Paperback)
- 9783838652245
- DOI
- 10.3239/9783832452247
- Dateigröße
- 1014 KB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Universität Leipzig
- Erscheinungsdatum
- 2002 (März)
- Note
- 1,3
- Schlagworte
- black-scholes-formel finanzmathematik wiener-prozess
