Modellierung und Bewertung von Bonitätsrisiken
©2001
Diplomarbeit
103 Seiten
Zusammenfassung
Inhaltsangabe:Einletung:
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Modellierung und Bewertung von Bonitätsrisiken. Als Bonitätsrisiko (engl.: credit risk bzw. risk of default) wird allgemein die Gefahr verstanden, dass ein Vertragspartner seinen finanziellen Verpflichtungen nicht nachkommt und somit einen finanziellen Verlust beim anderen Vertrags-partner verursacht. Ich beschränke mich in dieser Arbeit auf die Betrachtung der Modelle, bei denen die folgenden Annahmen gelten:
Das betrachtete Gläubigerpapier (die Fremdkapitalposition) ist marktfähig.
Der Handel am Kapitalmarkt ist immer möglich, d.h. es werden nur zeitstetige Modelle (continuous-time models) behandelt.
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Untersuchung der Bewertungsmodelle auf Risikoquellen. Es werden insgesamt 19 Modelle der drei großen Modellgruppen
Strukturelle Modelle, Strukturell-Strategische Modelle sowie Intensitätsbasierte Modelle untersucht. Zuerst wird das Modell charakterisiert und dessen Annahmen vorgestellt, dann erfolgt eine Untersuchung auf Risiken und deren Neutralisierbarkeit. Im Anschluss wird für jedes Modell der Marktpreis des Risikos und die fundamental partial differential equation mit Hilfe der Hamilton-Jacobi-Bellmanschen Gleichung hergeleitet (stochastische dynamische Programmierung).
Gang der Untersuchung:
Die Arbeit ist wie folgt organisiert: In Kapitel 2 werden die verschiedenen Möglich-keiten der Modellierung beleuchtet und die Grundbausteine der Modellierung vor-gestellt. Das Kapitel 3 beschreibt zuerst allgemein die Strukturellen Modelle als Gruppe und geht dann gesondert auf die wichtigsten Modelle dieser Gruppe ein. Im Kapitel 4 werden die Strukturell-Strategischen Modelle allgemein vorgestellt und danach einige wichtige Modelle dieser Gruppe näher beleuchtet. Das Kapitel 5 behandelt die letzte Gruppe von Modellen, die Intensitätsbasierten Modelle. Eine Zusammenfassung der Ergebnisse erfolgt im Kapitel 6. Im Anhang werden
die Ergebnisse der einzelnen Modelle mathematisch hergeleitet. Die Arbeit wurde mit LATEX gesetzt.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
I.AbkürzungsverzeichnisIV
II.SymbolverzeichnisV
III.LiteraturverzeichnisVI
IV.Eidesstattliche ErklärungXVII
1.Einleitung1
2.Bonitätsrisiken4
2.1Allgemeines4
2.2Modellgruppen6
3.Strukturelle Modelle9
3.1Merton (1974)10
3.1.1Berücksichtigung von Coupons13
3.2Black/Cox (1976)14
3.3Geske (1977)15
3.4Ingersoll (1977)17
3.5Shimko et al. (1993)17
3.6Longstaff/Schwartz […]
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Modellierung und Bewertung von Bonitätsrisiken. Als Bonitätsrisiko (engl.: credit risk bzw. risk of default) wird allgemein die Gefahr verstanden, dass ein Vertragspartner seinen finanziellen Verpflichtungen nicht nachkommt und somit einen finanziellen Verlust beim anderen Vertrags-partner verursacht. Ich beschränke mich in dieser Arbeit auf die Betrachtung der Modelle, bei denen die folgenden Annahmen gelten:
Das betrachtete Gläubigerpapier (die Fremdkapitalposition) ist marktfähig.
Der Handel am Kapitalmarkt ist immer möglich, d.h. es werden nur zeitstetige Modelle (continuous-time models) behandelt.
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Untersuchung der Bewertungsmodelle auf Risikoquellen. Es werden insgesamt 19 Modelle der drei großen Modellgruppen
Strukturelle Modelle, Strukturell-Strategische Modelle sowie Intensitätsbasierte Modelle untersucht. Zuerst wird das Modell charakterisiert und dessen Annahmen vorgestellt, dann erfolgt eine Untersuchung auf Risiken und deren Neutralisierbarkeit. Im Anschluss wird für jedes Modell der Marktpreis des Risikos und die fundamental partial differential equation mit Hilfe der Hamilton-Jacobi-Bellmanschen Gleichung hergeleitet (stochastische dynamische Programmierung).
Gang der Untersuchung:
Die Arbeit ist wie folgt organisiert: In Kapitel 2 werden die verschiedenen Möglich-keiten der Modellierung beleuchtet und die Grundbausteine der Modellierung vor-gestellt. Das Kapitel 3 beschreibt zuerst allgemein die Strukturellen Modelle als Gruppe und geht dann gesondert auf die wichtigsten Modelle dieser Gruppe ein. Im Kapitel 4 werden die Strukturell-Strategischen Modelle allgemein vorgestellt und danach einige wichtige Modelle dieser Gruppe näher beleuchtet. Das Kapitel 5 behandelt die letzte Gruppe von Modellen, die Intensitätsbasierten Modelle. Eine Zusammenfassung der Ergebnisse erfolgt im Kapitel 6. Im Anhang werden
die Ergebnisse der einzelnen Modelle mathematisch hergeleitet. Die Arbeit wurde mit LATEX gesetzt.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
I.AbkürzungsverzeichnisIV
II.SymbolverzeichnisV
III.LiteraturverzeichnisVI
IV.Eidesstattliche ErklärungXVII
1.Einleitung1
2.Bonitätsrisiken4
2.1Allgemeines4
2.2Modellgruppen6
3.Strukturelle Modelle9
3.1Merton (1974)10
3.1.1Berücksichtigung von Coupons13
3.2Black/Cox (1976)14
3.3Geske (1977)15
3.4Ingersoll (1977)17
3.5Shimko et al. (1993)17
3.6Longstaff/Schwartz […]
Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
ID 4949
Puhle, Michael: Modellierung und Bewertung von Bonitätsrisiken / Michael Puhle - Hamburg:
Diplomica GmbH, 2002
Zugl.: Passau, Universität, Diplom, 2001
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INHALTSVERZEICHNIS
I
Inhaltsverzeichnis
I
Abk¨
urzungsverzeichnis
IV
II Symbolverzeichnis
V
III Literaturverzeichnis
VI
IV Eidesstattliche Erkl¨
arung
XVII
1 Einleitung
1
2 Bonit¨
atsrisiken
4
2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Modellgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3 Strukturelle Modelle
9
3.1 Merton (1974) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1
Ber¨ucksichtigung von Coupons . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Black/Cox (1976) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Geske (1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Ingersoll (1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Shimko et al. (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Longstaff/Schwartz (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7 Brennan/Schwartz (1980) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.8 Kim et al. (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.9 Briys/de Varenne (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.10 Sa´a-Requejo/Santa-Clara (1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.11 Zhou (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.12 Mason/Bhattacharya (1981) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.13 Weitere Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Strukturell-Strategische Modelle
33
4.1 Leland (1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Leland/Toft (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Anderson et al. (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
INHALTSVERZEICHNIS
II
4.4 Weitere Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Intensit¨
atsbasierte Modelle
39
5.1 Jarrow/Turnbull (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Jarrow/Lando/Turnbull (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Madan/Unal (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Madan/Unal (1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5 Weitere Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Zusammenfassung
48
A Strukturelle Modelle
51
A.1 Allgemeine Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.1.1 Zufallsprozeß der Zustandsvariablen . . . . . . . . . . . . 51
A.1.2 Wertpapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.1.3 Budgetgleichung des repr¨asentativen Investors . . . . . . 53
A.1.4 Die Hamilton-Jacobi-Bellman'sche Gleichung . . . . . . . 55
A.1.5 Die Optimalit¨atsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.1.6 Die Fundamentalgleichung und der Marktpreis des Risikos 58
A.2 Merton (1974) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2.1 Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.3 Black/Cox (1976) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
A.4 Geske (1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.5 Shimko et al. (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.6 Longstaff/Schwartz (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.7 Brennan/Schwartz (1980) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.8 Kim et al. (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A.9 Briys/de Varenne (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.10 Sa´a-Requejo/Santa Clara (1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.11 Zhou (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.12 Mason/Bhattacharya (1981) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
ABK ¨
URZUNGSVERZEICHNIS
III
B Strukturell-Strategische Modelle
74
B.1 Leland (1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B.2 Leland/Toft (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B.3 Anderson et al. (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C Intensit¨
atsbasierte Modelle
76
C.1 Jarrow/Turnbull (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C.2 Madan/Unal (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
C.3 Madan/Unal (1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ABK ¨
URZUNGSVERZEICHNIS
IV
Abk¨
urzungsverzeichnis
BS
Black/Scholes
BSM
Black/Scholes/Merton
CIR
Cox/Ingersoll/Ross
et al.
et allii
f.
folgende
(F)PDE
(fundamental) partial differential equation
grds.
grunds¨atzlich
HJB
Hamilton-Jacobi-Bellman
HJM
Heath/Jarrow/Morton
i.H.v.
in H¨ohe von
i.i.d.
independent, identically distributed
inkl.
inklusive
i.S.v.
im Sinne von
JT
Jarrow/Lando
JLT
Jarrow/Lando/Turnbull
S.
Seite
SDE
stochastic differential equation
s.t.
subject to
u.a.
unter anderem
z.B.
zum Beispiel
z.T.
zum Teil
Symbolverzeichnis
V
Symbolverzeichnis
x
(Momentan-)Drift von x
C
cash outflow pro infinitesimaler Zeiteinheit
^
C
Couponzahlung pro infinitesimaler Zeiteinheit
D
Nennbetrag der Fremdkapitalposition
E
Eigenkapital
F
x
F
x
F
xx
2
F
x
2
F
Wert der betrachteten Fremdkapitalposition
x
Volatilit¨at von x
r
risikofreier Zinssatz
t
Zeitpunkt
V
Marktwert des Unternehmens
T
F¨alligkeit der betrachteten Fremdkapitalposition
1 EINLEITUNG
1
"Wherever there is risk, it must be compensated to the lender by
a higher premium or interest."
1
J. R. McCullough
1
Einleitung
Diese Arbeit besch¨aftigt sich mit der Modellierung und Bewertung von Bo-
nit¨atsrisiken. Als Bonit¨atsrisiko
2
wird allgemein die Gefahr verstanden, dass
ein Vertragspartner seinen finanziellen Verpflichtungen nicht nachkommt und
somit einen finanziellen Verlust beim anderen Vertragspartner verursacht.
3
Bei
einer Anleihe besteht das Bonit¨atsrisiko offensichtlich darin, dass der Emittent
die Anleihe nicht bedienen kann und die Zinszahlungen oder die R¨uckzah-
lung des Nennbetrages am F¨alligkeitstermin somit ausbleiben. F¨ur dieses Ri-
siko muss der Gl¨aubiger entsch¨adigt werden. Dies geschieht i.d.R. durch einen
h¨oheren Zinssatz.
Ich beschr¨anke mich in dieser Arbeit auf die Betrachtung der Modelle, bei
denen die folgenden Annahmen gelten:
· Das betrachtete Gl¨aubigerpapier (die Fremdkapitalposition) ist marktf¨ahig.
· Der Handel am Kapitalmarkt ist immer m¨oglich, d.h. es werden nur
zeitstetige Modelle (continuous-time models) behandelt.
Obwohl im Folgenden aus Vereinfachungsgr¨unden der Terminus "Anleihe" f¨ur
das betrachtete Bewertungssubjekt verwandt wird, gelten die Aussagen allge-
mein f¨ur jede marktg¨angige Fremdkapitalposition. Das entscheidende Kriteri-
um ist, dass der (finanzielle) Anspruch des betrachteten Wertpapiers vorrangig
gegen¨uber Stammaktien des gleichen Unternehmens ist. Ingersoll (1977) hat
es so formuliert: "Throughout this paper the term bond is intended to de-
note any security senior to common stock."
4
Der Terminus "risikofrei" wird
1
zitiert nach Fisher (1959), S. 221
2
engl.: credit risk bzw. risk of default
3
Vgl. Ammann (1998), S. 1
4
Ingersoll (1977), S. 290
1 EINLEITUNG
2
im Folgenden als "frei von Bonit¨atsrisiko" verstanden. Die Begriffe Markt-
wert des Unternehmens und Marktwert des Unternehmensverm¨ogens werden
in dieser Arbeit synonym verwandt. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in
der Untersuchung der Bewertungsmodelle auf Risikoquellen. Außerdem wird
untersucht, welche Risiken neutralisierbar sind bzw. ob die riskante Anleihe
durch am Finanzmarkt gehandelte Wertpapiere dupliziert werden kann. Die
bei den Strukturell-Strategischen Modellen
5
noch hinzukommende Frage der
optimalen Kapitalstruktur ist nicht Schwerpunkt der Arbeit. Deshalb wird auf
diese Gruppe von Modellen auch nur kurz eingegangen.
In dieser Arbeit werden die folgenden Definitionen verwendet:
Definition 1 (Perfekter Kapitalmarkt) Ein Kapitalmarkt wird als perfekt
bezeichnet, wenn keine Transaktionskosten und keine Steuern existieren und
f¨ur alle Investoren gleicher Zugang zu Informationen besteht.
6
Definition 2 (Friktionsloser Kapitalmarkt) Ein Kapitalmarkt ist frikti-
onslos (frictionless), wenn der Handel in stetiger Zeit stattfindet und keine
Restriktionen bzgl. Kreditaufnahme und Leerverk¨aufen existieren. Außerdem
sind der Soll- und Habenzinssatz gleich groß.
7
Die Annahme, dass Soll- und Habenzinssatz gleich groß sind, ist in ¨
Uberein-
stimmung mit Merton (1992)
8
der Definition eines friktionslosen Kapitalmark-
tes zugeordnet worden.
Die Arbeit ist wie folgt organisiert: In Kapitel 2 werden die verschiedenen
M¨oglichkeiten der Modellierung beleuchtet und die Grundbausteine der Mo-
dellierung kategorisiert. Das Kapitel 3 beschreibt zuerst allgemein die Struktu-
rellen Modelle als Gruppe und geht dann gesondert auf die wichtigsten Modelle
dieser Gruppe ein. Im Kapitel 4 werden die Strukturell-Strategischen Modelle
allgemein vorgestellt und danach einige wichtige Modelle dieser Gruppe n¨aher
5
Vgl. Kapitel 4
6
Vgl. Ingersoll (1977), S. 292
7
Vgl. Ingersoll (1977), S. 293
8
S. 284
1 EINLEITUNG
3
beleuchtet. Das Kapitel 5 behandelt die letzte Gruppe von Modellen, die In-
tensit¨atsbasierten Modelle. Eine Zusammenfassung der Ergebnisse erfolgt im
Kapitel 6. Im Anhang A werden die im Kapitel 3 beschriebenen Ergebnisse ma-
thematisch hergeleitet. Gleiches gilt f¨ur die Kapitel 4 und 5, deren Ergebnisse
in den Anh¨angen B und C hergeleitet werden.
2 BONIT ¨
ATSRISIKEN
4
2
Bonit¨
atsrisiken - Modellierungsalternativen
2.1
Allgemeines
Die verschiedenen in den folgenden Kapiteln n¨aher untersuchten z.T. recht
komplexen Modelle lassen sich in Grundbausteine zerlegen, die die Analyse
und das Herausarbeiten von Unterschieden erm¨oglichen bzw. vereinfachen. Alle
Bewertungsmodelle bestehen aus drei Grundbausteinen:
9
1. Dem Zinsstruktur-Prozess.
2. Dem Insolvenz-Prozess (default process oder rating-transition process).
3. Den Annahmen ¨uber die (potentielle) Ausfallh¨ohe und deren Entwick-
lung im Zeitablauf (recovery process oder loss-given-default (LGD)).
zu (1.): Die einfachste Form der Modellierung ist es, eine konstante und flache
Zinsstruktur anzunehmen. Dies wird u.a. im Modell von Merton (1974) getan.
Nachfolgende Modelle verwenden h¨aufig (komplexe) Zinsstrukturmodelle, wie
z.B. Vasicek (1977) oder Heath/Jarrow/Morton (1992).
10
zu (2.): Zuerst muss definiert werden, was unter einem sogenanntes credit-risk
event zu verstehen ist. Insolvenz ist das ultimative Resultat, aber auch eine
Ver¨anderung des Unternehmens-Ratings k¨onnte als solches definiert werden.
Von besonderem Interesse ist der Zeitpunkt, zu dem annahmegem¨aß Insol-
venz eintritt. Er kann durch einen der folgenden Zusammenh¨ange beschrieben
werden:
1. Das Verh¨altnis zwischen Marktwert des Unternehmens und dem Buch-
wert des Fremdkapitals.
2. Das Verh¨altnis zwischen Marktwert des Unternehmens und einer endogen
oder exogen spezifizierten Schwelle (default boundary).
3. Den Sprung eines Poisson-Prozesses.
9
Vgl. Kao (2000), S. 56 bzw. Bohn (1999), S. 2-7
10
Im Folgenden: HJM (1992)
2 BONIT ¨
ATSRISIKEN
5
Außerdem kann noch ber¨ucksichtigt werden, ob die gerade genannten Zusam-
menh¨ange w¨ahrend der gesamten Laufzeit des betrachteten Wertpapiers oder
nur zur F¨alligkeit zu Insolvenz f¨uhren k¨onnen. Merton (1974) nimmt z.B. an,
dass Insolvenz durch das Verh¨altnis zwischen Marktwert des Unternehmens
und dem Buchwert des Fremdkapitals zum F¨alligkeitszeitpunkt des Papiers
beschrieben wird.
Der Marktwert des Unternehmens kann bei Unterstellung des Zusammen-
hangs (1.) bzw. (2.) als
· Diffusions-Prozess,
· Sprung-Prozess oder
· Sprung-Diffusions-Prozess
modelliert werden. Die default boundary wird bei Unterstellung des Zusam-
menhangs (2.) als
· konstant,
· deterministisch oder
· stochastisch
unterstellt.
zu (3.): Recovery rates kann man grds. wie folgt modellieren
11
1. als Funktion des Marktwertes des Unternehmens unter Zuhilfenahme der
Optionseigenschaften des Fremdkapitals oder
2. als exogene Gr¨oße, die mittels historischer Daten oder anhand von be-
obachteten Preisen gesch¨atzt werden muss.
Außerdem finden noch Korrelationen zwischen diesen Prozessen Beachtung.
So k¨onnte z.B. die Ausfallwahrscheinlichkeit mit der Zinsstruktur korrelieren,
11
Vgl. Lando (1997), S. 372
2 BONIT ¨
ATSRISIKEN
6
wenn man annimmt, dass bei einer Rezession die (absolute) H¨aufigkeit von
Insolvenzen zunimmt.
12
2.2
Modellgruppen
In der finanzwissenschaftlichen Literatur unterscheidet man drei Modellgrup-
pen zur Modellierung und Bewertung von Bonit¨atsrisiken:
13
· Strukturelle Modelle (structural models bzw. firm-value based models)
· Strukturell-Strategische Modelle (structural-strategic models)
· Intensit¨atsbasierte Modelle (intensity-based models bzw. reduced-form
models)
Mitunter werden die Strukturellen und Strukturell-Strategischen Modelle als
eine Modellgruppe behandelt.
Die Strukturellen Modelle benutzen firmenspezifische Informationen und be-
handeln Fremdkapital als derivativen Anspruch genauer gesagt als Option
auf den Marktwert des Unternehmens.
14
Die Ausfallwahrscheinlichkeit wird
m.H. des Verh¨altnisses von Marktwert des Unternehmens zum Buchwert des
Fremdkapitals bzw. zu einer exogen spezifizierten Schranke modelliert.
15
12
Vgl. Kao (2000), S. 56
13
Vgl. Sundaresan (2000), S. 1591-1595
14
Vgl. Kao (2000), S. 58
15
Vgl. Kao (2000), S. 58
2 BONIT ¨
ATSRISIKEN
7
Strukturelle Modelle
Zinsstrukturmodell
Prinzipiell sind alle Varianten m¨oglich.
Insolvenzereignis
Insolvenz tritt ein, wenn der Marktwert des Un-
ternehmens unter den Buchwert der Verbindlich-
keiten oder eine andere, exogen spezifizierte Insol-
venzschwelle w¨ahrend der gesamten Laufzeit des
betrachteten Papiers oder nur zum F¨alligkeitszeit-
punkt f¨allt.
Ausfallh¨ohe
Bestimmt durch das obige Verh¨altnis, d.h. als
Funktion des Marktwertes des Unternehmens mo-
delliert.
Grundbausteine bei Strukturellen Modellen
Die Strukturell-Strategischen Modelle ¨ahneln den Strukturellen Modellen sehr.
In dieser Gruppe wird die Ausfallwahrscheinlichkeit ebenfalls unter Zuhilfe-
nahme des Verh¨altnisses von Marktwert des Unternehmens zu einer Schranke
modelliert. Diese Schranke wird jedoch nicht exogen vorgegeben, sondern en-
dogen ermittelt. Sie ist das Resultat eines Optimierungskalk¨uls der Eigent¨umer
des Unternehmens.
Strukturell-Strategische Modelle
Zinsstrukturmodell
Prinzipiell sind alle Varianten m¨oglich.
Die hier betrachteten Modelle gehen von einer kon-
stanten, flachen Zinsstruktur aus.
Insolvenzereignis
Insolvenz tritt ein, wenn der Marktwert des Unter-
nehmens unter eine endogen ermittelte Insolvenz-
schwelle f¨allt.
Ausfallh¨ohe
Bestimmt durch das Verh¨altnis zwischen Markt-
wert des Unternehmens und Buchwert des Fremd-
kapitals (evtl. abzgl. der Insolvenzkosten) oder ein
exogen spezifizierter Betrag.
Grundbausteine bei Strukturell-Strategischen Modellen
2 BONIT ¨
ATSRISIKEN
8
In den Intensit¨atsbasierten Modellen wird der Insolvenzzeitpunkt entweder
durch den (ersten) Sprung eines Poisson-Prozesses oder als Rating-Migrations-
Prozess modelliert. Die recovery rate wird durch eine (prozentuale) Sprungh¨ohe
bei Auftreten des Poisson-Ereignisses beschrieben oder als konstant vorausge-
setzt.
Intensit¨atsbasierte Modelle
Zinsstrukturmodell
H¨aufig HJM (1992)
Bei den hier betrachteten Modellen gehe ich aus
Konsistenzgr¨unden von dem Modell von Vasicek
(1977) aus, das ein Spezialfall von HJM (1992) ist.
Insolvenzereignis
Insolvenz wird als der erste Sprung eines Poisson-
Prozesses der Intensit¨at modelliert, wobei die-
se konstant oder stochastisch sein kann.
16
Ein
Spezialfall der Intensit¨atsbasierten Modelle sind
die Rating-Transition-Models, bei denen Insolvenz
durch Rating- ¨
Anderungen modelliert wird.
Ausfallh¨ohe
Bestimmt durch einen exogen spezifizierten Be-
trag.
Grundbausteine bei Intensit¨atsbasierten Modellen
3 STRUKTURELLE MODELLE
9
3
Strukturelle Modelle
Die Entwicklungsgeschichte dieser Modelle begann mit der Ver¨offentlichung
der Optionspreismodelle von Black/Scholes (1973) und Merton (1973). Die
Autoren haben darin schon festgestellt, dass ihre Theorie nicht nur auf da-
mals (wirtschaftlich) weitgehend unbedeutende Optionen, sondern auch auf
Fremdkapitalpositionen von Unternehmen angewendet werden kann.
17
Der Na-
me "Strukturelle Modelle" hat sich etabliert, da man in ihnen die Kapitalstruk-
tur des Unternehmens modelliert.
18
Die Strukturellen Modelle behandeln das Eigenkapital des (verschuldeten) Un-
ternehmens als Kaufoption auf den Markwert des Unternehmensverm¨ogens mit
einem Basispreis in H¨ohe des Buchwertes der Verbindlichkeiten der in Mo-
dellen mit einfacher Kapitalstruktur dem Nennwert der betrachteten Anleihe
entspricht.
19
Die Aktion¨are (Eigent¨umer) k¨onnen bei F¨alligkeit die volle Kon-
trolle ¨uber das Unternehmen zur¨uckkaufen, indem sie den "Aus¨ubungspreis"
D an die Gl¨aubiger zahlen.
20
Der Wert einer riskanten
21
Anleihe bestimmt
sich demzufolge als Wert eines ansonsten identischen risikofreien Anleihe
abz¨uglich des Preises einer Verkaufsoption, die implizit an die Aktion¨are ver-
kauft wird.
22
An dieser Stelle sei noch auf einen Unterschied zwischen Optionen und Un-
ternehmenswertpapieren (corporate securities) hingewiesen:
23
Typischerweise
haben weder der K¨aufer noch der Emittent (writer) einer Option die Kon-
trolle ¨uber das underlying. Bei dem hier betrachteten Fall hat jedoch das
Management eines Unternehmens und somit die Aktion¨are eine gewis-
se Kontrolle ¨uber das Unternehmensverm¨ogen. Das kann die Bewertung der
Unternehmensanleihen beeinflussen. Beispielsweise kann das Management das
17
Vgl. Merton (1973), S. 143; Black/Scholes (1973), S. 649
18
Vgl. Ammann (1998), S. 57
19
Vgl. Bohn (1999), S. 7
20
Ingersoll (1987), S. 418
21
i.S.v. Bonit¨atsrisiko
22
Vgl. Kao (2000), S. 58
23
Vgl. Ingersoll (1987), S. 420
3 STRUKTURELLE MODELLE
10
Risiko des Unternehmensverm¨ogens ¨andern, indem es eine andere Investitions-
politik betreibt.
Insolvenz tritt in diesen Modellen ein, wenn der Marktwert des Unternehmens
V den Buchwert der Schulden D bzw. eine andere Insolvenz-Schranke (default
barrier oder lower reorganization boundary) evtl. nur zum F¨alligkeitszeit-
punkt des Fremdkapitals unterschreitet.
24
Mit anderen Worten: Strukturelle
Modelle erhalten den Insolvenzprozess, indem sie den Marktwert des Unterneh-
mens relativ zu den Unternehmensverbindlichkeiten modellieren.
25
Die Insol-
venzschranke, die als konstant, deterministisch oder stochastisch angenommen
werden kann, ist eine exogene Gr¨oße.
26
Die Insolvenzquote (recovery rate) ist
in diesen Modellen eine Funktion des Marktwertes des Unternehmens.
Der Input eines Strukturellen Modells besteht aus Informationen ¨uber den
Marktwert des Unternehmens und dessen Volatilit¨at.
27
Das stellt jedoch ein
praktisches Problem dar, da der Marktwert des Unternehmensverm¨ogens prin-
zipiell nicht beobachtbar ist.
In den folgenden Abschnitten werden die wichtigsten Strukturellen Modelle
vorgestellt. Der Hauptaugenmerk liegt darauf, die inh¨arenten Risiken zu cha-
rakterisieren und diese auf Neutralisierbarkeit zu untersuchen, den Marktpreis
des Risikos zu extrahieren und die von der riskanten Anleihe zu erf¨ullende par-
tielle Differentialgleichung (FPDE) zu bestimmen. Die mathematischen Her-
leitungen finden sich im Anhang A.
3.1
Merton (1974)
Charakterisierung und Annahmen
Merton (1974) war der erste, der die Optionspreistheorie auf Fremdkapital-
positionen von Unternehmen angewandt hat.
28
Er behandelt den einfachsten
24
Vgl. Sundaresan (2000), S. 1591
25
Vgl. Ammann (1998), S. 57
26
Vgl. Sundaresan (2000), S. 1591
27
Vgl. Sundaresan (2000), S. 1591
28
Black/Scholes (1973) haben ebenfalls konstatiert, dass dies prinzipiell m¨oglich ist.
3 STRUKTURELLE MODELLE
11
Fall einer Kapitalstruktur. Das Unternehmen ist durch Eigenkapital und einen
Zero-Bond F (V, t) der Laufzeit = F¨alligkeit T und dem Nennwert D finanziert.
Insolvenz tritt ein, wenn bei F¨alligkeit der Anleihe
29
der Marktwert des Un-
ternehmens unterhalb des Nennwertes der Anleihe liegt, und diese somit nicht
bedient werden kann. Wenn das geschieht, ¨ubernehmen die Gl¨aubiger das Fir-
menverm¨ogen. Die Insolvenzquote ist somit eine Funktion des Marktwertes des
Unternehmens zum F¨alligkeitszeitpunkt und der LGD die Differenz zwischen
ihm und dem Nennwert der Anleihe D. Es werden die folgenden Annahmen
getroffen:
30
· Mit der Insolvenz sind keine Kosten verbunden.
31
· Der Kapitalmarkt ist perfekt und friktionslos.
· Das Modigliani-Miller-Theorem der Invarianz des Unternehmenswertes
vom Verschuldungsgrad gilt.
32
· Die Zinsstruktur ist konstant, flach und bekannt.
· Der Marktwert des Unternehmens V folgt einem stochastischen Pro-
zess
33
, der durch folgende stochastische Differentialgleichung (SDE) be-
schrieben wird:
dV =
V
V dt +
V
V dz
V bezeichnet den Marktwert des Unternehmens.
V
ist die Momen-
tandrift
34
der prozentualen Ver¨anderung von V und
V
die (konstante)
Volatilit¨at
35
. z ist ein Wiener Prozess.
36
29
also zum Zeitpunkt T
30
Vgl. Merton(1974), S. 450
31
Vgl. Jarrow/Turnbull (2000a), S. 276
32
Vgl. Modigliani/Miller (1958)
33
genauer gesagt ein It^o-Prozess
34
Der deterministische Teil der Ver¨anderung von V
35
Der stochastische Teil der Ver¨anderung von V
36
Die Begriffe Wiener Prozess und Brownsche Bewegung werden hier synonym verwandt.
3 STRUKTURELLE MODELLE
12
· Das Unternehmen sch¨uttet bis zur F¨alligkeit keine Dividenden aus.
37
Die essentiellen Annahmen sind der zeitstetige Handel sowie der stochastische
Prozess des Marktwertes des Unternehmens.
38
Risiken
Das System "Kapitalmarkt" wird von einer Zustandsvariablen dem Markt-
wert des Unternehmens V beeinflusst, da von einer konstanten (und flachen)
Zinsstruktur ausgegangen wird.
39
Als Unsicherheitsquelle fungiert eine (ein-
dimensionale) Brownsche Bewegung z. Auf dem Kapitalmarkt werden an-
nahmegem¨aß der Marktwert des Unternehmens V und die riskante Anleihe
F (V, t) gehandelt. Außerdem existiert ein risikofreies Geldmarktkonto (money
market account) M(t). Der Markt ist somit komplett, da die Anzahl der Un-
sicherheitsquellen (R = 1)
40
gleich der Anzahl der gehandelten Wertpapiere
underlying assets ohne das Geldmarktkonto (L = 1) ist.
41
Das Papier F (V, t)
kann demzufolge dupliziert und das Bonit¨atsrisiko dynamisch gehedgt
42
wer-
den. F ist somit redundant. Der repr¨asentative Investor kann ein risikoloses
Portfolio aus V , F und M konstruieren.
Marktpreis des Risikos und FPDE
Jeder derivative Anspruch (contingent claim), dessen Wert nur vom Markt-
wert des Unternehmens V und der Zeit t abh¨angt, muss die folgende partielle
Differentialgleichung
43
erf¨ullen:
44
1
2
F
V V
V
2
2
V
+ F
V
V (
V
-
V
) + F
t
- r F = 0
(1)
37
Vgl. Jarrow/Turnbull (2000a), S. 277
38
Merton (1992), S. 399
39
Zinsrisiko besteht somit nicht.
40
Eine Brownsche Bewegung
41
Vgl. Bj¨ork (1998), S. 106, Meta-theorem 7.3.1
42
i.S.v. neutralisiert werden
43
fundamental partial differential equation (FPDE)
44
Mathematische Herleitung siehe Anhang A.2
3 STRUKTURELLE MODELLE
13
F
X
bezeichnet partielle Ableitungen von F nach X.
45
Der Marktpreis des Ri-
sikos ist in diesem Modell:
=
V
- r
V
(2)
Die sogenannte Black/Scholes-PDE erh¨alt man durch Einsetzen von (2) in (1).
Siel lautet:
1
2
F
V V
V
2
2
V
+ F
V
V r + F
t
- r F = 0
(3)
3.1.1
Ber¨
ucksichtigung von Coupons
Merton (1974) erweitert den Modellrahmen noch um die Ber¨ucksichtigung von
Couponzahlungen. Dies erfordert eine ge¨anderte SDE f¨ur V :
dV = (
V
V - C(V, t))dt +
V
V dz
(4)
Wobei C(V, t) die stetigen Auszahlungen an die Anleihenhalter bezeichnet. F¨ur
den Fall stetiger Couponzahlungen C(V, t) sieht die FPDE folgendermaßen
aus:
46
1
2
F
V V
V
2
2
V
+ F
V
[(
V
-
V
V
)V - C] - r F + F
t
+ C = 0
(5)
Geht man davon aus, dass die Coupons nicht stetig, sondern zu diskreten Zeit-
punkten gezahlt werden, so substituiert man C durch
i
C
i
(-t
i
), wobei t
i
den
Zahlungszeitpunkt des Coupons i darstellt, und erh¨alt die folgende FPDE:
47
1
2
F
V V
V
2
2
V
+ (rV -
i
C
i
(t - t
i
))F
V
+ F
T
- r F +
i
C
i
(t - t
i
) = 0 (6)
Wobei mit die Diracsche Delta-Funktion
48
bezeichnet ist. Der Marktpreis
des Risikos ¨andert sich in beiden F¨allen nicht, wenn man die folgenden
Annahmen trifft:
45
Also F
X
=
F
X
46
Siehe Anhang Gleichung (99)
47
Vgl. Merton (1974), S. 468
48
Vgl. Bronstein et al. (1999), S. 712 f.
3 STRUKTURELLE MODELLE
14
1. Alle kontraktspezifischen R¨uckfl¨usse werden reinvestiert.
49
2. Die Couponzahlungen werden h¨ochstens als deterministische Funktion
der Zustandsvariablen und der Zeit angenommen. Somit wird keine wei-
tere Unsicherheitsquelle eingef¨uhrt und die Anleihe ist auch weiterhin
nur als Funktion von dem Firmenwert und der Zeit behandelbar.
50
3.2
Black/Cox (1976)
Charakterisierung und Annahmen
Black/Cox (1976) erweitern das Modell von Merton (1974) um einige Bestim-
mungen im Anleihenvertrag, wie z.B. Sicherheitsvereinbarungen (safety coven-
ants).
51
Es werden die folgenden Annahmen getroffen:
52
· Der Kapitalmarkt ist perfekt und friktionslos.
· Die Gl¨aubigern haben das Recht Insolvenz herbeizuf¨uhren, wenn der
Marktwert des Unternehmens eine (deterministische) untere Schranke
(lower threshold) S e
-(T -t)
erreicht.
· Wenn Insolvenz eintritt, erhalten die Gl¨aubiger das Firmenverm¨ogen
und erl¨osen den Marktwert des Unternehmens zum Insolvenzzeitpunkt.
In diesem Modell ist Insolvenz somit schon vor der F¨alligkeit der Ver-
bindlichkeiten m¨oglich.
· Die Zinsstruktur ist weiterhin konstant und flach.
An den fundamentalen Annahmen von Merton (1974) ¨andert sich nichts und
die Modell¨anderungen gegen¨uber dem klassischen Modell von Merton (1974)
gehen ¨uber die Neben- bzw. Randbedingungen der Anleihe F (V, t) ein. Die
Rand- und Nebenbedingungen sind zum L¨osen der FPDE notwendig. Da eine
49
Vgl. Sch¨obel (1995), S. 49
50
Vgl. Ingersoll (1987), S. 365
51
Vgl. Sundaresan (2000), S. 1591
52
Vgl. Black/Cox (1976), S. 351 - 358
3 STRUKTURELLE MODELLE
15
L¨osung der FPDE in dieser Arbeit unterbleibt, wird gr¨oßtenteils davon
abgesehen die Rand- und Nebenbedingungen zu beschreiben. Black/Cox (1976)
bewerten einen Zero-Bond eines Unternehmens, das eine stetige Dividende
i.H.v. C an die Aktion¨are aussch¨uttet.
Risiken
Die dem Modell zugrundeliegende Unsicherheit entspricht dem Modell von
Merton (1974). Der Markt ist somit komplett und das Papier F (V, t) kann
dupliziert werden.
Marktpreis des Risikos und FPDE
Die Anleihe muss die folgende PDE erf¨ullen:
53
1
2
F
V V
V
2
2
V
+ F
V
[V (
V
-
V
) - C] - r F + F
t
= 0
(7)
Der Marktpreis des Risikos ist unver¨andert gegen¨uber Merton (1974).
54
3.3
Geske (1977)
Charakterisierung und Annahmen
Geske (1977) bewertet Couponanleihen mit Hilfe einer Methodik zur Bewer-
tung von sogenannten zusammengesetzten Optionen
55
(compound options).
Er betrachtet die Aktie eines verschuldeten Unternehmens als eine solche zu-
sammengesetzte Option.
56
Zu jedem Couponzahlungszeitpunkt haben die Ak-
tion¨are die Option, die n¨achste Option zu kaufen, indem sie den Coupon an
die Anleihenhalter zahlen oder das Unternehmen an die Anleihenhalter "¨uber-
geben". Die letzte Option der Aktion¨are ist, die Anspr¨uche auf das Firmen-
verm¨ogen von den Anleihenhalter zur¨uckzukaufen, indem sie den Nennbetrag
53
Mathematische Herleitung siehe Anhang A.3
54
siehe Gleichung (2)
55
Eine zusammengesetzte Option ist beispielsweise eine Option auf eine Option.
56
Vgl. Geske (1977), S. 542
Details
- Seiten
- Erscheinungsform
- Originalausgabe
- Jahr
- 2001
- ISBN (eBook)
- 9783832449490
- ISBN (Paperback)
- 9783838649498
- DOI
- 10.3239/9783832449490
- Dateigröße
- 815 KB
- Sprache
- Deutsch
- Institution / Hochschule
- Universität Passau – Betriebswirtschaftslehre
- Erscheinungsdatum
- 2002 (Januar)
- Note
- 1,7
- Schlagworte
- credit rsik default risk bonitätsrisiko
