Investitionsbewertung und Bestimmung des optimalen Investitionszeitpunktes mit dem Realoptionsansatz

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung

2 Warum der Realoptionsansatz

3 Optionen
3.1 Definition
3.2 Grundlagen der Optionspreistheorie
3.2.1 Optionsbewertung mittels Replikationsportfolio
3.2.2 Risikoneutrale Bewertung
3.2.3 Eigenschaften von Optionen
3.3 Die Analogie von Finanz- und Realoptionen
3.4 Arten von Realoptionen
3.5 Grenzen der Analogie zwischen Finanz- und Realoptionen
3.6 Möglichkeiten zur Bewertung realer Optionen

4 Ein allgemeines Binomialmodell zur Bewertung von realen Optionen
4.1 Vernachlässigung dividendenähnlicher Auszahlungen
4.2 Modellierung dividendenähnlicher Auszahlungen
4.3 Bestimmung der Werte für u, d, i und p

5 Der stetige Ansatz zur Ermittlung von Optionswerten
5.1 Die Bestimmung des optimalen Investitionszeitpunktes bei einer Ver­zöge­rungsoption mit unbegrenzter Laufzeit
5.2 Alternative stochastische Prozesse

6 Anwendbarkeit und Nutzen des Realoptionsansatzes
6.1 Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Realoptionsansatzes und An­wen­dungs­möglichkeiten
6.2 Für welche Typen von Investitionsprojekten empfiehlt sich die Bewertung mit dem Realoptionsansatz

7 Anwendungsbeispiel: Bewertung von Email.com

Fazit

Anhang

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 3.1: Wertabhängigkeit der Kaufoption von der Wertentwicklung des Underlying

Abbildung 3.2: Wertänderung des Replikationsportfolios

Abbildung 3.3: Vergleich der Parameterbezeichnung von Finanz- und Real­optionen

Abbildung 4.1: Einstufiger Binomialprozeß

Abbildung 4.2: Mögliche Werte einer Kaufoption im einstufigen Binomial­modell

Abbildung 4.3: Wertentwicklung von Underlying und Optionswert bei anteils­mäßigem Wertverlust im Zeitablauf

Abbildung 7.1: Entwicklung der Nutzerzahlen von Email.com in Millionen

Abbildung 7.2: Entwicklung von Projekt- und Optionswert der Wachstums­option in Millionen Euro

Abbildung 7.3: Projekt- und Optionswert der Erweiterungsoption im Jahr 2004 in Millionen Euro

Abbildung 7.4: Verbundener Wert von Wachstums- und Erweiterungsoption in Millionen Euro

1 Einführung

Die bisher vorherrschenden Verfahren zur Bewertung von Investitionsprojekten sind die statische Kapitalwertmethode und deren Weiterentwicklungen.^[1] Ursprünglich wurde die statische Kapitalwertmethode zur Evaluierung von Investitionen in Wertpapiere entwickelt,^[2] d.h. für Geldanlagen, deren Rendite i.d.R. nicht durch aktives Handeln des Investors beeinflußt werden kann. Sie geht von einem bestimmten statischen „Erwartungswertszenario“^[3] aus und unterstellt implizit ein passives Management, dessen Handlungsmöglichkeiten sich darauf beschränken, eine gegebene Investitionsmöglichkeit zu realisieren oder abzulehnen. Die Möglichkeit der Unternehmensführung, auf eine Änderung der Rahmenbedingungen mit einer Anpassung der Handlungsstrategie zu reagieren, wird von der statischen Kapitalwertmethode nicht berücksichtigt. Entsprechend kann sie den Wert der Handlungsflexibilität der Entscheidungsträger nicht fassen und führt bei der Evaluierung von irreversiblen Investitionen unter Unsicherheit zu falschen Ergebnissen. Mit der Entscheidungsbaumanalyse als dynamische Erweiterung der statischen Kapitalwertmethode können Handlungs­flexibilitäten zwar abgebildet werden, sie hat jedoch Probleme bei der korrekten Bewertung dieser Flexibilität, unter anderem aufgrund von Schwierigkeiten bei der Ermittlung des richtigen Diskontsatzes.^[4]

In den Problemen der Kapitalwertmethode bei der korrekten Bewertung von Investitionsmöglichkeiten mit Handlungsspielraum bei unsicheren Erwartungen liegen die Wurzeln des Realoptionsansatzes, der seit Anfang der 80er Jahre an Bedeutung gewinnt.^[5] Er betrachtet Investitionsmöglichkeiten als Optionen auf den Erwerb physisch vorhandener realer Projekte, sprich als reale Optionen und Unternehmen als Bündel verschiedener Optionen und bewertet sie analog zu Finanzoptionen. Zum einen erübrigt sich damit die Ermittlung eines angemessenen Diskontsatzes, zum anderen führt diese Sichtweise dazu, daß explizit der Wert der Flexibilität bei Unsicherheit berücksichtigt wird, Wachstumspotentiale aus­zuschöpfen, sofern sie sich ergeben oder die Tätigkeit des Unternehmens im umgekehrten Fall einzuschränken, zu verändern oder das Unternehmen ganz aufzugeben.

Im Rahmen dieser Arbeit wird zunächst die Motivation, die hinter dem Realoptionsansatz steht, hervorgehoben. Dazu werden im nächsten Kapitel die Defizite der Kapitalwertmethode an einem einfachen Beispiel demonstriert. Anschließend wird der Realoptionsansatz erklärt, indem zuerst die allgemeine Methodik zur Ermittlung des Wertes von Finanzoptionen geschildert und dann auf die Analogie von Finanz- zu realen Optionen eingegangen wird.

In den beiden darauffolgenden Kapiteln werden dann ein zeitdiskretes und ein zeitstetiges Modell zur Bewertung von realen Optionen, sprich von Investitionsmöglichkeiten und zur Bestimmung des optimalen Investitions­zeitpunktes wiedergegeben. Auf die Anwendbarkeit des Realoptionsansatzes wird in Kapitel 6 ausführlicher eingegangen.

In Kapitel 7 der Arbeit wird dann mit der Bewertung eines fiktiven Internet-Unternehmens beispielhaft die Anwendung des Realoptionsansatzes demonstriert.

2 Warum der Realoptionsansatz

Mit der Kapitalwertmethode werden Entscheidungen über die Durchführung einer Investition anhand der Barwertregel getroffen: Der Gegenwartswert aller erwarteten Ein- und Auszahlungen, die mit einem Investitionsprojekt in Verbindung stehen, wird durch Abdiskontieren mit einem risikoangepaßten Abzinsungsfaktor ermittelt. Die Differenz von erwarteten Ein- und Auszahlungen ergibt den Barwert.

Wenn das Risiko der zu bewertenden Investition dem durchschnittlichen Risiko der sonstigen Projekte des Unternehmens entspricht, kann der unternehmensinterne Durchschnittskapitalkostensatz als Diskontfaktor herangezogen werden. Für den Fall, daß das Risiko der Investition vom durchschnittlichen Projektrisiko abweicht, wird auf den Diskontsatz eines „Twin Security“ zurückgegriffen.^[6] Ein Twin Security kann ein anderes Projekt oder ein Portfolio sein, das möglichst die gleichen Risikoeigenschaften besitzt, wie die zu bewertende Investition^[7] und im Idealfall eine identische Auszahlungsstruktur aufweist. Entscheidend ist, daß dieses Twin Security am Markt gehandelt wird, weil dann dessen aktueller Wert – und damit indirekt auch der Wert des perfekt korrelierten Investitionsprojektes – über dessen Marktpreis bekannt ist. Der Diskontfaktor wird dann ermittelt, indem der Erwartungswert der Auszahlungen des Twin Security auf dessen Marktpreis bezogen wird.

Ist der Barwert der Investition positiv, lautet die Handlungsempfehlung der statischen Kapitalwertmethode, die Investition sofort durchzuführen. Ist er negativ, wird von ihrer Durchführung abgesehen.

Die statische Kapitalwertmethode geht dabei von der Annahme aus, daß Investitionsentscheidungen entweder revidierbar sind oder aber den Charakter von „Jetzt-oder-nie-Entscheidungen“ haben. D.h., der Investor kann sein Geld wieder aus dem Investitionsprojekt zurückgewinnen, falls es sich schlechter entwickelt als zuvor angenommen, oder er muß, wenn diese Reversibilität nicht gegeben ist, die Entscheidung treffen, entweder heute in ein gegebenes Projekt zu investieren oder überhaupt nicht.^[8]

Tatsächlich treffen diese Annahmen aber für die meisten Investitionsprojekte nicht zu. In der Regel sind die Gelder, die in einem Projekt angelegt werden, ganz oder zumindest zu einem erheblichen Teil sunk costs, die auf direktem Wege nicht zurückgeholt werden können. Dies trifft insbesondere auf firmenspezifische Investitionen zu. Hierunter fallen z.B. Spezialmaschinen, die genau auf die Produktionsanlagen einer bestimmten Firma zugeschnitten sind und von einem anderen Unternehmen nicht genutzt werden können. Branchen- oder industrie­spezifische Anlagen – z.B. eine Tuchfabrik – können zwar prinzipiell an andere Unternehmen verkauft werden, wenn sie sich als unrentabel erweisen, bei funktionierendem Wettbewerb wird die entsprechende Investition aber für die Konkurrenten ähnlich ungünstig sein. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, den Großteil der eingesetzten Gelder durch den Verkauf des Projekts wiederzubekommen gering, weil sich ein Käufer nur zu einem entsprechend niedrigen Preis finden wird. Zudem kann der Wiederverkaufswert gebrauchter Güter wegen Akerlof’s „Lemon-Problem“ weit unter ihrem eigentlichen Wert liegen. D.h., selbst Investitionen, die weder firmen- noch industriespezifisch sind, können im allgemeinen nicht rückgängig gemacht werden, sind also zum Großteil irreversibel.^[9]

Trotz ihrer Irreversibilität haben Investitionen aber in den meisten Fällen keinen „Jetzt-oder-nie-Charakter“. Abgesehen von Situationen, in denen Investitionen nicht aufgeschoben werden können, weil dies den Verlust der Investitionsmöglichkeit zur Folge hätte, muß ein Unternehmen ein ins Auge gefaßtes Projekt nicht zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt durchführen. Vielmehr besteht normalerweise die Möglichkeit, die Implementierung auf einen späteren Zeitpunkt zu verschieben. Dieses Abwarten ist zwar unter Umständen mit gewissen Kosten verbunden – beispielsweise dem Verlust von Marktanteilen an andere Unternehmen oder in Form von entgangenen Cash Flows, die ihm bei sofortiger Durchführung des Projekts zugeflossen wären. Dafür gewinnt das Unternehmen aber möglicherweise Informationen, die die Unsicherheit bezüglich der Vorteilhaftigkeit des Projektes verringern und somit einen Wert haben, der deutlich größer sein kann, als die Kosten des Wartens.

Aufgrund dieses Sachverhaltes können Entscheidungen, die auf der Basis der statischen Barwertregel getroffen werden, bei Existenz von Unsicherheit, Irreversibilität und Flexibilität durchaus falsch sein. Es ist z.B. nicht immer optimal, Investitionen mit positivem Barwert sofort durchzuführen. Ebensowenig müssen Investitionen, für die sich bei der Bewertung mit der statischen Kapitalwertmethode ein negativer Kapitalwert ergibt, in jedem Fall verworfen werden. Ihre Durchführung kann unter Umständen auch vorteilhaft sein. Die folgenden Beispiele sollen dies verdeutlichen.

Gegeben sei ein Projekt, das im Folgejahr mit jeweils 50%-iger Wahrscheinlichkeit Auszahlungen von entweder 100 Millionen Euro oder 30 Millionen Euro generiert, je nachdem, ob sich der Markt günstig oder ungünstig entwickelt. Der aktuelle Marktpreis eines gehandelten Twin Security, das bei gleicher Risikostruktur doppelt so hohe erwartete Auszahlungen wie das Investitionsprojekt hat, also entweder 200 oder 60 Millionen Euro, sei 104 Millionen Euro. Die erwartete Rendite des Twin Security, die gleichermaßen als Diskontsatz für das Investitionsprojekt anzusetzen ist, liegt damit bei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder 25%. Für Investitionskosten von 50 Millionen Euro ergibt sich bei einem Diskontfaktor von 1,25 ein „statischer“ Barwert von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gemäß der statischen Barwertregel sollte das Projekt also sofort durchgeführt werden. Bei etwas höheren Investitionskosten von 55 Millionen Euro ergäbe sich bereits ein negativer Barwert von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In diesem Fall sollte das Projekt also nicht realisiert werden.

Nun sei angenommen, daß es möglich ist, die Durchführung der Investition um ein Jahr zu verschieben und daß dem Unternehmen innerhalb dieses Jahres Informationen zukommen, die die Unsicherheit bezüglich der Auszahlungen aus dem Projekt auflösen. Wendet man unter diesen Annahmen die Entscheidungsbaumanalyse (EBA) an, stellt sich bereits ein anderes Ergebnis ein, als für die statische Kapitalwertmethode, weil dieser Ansatz bei der Wertermittlung einer Investitionsmöglichkeit die Präsenz von Handlungsalternativen berücksichtigt. Im konkreten Fall wird das Unternehmen bei Investitionskosten in Höhe von 50 Millionen Euro die Möglichkeit, den Investitionszeitpunkt zu verschieben, in Anspruch nehmen, und nur dann investieren, wenn die Marktsituation die hohe Auszahlung von 100 Millionen Euro garantiert. Denn damit ergibt sich mit ein Barwert, der deutlich über den zwei Millionen liegt, die bei sofortiger Investition erwartet werden. Die Empfehlung lautet jetzt also die Investition nicht sofort durchzuführen, sondern abzuwarten, bis sich die Unsicherheit aufgelöst hat und nur für den Fall der hohen Auszahlung zu investieren. Mit dieser Strategie ergibt sich selbst für Investitionskosten in Höhe von 55 Millionen Euro noch ein positiver Barwert von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der bei Nicht­durch­führung des Projektes verloren ginge.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die um einen Entscheidungsbaum erweiterte Kapitalwertmethode führt also zu anderen Ergebnissen als die statische Kapitalwertmethode. Der Grund dafür ist folgender: Die Fähigkeit des Managements, auf zukünftige Entwicklungen zu reagieren, führt zu einer asymmetrischen Auszahlungsstruktur, weil das Unternehmen von günstigen Marktentwicklungen profitieren kann, zugleich aber gegen ungünstige Entwicklungen abgesichert ist, da keine Pflicht zur Durchführung der Investition besteht. Der Wert dieser Handlungsflexibilität kann von der Entscheidungs­baum­analyse berücksichtigt werden, von der statischen Kapitalwertmethode hingegen nicht. Die einzige Handlungsflexibilität, die von ihr berücksichtigt wird, ist die Möglichkeit der „Jetzt-oder-nie-Entscheidung“ über die Durchführung der Investition und zwar zu einem Zeitpunkt, an dem die zukünftigen Entwicklungen noch ungewiß sind.

Mit den Beispielen wurde gezeigt, daß die Entscheidungsbaumanalyse bei der Evaluierung von Investitionsprojekten den Wert von Flexibilität grundsätzlich erfassen kann. Bei ihrer Anwendung ergeben sich jedoch Probleme bei der Bestimmung des richtigen Diskontfaktors, was zur Folge hat, daß nicht der korrekte Wert der Flexibilität ermittelt wird.^[10] Für den Fall der hohen Investitionskosten von 55 Millionen Euro ergab sich z.B. ein Barwert von 18 Millionen Euro, indem die erwartete Auszahlung der Investition mit dem Faktor 1,25 abdiskontiert wurde.

Dieser Faktor ist aber nur für Projekte angemessen, deren Wert mit jeweils 50%-iger Wahrscheinlichkeit entweder um Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten steigt oder um Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sinkt.^[11]

Eine geänderte Auszahlungsstruktur von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder 0€ hat andere Risikoeigenschaften und dementsprechend muß für diesen Fall ein anderer Diskontsatz angewandt werden.^[12] Insbesondere bei mehrstufigen Entscheidungs­problemen ist die Ermittlung der jeweils angemessenen Diskontsätze ein langwieriger Prozeß.

Mit der Anwendung von Optionsbewertungsverfahren wird dieses Problem umgangen, indem auf das Prinzip der risikoneutralen Bewertung zurückgegriffen wird.^[13]

Im nächsten Kapitel wird der „korrekte“ Wert der Investitionsmöglichkeit bei Investitionskosten von 55 Millionen Euro mit Optionsbewertungsmethoden ermittelt. Fischer/Hahnenstein/Heitzer (1999) zeigen zwar für ein zeitdiskretes Beispiel, daß die „DCF-Methode^[14] unter Verwendung der flexiblen Planung bzw. eines Roll-Back-Verfahrens auch bei Vorliegen von Handlungsspielräumen zum gleichen Unternehmenswert führen kann wie die Optionspreistheorie“, wenn „zeit- und zustandsspezifische Diskontierungsfaktoren in einen Entscheidungsbaum (integriert werden)“.^[15] Sie kommen jedoch zu dem Schluß, daß sich „aus an­wen­dungsorientierter Sicht...ein Einsatz der Optionspreistheorie dann als vorteilhaft (erweist), wenn ein beobachtbarer Marktpreis für das Underlying der Realoption(en) existiert oder dieser mit Hilfe eines...(Replikationsportfolios) identifiziert werden kann“, weil sich dadurch die „schwierige Ermittlung von risikoadjustierten Diskontierungsfaktoren...und die Schätzung von subjektiven Eintritts­wahr­scheinlichkeiten für die Bewertung der Handlungsspielräume vermeiden (läßt)“.^[16]

Der Unterschied zwischen Kapitalwertmethode und Realoptionsansatz beschränkt sich aber nicht allein auf unterschiedliche Diskontsätze oder andere „technische“ Verschiedenheiten. Er liegt vor allem auch in der unterschiedlichen Sichtweise, mit der Investitionen und deren Werttreiber betrachtet werden. Während sich höhere Unsicherheit bezüglich zukünftiger Entwicklungen bei den Kapitalwertverfahren z.B. in Form von höheren Diskontsätzen niederschlägt und dadurch zu einem geringeren Projektwert führt, erhöht sich der Wert einer Investitionsmöglichkeit aus realoptionstheoretischer Sicht mit einem Anstieg der Unsicherheit. Dies hängt damit zusammen, daß im Falle von Investitionsmöglichkeiten mit Optionscharakter bei einer positiven zukünftigen Entwicklung das sich ergebende Gewinnpotential voll ausgeschöpft werden kann, während im Falle einer ungünstigen Entwicklung nicht investiert bzw. nicht weiterinvestiert wird. Verloren geht dem Unternehmen bei einer negativen Entwicklung dann lediglich der Betrag, der für die Schaffung der Investitionsmöglichkeit ausgegeben wurde.

Mit der um den Entscheidungsbaum erweiterten Kapitalwertmethode läßt sich, wie zuvor gezeigt, eine solche asymmetrische Auszahlungsstruktur zwar auch abbilden, neben dem erwähnten Wertminderungseffekt aufgrund des höheren Diskontfaktors bei größerer Unsicherheit stellt sich bei dieser dynamischen Variante der Kapitalwertmethode aber das Problem, daß sie den Wert einer Investition oder eines Unternehmens aus dessen direkt generierten Cash Flows ableitet. Wie soll so aber eine Investition angemessen bewertet werden, deren Wert sich nicht aus direkt erzeugten Cash Flows ergibt, sondern in der Schaffung von Wachstumschancen und eventuellen strategischen Vorteilen besteht?

Die Anwendung einer Bewertungsmethode, die zu sehr „Cash Flow-basiert“ ist, birgt die Gefahr, daß der Wert der Schaffung zukünftiger Entwicklungsmöglichkeiten unterschätzt und folglich zu wenig in zukünftiges Wachstum, z.B. F&E-Projekte, investiert wird,^[17] was mittel- bis langfristig negative Auswirkungen auf das Ergebnis und die Wettbewerbsposition des Unternehmens nach sich ziehen kann.

Besser erfaßt werden kann der Wert solcher Wachstumschancen mit Optionsbewertungsmethoden. Sie sind eher in der Lage, Phänomene wie den hohen Wert von Internet-Unternehmen oder die Zahlung der enorm hohen Summen für die Universal Mobile Telecommunications System (UMTS)-Lizenzen im Mobil­funkbereich zu erklären. Im nächsten Kapitel werden die Grundlagen der Optionsbewertung anhand von Finanzoptionen vermittelt und die Übertragbarkeit auf reale Optionen erläutert.

3 Optionen

3.1 Definition

Eine Kauf(Verkaufs-)option ist definiert als das Recht, ohne symmetrische Verpflichtung, ein bestimmtes Aktivum – das Underlying (z.B. eine Aktie) –zu einem vorab festgelegten Preis, dem Ausübungspreis, an oder bis zu einem bestimmten Datum zu (ver-) kaufen. Wenn die Option vor ihrer Fälligkeit ausgeübt werden kann, spricht man von einer amerikanischen Option, wenn sie nur am Fälligkeitstag selbst ausgeübt werden kann, handelt es sich um eine europäische Option.^[18] Kaufoptionen werden auch als Call Optionen, Verkaufsoptionen als Put Optionen bezeichnet.

3.2 Grundlagen der Optionspreistheorie

In diesem Abschnitt werden die zwei Standardmethoden für die Optionsbewertung, die Optionsbewertung mittels Replikationsportfolio und die risikoneutrale Bewer­tung, erläutert.

3.2.1 Optionsbewertung mittels Replikationsportfolio

Bei der Bewertung von Optionen wird davon ausgegangen, daß keine Arbitragemöglichkeiten existieren.^[19] Geldanlagen, die zu identischen Auszahlungen führen, müssen dieser zentralen Annahme zufolge den selben Preis haben.^[20]

Der nächste Gedanke ist, daß ein Replikationsportfolio aus n Anteilen des zugrundeliegenden Basis­aktivums – dem Underlying – und einer Kreditaufnahme konstruiert werden kann, das für jeden möglichen zukünftigen Umweltzustand die selben Auszahlungen hat, wie eine Kaufoption auf das Basisaktivum. Alternativ kann das Portfolio aus n Anteilen des zugrundeliegenden Basis­aktivums und dem Leerverkauf einer Kaufoption auf das Basisaktivum bestehen. Die möglichen Auszahlungen einer Verkaufsoption können durch den Leerverkauf von n Anteilen des Basisaktivums und einer Kreditvergabe bzw. Geldanlage zum risikolosen Zinssatz repliziert werden. In jedem Fall muß der Marktpreis der Option dann gleich dem Preis dieses Replikationsportfolios sein.^[21]

Zur Veranschaulichung folgt ein numerisches Beispiel zur Bewertung einer Kaufoption auf eine Aktie. Die verwendeten Zahlen entsprechen jeweils dem einmillionsten Teil der Zahlen des Investitionsbewertungsbeispiels aus Kapitel 2, um einen Vergleich mit dem Ergebnis, das mit der um einen Entscheidungsbaum erweiterten Kapitalwertmethode erzielt wurde, zu ermöglichen.

Gegeben sei eine Aktie mit einem aktuellen Marktpreis von S = 52€, deren Wert in T = 1 Jahr entweder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten beträgt. Ermittelt werden soll der Wert einer Kaufoption auf diese Aktie mit einem Ausübungspreis von X = 55€. Die Option ist europäischen Typs und kann nur zu ihrer Fälligkeit in genau einem Jahr ausgeübt werden. In der Zeit bis zum Fälligkeitstag fallen keine Dividendenauszahlungen an. Der risikolose Zinssatz für ein Jahr beträgt i = 5%.

Falls die Aktie im Kurs steigt, wird durch Ausüben der Kaufoption C in einem Jahr eine Auszahlung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erzielt. Fällt ihr Preis auf 30€, wird die Kaufoption nicht ausgeübt, die Auszahlung beträgt dann 0€. Abbildung 3.1 gibt den Sachverhalt in Form eines Entscheidungsbaums wieder.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.1: Wertabhängigkeit der Kaufoption von der
Wertentwicklung des Underlying

Die selben Auszahlungen können durch ein Portfolio repliziert werden, das aus n Aktienanteilen und einer Kreditaufnahme in Höhe von K besteht, also im Grunde nichts anderes ist als ein teilweise fremdfinanzierter Aktienkauf (vgl. Abbildung 3.2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.2: Wertänderung des Replikationsportfolios

Durch Auflösen der Portfoliogleichung (1) aus Abbildung 3.2 nach K, einsetzen von K in die Portfoliogleichung (2) und anschließender Auflösung nach n ergeben sich Werte von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[22] Der aktuelle Preis dieses Portfolios beträgt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weil Portfolio und Kaufoption in jedem eintretenden Fall die gleichen Auszahlungen generieren, müssen beide wegen der annahmegemäßen Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten den selben Preis haben. D.h., mit dem Portfoliopreis von 15,06€ ist zugleich auch der aktuelle Wert der Kaufoption gegeben. Das gleiche Ergebnis stellt sich für ein Portfolio ein, das aus Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Aktienanteilen und dem Leerverkauf einer Kaufoption auf die Aktie besteht. Es generiert eine sichere Auszahlung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und hat heute einen Wert von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Damit ergibt sich für die Kaufoption C wegen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten heute ein Wert von 15,06€.

Analog wie unter den gegebenen Annahmen eine Kaufoption bewertet wurde, kann der Wert einer Verkaufsoption mit einem Ausübungspreis von 55€ ermittelt werden. Für den Fall, daß die Aktie fällt, hat die Put Option in einem Jahr einen Wert von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Steigt die Aktie, wird die Option nicht ausgeübt, ihr Wert ist dann gleich Null. Diese Auszahlungen können repliziert werden, indem Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Aktienanteile leerverkauft und 34,01€ zu 5% angelegt werden. Der Wert der Verkaufsoption ist dann Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Eine weitere Möglichkeit, den Wert einer Option zu ermitteln, ist die risikoneutrale Bewertung.

3.2.2 Risikoneutrale Bewertung

Wie im vorigen Abschnitt gezeigt wurde, kann durch den Kauf von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Anteilen der zugrungeliegenden Aktie und dem Leerverkauf einer Call Option C auf die selbe Aktie ein risikoloses Portfolio konstruiert werden, das im nächsten Jahr eine sichere Auszahlung von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

generiert, unabhängig davon, ob der Aktienkurs steigt oder fällt. Mittels hedging kann so das bestehende Risiko diversifiziert und eine „risikoneutrale Welt“ unterstellt werden, in der die Risikopräferenzen von Investoren irrelevant sind.^[23] Angesichts dieser Risikoirrelevanz muß die erwartete Rendite der Aktie bei Arbitragefreiheit der Rendite für risikolose Anlagen entsprechen, die annahmegemäß bei 5% liegt. Die Aktie muß also im Durchschnitt einen erwarteten Kurszuwachs oder Drift von 5% haben. Der Aktienkurs kann entweder um den Faktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bzw. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten steigen oder um den Faktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bzw. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten fallen. Gewichtet mit der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit p für einen Kursanstieg bzw. (1- p) für einen Kursverfall muß sich eine Rentabilität von 5% ergeben. Konkret resultiert durch Auflösung der Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[24]

Die Gewichtung der erwarteten Auszahlungen der Kaufoption mit der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit und Abdiskontieren mit dem Zinssatz für risikolose Anlagen ergibt einen Gegenwartswert von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die risikoneutrale Bewertung führt also zum gleichen Ergebnis, wie der Weg über das Replikationsportfolio. Das läßt sich auch für die Verkaufsoption aus Abschnitt 3.2.1 zeigen. Wenn die Auszahlung von 25€, die bei Sinken des Aktienkurses und Ausübung des Puts erzielt wird, mit der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit für einen Aktienkursverfall von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gewichtet und mit dem Zinssatz für risikolose Anlagen von 5% abdiskontiert wird, ergibt sich wieder ein Optionswert von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

3.2.3 Eigenschaften von Optionen

Der Wert einer Kaufoption C steigt mit dem Wert der zugrundeliegenden Aktie und ist um so höher, je niedriger ihr Basispreis X ist, da die Auszahlung einer Kaufoption bei Ausübung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbeträgt.^[25]

Eine Verkaufsoption P steigt im Wert, wenn der Kurs der Aktie, auf die sie gezeichnet ist, fällt. Sie ist im Gegensatz zur Kaufoption um so wertvoller, je höher ihr Basispreis X ist, da ihre Auszahlung bei Ausübung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten beträgt.

Eine höhere Volatilität der Aktie, üblicherweise mit σ bezeichnet, wirkt sich wertsteigernd sowohl bei einer Kaufs- als auch bei einer Verkaufsoption aus. In beiden Fällen steigt die Chance auf eine höhere Auszahlung, da der Aktienkurs stärkeren Schwankungen unterliegt. Dieser Chance auf einen höheren Gewinn steht aber kein symmetrischer Anstieg der möglichen Verlusthöhe gegenüber, da sich der maximale Verlust auf den Kaufpreis der Option beschränkt, weil keine Verpflichtung zur Ausübung der Option besteht. Das „Upside-Potential” kann voll ausgenutzt werden, während die Verlustseite begrenzt ist. Im obigen Optionsbewertungsbeispiel entspricht eine höhere Volatilität einer größeren Differenz zwischen den möglichen Aktienkursen am Ende des Betrachtungszeitraumes, beispielsweise Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten anstatt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

[...]

^[1] Vgl. Hommel / Pritsch (1999a), S. 3 sowie Dixit / Pindyck (1995), S. 105 f.

^[2] Vgl. z.B. Brealey / Myers (2000), S. 622 oder Trigeorgis (1996), S. 7.

^[3] Vgl. Hommel / Pritsch (1999b), S. 127.

^[4] Vgl. Trigeorgis (1996), S. 152.

^[5] Vgl. Hommel / Pritsch (1999a), S. 24 sowie Hommel / Pritsch (1999b), S. 121.

^[6] Vgl. Trigeorgis (1996), S. 152.

^[7] Vgl. Dixit / Pindyck (1994), S. 117f.

^[8] Vgl. Dixit / Pindyck (1995), S. 105.

^[9] Vgl. Dixit / Pindyck (1995), S. 109f.

^[10] Vgl. Copeland/Keenan (1998), S. 44f.

^[11] Der verwendete Wert von 52 ergibt sich, wenn der Erwartungswert der Projektauszahlungen von 65 Millionen Euro mit dem Faktor 1,25 abdiskontiert wird.

^[12] Vgl. Trigeorgis (1996), S. 160.

^[13] Vgl. Hommel / Pritsch (1999a), S. 20 und S. 28 sowie Hommel / Pritsch (1999b), S.129.

^[14] DCF ist die Abkürzung für den englischen Begriff Discounted Cash Flow. Mit DCF-Methode ist die Kapitalwertmethode gemeint.

^[15] Fischer/Hahnenstein/Heitzer (1999), S. 1208. Zu diesem Ergebnis kommen auch Smith/Nau (1995).

^[16] Fischer/Hahnenstein/Heitzer (1999), S. 1226. Auf die Problematik bei der Bestimmung des korrekten Diskontfaktors verweisen u.a. Brealey/Myers (2000, S.601) sowie Hommel/Pritsch (1999b, S. 128).

^[17] Vgl. Dixit / Pindyck (1995), S. 107.

^[18] Vgl. Trigeorgis (1996), S. 69.

^[19] Vgl. z.B. Hommel/Pritsch (1999a), S. 25 oder Hull (2000), S. 201.

^[20] Vgl. Black/Scholes (1973), S. 673.

^[21] Vgl. Brealey/Myers (2000), S. 602ff.

^[22] Die Formel zur Berechnung von n, auch Optionsdelta genannt, lautet .

^[23] Vgl. Brealey/Myers (2000), S. 603 oder Trigeorgis (1996), S.75.

^[24] Damit ergibt sich für den Aktienkurs der Folgeperiode ein Erwartungswert von bzw. nach Einsetzen von ein Wert von (1+ i) S und damit ein Drift für den Aktienkurs in Höhe von i. Vgl. Hull (2000), S. 205.

^[25] Vgl. Hull (2000); S. 168f.